北师大版六年级下册几何奥数教程

合集下载

六(下)奥数第5讲~平面几何之曲线图形

六年级下册奥数第5讲~平面几何之曲线图形重点、难点1、圆与扇形的周长、面积求法2、弓形、谷子、弯角的面积求法教学内容【本讲说明】本讲内容属于几何专题中的必考题型，在历年升学考试中所占比例已达到30%-40%，在16年大桥，15年外国语，16年辅仁等试题中均有出现，主要以大题和操作题的形式考察。

每题的分值在8-10分左右。

本讲主要属于综合复习，对学生的综合要求以及几何思维能力要求较高，课前先复习一下知识点【课堂目标】本讲主要包含两大部分：1、掌握圆和扇形周长的相关题型；2、掌握圆和扇形面积的相关题型。

3、重点掌握圆和扇形与容斥定理相结合的题型。

知识点一：基本公式圆的周长 r C π2= 扇形的弧长3602N r l ⨯=π 扇形的周长l r C +=2 圆的面积2r S π= 扇形的面积3602N r S ⨯=π 知识点二：基本模型1、圆环的面积：()22r R -π2、弓形：222141r r ππ-3、谷子（也叫柳叶）：2221r r -π4、弯角形（也叫弯月）：2241r r π-5、方中圆、圆中方模型圆=2a π 圆=2a π 方=2422a a a =⨯ 方=()22222a a =÷ 方：圆=4：π 方：圆=2：π6、方圆套中套：大方是小方的2倍，大圆是中圆的2倍，中圆是小圆的2倍。

知识点三：圆和扇形周长的运用例1、如图所示的图形由1个大的半圆弧和6个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为1，则这个图形的周长是多少？（圆周率用π表示）练1、如图所示，已知米米，70120==BC AB ，从A 到C 有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短。

知识点四：圆和扇形面积例2、如图，ABC是等腰三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。

已知10AB，那么阴==BC 影部分的面积是多少？（圆周率取3.14）练2、如图所示，正方形ABCD和正方形CEFG并排放置，cm12=BC15=，，图中阴影部分的面cmCE积是多少？（保留π）例3、三角形ABC是直角三角形，阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积小252cm，cm=，求BC的长度。

北师大六年级同步奥数培优上课讲义

【知识概述】圆是由曲线围成的平面图形。

在日常生活和学习中我们经常会遇到与圆的周长和面积有关的问题。

圆的周长除以它的直径的商是一个固定不变的数，这个结果被称为“圆周率” 。

圆周率是一个无限不循环的小数，用字母“冗”表示，圆的周长 =圆周率X 直径，即C= π d 或C=2 冗r 。

圆的面积等于圆周率与半径平方的乘积，即 S= r 2。

下图圆的阴影部分是一个扇形，它的面积是一个圆的面积的四分之一，它的周长是圆周长的四分之一再加上两条半径的长。

【例题精学】例1:把4个啤酒瓶扎在一起（如图所示）捆 4圈至少用绳子多少厘米？（接头部分用去思路点拨：用绳子捆4圈的长度就是指周长的4倍。

这个图形的周长可分为两类：线段的长度和弧的长度。

而这四条弧正好可以拼成一个圆，每条线段的长正好是圆的直径的长。

所以绳子捆1圈的长度就是图中一个圆的周长加上 4条直径的长度之和。

【同步精炼】1、计算下雨中阴影部分的周长。

（单位：厘米）第一讲圆的周长与面积（一）15厘米）2、一个街心花园如下图的形状，中间正方形的边长是20米,四周为半圆形,这个街心花园的周长是多少米？3、在学校200米的跑道中，每条跑道宽1.2米.由于有弯道，为了公平，外道和内道选手的起跑线不在同一地点.如：A点处是小明的起跑线,B是小强的起跑线，AB两点的距离是？例2：如下图，从点A到点B沿着大圆走和沿着中，小圆周走的路程相同吗？思路点拨：从点A到点B有两种走法：第一种是大圆的周长的一半；第二种是由A到C的中圆周长的一半与C到B的小圆周长的一半的和。

设小圆的直径为a,中原的直径为b，则大圆的直径为a+b。

那么第一种走法的路程为C仁π a 2+ π b 2;第二种走法的路程为C2= π a 2+π b 2,所以C仁C2.【同步精炼】1、下图中，从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相同吗?2、已知AB=50cm求圆中各圆的周长总和。

3、已知一个大圆中紧紧的排列着三个半径不同的小3、下图中圆的面积等于长方形的面积，已知圆的周长是周长是多少厘米？36厘米，那么图中的阴影部分的圆（如图）,并且这四个圆的圆心恰好在同一条直线上。

六年级下册数学教案整理与复习《图形与几何》北师大版

六年级下册数学教案整理与复习《图形与几何》北师大版一、教学目标1. 让学生掌握《图形与几何》的基本概念、性质和公式，能够熟练运用。

2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。

3. 培养学生合作学习、自主探究的学习习惯，激发学生对数学学习的兴趣。

二、教学内容1. 图形：认识并掌握点、线、面、体等基本图形，了解它们之间的关系。

2. 几何图形的性质：学习并理解直线、射线、线段、角、多边形、圆等几何图形的性质。

3. 图形的变换：学习平移、旋转、轴对称等图形变换，理解其性质。

4. 图形与坐标：学习平面直角坐标系，理解坐标与图形之间的关系。

5. 图形与测量：学习图形的测量方法，理解面积、体积等概念。

三、教学重点与难点1. 重点：掌握图形的基本概念、性质和公式，能够熟练运用。

2. 难点：理解图形的变换性质，掌握图形与坐标的关系。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT、教学挂图、模型等。

