04-第四章-一元函数微分学的应用
高等数学B1课程教学大纲
《高等数学B1》课程教学大纲课程名称：高等数学（B1）课程代码：,课程类型：公共基础课学分： 5学分总学时：80 理论学时：80 实验（上机）学时：0先修课程：无适用专业：统招理工专类一、课程性质、目的和任务《高等数学》课程是针对我校理工类各专业专科层次学生讲授微积分的基础知识及其应用的一门重要的公共基础课。
它内容丰富，既为理工类专业后继课程提供基本的数学工具，又为学生进一步学好其它相关数学课程奠定基础，同时还具有培养学生应用数学的逻辑思维方法，分析并解决专业课相关问题的能力的任务，因此可以说《高等数学》是基础中的基础。
根据南山学院培养应用型人才的宗旨及专业特点，为使学生所学知识具有一定的可持续发展性，教学中应贯彻“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，教学重点放在“掌握概念，强化应用，培养能力，提高素质”上，通过教学实现传授知识和发展能力的教学目的，而且要将能力培养贯穿到教学全过程。
教学过程中还要注意不同层次学生的不同要求，积极为学生终身学习搭建平台、拓展空间。
因此高等数学课程不仅是重要的基础课和工具课，更是一门素质课。
教学中要结合教学内容及学生特点，选择适宜的教学方法与教学手段，突出重点、化解难点，有意识、有目的、有重点地营造有利于学生能力发展的氛围，启发学生思维的拓展，促进学生能力的提高。
二、教学基本要求1、知识、能力、素质的基本要求：本课程要使学生获得的知识包括：函数、极限、连续、一元函数微积分学及其应用、常微分方程、向量与空间解析几何、多元函数微积分学及其应用等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。
从严格意义上讲，通过本课程的学习，逐步培养学生以下几方面的能力：比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、抽象概括问题的能力、自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力。
使学生在掌握数学知识的同时，能够理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。
对不同专业的学生应有不同的要求。
一元函数微分学
一元函数微分学微积分是数学中一个非常重要的分支，它研究连续与变化。
微分学是微积分中的一部分，它研究一元函数的变化率和切线问题。
在工科、理工科及金融等领域，微分学都是必修的一门学科。
一、导数一个函数的导函数即为该函数的导数。
导数表示函数在某点处的变化率，也可以理解为以该点处斜率为切线的直线方程。
导数的定义如下：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，f(x)表示函数在x点处的取值，h表示x的变化量。
导数是对变化量和量的一个测量，它也可以被解释为函数的瞬时变化率。
在求导数时，我们需要注意函数是否连续，导数是否存在，同时还需考虑到函数在自变量为非自然数时的导数。
二、微分微分是在导数的基础上增加了一些附加的概念，它是由函数在一个点处的导数以及该点处的自变量与函数值所组成的。
微分的定义不是很直接，但是我们可以从定义出发进行理解：设函数y=f(x)，在x点的微分dy=dx*f'(x)。
其中，dx表示x的增量，dy表示y的增量，f'(x)表示在x处的导数。
可以看出，微分有一个重要的作用，就是可以得到函数在某个点处的极小增量。
即在当前的点位置，函数的变化量以及对应的变量量。
微分还可以解决一些求和问题和变量替换问题的计算。
三、函数图像的切线函数图像的切线是函数图像在某个点的斜率。
在此前提下，我们可以通过导数求出函数图像在任意一个点上的斜率。
通过直线方程就可以求出函数图像在该点的切线。
求解函数图像的切线需要确定该点的横坐标和纵坐标，然后求出导数，最后代入方程即可。
四、一元函数微分学应用微分学的应用非常广泛。
在物理学中，微分学可以用于描述物体的运动，地球的形变和能源泄露等问题。
在金融学中，微分学可以用于计算股市的波动和证券价格的变化等问题。
在自然科学中，微分学可以用于解决生物学的遗传学和数学物理学中的加速和速度问题等。
总之，一元函数微分学是微积分中最基础的内容。
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
高等数学一教材章节
高等数学一教材章节第一章：函数与极限函数的定义与性质函数的概念函数的表示方法函数的分类一元函数的极限极限的定义极限的运算法则极限存在准则函数的连续性连续函数的定义连续函数的性质连续函数的运算法则第二章：导数与微分导数的概念与运算法则导数的定义导数的几何意义导数的运算法则高阶导数与隐函数的导数高阶导数的概念隐函数的导数高阶导数的计算微分中值定理与导数的应用罗尔定理拉格朗日中值定理函数单调性与极值第三章：积分与定积分不定积分不定积分的定义常见函数的不定积分不定积分的基本性质定积分的概念与性质定积分的定义定积分的基本性质定积分的几何意义牛顿-莱布尼茨公式与变限积分牛顿-莱布尼茨公式的推导变限积分的概念与运算法则曲线长度的定积分表示第四章：一元函数的应用或微分方程常微分方程常微分方程的概念一阶线性微分方程一阶齐次线性微分方程微分方程的应用因变量可分离的微分方程可化为一阶线性微分方程的方程可化为齐次微分方程的方程第五章：多元函数微分学多元函数的极限与连续性多元函数的极限定义多元函数的连续性定义多元函数的偏导数与全微分多元函数的导数与微分法多元函数的偏导数多元函数的全微分多元函数的隐函数及其导数多元函数的极值与条件极值多元函数的极值判定多元函数的条件极值第六章：重积分与曲线曲面积分二重积分的概念与性质二重积分的定义二重积分的性质与运算法则可求面积与可求平均值的关系三重积分与多重积分三重积分运算法则广义重积分多重积分的应用曲线积分与曲面积分第一类曲线积分的概念与计算第二类曲线积分的概念与计算曲面积分的概念与计算第七章：向量场与无散场、无旋场向量场的基本概念与性质向量场的概念向量场的性质与分类散度与无散场散度的概念与计算无散场的特点与判定旋度与无旋场旋度的概念与计算无旋场的特点与判定第八章：曲线积分与曲面积分的应用曲线积分的应用曲线积分在物理中的应用曲线积分在工程中的应用曲线积分在电磁学中的应用曲面积分的应用曲面积分在流体力学中的应用曲面积分在电场中的应用曲面积分在热传导中的应用第九章：常微分方程入门常微分方程的基本概念与解法常微分方程的定义与分类分离变量法与齐次方程法一阶线性微分方程的解法高阶微分方程与常微分方程组高阶微分方程的解法常微分方程组的概念与解法常微分方程在物理中的应用第十章：级数与幂级数级数的定义与性质级数的基本概念级数的运算法则级数的比较判别法幂级数的收敛性与展开幂级数的收敛半径幂级数的展开幂级数的应用函数项级数与傅里叶级数函数项级数的定义与性质函数项级数的收敛性傅里叶级数的基本概念与性质。
