线性代数讲义-强化

线性代数——强化
题型一：求矩阵方程行列式 例1.（2006一5）设矩阵211
2A ⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
，矩阵B 满足2BA B E =+其中E 为单位矩阵，求||B 例 2.（2003二）设三阶方阵A 、B 满足2A B A B E --= 其中E 为单位矩阵，1010
202
1A ⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
求||B 例3.设矩阵1
11
3A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，矩阵B 满足AB A B +=求||B 例4.设矩阵111
3A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，矩阵B 满足32A E B A B -+=求||B 例5.（2004一5）设矩阵2101
200
1A ⎡⎤
⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，矩阵B 满足**2ABA BA E =+其中E 为单位矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，求||B 题型二：求向量行列式
例1. 设12,αα为二维列向量，记矩阵121212(,),(,2)A B αααααα==++，||1A =，求||B 例2. （2005一5）设123,,ααα为三维列向量，记矩阵123(,,),A ααα=
123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++已知||1A =，求||B
例3. 设123,,ααα为三维列向量，记矩阵123(,,),A ααα=
131231(,2,)B αααααα=+++已知||1A =，求||B
例4. 设123,,ααα为三维列向量，记矩阵123(2,,),A ααα=
12(B αα=+12313,2,)ααααα+++已知||2A =，求||B
题型三：求解矩阵方程 例1. 已知2
202
130
1
0A ⎡⎤
⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，B 满足方程AB A B =+，求B
例2. 已知1213A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，B 满足方程2A E AB B -+=，求B 例3. 已知121
0A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，B 满足方程A BA E -=，求B 例4. 已知1
21
0A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，B 满足方程AB E =，求B 例5. （2002二）已知1201
200
2A -⎡⎤
⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，B 满足方程124AB A E -=-，求B 题型四：求抽象逆矩阵
例1. 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若 22A A O -=求1()A E -- 例2. （2001一4）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若24A A E O +-=求1()A E --
例3. （2008一、三5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若 3A O =求1()A E -+ 例4.设A 、B 为3阶非零矩阵，E 为3阶单位矩阵，若2AB A B E =--，求1(2)A E -+ 例5.设A 、B 为3阶非零矩阵，E 为3阶单位矩阵，若243A B A B E =-+，求1(2)A E -+ 例6.（2002二）设A 、B 为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵，若124A B B E -=-，求1(2)A E -- 题型五：求矩阵的秩 例1.已知矩阵1
122
11
1010
2
6A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
求A 的秩。

例2.（2010一5） 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB=E ，求A 和B 的秩
例3.（2008一20）设,αβ为3维列向量，矩阵T
T
A ααββ=+证明：()2r A ≤ 题型六：线性相关性的判断
例1.已知向量组A ：123112211
,,101026ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
判断A 的线性相关性。

例2.已知向量组A ：123112
1211,,12
212
ααα⎛⎫
-⎛⎫ ⎪
- ⎪-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
判断A 的线性相关性。

例3.已知向量组A ：123,,ααα线性无关，向量组B ：
1121231232,2,βαβααβααα==+=++证明：123,,βββ线性无关
例4.已知向量组A ：123,,ααα线性无关，向量组B ：
112223331,,βααβααβαα=+=+=+证明：123,,βββ线性无关
例5.（2008三21）已知向量组12,αα线性无关，3α满足1122323()0k k k αααα-+++=，
123,,k k k 为任意常数，证明：123,,ααα线性无关
题型七：求矩阵参数 例1. 设1110
2011
1A -⎡⎤⎢
⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11a b ⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
已知线性方程组A x b =有两个不同解，求a 例2. 设1110
1011A a
⎡⎤
⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
已知线性方程组0A x =有非零解，求a 例3.（2007一）设线性方程组12312321
230
2040
x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩与方程 12321x x x a ++=-有公共解，
求a
例4.（2005三）设线性方程组1231231
23230
23500
x x x x x x x x ax ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩与方程 1232
12302(1)0x b x c x x b x c x ++=⎧⎨+++=⎩同解，求,,a b c
题型八：求解线性方程组 例1.（2010一20）设1
1120
20,11
1
11A b --⎡⎤⎛⎫
⎪⎢
⎥
=-= ⎪⎢⎥
⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭
求A x b =的通解。

例2.求齐次线性方程组的通解123412341
2340253207730
x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪
-++=⎨⎪-++=⎩
例3.（2007一21）求线性方程组1231231
230
220440
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x ++=所有的公共解。

题型九：求特征值
例1.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2，E 是单位矩阵，求14A E --的特征值。

例2.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2， E 是单位矩阵，求*1222A A A E -+--特征值 例3.（2011一21截选）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，求A 的特征值
例4. （部分）设A 是三阶实对称矩阵，2个线性无关向量满足0A x =，求A 的特征值。

例 5.（2006一21） 设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，1(1,2,1)T α=--，
2(0,1,1)T
α=-是方程0A x =的两个解，求A 的特征值。

例６.（2005四21）设A 为3阶矩阵，123,,ααα是线性无关的3维列向量，
1123223,2A A ααααααα=++=+，32323A ααα=+求A 的特征值。

例7.（2008一）设A 为2阶矩阵，
12,αα是线性无关的2维列向量，12120,2A A αααα==+求A 的非零特征值。

题型十：利用正交求特征向量
例1. 已知2阶实对称矩阵A 的特征值为1,2，其中 1对应特征向量为()12T
求A 的所有
特征向量
例 2.（2010一21改编）已知3阶实对称矩阵A 的特征值为1,1,0，0
对应特征向量为
22T
⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
求A 的所有特征向量 例3.（2010一21改编）已知3阶实对称矩阵A 的特征值为1,1,0，0对应特征向量为求A
题型十一：实对称阵对角化与二次型标准化 例1.设实对称阵0141
314
1
0A -⎡⎤
⎢
⎥
=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
利用正交矩阵Q ，使得T Q AQ =Λ求正交矩阵Q 和对角矩阵
例2.（2003三）已知二次型222
12312313(,,)224f x x x x x x x x =+-+利用正交变换x =Qy 使二
次型化为标准形，并求正交矩阵Q。