2. 学具：练习本、草稿纸、直尺、圆规等。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，引导学生回顾已学的图形与几何知识，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：讲解图形与几何的基本概念、性质和公式，通过实例演示，让学生理解并掌握。

3. 练习：布置课堂练习，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

5. 作业布置：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、板书设计1. 《图形与几何》整理与复习2. 目录：教学目标、教学内容、教学重点与难点、教具与学具准备、教学过程、板书设计、作业设计、课后反思3. 根据教学内容，分模块设计板书，突出重点与难点。

七、作业设计1. 基础题：让学生巩固图形与几何的基本概念、性质和公式。

2. 提高题：让学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 拓展题：让学生探索图形与几何的奥秘，培养创新思维。

八、课后反思1. 教师要关注学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学效果。

重点关注的细节：教学过程教学过程是整个教案中最为关键的部分，它直接影响到学生对知识的掌握程度和教学目标的实现。

六(下)奥数第6讲~立体几何综合

六年级下册奥数第6讲~立体几何综合重点、难点1、长方体、正方体2、圆柱、圆锥3、综合问题教学内容【本讲说明】本讲内容属于几何专题。

几何部分在历年升学考试中所占比例已达到30%-40%，在16年大桥，15年外国语，16年辅仁等试题中均有出现，主要以大题和操作题的形式考察。

每题的分值在8-10分左右。

本讲主要属于综合复习，对学生的综合要求以及几何思维能力要求较高，其中涉及到转换法、数形结合等各类解题方法，以及两大柱体的综合题型，部分题目难度较大。

【课堂目标】本讲主要包含三大部分：1、长方体正方体2、圆柱圆锥3、综合问题。

难点在于基本图形与旋转相结合。

知识点一：长方体正方体（基本公式；染色问题；综合问题）1、有一个方体图形，从前面看从西面看拼成这个图形，最小要用_______块，最多用______块。

2、图1是一个正方体的展开图，图2的四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是____。

例1、【大桥】一个长方体体积462立方厘米，在表面上涂上一层油漆，并切成棱长1厘米的正方体若干，长宽高均为整数，这时三面都有油漆的正方体有86个，有两面油漆的正方体有多少个？练1、用1024个棱长是1的小正方体组成体积是1024的一个长方体，将这个长方体六个面都涂上颜色，则六个面都没有涂色的小正方体最多有多少个？例2、一堆黄土如图所示，已知A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，A处比B处高h是4米，现把A处的推向B处，使A、B两处同样高。

A处下降了多少？练2、有两个长方体水缸，甲水缸长4分米，宽3分米，高5分米；乙水缸长6分米，宽5分米，高7分米；两个水缸内的水高分别是2.5分米和6分米，乙倒一些水给甲，使两缸内的水一样高，求最后的水高。

知识点二：圆柱圆锥（表面积、体积公式；浸没问题）热身练习：【2016湖基】底面积为4平方厘米的圆柱切成4段，表面积增加__________。

例3、【辅仁】一棱长18厘米的圆柱形铅笔，底面直径是0.6厘米，把铅笔削高是2厘米的圆锥形后，铅笔的体积减少了多少立方厘米？（结果保留π）练3、【外国语】一个圆柱形水桶，里面盛有18升水，正好盛满，如果把一块与水桶等底等高的圆锥形实心铁块放入水中，桶内还有多少升水？例4、一个圆柱形的水池，底面半径为6厘米，高20厘米，里面存有半池水，将一个底面半径为4厘米，高1米的圆柱形竖直放入池中，水面会上升多少？练4、一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米。

【精品】北师大版小学六年级数学下册全册奥数知识点讲解试题附答案(全套共14套)

小学六年级下册数学奥数知识点讲解第1课《列方程解应用题》试题附答案
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第2课《关于取整计算》试题附答案
答案
六年级奥数下册：第二讲关于取整计算习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第3课《最短路线问题》试题附答案
答案
六年级奥数下册：第三讲最短路线问题习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第4课《奇妙的方格表》试题附答案
答案
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第5课《巧求面积》试题附答案
六年级奥数下册：第五讲巧求面积习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第6课《最大与最小问题》试题附答案
答案。

小学六年级奥数课件：几何部分教案共61页文档

小学六年级奥数课件：几何部分教案
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
61
45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