一元函数微分专升本
一元函数微分专升本
一元函数微分是专升本考试的重要知识点之一，主要涉及导数、微分、可导性、连续性、可积性等方面的概念和应用。
导数表示函数在某一点处的瞬时变化率，可以通过极限来定义，并可以利用导数的性质和运算法则进行计算。
微分则是导数的几何意义，表示函数在某一点处的切线的斜率。
一元函数微分的应用非常广泛，包括函数的单调性、极值、拐点、曲线的弯曲方向等方面的研究，还可以应用于最大值、最小值问题的求解。
在专升本考试中，一元函数微分通常会以选择题、填空题、计算题等形式出现，要求考生掌握基本概念和性质，能够熟练运用导数和微分的运算法则进行计算和应用。
为了更好地备考一元函数微分，建议考生认真学习相关课程，掌握基本概念和性质，多做练习题，提高计算能力和应用能力。
同时，还要注意理解导数和微分的几何意义，以便更好地理解其应用。
《车身工程应用数学基础》(课程代码：01891)课程考试大纲
广东省高等教育自学考试《车身工程应用数学基础》（课程代码：01891）课程考试大纲目录一、课程性质与设置目的二、考试内容与考核目标第一章函数极限与连续第一节函数的概念与基本性质第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷大量与无穷小量第五节极限的运算法则第六节极限存在准则与两个重要极限第七节无穷小量的比较第八节函数的连续性第二章一元函数的导数与微分第一节导数的概念第二节求导法则页脚内容1第三节函数的微分第四节高阶导数第五节微分中值定理第六节洛必达法则第三章一元函数微分学的应用第一节函数的单调性与极值第二节函数的最大（小）值及其应用第三节曲线的凹凸性、拐点第四节微分学在经济学中的应用举例第四章一元函数的积分第一节定积分的概念第二节原函数与微积分学基本定理第三节不定积分与原函数求法第四节积分表的使用第五节定积分的计算第六节广义积分第五章定积分的应用页脚内容2第一节微分元素法第二节平面图形的面积第三节几何体的体积第四节定积分在经济学中的应用第六章常微分方程第一节常微分方程的基本概念第二节一阶微分方程及其解法第三节微分方程的降阶法第四节线性微分方程解的结构第五节二阶常系数线性微分方程第六节n阶常系数线性微分方程第七章行列式第一节行列式的定义第二节行列式的性质与计算第三节克拉默法则第八章矩阵及其运算第一节矩阵的定义页脚内容3第二节矩阵的运算第三节矩阵的逆第四节矩阵的分块第九章向量组与矩阵的秩第一节n维向量第二节线性相关与线性无关第三节向量组的秩与矩阵的秩第四节矩阵的初等变换第五节初等矩阵与求矩阵的逆第六节向量空间第十章线性方程组第一节消元法第二节线性方程组有解判别定理第三节线性方程组解的结构第十一章向量组与矩阵的秩第一节向量的内积第二节方阵的特征值和特征向量页脚内容4第三节相似矩阵第十二章概率论的基本概念第一节样本空间、随机事件第二节概率、古典概型第三节条件概率、全概率公式第四节独立性第十三章随机变量第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布第十四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第十五章大数定律与中心极限定理第一节大数定律第二节中心极限定理页脚内容5三、关于大纲的说明与考核实施要求【附录】题型举例页脚内容6一、课程性质与设置目的（一）课程性质与特点《车身工程应用数学基础》是机械制造及自动化专业的理论基础课程，内容包括函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程、线性代数及概率论基础等，是学习本专业其他课程的基础。
一元函数微分学知识点
一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。
微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。
下面将依次介绍这些知识点。
一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。
给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。
导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。
线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。
链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。
二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。
微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。
微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。
当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。
因此，导数可以用微分来近似计算。
三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。
一元函数微分学公式
一元函数微分学公式微分学是数学中的一个重要分支，研究函数的微小变化。
在微分学中，一元函数的微分公式是非常基础且重要的知识点。
本文将介绍一元函数微分学公式的相关内容，帮助读者更好地理解和应用微分学知识。
