数学知识点人教A版数学必修一《1.3《函数的基本性质》函数的单调性(一)》教案-总结
高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质
高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质1．高中数学必修一函数的基本性质——函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零;(2) 偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数必须大于零;(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)值域补充( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. ( 2 ) . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3. 高中数学必修一函数的基本性质——函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y) 的集合C ，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x ，y) 均满足函数关系y=f(x) ，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y) ，均在C 上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线( 或直线), 也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。
新课标人教版高中数学必修一 1.3函数的基本性质 教学设计
1.3 函数的基本性质[教学目标]1．理解函数的单调性，初步掌握函数单调性的判别方法．2．理解函数的最大值、最小值及其几何意义．3．结合具体函数了解奇偶性的含义．4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．[教学要求]讨论函数的基本性质，就是要研究函数的重要特征：函数的增与减，最大值与最小值，增长率与衰减率，增长（减少）的快与慢，对称性（奇偶性），函数的零点，函数值的循环往复（周期性）等．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．[教学重点]函数的单调性的概念；判断、证明函数的单调性；形成奇偶性的定义．[教学难点]1．函数的单调性和奇偶性定义的形式化表达．2．利用增（减）函数的定义判断函数的单调性．[教学时数]3课时[教学过程]第一课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的单调性新课导入一、情景问题如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32︒C ），观察这张气温变化图：问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？由“函数在某个区间内随着自变量的增加函数值增大或减小”引入课题——函数的单调性．二、观察函数图象，认识“上升”与 “下降”请同学们画出函数x x f =)(和2)(x x f =的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法．（呈现这两个函数的图象，课本第27页图）可观察到的图象特征：（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．新课进展一、函数的单调性1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．课堂练习请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．2．增函数和减函数的定义设函数)(x f 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．（2）请你仿照增函数的定义给出函数)(x f 在区间D 上是减函数的定义．如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数（decreasing function ）．3．对定义要点分析问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？（2）你能分析一下减函数定义的要点吗？引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间D 上的任意两个自变量都有…”的含义．课堂例题例1 （课本第29页例1）课堂练习课本第39页习题1.3A 组第4题．课本第32页练习第1、2、3题．课堂例题例2 （课本第29页例2）课堂练习课本第32页练习第4题．4．本课小结（1）增减函数的图象有什么特点？增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的．（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小．（3）如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第1、2、3题．课本第44页复习参考题A 组第9题．第二课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的最大（小）值复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：如何判断函数的单调性？观察上节课例1中的图象（课本第29页），发现，函数图象在2-=x 时，其函数值最小，而在1=x 时，其函数值最大．函数2)(x x f =的图象有一个最低点)0,0(，函数2)(x x f -=的图象有一个最高点)0,0(，而函数x x f =)(的图象没有最低点，也没有最高点．新课进展二、函数的最大（小）值1．函数的最大（小）值的定义设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值(maximum value)．请你仿照函数最大值的定义，给出函数)(x f y =的最小值的定义．设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≥)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最小值(minimum value)．课堂例题例1 （课本第30页例3）说明：本例题是一个实际应用题，教学时应让学生体会问题的实际意义．例2 （课本第30页例4）说明：本例题表明，高一阶段利用函数的单调性求函数的最大（小）值是常用的方法．通过本例题的教学，再一次让学生体会用函数的单调性定义证明函数的单调性的方法．课堂练习课本第32页练习第5题2．函数的最大（小）值与单调性的关系从上面的例题可以看到，函数的最大（小）值与单调性有非常紧密的关系．我们再看一个例子．