北师大版最新小学数学奥数基础教程(六年级)图文百度文库

一、拓展提优试题1．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲、乙的速度比是5：3．两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回．若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距千米．2．（15分）一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？3．若质数a，b满足5a+b＝2027，则a+b＝．4．若将算式9×8×7×6×5×4×3×2×1中的一些“×”改成“÷”使得最后的计算结果还是自然数，记为N，则N最小是．5．一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下部分的30%．若两次剪去的部分比余下的部分多0.4米，则这根绳子原来长米．6．根据图中的信息可知，这本故事书有页页．7．已知三个分数的和是，并且它们的分母相同，分子的比是2：3：4．那么，这三个分数中最大的是．8．在救灾捐款中，某公司有的人各捐200元，有的人各捐100元，其余人各捐50元．该公司人均捐款元．9．如图所示的“鱼”形图案中共有个三角形．10．甲挖一条水渠，第一天挖了水渠总长度的，第二天挖了剩下水渠长度的，第三天挖了未挖水渠长度的，第四天挖完剩下的100米水渠．那么，这条水渠长米．11．对于一个多边形，定义一种“生长”操作：如图1，将其一边AB变成向外凸的折线ACDEB，其中C和E是AB的三等分点，C，D，E三点可构成等边三角形，那么，一个边长是9的等边三角形，经过两次“生长”操作（如图2），得到的图形的周长是；经过四次“生长”操作，得到的图形的周长是．12．如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．13．能被5和6整除，并且数字中至少有一个6的三位数有个．14．小红买1支钢笔和3个笔记本共用了36.45元，其中每个笔记本售价的与每支钢笔的售价相等，则1支钢笔的售价是元．15．已知x是最简真分数，若它的分子加a，化简得；若它的分母加a，化简得，则x＝．16．张强晚上六点多外出锻炼身体，此时时针与分针的夹角是110°；回家时还未到七点，此时时针与分针的夹角仍是110°，则张强外出锻炼身体用了分钟．17．如图，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积分别为9，15和12，由第4个角上的小长方形的面积等于．18．某项工程，开始由6人用35天完成了全部工程的，此后，增加了6人一起来完成这项工程．则完成这项工程共用天．19．王老师开车从家出发去A地，去时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行驶速度提高20%；返回时，前的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程行程速度提高32%，结果返回时比去时少用31分钟，则王老师家与A地相距千米．20．如图，圆P的直径OA是圆O的半径，OA⊥BC，OA＝10，则阴影部分的面积是．（π取3）21．一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是．22．有一口无水的井，用一根绳子测井的深度，将绳对折后垂到井底，绳子的一端高出井口9m；将绳子三折后垂到井底，绳子的一端高出井口2m，则绳长米，井深米．23．张阿姨和李阿姨每月的工资相同，张阿姨每月把工资的30%存入银行，其余的钱用于日常开支，李阿姨每月的日常开支比张阿姨多10%，余下的钱也存入银行，这样过了一年，李阿姨发现，她12个月存入银行的总额比张阿姨少了5880元，则李阿姨的月工资是元．24．A，B两校的男、女生人数的比分别为8：7和30：31，两校合并后男、女生人数的比是27：26，则A，B两校合并前人数比是．25．有2013名学生参加数学竞赛，共有20道竞赛题，每个学生有基础分25分，此外，答对一题得3分，不答题得1分，答错一题扣1分，则所有参赛学生得分的总和是数（填“奇”或“偶”）．26．图中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE＝4m，点B 是AE的中点，那么阴影部分的周长是m，面积是m2（圆周率π取3）．27．有两辆火车，车长分别是125米和115米，车速分别是22米/秒和18米/秒，两车相向行驶，从两车车头相遇到车尾分开需要秒．28．老师让小明在400米的环形跑道上按照如下规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备面旗子．29．甲、乙、丙三人去郊游，甲买了9根火腿，乙买了6个面包，丙买了3瓶矿泉水，乙花的钱是甲的，丙花的钱是乙的，丙根据每人所花钱的多少拿出9元钱分给甲和乙，其中，分给甲元，分给乙元．30．（15分）欢欢、乐乐、洋洋参加希望之星决赛，有200位评委为他们投了票，每位评委只投一票．如果欢欢与乐乐所得票数的比是3：2，乐乐与洋洋所得票数的比是6：5，那么欢欢、乐乐、洋洋各得多少票？31．定义新运算“*”：a*b＝例如3.5*2＝3.5，1*1.2＝1.2，7*7＝1，则＝．32．如图1是一个正方体的展开图，图2的四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是．（填序号）33．图中的三角形的个数是．34．图中每一个圆的面积都是1平方厘米，则六瓣花形阴影部分的面积是平方厘米．35．早晨7点10分，妈妈叫醒小明，让他起床，可小明从镜子中看到的时刻还没有到起床的时刻，他对妈妈说：“还早呢！”小明误以为当时是点分．36．从五枚面值为1元的邮票和四枚面值为1.60元的邮票中任取一枚或若干枚，可组成不同的邮资种．37．从1，2，3，4，…，15，16这十六个自然数中，任取出n个数，其中必有这样的两个数：一个是另一个的3倍，则n最小是．38．某工程队修建一条铁路隧道，当完成任务的时，工程队采用新设备，使修建速度提高了20%，同时为了保养新设备，每天工作时间缩短为原来的，结果，前后共用185天完工，由以上条件可推知，如果不采用新设备，完工共需天．39．小强和小林共有邮票400多张，如果小强给小林一些邮票，小强的邮票就比小林的少；如果小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少，那么，小强原有227张邮票，小林原有张邮票．40．从1开始的n个连续的自然数，如果去掉其中的一个数后，余下的各个数的平均数是，那么去掉的数是．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：因为，甲乙的速度比为 5：3；总路程是：5+3＝8；第一次相遇时，两人一共行了AB两地的距离，其中甲行了全程的，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的，第二次相遇时，两人一共行了AB两地距离的3倍，则甲行了全程的＝，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的2﹣＝，所以，AB两地的距离为：50÷（）＝50÷＝100（千米）答：A、B两地相距100千米．故答案为：100．2．解：大正方体表面积：6×6×6＝216，体积是：6×6×6＝216，切割后小正方体表面积总和是：216×＝720，假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63﹣53）÷13＝91（个），这时表面积总和是：52×6+12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体．（1）同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，则解得：（2）棱长为3的小正方体要少于（6÷3）×（6÷3）×（6÷3）＝8个，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，化简：由上式可得：b＝9c+24，a＝，当c＝0时，b24＝，a＝24，当c＝1时，b＝33，a＝19.5，（不合题意舍去）当c＝2时，b＝42，a＝15，当c＝3时，b＝51，a＝10.5，（不合题意舍去）当c＝4时，b＝60，a＝6，当c＝5时，b＝69，a＝28.5，（不合题意舍去）当c＝6时，b＝78，a＝﹣3，（不合题意舍去）当c＝7时，a＝负数，（不合题意舍去）所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．3．解：依题意可知：两数字和为奇数，那么一定有一个偶数．偶质数是2．当b＝2时，5a+2＝2027，a＝405不符合题意．当a＝2时，10+b＝2027，b＝2017符合题意，a+b＝2+2017＝2019．故答案为：2019．4．