一元函数微分学公式主要包括导数的定义、常见函数的导数公式、导数运算法则以及高阶导数等内容。
下面我们逐一介绍这些内容。
1. 导数的定义导数是一元函数微分学的核心概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)的定义为：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a的过程，(f(x)-f(a))/(x-a)表示函数的增量与自变量增量的比值。
导数可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。
2. 常见函数的导数公式对于一些常见的函数，我们可以通过求导公式来快速计算它们的导数。
以下是一些常见函数的导数公式：- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数；- 对数函数：(logₐx)' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；- 三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2(x)，其中x为弧度；- 反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)，其中x在定义域内。
通过这些导数公式，我们可以快速求解常见函数的导数，为后续的微分计算提供便利。
3. 导数运算法则在微分学中，导数具有一些基本的运算法则，可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。
- 常数倍法则：(cu)' = cu'，其中c为常数；- 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
新编高等数学第二版教材答案
新编高等数学第二版教材答案第一章：函数和极限1. 函数的概念和性质2. 极限的概念和性质3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小量5. 函数的连续性6. 一元函数的导数和微分第二章：一元函数的微分学1. 导数的定义和性质2. 导数的几何意义和物理意义3. 微分的概念和性质4. 微分中值定理5. 函数的高阶导数6. 复合函数的导数第三章：一元函数的积分学1. 不定积分和定积分的概念2. 基本积分公式3. 定积分性质和计算方法4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的几何意义和物理意义6. 定积分和不定积分的关系第四章：一元函数的应用1. 曲线的切线和法线2. 函数的单调性和凹凸性3. 函数的极值和最值4. 弧长和曲线的曲率5. 定积分的应用：面积和体积计算6. 微分方程的应用第五章：数列和级数1. 数列的概念和性质2. 数列的极限和收敛性3. 数列极限的运算法则4. 单调数列的性质5. 级数的概念和性质6. 常见级数的收敛性判别第六章：无穷级数1. 可数无穷集合和不可数无穷集合2. 数列极限存在准则3. 函数项级数的收敛性4. 幂级数的收敛性5. 傅里叶级数的收敛性6. 项级数的运算性质和收敛域第七章：多元函数的微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 多元复合函数的导数4. 隐函数的导数5. 方向导数和梯度6. 条件极值和拉格朗日乘子法第八章：多元函数的积分学1. 二重积分和三重积分的概念2. 二重积分和三重积分的性质3. 二重积分和三重积分的计算方法4. 广义积分的概念和性质5. 广义积分的收敛性判别6. 曲线积分和曲面积分第九章：多元函数的应用1. 向量场及其运算2. 向量场的散度和旋度3. 曲线、曲面的方程4. 曲线积分和曲面积分的应用5. 散度定理和高斯公式6. 斯托克斯公式及其应用第十章：常微分方程1. 方程的解和初值问题2. 一阶线性微分方程3. 二阶线性常系数齐次微分方程4. 二阶线性非齐次微分方程5. 微分方程的应用6. 线性微分方程组该教材答案包含了新编高等数学第二版教材中各个章节的题目答案，以方便学生们辅助学习和复习。
《高等数学(上册)》读书笔记思维导图PPT模板
0 1
第一节 导数的概 念及基本 求导公式
0 2
第二节 导数的计 算法则
0 3
第三节 微分的概 念与应用
0 4
第四节 微分中值 定理及其 应用
0 5
*第五节 泰勒中值 定理
0 6
第六节 函数的性 态与图形
第七节 微分学的 实际应用
本章小结
章节测试二 拓展阅读
第三章 一元函数积分学及其 应用
0 1
《高等数学（上册）》
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本
目录
01 第一章 函数、极限与 连续
03
第三章 一元函数积分 学及其应用
02
第二章 一元函数微分 学及其应用
04 第四章 微分方程来自本书是按照教育部大学数学教学指导委员会的基本要求，充分吸取当前高等数学教材的精华，并 结合数年 来的教学实践经验，针对当前学生的知识结构和习惯特点而编写的。全书分为上、下两册。本书 为上册，是一元 函数微积分部分，共四章，主要内容包括函数极限与连续，一元函数微分学及其应用，一 元函数积分学及其应用， 微分方程。每节前面配有课前导读，核心知识点配备微课，每章后面附有章节测 试和拓展阅读。 本书注重知识 点的引入方法，使之符合认知规律，更易于读者接受。同时，本书精炼了主要内容，适当 降低了学习难度，对部 分内容调整了顺序，使结构更加简洁，思路更加清晰。本书还注重知识的连贯性，例 题的多样性和习题的丰富性、 层次性，使读者在学习数学知识点的同时拓宽了视野，欣赏数学之美。 本书可作为高等院校理工科类各专业的教 材，也可作为社会从业人员的自学参考用书。
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读书笔记
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本
第一章 函数、极限与连续
数学分析教案