例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：(1) 若函数()y f x =的定义域为[],x b e ∈，求最大值和最小值；(2) 若函数()y f x =的定义域为[],x a e ∈，求最大值和最小值；(3) 若函数()y f x =的定义域为[),x b d ∈，求最大值和最小值；解：(1)在定义域[],b e 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f e f c <，则函数()y f x =在[],b e 上的最大值为()f c ，最小值为()f d ；(2) 在定义域[],a e 上，函数()y f x =在区间[],a c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f a f d <，则函数()y f x =在[],a e 上的最大值为()f c ，最小值为()f a ；(3) 在定义域[),b d 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[),c d 上是减函数， 由于函数在x d =处没有定义，则函数()y f x =在[),b d 上的最大值为()f c ，没有最小值．思考：为什么要讨论)()(c f e f <？说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值．3．本课小结函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值．4．布置作业课本第39页习题1.3A 组第5题；课本第39页习题1.3B 组第1、2题第三课时1.3.2 奇偶性创设情景，导入新课从对称的角度，观察下列函数的图象： 函数2()1,().f x x g x x =+=这两个函数图象有什么共同的特征?请列出从-3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？讨论结果：当自变量取值互为相反数时，函数值恰相等．反映在图象上，函数图象关于y 轴对称．新课进展三、函数的奇偶性1．偶函数如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=那么函数()f x 就叫做偶函数(even function)．定义域关于坐标原点对称．请你举出偶函数的例子．2)(x x f =，21)(xx f =等等． 2．奇函数 观察函数x x f =)(和x x f 1)(=的图象，说一说这两个函数有什么共同特征？（1）图象看，它们都是关于坐标原点成中心对称；（2）从定义域看，它们的定义域都是关于坐标原点对称；（3）从函数值看，x 与x -的函数值的绝对值相等且符号相反．如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=-则函数()f x 叫做奇函数(old function)．请你举出奇函数的例子．3．函数的奇偶性奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性．（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．课堂例题例1 （课本第35页例5）课堂练习课本第36页练习第1（1）——（4）、第2题．4．本课小结本节课学习了函数的奇偶性及其判断方法．我们可以把对称性和奇偶性结合起来思考． 定义域具有对称性，函数值具有对称性，图象具有对称性．由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第6题，B 组第3题．课本第44页复习参考题A 组第10题．补充：1．已知2(),f x ax bx cx =++∈R 是偶函数，那么32()g x ax bx cx =++是( )．(A)偶函数 (B)奇函数(C)既奇又偶函数 (D)非奇非偶函数 2． 已知函数1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩试判断并证明它的奇偶性．。
人教版高中数学必修1(A版) 1.3.1 函数的基本性质-单调性与最值 PPT课件
课后思考:函数y=f(x)在区间D上具有 单调性,那么在区间D的子区间(即区 间D的子集)上是否具有相同的单调 性?
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二、自主学习
自学辅导教材50页§1.3.1 时间20分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
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三、教师点拨 y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
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yx
2
f (x1 )
O
x1
x
函数f(x)=x2在区间[0,+∞)上,随着x的增大,相应 的f(x)值也随着增大 在区间(-∞,0)上,随着x的增大,相应的f(x) 值反而随着减小.
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三、教师点拨
如何利用函数解析式y=f(x)描述 “随着x的增大，相应的f（x）随着 减小”，“随着x的增大，相应的f （x）也随着增大”？
标题
§1.3.1函数的基本性质—单调性
§1.3.1函数的基本性质——单调性
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
大家是否记得这样精彩的瞬间：烟花在绽放 的刹那、高台跳水运动员纵身起跳至入水的 一瞬、陨星划过长空坠落的时刻，上述场景 多么美丽壮观啊！让我们闭上眼睛想一想： 烟花绽放后的轨迹、运动员跳入水中的过程 的身影、陨星坠落的弧线，这些曲线有的上 升、有的下降，这与我们研究的函数的单调 性有关．
自变量的值x x2 , 当x1 x 2时,都有f x1 f x2 1,
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.1 第一课时 函数的单调性
二、应用性——强调学以致用
2.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水，且任意相等的时间间隔内
所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为
y＝f(t)，则以下函数图象中，可能是y＝f(t)的图象是
()
解析：向圆台形容器(下底比上底直径小)注水，由题意知是匀速注水，容 器内水面的高度y随时间t的增加而增加，但越往上直径越大，故高度升高 得越来越慢．故选D.
因为 x1，x2∈(－∞，－2)，且 x1＜x2， 所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x－1 a－x2x－2 a＝x1a－xa2－xx2－1 a. 因为 a＞0，x2－x1＞0，又由题意知 f(x1)－f(x2)＞0， 所以(x1－a)(x2－a)＞0 恒成立，所以 a≤1， 即 0＜a≤1，所以 a 的取值范围为(0,1]．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
【对点练清】
1．函数f(x)是R上的增函数且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则
A．a＞b＞0
B．a－b＞0
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
解析：当a＋b＞0时，a＞－b，b＞－a.