解：根据分析，先分解质因数9＝3×3，8＝2×2×2，6＝2×3，故有：9×8×7×6×5×4×3×2×1＝（3×3）×（2×2×2）×7×（3×2）×5×（2×2）×3×2×1，所以可变换为：9×8×7÷6×5÷4÷3×2×1＝70，此时N最小，为70，故答案是：70．5．解：第二次剪求的占全长的：（1）×30%＝＝，0.4÷[（1）]＝0.4÷[]＝＝0.4×15＝6（米）；答：这根绳子原来长6米．故答案为：6．6．解：（10+5）÷（1﹣×2）＝15÷＝25（页）答：这本故事书有25页；故答案为：25．7．解：＝＝，答：这三个分数中最大的一个是．故答案为：．8．解：捐50元人数的分率为：1﹣＝，（200×+100×+50×）÷1＝（20+75+7.5）÷1＝102.5（元）答：该公司人均捐款102.5元．故答案为：102.5．9．解：由一个三角形组成：14个；由两个三角形组成：8个；由三个三角形组成：8个；由四个三角形组成：4个；由六个三角形组成：1个；总共：14+8+8+4+1＝35个．故共有35个三角形．故答案为：35．10．解：把这条水渠总长度看作单位“1”，则第一天挖的分率为，第二天挖的分率（1﹣）×＝，第三天挖的分率为（1﹣）×＝，100÷（（1﹣﹣﹣）＝100÷＝350（米）答：这条水渠长350米．故答案为：350．11．解：边长是9的等边三角形的周长是9×3＝27第一次“生长”，得到的图形的周长是：27×＝36第二次“生长”，得到的图形的周长是：36×＝48第三次“生长”，得到的图形的周长是：48×＝64第四次“生长”，得到的图形的周长是：64×＝＝85答：经过两次“生长”操作，得到的图形的周长是48，经过四次“生长”操作得到的图形的周长是85．故答案为：48，85．12．解：根据分析得出的规律我们可以得到：图⑩中有3+（4+6+8+10+12+14+16+18+20）＝3+（4+20）×9÷2＝111；故答案为：111．13．解：根据分析，分解质因数6＝2×3∴这个三位数能同时被2、3、5整除，而且数字中至少含有一个6∴这个三位数的个位数必须为偶数或0，因被5整除的数个位数必须是0或5，故个位数为0，设此三位数为，按题意a、b中至少有一个数字为6，①a＝6时，则6+b+0 是3的倍数，则b＝0，3，6，9，符合的三位数为：600、630、660、690②b＝6时，则6+a+0 是3的倍数，则a＝3，6，9，符合的三位数为：360、660、960综上所述，符合题意的三位数为：360、660、960、600、630、690故答案为：6．14．解：36.45÷（3+）＝36.45＝5.45.4×＝20.25（元）答：1支钢笔的售价是 20.25元．故答案为：20.25．15．解：设原来的分数x是，则：＝则：b＝3（c+a）＝3c+3a①＝则：4c＝a+b②①代入②可得：4c＝a+3c+3a4c＝4a+3c则：c＝4a③③代入①可得：b＝3c+3a＝3×4a+3a＝15a所以＝＝即x＝．故答案为：．16．解：依题意可知：分针开始落后时针共格；后来分针领先格，路程差为格．锻炼身体的时间为：＝40（分）；故答案为：40．17．解：如图，设D的面积为x，9：12＝15：x9x＝12×15x＝x＝20答：第4个角上的小长方形的面积等于20．故答案为：20．18．解：总工作量看做单位“1”．剩余工作量为1﹣＝，一个人的工作效率为÷6÷35，（1﹣）÷[÷6÷35×（6+6）]＝÷（÷6÷35×12）＝÷＝35（天）35+35＝70（天）答：完成这项工程共用70天．故答案为：70．19．解：已知去时的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50×（1+20%）＝50千米/小时；返回的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50×（1+32%）＝66千米/小时．设总路程为x千米，得：（x×+x×）﹣（x×+x×）＝x﹣x＝x＝x＝330答：王老师家与A地相距330千米．故答案为：330．20．解：3×102÷2﹣3×（10÷2）2＝3×100÷2﹣3×25＝150﹣75＝75答：阴影部分的面积是75．故答案为：75．21．解：商是10，除数最大是9，余数最大是8，9×10+8＝98；被除数最大是98．故答案为：98．22．解：（9×2﹣2×3）÷（3﹣2），＝（18﹣6）÷1，＝12÷1，＝12（米），（12+9）×2，＝21×2，＝42（米）．故答案为：42，12．23．解：（1﹣30%）×（1+10%）＝70%×110%，＝77%；5880÷12÷[30%﹣（1﹣77%）]＝490÷[30%﹣23%]，＝490÷7%，＝7000（元）．即李阿姨的月工资是 7000元．故答案为：7000．24．解：设A、B两校的男生、女生人数分别为8a、7a、30b、31b，由题意得：（8a+30b）：（7a+31b）＝27：26，27×（7a+31b）＝26×（8a+30b），189a+837b＝208a+780b，837b﹣780b＝208a﹣189a，57b＝19a，所以a＝3b，所以A、B两校合并前人数的比是：（8a+7a）：（30b+31b），＝15a：61b，＝45b：61b，＝（45b÷b）：（61b÷b）＝45：61；答：A，B两校合并前人数比是45：61．故答案为：45：61．25．解：每人答对x道，不答y道，答错z道题目，则显然x+y+z＝20，z＝20﹣x﹣y；所以一个学生得分是：25+3x+y﹣z，＝25+3x+y﹣（20﹣x﹣y），＝5+4x+2y；4x+2y显然是个偶数，而5+4x+2y的和一定是个奇数；2013个奇数相加的和仍是奇数．所以所有参赛学生得分的总和是奇数．故答案为：奇．26．解：阴影部分的周长：4+3×4×2÷4+3×2×2÷4，＝4+6+3，＝13（米）；阴影部分的面积：3×42÷4+3×22÷4﹣2×4，＝12+3﹣8，＝7（平方米）；答：阴影部分的周长是13米，面积是7平方米．故答案为：13、7．27．解：（125+115）÷（22+18）＝240÷40＝6（秒）；答：从两车头相遇到车尾分开需要6秒钟．故答案为：6．28．解：400和90的最小公倍数是3600，则3600÷90＝40（面）．答：小明要准备40面旗子．故答案为：40．29．解：丙花钱是甲的×＝甲：乙：丙＝1：：＝13：12：8（13+12+8）÷3＝11每份：9÷（11﹣8）＝3（元）甲：（13﹣11）×3＝6（元）乙：（12﹣11）×3＝3（元）答：分给甲6元，分给乙3元．故答案为：6，3．30．解：根据欢欢与乐乐所得票数的比是3：2，乐乐与洋洋所得票数的比是6：5，可以求出欢欢、乐乐、洋洋所得票数的比9：6：5，200×＝90（票）200×＝60（票）200×＝50（票）答：欢欢所得票数是90票，乐乐所得票数是60票，洋洋所得票数是50票．31．解：根据分析可得，，＝，＝2；故答案为：2．32．解：如图．图1是一个正方体的展开图，图2的四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是图2①；故答案为：①33．解：根据题干分析可得：10+10+10+5＝35（个），答：一共有35个三角形．故答案为：35．34．解：1×2＝2（平方厘米）；答：六瓣花形阴影部分的面积是2平方厘米．故答案为：2．35．解：早晨7点10分，分针指向2，时针指7、8之间，根据对称性可得：与4点50分时的指针指向成轴对称，故小明误以为是4点50分．故答案为：4，50．36．解：根据分析可得：6×5﹣1＝29（种）；答：可组成不同的邮资29种．故答案为：29．37．解：将有3倍关系的放入一组为：（1，3，9）、（2，6）、（4，12）、（5，15）共有4组，其余7个数每一个数为一组，即将这16个数可分为11组，．则第一组最多取2个即1和9，其余组最多取一个，即最多能取12个数保证没有一个数是另一个的三倍，此时只要再任取一个，即取12+1＝13个数必有一个数是另一个数的3倍．所以n最小是13．38．解：设计划用x天完成任务，那么原计划每天的工作效率是，提高后每天的工作效率是×（1+20%）＝×＝，前面完成工程的所用时间是天，提高工作效率后所用的实际是（185﹣）×天，所以，+（185﹣）××＝1，+（185﹣）××﹣＝1﹣，（185﹣）××＝，（185﹣）×÷＝÷，185﹣+＝x+，x÷＝185÷，x＝180，答：工程队原计划180天完成任务．故答案为：180．39．解：（1﹣）：1＝13：19，13+19＝32；1：（1﹣）＝17：11，17+11＝28，32与28的最小公倍数是224，小强和小林共有邮票400多张，所以共有224×2＝448张，448÷32×13＝182，448÷28×17＝272．小强：（182+272）÷2＝227张小林：448﹣227＝221．故答案为：227，221．40．解：设去掉的数是x，那么去掉一个数后的和是：（1+n）n÷2﹣x＝×（n﹣1）；显然，n﹣1是7的倍数；n＝8、15、22、29、36时，x均为负数，不符合题意．n＝43时，和为946，42×＝912，946﹣912＝34．n＝50时，和为1225，49×＝1064，1225﹣1064＝161＞50，不符合题意．答：去掉的数是34．故答案为：34．。