数学分析教案一、教案概述本教案是为高中数学分析课程编写的，旨在帮助学生掌握数学分析的基础知识和解题技巧。
通过系统的教学安排，结合生动的教学方法，提高学生的学习兴趣和主动性，达到有效教学的目的。
二、教学目标1. 知识与理解目标：- 掌握函数、极限、导数和积分等基本概念；- 理解数列、级数和函数收敛与发散的概念；- 理解函数的连续性和可导性。
2. 能力目标：- 能够正确运用函数的极限、导数和积分的计算方法；- 能够分析和解决实际问题；- 能够利用数学分析解决相关学科的问题。
3. 情感目标：- 培养学生对数学的兴趣和好奇心；- 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。
三、教学重难点1. 教学重点：- 函数、极限、导数和积分的基本概念和性质；- 极限运算法则、导数计算法则和积分计算法则的掌握。
2. 教学难点：- 函数连续性和可导性的理解和判断；- 极限的证明和应用。
四、教学内容和安排本教案共包括以下内容：1. 第一章函数与极限- 1.1 函数概念及其运算- 1.2 极限的概念与性质- 1.3 极限运算法则2. 第二章导数与微分- 2.1 导数的概念与计算- 2.2 导数的应用3. 第三章不定积分- 3.1 不定积分的概念与性质- 3.2 基本积分公式- 3.3 积分法与定积分4. 第四章一元函数微分学应用- 4.1 驻点与极值- 4.2 一元函数的应用问题五、教学方法与手段1. 讲授法：通过清晰的语言和具体的实例讲解基本概念和性质；2. 演示法：通过图像和图表等形式展示数学分析的过程和结果；3. 实践法：设置一些练习和问题让学生积极参与，提高实际运用能力。
六、课堂活动与作业安排1. 课堂活动：- 利用实例引出函数的概念和运算法则；- 通过图像展示极限的概念和性质；- 设计小组讨论活动，加深对导数和积分概念的理解。
2. 作业安排：- 预习下一课的内容，了解相关定义和性质；- 完成课后习题，巩固所学知识；- 复习已讲过的内容，加深理解。
高等数学一教材目录
高等数学一教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数轴1.2 函数的概念1.3 极限的引入1.4 极限的性质1.5 无穷小与无穷大1.6 极限存在准则1.7 极限运算法则第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的几何意义2.3 基本导数公式2.4 高阶导数2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与性质2.7 函数的增量与微分近似计算2.8 高阶导数的应用第三章：微分学基本定理3.1 角度的测量3.2 三角函数3.3 幂函数与指数函数3.4 对数函数与指数方程3.5 反函数与反三角函数3.6 复合函数的导数3.7 高阶导数的计算3.8 微分中值定理与导数的应用第四章：一元函数积分学4.1 不定积分的概念与性质4.2 不定积分的基本公式4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的基本公式4.5 牛顿-莱布尼茨公式4.6 反常积分4.7 积分中值定理与定积分的应用第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的极限5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的微分法则5.4 隐函数的导数5.5 多元复合函数的求导法则5.6 方向导数与梯度5.7 多元函数的极值5.8 多元函数的参数化曲线第六章：多元函数积分学6.1 二重积分6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用6.7 曲线与曲面积分6.8 曲线与曲面积分的计算方法6.9 曲线与曲面积分的应用第七章：无穷级数7.1 数列的极限7.2 数列极限的性质7.3 无穷级数的收敛与发散7.4 正项级数的审敛法7.5 幂级数与函数展开7.6 Taylor展开7.7 Fourier级数第八章：常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶常微分方程8.3 高阶常微分方程8.4 常系数线性齐次微分方程8.5 非齐次线性微分方程8.6 变量分离的微分方程8.7 常微分方程的应用这是《高等数学一》教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分学基本定理、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数和常微分方程等各个章节的主要内容。
一元函数微分学的应用最全版
第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.答：不成立.图像如下：习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1）11lim 21--→x x x ， （2）xxx sin lim 1→，（3）()πππ--→x x x sin lim ， （4）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解：(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限：（1）xx x +→0lim , （2）()xx x 11lim +→.解 ：(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解：()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题：1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.答：不成立.如下图：2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,上可导；（3）在区间[]b a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .需回答的问题：（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.答：不成立.如下图：（3）不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答：方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.答：如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题：讨论函数2e x y -=的单调性.解：函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题：1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为：)(x f 的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题：1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解：xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题：1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等.因为：曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率，为什么？答：不存在.因为曲率定义为：sk s ∆∆=→∆α0lim ，故可知曲率为非负的值.习作题：1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解：23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上，)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题：1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点，问： （1）()0x f 有无可能是()x f 的极值，为什么？ 答：可能.如：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.（2）()0x f '是否一定存在？为什么？画图说明答：不一定. 如31x y = 图像如右：()0,0点为曲线31x y =的拐点，但d d =x xy2. 根据下列条件，画曲线：(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.解：如下图.(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.解：如下图.(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.解：如下图.（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.解：如下图.习作题：1. 设水以常速s /m 3a （0>a ）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. （1）()x f '的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答：拐点横坐标为3x x =与4x x =. （2）在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解：()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题：(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？答：因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中，pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？答：平均成本()xxCxC=)(.(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22>t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22<>tut u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）.2. 一般情况下，对商品的需求量Q是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.答：需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d ⋅=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若>Ex EQ1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题：1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象.（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）,tu（2）边际成本c M =)('q C , 图像如下图（2）, （3）边际收入R M =)('q R , 图像如下图（3）.2. 求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=.(2)（2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
一元函数微分学的概念
常见的中值定理
柯西中值定理 泰勒中值定理
常见的中值定理
费马定理
通常作为小定理与其他的搭配使用
常见的中值定理
罗尔定理
通常等式较多，且给了函数值
常见的中值定理
拉格朗日中值定理
见到研究f和f`关系以及f-f的时候要考虑