∵函数f(x)是R上的增函数，
2019-2020学年高中人教A版数学必修1课件：1-3-1-1 函数的单调性
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不 能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接，如函数 y ＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能 认为 y＝1x(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
第十三页，编辑于星期日：点 十二分。
象是上升的还是下降的：_上__升__的___. ②在区间__(－__∞__，__＋__∞__)__上，随着 x 的增大，f(x)的值
__增__大____，在此区间上函数是增函数还是减函数：_增___函__数__.
第九页，编辑于星期日：点 十二分。
(3)已知函数 f(x)＝－2x＋1 的图象如图 2 所示，①从左
由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋ ∞)．
第二十一页，编辑于星期日：点 十二分。
拓展提升 常用画图象求单调区间
(1)对于初等函数y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝kx单调 区间的确定，常借助于函数图象直接写出．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处 理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性 (区间)．
第三十八页，编辑于星期日：点 十二分。
3．函数 y＝f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)，
则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
(2)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]． 又∵已知 f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴1－a≥4，即 a≤－3. ∴所求实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
人教版高中数学必修1《函数单调性》说
例3
证明函数f(x)=
1 x
在(0,+ )上是减函数.
证明：设x1,x2,是(0,+ )上的任意两个实数，且x1<x2，
1
则f(x1)－f(x2)= x 1
1
－x 2
x2 x1
= x1x2
由x1,x2∈(0,+ )，得 x 1 x 2 >0,
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
x （-∞，0]上 f ( x )随 的增大而减小 x [0，+∞）上 f ( x )随 的增大而增大
单调递增：
任意x1,x2在区间I上， 且x1< x2
都有f(x1)<f(x2)
单调递减：
任意x1,x2在区间I上， 且x1< x2
都有f(x1) > f(x2)
问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内 “随着时间的增大气温逐渐升高”这一 特征？
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
x
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
Ox
x
y
f (x) x2
f (x)
f(x)在I上单调递增， I为增区间(图像：上升)
f(x)在I上单调递减， I为减区间(图像：下降)
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数
高一数学1.3.1《函数的单调性》教案（新人教A版必修1）
⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。
2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
高中数学《函数的单调性》教学设计 新人教A必修1
《函数的单调性》教学设计一、设计理念：1、重视数学概念、公式的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力2、重视学生的学习过程，在教学中注重培养学生独立思考、相互交流、合作探究的能力3、重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中要体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质二、设计思路：1、以函数的单调性的概念为主线，贯穿于整个教学过程中对函数单调性概念的深入而准确的认识往往是学生认知过程的难点。
因此在教学中突出对概念的分析一方面是为了分析函数单调性的定义，另一方面让学生掌握如何学会、弄懂一个概念的方法，也为今后对其他数学概念的学习有所帮助。
使用单调性的定义证明具体函数的单调性是教学中的又是一个难点。
使用单调性的定义证明具体函数的单调性是对单调性定义的深层理解，给出“作差、变形、定号”的具体步骤是非常必要的，一方面是有利于学生理解函数单调性的概念；另一方面有利于学生掌握证明方法、形成证明思路。
另外也为今后学习不等式证明中的作差法做一定的铺垫。
2、加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象、由特殊到一般的数学思维能力的培养始终贯穿于函数单调性概念教学过程中函数单调性的研究方法很具有典型性，体现了对函数研究的一般方法。
在函数单调性的教学中要引导学生逐步学会“直观感受---定性描述---定量刻画---具体应用”的探究方法，这样一方面为了便于对单调性概念有更好地理解，同时也为今后学习函数的其他概念和性质提供一定的参考方法。
3、在单调性概念的教学与研究中要体现出单调性是函数的一个局部性质函数的单调性是研究“当自变量不断增大时，函数值随着增大还是减小”，即函数图像的升降性，与函数奇偶性不同，函数的奇偶性是研究“当自变量的值互为相反数时，函数值是否也互为相反数”，即函数图像的对称性。
函数的单调性与函数的极值是函数的局部性质，与函数的奇偶性、最大（或小）值有着本质的区别，后者是函数的整体性质，在教学中要体现出函数的单调区间是函数定义域上的一个子集（区间），关注的是函数在这个子集上的增减性。
新教材高中数学 函数的概念与性质2函数的基本性质 单调性与最大小值第一课时课件新人教A版必修第一册
知识点二 单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函 数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)___单__调__性___,区间D叫做 y＝f(x)的___单__调__区__间_____．
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的单调区间是函数定义域的子集．( √ ) (2)函数f(x)＝－ 的单调递增区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).