六年级奥数-第五讲[1].几何-立体部分.教师版.

第五讲几何——立体部分—、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形，八个顶点■十二条棱.cF①在六个面中，两个对面是全等的•即三组对面两两全等.(S 放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形•②长方体的表面积和体积的计算公式是:长方体的表面积：2( S ab be ca 二++长方体；长方体的体积:V abc =长方体.③正方体是各棱相等的长方体•它是长方体的特例，它的六个面都是正方形•如果它的棱长为a ，那么：26S a 二正方体，3V a 二正方体-例题精讲:2【解析】原正方体的表面积是4X 4X 6=96（平方厘米•每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又増加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分•总的来看■每一个面都増加了4个边长是1厘米的正方形.从而•它的表面积是：96+4x 6=120平方厘米【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积9一般从上下.左右.前后3个方向考虑•变化前后的表面积不变:50x 50x6=15000（平方厘米•【例3］下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞,接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞•第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1 2厘米•那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?【解析】我们仍然从3个方向考虑•平行于上下表面的各面面积之和: 2X2X2=8（平方厘米;左右方向.前后方向:2X2X4=16（平方厘米.lxlx4=4（平方厘米，1 2 XX 4=1（平方厘米.x4=（平方厘米•这个立体图形的表面积为:816++4+1+ 1429(平方厘米・【例4]-个正方体木块9棱长是1米■沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条■每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块,那么这24块长方体的表面积之和是多少?【解析】锯一次増加两个面•锯的总次数转化为增加的面数的公式为:锯的总次数X2二增加的面数•原正方体表面积:lx lx6=6(平方米L共锯了(2-1 +(3-1 +(4-1 =6次, 6+1 X I x2x6=18（平方米•【巩固】(2008年走美六年级初赛一个表面积为256cm的长方体如图切成27个小长方体•这27个小长方体表面积的和是2【解析J每一刀増加两个切面•增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2563168(cmx=・【例5］如图,25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体•表面积最小是多少?【解析J当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333X X的正方体时，表面积最小■现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木9或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54・【例6】要把12件同样的长Q、宽b.高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小,该如何打包？⑴当b=2h时•如何打包?⑵当b<2h时•如何打包?⑶当b:>2h时•如何打包?【解析】图2和图3正面的面积相同■侧面面积二正面周长X长方体长■所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2(b・2h・当b =2h时，图2和图3周长相等,可随意打包;当b <2h时，按图2打包;当b >2h 时，按图3打包【巩固】要把6件同样的长17.宽人高3的长方体物品拼装成一件大的长方体,表面积最小是多少？【解析】考虑所有的包装方法，因为6=I X2X3,所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1x1x6拼接•重叠面有三种选择•共3种包装方法•第二种按长宽高1x2x3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择•有2个长方体并列方向的重S面剩下2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034【例7】如图,在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体,求这个立体图形的表面积.【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩'‘的「压缩'‘后我们发现:小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起9正好是大正方体的上面•这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分:上下方向:大正方体的两个底面;四周方向（左右、前后方向：小正方体的四个侧面,大正方体的四个侧面•上下方向：55250xx=｛平方分米;侧面:554100xx=（平方分米,44464xx=｛平方分米.这个立体图形的表面积为:5010064214++=｛平方分米-【例8】（2008年“希望杯，，五年级第2试如图•棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米.5厘米的四个正方【解析】（法1四个正方体的表面积之和为：2(1235 6396234+++x=x=(平方厘米,重叠部分的面积为:22222222213(221 (321 (32139141440X + X+++++++=+++=(平方厘米，所以,所得到的多面体的表面积为:23440194-=（平方厘米.（法2三视图法•从前后面观察到的面积为22253238卄二平方厘米,从左右两个面观察到的面积为225334+二平方厘米•从上下能观察到的面积为2525二平方厘米•表面积为（3834252194++x=（平方厘米•【例9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形•，求这个立体图形的表面积.丿. 体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是平方厘米.二葺丿.r~h【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示•因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2+个左面2+个前面•上表面的面积为:9平方厘米，左表面的面积为:8平方厘米，前表面的面积为:iO平方厘米.因此，这个立体图形的总表面积为:(9810254++x=(平方厘米・上下面左右面前后面【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【解析】该图形的上.左、前三个方向的表面分别由9、7. 7块正方形组成.该图形的表面积等于（977 246卄X二个小正方形的面积•所以该图形表面积为46 平方厘米.【例10］有30个边长为1米的正方体•在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色•求被涂成红色的表面积.【解析】44( 1234 456x ++++ x =(平方米•【例11】棱长是m厘米（m为整数的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体•至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为!3订2,此时m的最小值是多少？【解析】切割成棱长是I厘米的小正方体共有3m个,由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为13:12而131225+m所以小正方体的总数是25的倍数即3m是25 的倍数，那么m是5的倍数.当5m =时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面.上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265x+xx=个,表面没有红色的小正方体有1256560•二个,个数比恰好是13:12,符合题意•因此m的最小值是5.【例12】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体•其中34个为白色的,30个为黑色的现将它们拼成-个444X X的大正方体•在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多•相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来.在整个大正方体中,没有露在表面的小正方体有3（42 &=（个，用黑色的;在面上但不在边上的小正方体有2（42 624-x=（个，其中30822-=个用黑色.这样•在表面的44696X "个H X的正方形中，有22个是黑色.962274=（个是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米9每个长方体相交于个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色■-个涂一面，一个涂两面，一个涂三面•涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析J每个长方体的棱长和是288396十二厘米，所以■每个长方体长、宽.高的和是96424=厘米因为9每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数•所以•每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米.7厘米.要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少.所以，涂一面的长方体应涂一个87x面■有8756X =个;涂两面的长方体,若两面不相邻■应涂两个87x面,有872112x X二个；若两面相邻，应涂一个87x面和一个97x面,此时有(7892105x+-=个, 所以涂两面的最少有105个；涂三面的长方体9若三面不两两相邻，应涂两个87x面.一个97x面9有(78894147 x++-=个；若三面两两相邻•有((((((718171918191146-x-+-x-+-x-=个■所以涂三面的最少有146个.那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56105146307++=个.【例14］把一个大长方体木块表面上涂满红色后•分割成若干个同样大小的小正方体•其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块,那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】设小正方体的棱长为1•考虑两种不同的情况•一种是长方体的长.宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况.当长方体的长、宽.高中有一个是1时■分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些.因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100a b二X,那么分成的小正方体个数为((((221242104a b ab a b a b +x+x二+++=++,为了使小正方体的个数尽量少■应使(a b + 最小，而两数之积一定•差越小积越小,所以当10a b =时它们的和最小，此时共有((102102144+X +二个小正方体.