线性代数讲义 (19)

得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程A I x 0.由
1 A I 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程A 2I x 0.由
即知A与AT的特征值相同；
但若取A
0 0
10,
则明显A与AT的特征值均为1，2 0， 不过，
A的特征向量为 x c10,(c 0)
而AT的特征向量却为 x c10,(c 0)
4. 设Ax x,且A可逆，则
(1) A1 x 1 x;
(2) A x A x.
证（2）：当A可逆时, 即 A 0时,
1 ；
1 1
当 4时,由 2
3 4 1
1 34
x1 x2
0 0
,即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
,
解得 x1 x2,所以对应的特征向量可取为
p 1. 2 1
例２
求矩阵A
1 4
1 3
00 的特征值和特征向量.
1 0 2
解：A的特征多项式为
1 1 0
A I 4 3 0 (2 )(1 )2,
3 值. 又由 AAT 2I得 AAT 2I 16,即
A 2 16, 于是 A 4, 但 A 0, 因此 A 4,
故 A有一个特征值为
A
4. 3
(利用了性质：A x A x. )
4 A 2I 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
1 p3 0, 4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0). 解毕
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
解 A的特征多项式为
A I 3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 ) 解特征方程 A I 0
即得A的特征值为 2, 4.
1
2
当 2时,对应的特征向量应满足 1
3 2 1
1 32
x1 x2
0 0
即 解得 x1
xx1 1xx2 200, . x2, 所以对应的特征向量可取为 p
(1) m是Am的特征值m是任意正整数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
2当A可逆时, 由 12 n A，知 0，
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0,
类推之，有 1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
k 1,2, ,m 1
把上列各式合写成矩阵形式，得
1
1
m1 1
x1 p1, x2 p2 ,
i 1 n
(2) 12 n i A.
i 1
2. 设A的特征值对应的特征向量为 x, 则A的
多项式 ( A) a0I a1A am Am
有特征值 ( ) a0 a1 amm , 对应的特征
向量仍为 x.
3. 方阵A与AT的特征值相同，但特征向量却 未必一样.
证：由 AT I ( A I )T A I 0
所以向量组 p1, p2 , , pm 线性无关.
注意：
１. 同一个矩阵，属于不同特征值的特征向量 是线性无关的．
２. 同一个矩阵，属于同一特征值的特征向量 的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一； 但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值．
说明:1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
A I x 0 有非零解的 值 , 即满足方程 A I
0的都是矩阵A的特征值.
3. A I 0
a11 a12
a21
a22
a1n a2n 0
an1
an2 ann
(1) 1 2 n a11 a22 ann; 证：(2) 由 A I (1 )(2 ) (n )， 既然是等式，即对 的任意取值都成立，故以 0代入上式，即得
(2) 12 n A .
二、特征值与特征向量的求法
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
得基础解系
1 p2 2, 1
所以kP2(k 0)是对应于
2
1的全部特征
3
向量. 显然，2 1 2 m2 .
解毕
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解:
2 1 1
A I 0 2 0
4 1 3
பைடு நூலகம்
( 1) 22
令 ( 1) 22 0，
1
( 若称( A i I )x 0线性无关解的个数叫做i 的
几何重数，则特征值1 2 的几何重数 1 为1 )
所以kP1(k 0)是对应于
2的全部特征向量.
1
当 1时,解方程 ( A 1 I )x 0.由
2
3
2 A I 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
因为, 如果设x同时是A的属于特征值 1 , 2的
1 2 的特征向量,即有
Ax 1x, Ax 2 x 1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与特征向量的定义矛盾 .
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 A I ;
2. 求特征方程 A I 0的全部根1,2 , ,n ,就是A的全部特征值;
5.1方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质 四、小节、思考题
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量 x
使关系式
Ax x 成立, 那末, 这样的数称为方阵A的特征值, 非零向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
,
xm
pm
1 1
2
m
m1 2
m1 m
0,0,
,0
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 , , xm pm 0,0, ,0,
即 xj pj 0 j 1,2, ,m.但 pj 0,故 x j 0 j 1,2, ,m.
证：(1) 由 A I (1 )(2 ) (n )
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
an1
an2 ann
比较第二个等号两端n1项的系数，知 等号左端 n1的系数为
(1 2 n )
而根据行列式的展开定义，知 右端 n1项的系数为
(a11 a22 ann ) 由同次项系数应该相等，知成立
1
0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
( 若称某特征值作为重根的次数叫做它的代数重数，
则特征值 2 1的代数重数 m2 为 2 )
当 2时,解方程( A 2I )x 0.由
1
3 A 2I 4
1
1 1 0
0 0
~
0 0
1
0
0
0 1 0
0
0
0
得基础解系
p1 0,
由 12 n A，知 0， 再由Ax x可得
A x A Ix AAx Ax A x
A x A x
5.设1,2 , ,m是方阵A的m个特征值, p1, p2 , , pm依次是与之对应的特征向量.如果1,2 , ,m
各不相等,则 p1, p2 , , pm 线性无关.
证: 设有常数 x1, x2 , , xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0
再由Ax x可得
x A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
解毕
三、特征值和特征向量的性质
1. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1,2, ,
n ,则有
(1)
1
2
n
n
a11
a22
ann
即 i tr( A)
称以为未知数的一元 n次方程 A I 0
为A的特征方程 .
记 f A I ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
4. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 , ,
n , 则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann；
(2) 12 n A .
3. 对于特征值i ,求齐次方程组
A i I x 0
的非零解,就是对应于i的特征向量.
思考题
设4阶方阵A满足条件 3I A 0, AAT 2I , A 0,求A的一个特征值.
思考题解答
解 因为 A 0,故A可逆.由 3I A 0知 3是A的一个特征值,从而 1 是 A1的一个特征