例3 已知函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减,且f(a－1)>f(1－4a),
求a的取值范围．
－1<a－1<1，
1
解：由题意知－1<1－4a<1， 解得 0<a<2 . ①
又因为函数 f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
且 f(a－1)>f(1－4a)，
所以 a－1<1－4a，得 a<25 .②由①②得，0<a<25 ，
(×) (3)函数f(x)＝x2－2x(x∈[－1,2])的单调递增区间是[1,2],单
调递减区间是[－1,1].( √) (4)函数y＝2x＋1在[0,3]上单调递增,则[0,3]是函数的单调
递增区间．( × )
2 【解析】 (2)函数 f(x)＝－x 的单调递增区间是(－∞，0) 和(0，＋∞).注意两个区间之间要用逗号或“和”连接． (4)函数在定义域内的某区间递增，这个区间不一定是函数 的单调递增区间，它可能是单调区间的子集．
因为 x1<x2，且 x1，x2∈(0，＋∞)，
所以 x2－x1>0，x1＋3>0，x2＋3>0.
所以函数 f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，
(2019新教材)人教A版必修第一册知识点
（2019新教材）人教A 版必修第一册知识点第一章集合与常用逻辑用语〖1.1〗集合的概率（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，*N 或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集∅.〖1.2〗集合间的基本关系（2）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.〖1.3〗集合的基本运算〖1.4〗充分条件与必要条1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；〖1.5〗全称量词与存在量词1、全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；名称记号意义性质 示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）AA A =（2）A ∅=∅（3）A B A ⊆A B B ⊆ BA并集 A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）AA A =（2）A A ∅=（3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集UA{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =第二章 一元二次函数、方程和不等式1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >．3、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈； ②2(0,0)＞＞a b ab a b +≥4、含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法 判别式24b ac ∆=- 0∆>0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a -±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅第三章 函数的概念与性质〖3.1〗函数及其表示1、函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f 叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．2、区间的概念及表示法（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．3、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤零（负）指数幂的底数不能为零．⑥若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑦对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑧对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．4、求函数的值域或最值①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2a y xb y xc y++=，则在()0()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑦函数的单调性法．5、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．yxo〖3.2〗函数的基本性质 【3.2.1】单调性1、用定义法证明函数单调性的一般步骤（1） 取值：即设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <，210x x x ∆=-> （2） 作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．（3） 定号：确定21()()y f x f x ∆=-的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．（4） 下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 2、复合函数与单调性若函数u=g(x)在区间[a,b ]上是单调函数，函数y=f(u)在[g(a),g(b)]或[g(b),g(a)]上也是单调函数，那么复合函数y=f [g(x)]在区间[a,b ]上是单调函数，其单调性的规律是： 函数单调性 u=g(x) 增函数 增函数 减函数 减函数 y=f(u) 增函数 减函数 增函数 减函数 y=f[g(x)]增函数减函数减函数增函数上述规律可简记为“同増异减”。
人教版A版高中数学《函数的基本性质--函数的单调性与最值》单元教材教学分析
重点、难点与关键
教学重点：1、掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别，结合函数图形熟记几种常见函数的基本性质。2、函数的最大（小）值
教学难点：1、函数概念的理解。2、利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。
教学方法和手段的设计
学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二次函数，反比例函数的函数值y与变量x之间的关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，这为理解函数的单调性和最大（小）值奠定了一定的基础。但另一方面，以前对函数的单调性和最大（小）值的研究是一种定性的研究，侧重于直观的思维，而本节内容是要对函数单调性和最大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思维能力，这给学生的学习带来了较大的困难。因此，在教学过程中，多创设熟悉的问题情景：如在引课中利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函数，上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。在定义教学中，多给学生思考问题的时间和空间，引导学生观察，归纳，总结。特别利用数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数学语言来描述，以便于学生的理解和掌握。利用类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学生自己得出相应减函数的定义；当介绍了函数最大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的定义；便于学生进一步加深对定义的理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在（0,+∞）上y随x的增大而减少，则函数在定义域内是减函数”。“所有函数是否都有最大（小）值？”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性？”。还有一些比较复杂的问题：“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，培养学生的自主探究能力。
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广东省德庆县孔子中学高中数学《1.3 函数的基本性质 函数的单调性
（一）》教案 新人教A 版必修1
教学内容
课题: 函数的单调性(一)
教学目标 （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
一、 教学策略手段 引入课题
1
○
能否看出函数的最大、最小值？ ○
3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1
○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x 的增大而 ________ ． ○
2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 二、 新课教学 （一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有
f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
○
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ． 2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：
例1．（教材P 34例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略） 思考：画出反比例函数x
y 1 的图象． ○
1 这个函数的定义域是什么？ ○
2 它在定义域I 上的单调性怎样？ 课堂练习 巩固练习：课本P 38练习第1、2题
教学反思。