当长方体的长、宽、高都大于I时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331++X二.由于三个数的和一定,差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少,应该令312227=++,此时共有2227I08xx=个小正方体.因为108144<,所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体.【例15】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形•用红、黄.蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色•那么•用红色染的正方形最多有多少个?【解析】一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图•因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对•所以至多有两个面可以染成5个红色方格.红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图•因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格.最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图•所以，红色方格最多有52422222X +X +X二（个.（另解事实上上述的解法并不严密,“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢?”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值.对于同一个平面上的格网,如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色•但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：⑴如图,每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色.⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环, 这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色（如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之:先去掉一个白格、剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉,必然有一个抽屉中有两个红色方格，像这样的环，在正方体表面最多能找129到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道，涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色•⑶剩下6338392I2xx-x-x=个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色.综上所述.能被染成红色的方格最多能有88622++二个格子能染成红色.第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况.【例16】一个长、宽.高分别为21厘米.15厘米.12厘米的长方形•现从它的上面尽可能大的切下一个正方体•然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体•最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体•剩下的体积是多少立方厘米？【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长•由于21:15:127:5:4=,为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754»,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求・那么对于原长方体来说•三次切下的正方体的棱长分别是12厘米.9厘米和6厘米,所以剩下的体积应是：（33321I5I2I296I107xx-++=｛立方厘米.1299663 454 12126312【例17】有黑白两种颜色的正方体积木•把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面的积木颜色不同，标A 的为黑色,图中共有黑色积木多少块?【解析】分层来看,如下图（切面平行于纸面共有黑色积木17块【巩固】这个图形•是否能够由112XX 的长方体搭构而成？【解析】每一个H2X X 的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块,所以该图形不能够由112X X 的长方体搭构而成・【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字（不同的立方体可以写相同的数字先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻（见左下图.依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少？232311【解析】第一层如下图•第二层.第三层依次比上面一层每格都多1（见下图.76543565第三层65432第二层第一层34323454 2345上面的9个数之和是27•由对称性知，上面、前面.右面的所有数之和都是27・同理,下面的9个数之和是45,下面.左面.后面的所有数之和都是45•所以六个面上所有数之和是(2745 3216+x=.【例18] (05年武汉明心杯数学挑战赛如图所示，一个555X X 的立方体,在一个方向上开有115x X 的孔，在另一个方向上开有215X X 的孔•在第三个方向上开有315X X 的孔，剩余部分的体积是多少?表面积为多少？【解析】求体积:开了 315x X 的孔■挖去31515X x=,开了 115xx 的孔■挖去11514xx ・=;开了215X X 的孔，挖去 215(22 6xx-+=,剩余部分的体积&555(1546 lOOx x ・++二.(另解将整个图形切片•如果切面平行于纸面■那么五个切片分别如图:得到总体积为:22412100x+=求表面积:表面积可以看成外部和内部两部分•外部的表面积为556I2138X 内部的面积可以分为前后、左右.上下三个方向，面积分别为（22515121320X x+x-x-x=.(2153513132* x + x-x-=(2I5I511214x x + x-x-=,所以总的表面积为13820321+++=.（另解运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32总表面积为（2323040204x++=・【总结】“切片法J全面打洞（例如本题，五层一样，挖块成线（例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖，这里体现的思想方法是:化整为零•有序思考！【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的.其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分•请问剩下的部分共有多少个小正方体？【解析J对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的，然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目、最后再把它们相加.采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下,其中黑色部分表示挖除掉的部分.第3层从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个.11个.11个.6个、22个，所以总共还剩下22111162272++++=（个小正方体.【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方【解析】解法一：（用'喀斥原理"来解由正面图形抽出的小正方体有5525X二个，由侧面图形抽出的小正方体有5525X二个，由底面图形抽出的小正方体有4520X二个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228x + x + x=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227X + X二个,底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227x + x + e个,三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个•根据容斥原理■252520877452++"=＞所以共抽出了52个小正方体・1255273•三所以右图中剩下的小正方体有73个.注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个,必须知道是哪4块■这是最让人头疼的事.但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型9再由第三个方向来穿过“花墙".这里，化虚为实的思想方法很重要.解法二:（用“切片法"来解可以从上到下切五层，得:⑴从上到下五层,如图:⑵或者•从右到左五片,如图:请注意这里的挖空的技巧是:先认一种方向.比如:从上到下的每一层•首先都应该有第一层的空四块的情况•即如果挖第二层:第(1步,把中间这些位置的四块挖走如图:第(2步•把从右向左的两块成线地挖走•(请注意挖通的效果就是成线挖去,如图:第(3步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块!挖成线!如图:【例19】(2009年迎春杯高年级组复赛右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形,(5)⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍/7)(8)(9)(10)是同样的等腰直角三角形,(11) 是正方形.那么，以⑸⑹⑺⑻⑼(10)(11)为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍.(11)CIO)(7) (6)【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图9将它们还原成立体图形, 可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形,是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼（10）（11）为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是（11）•四个侧面是（7X8X9X10）,两个斜面是⑸⑹.对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求,也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分.由于左图四个面都是正三角形9右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套•对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到（如下左图, 切去 1 ABDA . 1CBDC . 11 ID A C D、IIIB ACB；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到（如下右图，切去1BACB ,1DACD ・假设左图中的立方体的棱长为。