常见的中值定理
柯西中值定理
通常会明显出现ln和分式
常见的中值定理
泰勒中值定理
隐函数
两边同时求导
1
多项相乘除
变成对数的加法好 解
3
幂指函数
5
2
反函数
一阶反函数求导简 单，要记好二阶反 函数求导的公式
4
参数求导
用公式即可
高阶求导
数学归纳法
熟练掌握高阶求导三部曲 先写通式
再写对应题目函数的具体展 开式
消除掉对应项 剩下的即是其高阶求导的结
果
12 43
把高阶求导的十个常见展开式背下 来
导数
导数的存在性
左导数=右导数
导数
常研究存在性的点
分段函数的分段点 抽象函数的特指点 抽象函数的泛指点 四则运算中的特殊点
导数
常见的几个不存在点
需要特殊注意分段点和带绝对值符号时候的0聆听
极坐标通常转换为
参数方程来进行处
3
理
隐函数
5
2
参数方程
4
分段函数
一元函数微分学的应用
物理应用
通常为求A对B的变化率问题，然后我们需要从A到B研究出一条可 导路径
03
中值定理
常见的中 值定理
0 1
连续函数的存 在性定理
0 4
费马定理
0 2
一元函数微分学及其应用(课件)
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
高等数学第七版教材答案
高等数学第七版教材答案注意：本答案仅供参考，请在自主学习过程中正确理解和使用。
第一章：数列与极限1.1 数列的概念与性质1.1.1 数列的定义数列是由一列数按特定次序排列而成的序列。
一般记作{an}，其中n代表序号，an为对应的数。
1.1.2 数列的性质数列可以是有穷的，即仅有有限个数。
也可以是无穷的，即有无限多个数。
1.2 数列的收敛性与极限1.2.1 收敛数列的概念如果数列{an}当n趋近于无穷时，其数值趋近于一个有限的常数a，则称数列{an}收敛于a。
记作lim(n->∞)an=a。
1.2.2 数列极限的性质（1）数列极限唯一性：如果数列{an}收敛，则其极限唯一。
（2）有界性原理：收敛数列是有界的，即存在一个正数M，使得对于所有的n，|an|≤M。
1.3 数列极限的判定方法1.3.1 夹逼准则如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n->∞)an=lim(n->∞)cn=a，那么lim(n->∞)bn=a。
1.3.2 单调有界准则对于数列{an}，如果它是单调递增且有上界（即存在一个数M，使得对于所有的n，an≤M），或者它是单调递减且有下界（即存在一个数N，使得对于所有的n，an≥N），那么它必定收敛。
第二章：一元函数的连续性与导数2.1 函数的连续性2.1.1 函数的连续性定义设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果lim(x->a)f(x)=f(a)，则称函数f(x)在点x=a处连续。
2.1.2 连续函数的性质（1）连续函数的四则运算与复合运算仍然是连续函数。
（2）有界闭区间上连续函数一定有最大值和最小值。
（3）介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)不等于f(b)，那么对于介于f(a)与f(b)之间的任意实数c，在[a, b]上必然存在一个点x0，使得f(x0)=c。
2.2 导数与可导性2.2.1 导函数的定义设函数f(x)在某一点x处有定义，如果函数f(x)在点x处的极限lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h存在，则称此极限为函数f(x)在点x处的导数。
高等数学南开大学教材
高等数学南开大学教材高等数学是一门重要的基础学科，为理工科学生提供了必要的数学工具和思维方法。
南开大学的高等数学教材是该领域的重要参考资料之一，以下是对其内容的简要介绍。
第一章：极限与连续这一章主要介绍数列的极限概念与性质，以及函数的极限和连续性。
其中包括各种常见函数的极限计算方法、级数的收敛性判断、函数连续性的定义和常用判定法等内容。
第二章：导数与微分该章节围绕函数的导数展开，介绍导数的定义、性质和计算方法。
其中包括基本初等函数的导数计算、复合函数求导法则、隐函数与参数方程的导数计算等内容。
同时还介绍了微分的概念及其应用，包括泰勒展开式和局部线性化等知识。
第三章：一元函数的高阶导数与微分这一章节进一步深入讨论了函数的高阶导数和微分，介绍了高阶导数的定义与计算、如何利用高阶导数判定函数的性质、泰勒公式的推广和误差估计等内容。
第四章：微分学的应用第四章主要介绍微分学在实际应用中的具体应用，包括曲线的凹凸性与拐点、函数的单调性与极值、附带条件的最大值和最小值等方面的内容。
此外，还介绍了微分中值定理、洛必达法则等重要的计算方法。
第五章：不定积分该章节讨论了不定积分的基本概念、性质和计算方法。
包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等内容。
此外，还介绍了定积分和不定积分之间的关系，以及微积分基本定理。
第六章：定积分与其应用第六章主要介绍定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法。
包括分段函数的积分、定积分与不定积分的关系、变限积分和面积计算等内容。
此外，还介绍了牛顿-莱布尼茨公式和定积分的物理应用。
第七章：多元函数的偏导数与全微分这一章节开始讨论多元函数的微积分，引入了偏导数和全微分的概念。
包括偏导数的定义、高阶偏导数的计算、全微分与方向导数的关系等内容。
同时还介绍了多元函数的极值和条件极值的判定方法。
第八章：多元函数的积分学该章节介绍了多元函数的重积分和曲线、曲面积分的概念。
包括二重积分和三重积分的计算方法、变量代换与极坐标系下的积分计算等内容。
高等数学all教材
高等数学all教材高等数学 All 教材高等数学是大学教育中的重要学科之一，主要包含微积分、线性代数和概率论等内容。
以下是对高等数学 All 教材的简要介绍和重要章节的概述。
第一章：极限与连续本章主要介绍极限和连续的概念，包含极限的定义、性质以及计算方法。
还探讨了函数的极限、无穷小量和无穷大量的关系。
此外，连续函数的基本性质和中值定理也是重要内容。