六年级奥数第四讲[1].几何平面部分.教师版 2

六年级奥数第四讲[1].几何平面部分.教师版 2六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分.教师版2小学六年级数学奥林匹克竞赛第四讲平面几何部分知识指针一、等积模型① 两个底边和高度相等的三角形的面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图s1:s2?a:b③ 夹在一组平行线之间的等轴测变形，如右图s所示△ acds1as2bab？s△bcd反之，如果s△acd?s△bcd，则可知直线ab平行于cd．光盘④ 两个底边和高度相等的平行四边形具有相等的面积（矩形和正方形可以视为特殊的平行四边形）；⑤ 三角形的面积等于平行四边形面积的一半，其底边和高度与三角形相同；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形的角度相等或互补。

这两个三角形称为公共角三角形。

公角三角形的面积比等于相应角（等角或互补角）两侧乘积的比如图在△abc中，d,e分别是ab,ac上的点如图⑴(或d在ba的延长线上，e在ac上)，则s△abc:s△ade?(ab?ac):(ad?ae)达代布图⑴图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①s1:s2？S4:S3还是S1？s3？s2？s4②ao:oc？？s1？s2？：？s4？s3？cbcdas1s2蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造O模型，一方面可以将不规则四边形的面积关系与四边形中的三角形连接起来；s3另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．B梯形中的比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：aad① S1:S3？a2:b2s1s2s4②s1:s3:s2:s4？a2:b2:ab:abo2③s的对应份数为?a?b?．s3cbb四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型S4C第1页共25页小学六年级数学奥林匹克竞赛aeafddb①fgecbgcadaedeaf ABACBCA22②s△艾德：是的△abc？af:ag。

(2021年整理)六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版

（完整）六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版的全部内容。

第四讲平面几何部分教学目标：1．熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比; 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角）两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”）：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理"): ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =;③S 的对应份数为()2a b +．baS 2S 1D C BA S 4S 3S 2S 1O DCB A A BCD O ba S 3S 2S 1S 4四、相似模型（一）金字塔模型（二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似）,与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC 中,AD ，BE ,CF 相交于同一点O ,那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。

北师大小学数学六下《5 图形与几何》word教案

六年级数学总复习——空间与图形模块
线
两条直线的位置关系:
垂线的画法： 1）过直线上一点画这条直线的垂线。

2）过直线外一点画这条直线的垂线。

（引出高线的做法）
画平行线的步骤是：
（1）固定三角板，沿一条直角边先画一条直线；
（2）用直尺紧靠三角板的另一条直线边，固定直尺然后平移三角板；
（3）再沿一条直角边画出另一条直线；
角
角的概念：从一点引出的两条射线所组成的图形。

边
顶点）
边
度量角大小的工具：量角器；
计量角大小的单位：度用“○”表示，如90○
角的大小与两条边张开的大小有关，与边的长短无关。

怎样画角：
步骤如下：
（1）画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；（2）在量角器所取刻度线的地方点一个点；
（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。

怎样量角：
先把量角器放在角上面，使量角器的中心点和角的顶点重合，再把零刻度线和角的一条边重合，最后看角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。

角的分类
平面图形
按角分：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形
等腰三角形：有两条边相等的三角形，两个底角相等，有一条对称轴。

等边三角形：三条边都相等的三角形，三个角都相等，都是60○，有三条对称轴。

（等边三角形是特殊的等腰三角形）不等边三角形：三条边都不相等的三角形
等腰直角三角形：一个角90○，另外两个角各为45○
立体图形。

小学六年级奥数教案几何类

小学六年级奥数教案：图形面积简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4= 16(格);右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5= 15(格).上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2= 10(格);右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2=8(格).这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3= 15(格);右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是(4+7)×4÷2=22(格).上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底×高÷2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角形ABD面积=4×高÷2.三角形 ADC面积=2×高÷2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解： BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面积= 8× 4÷2=16.我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形 DFE面积= 16÷4=4.例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FE×BE÷2，它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是20×12÷2=120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少?解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此面积=4×10÷2= 20.对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此面积=7×8÷2=28.四边形 ABCD面积= 20+ 28= 48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE=3，DF=2，求三角形BEF的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形 ABE面积=3×6×2= 9.三角形 BCF面积= 6×(6-2)÷2= 12.三角形 DEF面积=2×(6-3)÷2= 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形 BEF面积=6×6-9-12-3=12.例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD(阴影部分)的面积.解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE 与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD 的面积.把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2=7.因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2=3.5.因为 BE= 8是 CE= 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是3.5×4=14.长方形 ABCD面积=7×(8+2)=70.四边形 ABMD面积=70-7- 14= 49.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角(90度)，还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图(a).四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图(b).一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图(a)知，它的面积是直角边长的平方÷2.当知道它的斜边长，从图(b)知，它的面积是斜边的平方÷4例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2=32.这一个图形的面积是32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63.例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少?解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.三角形ABC的面积=2×2÷2=2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2=4.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2=1.阴影部分的总面积是 4+1=5.例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7，BC=3，三个角的度数：角 B 和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45°，角D是90°，角E是180°-45°-90°= 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即7×7÷2-3×3÷2=20.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45°，这一条件还用得上吗?图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对)，每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽 =15-11=4是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-4×2=3.中间小正方形面积=3×3= 9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地(见图)，剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们已知道长-宽=1(米).还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.现在，我们就可以算出大正方形面积：15.75×4+1×1= 64(平方米).64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的长+宽=8(米).因此长=(8+1)÷2= 4.5(米).宽=8-4.5=3.5(米).那么划出的长方形面积是4.5×1=4. 5(平方米).例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG(阴影部分)的面积.解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四边形AECD面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=(小正方形边长+大正方形边长)，因此三角形ADG面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有阴影部分面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半= 6×6÷2=18.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形(如右图)，求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是4×4-3-5-1.5=6.5.例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此三角形AEF面积=(三角形 AEB面积)-(三角形 AFB面积)=8×6÷2-4×8÷2= 8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积(阴影部分)有多大?解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上(如前页右图)，草地部分面积(阴影部分)还是与原来一样大小，因此草地面积=(16-2)×(10-2)= 112.例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于梯形 ABCD面积=(8+8-3)×5÷2= 32.5.上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB，BD都等于 4.求这个图形的面积.解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=(3+3+3)×4÷2=18.三角形CDE面积=(4+4)× 3÷2=12.这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.因为 AF= FE= EC=3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.因为CB=BD=4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.2×三角形DEC面积= 2×2×(三角形 GBC面积)+2×(三角形 GCE面积).三角形ABC面积= (三角形 GBC面积)+3×(三角形GCE面积).四边形BCEG面积=(三角形GBC面积)+(三角形GCE面积)=(2×12+18)÷5=8.4.所求图形面积=12+ 18- 8.4=21.6.例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.(三角形BCM面积)-(三角形DEM面积)=(梯形ABEF面积)-(两个长方形面积之和=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)=3.例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少?解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此(三角形 ABC面积)+(三角形CDE面积)+(13+49+35)=(长方形面积)+(阴影部分面积).三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽;三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有阴影部分面积=13 + 49+ 35= 97.1.甲、乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段后，每小时加速15千米，共用了7小时到达乙地。