第二章：一元函数微分学这一章重点研究函数的导数及其应用。
涉及导数的基本概念、运算规则以及常见函数的导数。
同时探讨了微分中值定理和函数的凸凹性质。
第三章：一元函数积分学本章主要介绍函数的不定积分、定积分和定积分的计算方法。
还包括牛顿-莱布尼茨公式、微积分基本定理和变量替换法等内容。
此外，重要的积分方法如分部积分、换元积分法也是必学内容。
第四章：多元函数微分学这一章研究多元函数的偏导数、全微分和导数的应用。
重点介绍了二元函数的极值与条件极值、函数的隐函数和映射等。
第五章：重积分与曲线曲面积分本章主要涉及二重积分、三重积分以及曲线曲面积分的概念和计算方法。
包括重积分的性质、计算与应用、曲线曲面积分的定义和计算公式等内容。
第六章：常微分方程这一章重点研究常微分方程的基本概念、解的存在唯一性和解的性质。
涉及一阶常微分方程和二阶线性常微分方程的解法以及常系数线性微分方程组的解法。
第七章：无穷级数本章介绍无穷级数的概念、性质和收敛判定方法。
包括常见数项级数的判敛法则、幂级数的性质以及泰勒级数展开与应用等。
以上是对高等数学All 教材的概述。
这本教材内容丰富、重点明确，适合大学本科学习高等数学课程的学生使用。
它将为学生打下坚实的数学基础，为更深入的学习和应用数学奠定基础。
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04-第四章-一元函数微分学的应用第四章 微分学的应用一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要 1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle ）定理如果函数)(x f y =满足下列三个条件： ①在闭区间],[b a 上连续; ②在开区间),(b a 内可导; ③)()(b f a f =,则至少存在一点),,(b a ∈ξ使0)(='ξf .⑵ 拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数)(x f y =满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续； ②在开区间),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得,)()()(ab a f b f f --='ξ或))(()()(a b f a f b f -'=-ξ.⑶ 柯西（Cauchy ）中值定理如果函数)(x f 与)(x g 满足下列两个条件： ①在闭区间],[b a 上连续；②在开区间),(b a 内可导，且),(,0)(b a x x g ∈≠',则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--.2.洛必达法则 如果①,0)(lim 0=→x f x x 0)(lim 0=→x g xx ; ② 函数)(x f 与)(x g 在0x 某个邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；③),,()()(lim∞-+∞∞=''→或也可为为有限数A A x g x f x x ,则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00. 注意 上述定理对于∞→x 时的0型未定式同样适用,对于0x x →或∞→x 时的∞∞型未定式也有相应的法则.3. 函数的单调性定理设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，则有①若在),(b a 内0)(>'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调增加； ②若在),(b a 内0)(<'x f ，则函数)(x f 在],[b a 上单调减少. 4 . 函数的极值、极值点与驻点⑴ 极值的定义 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点)(0x x x ≠，都有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的极大值；如果对于该邻域内任一点)(0x x x ≠，都有)()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f 的极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点0x 称为函数)(x f 的极值点.⑵ 驻点 使0)(='x f 的点x 称为函数)(x f 的驻点. ⑶ 极值的必要条件 设函数)(x f 在0x 处可导，且在点0x 处取得极值，那么0)(0='x f .⑷ 极值第一充分条件设函数)(x f 在点0x 连续，在点0x 的某一去心邻域内的任一点x 处可导,当x 在该邻域内由小增大经过0x 时，如果①)(x f '由正变负，那么0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是)(x f 的极大值；②)(x f '由负变正，那么0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是)(x f 的极小值；③)(x f '不改变符号，那么0x 不是)(x f 的极值点. ⑸ 极值的第二充分条件设函数)(x f 在点0x 处有二阶导数，且()00='x f ，()00≠''x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点，)(0x f 为函数)(x f 的极值，且有①如果0)(0<''x f ，则)(x f 在点0x 处取得极大值； ②如果0)(0>''x f ，则)(x f 在点0x 处取得极小值. 5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6. 函数图形的凹、凸与拐点⑴曲线凹向定义 若在区间),(b a 内曲线)(x f y =各点的切线都位于该曲线的下方，则称此曲线在),(b a 内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线)(x f y =各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在),(b a 内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.⑵曲线凹向判定定理 设函数在区间),(b a 内具有二阶导数，① 如果在区间),(b a 内0)(>''x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是上凹的.② 如果在区间),(b a 内0)(<''x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是下凹的.⑶拐点 若连续曲线)(x f y =上的点),(00y x P 是曲线凹、凸部分的分界点，则称点P 是曲线)(x f y =的拐点.7. 曲线的渐近线⑴水平渐近线 若当∞→x (或+∞→x 或-∞→x )时，有b x f →)(（b 为常数），则称曲线)(x f y =有水平渐近线b y =.⑵垂直渐近线 若当a x →(或-→a x 或+→a x )（a 为常数）时，有∞→)(x f ，则称曲线)(x f y =有垂直渐近线ax =.⑶斜渐近线 若函数)(x f y =满足xx f a x )(lim∞→=，])([lim ax x f b x -=∞→(其中自变量的变化过程∞→x 可同时换成+∞→x 或-∞→x )，则称曲线)(x f y =有斜渐近线b ax y +=.二 、主要解题方法1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法 例1 求下列极限 （1）21cot limx x x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x xx x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim++∞→ 解 （1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为00型，用洛必达法则所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim2020-=-→→3sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换） 20cos sin cos lim3x x x x x x →--= 01sin lim 3x xx→-=31-=. （2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则所以 )e e ln()3ln(cos lim33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x 3e e lim e 1lim 3cos 333--⋅⋅=++→→x x x x xxx elim 3cos e 133+→⋅⋅=3cos = .（3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx x x x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =11011lim--→-+n x x nx=.01lim lim110=-=-++→+→nxn xnx x nx （5）此极限为∞∞型，用洛必达法则，得1sin 1limcos limxx x x x x -=++∞→+∞→不存在， 但 101cos 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x x xx x x x x x x . 小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点： （1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于00或∞∞未定型，若不是未定型，就不能使用法则；（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；（3）当)()(limx g x f ''不存在时，并不能断定)()(lim x g x f 也不存在，此时应使用其他方法求极限.2 . 单调性的判别与极限的求法 例2 试证当1≠x 时，x x e e >.证 令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='x x f .当1<x 时，e e )(-='x x f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即()(1)0.f x f >=当1>x 时，e e )(-='x x f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数，即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x x x x e e >.例 3 求函数344x x y -=的单调性与极值.解 函数的定义域为),(+∞-∞. )3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表x)0,(-∞ 0 )3,0( 3 ),3(+∞y '-0 - 0 +y极小由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 427)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值， ,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数)(x f ；利用导数判定)(x f 的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。