高考数学复习考点知识解析与专题练习66---导数在函数中的应用
导数综合复习(三)导数在研究函数中的应用 高考数学
导数综合复习(三)
主讲人：某某某老师
某某学校
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
一、函数的单调性
二、函数的极值与最大值
三、导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
学校：________.班级：________.姓名：________.前言 导数是研究函数的变化趋势的一个工具，是初等数学与高等数学中比较常用的一个工具，是研究高等数学的基础。由变化率引出导数，借助导数，不仅可以研究一元函数，而且还可以研究多元函数。
【详解】法一：，当时，恒成立，此时在R上单调递增，不可能有两个零点，舍去，当时，令 则在上单调递减，在上单调递增，因为时，，时，，所以要使得有两个零点，则要 ，
，，，即，综上，若函数有两个零点，则；法二：，当时，，0不是函数的零点；当时，有两根，所以有两根，令，则，当时，，所以在上单调递减，且，
中学阶段，我们需要了解变化率和导数的定义，并通过研究导数的相关性质得出函数的单调性和极最值，体会导数问题的一般研究思路，掌握导数问题的基本研究方法。这一部分内容难度大、知识运用性强，是整个高中数学学习过程中最难的一部分，涉及的题型多，技巧多，思维跳跃性大，需要逐步进行分析，不能图快，一味放弃对难题的解答，需要重视相关思想的培养和训练，如函数思想、方程思想等。 作为高考数学中的一个最为重要内容，无论是哪个高考卷，选择填空和大题都经常能见到导数的身影，常用作选择，填空和大题的压轴题。常常考查函数的求导，构造函数法，高阶函数的求导，函数的
二、函数的极值与最大值
1.极值极小值 极大值 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有(或)，则称是函数的一个极大值(或极小值)。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤领域中，导数作为研究函数性质的有力工具，在函数极值的求解中发挥着至关重要的作用。
理解导数与函数极值的关系，并通过实际例题进行深入剖析，有助于我们更好地掌握这一重要的数学概念和方法。
一、导数与函数极值的基本概念首先，让我们来明确一下什么是导数以及函数的极值。
导数，从几何意义上来说，它表示函数在某一点处的切线斜率。
而从代数角度看，导数反映了函数在某一点处的变化率。
函数的极值则分为极大值和极小值。
极大值是指在某个局部范围内，函数值比附近其他点的函数值都大；极小值则是在局部范围内函数值比附近其他点的函数值都小。
二、判断函数极值的必要条件若函数在某点处可导，且该点为极值点，那么在该点处的导数为零。
但需要注意的是，导数为零的点不一定是极值点，还需要进一步判断导数在该点两侧的符号。
三、通过导数判断函数极值的充分条件设函数在点处具有导数，且，那么：当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正，为极小值点。
接下来，我们通过一些具体的例题来加深对导数在函数极值中应用的理解。
例题 1：求函数的极值。
首先，对函数求导：。
令，解得。
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减。
所以为极大值点，极大值为。
例题 2：求函数在区间上的极值。
对函数求导：。
令，解得。
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增。
所以为极小值点，极小值为。
通过以上两个例题，我们可以看到利用导数求函数极值的一般步骤：1、对函数求导。
2、令导数等于零，求出可能的极值点。
3、判断导数在极值点两侧的符号，确定是极大值还是极小值。
在实际应用中，我们还会遇到一些较为复杂的函数，需要综合运用各种数学方法和技巧来求解极值。
例如，对于含有参数的函数，需要对参数进行分类讨论；对于高次函数，可能需要多次求导来分析函数的单调性和极值情况。
总之，导数在函数极值的求解中是一种非常有效的方法。
通过不断的练习和总结，我们能够更加熟练地运用这一工具解决各种数学问题，提高我们的数学思维能力和解题能力。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
高考数学导数及应用知识点
高考数学导数及应用知识点导数是高中数学中重要的概念之一，也是高考数学必考的知识点。
掌握导数的概念和应用是理解数学中许多问题的关键。
本文将以“step by step thinking”为主线，逐步讲解导数的基本概念、性质以及常见的应用。
一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
对于给定的函数f(x)，在某一点x上的导数表示为f’(x)，它的定义如下：f’(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。
导数的定义可以理解为当自变量x的增量h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化量与自变量增量的比值。
二、导数的性质 1. 常数函数的导数为0：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数为f’(x) = 0。
因为常数函数在任意一点的函数值都相同，所以其变化率为0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f’(x) = n *x^(n-1)。
幂函数的导数是指数函数。
3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = ln(a) * a^x。
指数函数的导数是指数函数本身与常数ln(a)的乘积。
4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数是关于自变量的倒数。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。
它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。
三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.切线和法线：导数可以用来求曲线上一点处的切线和法线。
切线是曲线在该点处的斜率，即导数；法线则是与切线垂直的直线，其斜率为导数的负倒数。
2024年全国版高考数学必刷题第六单元导数在函数中的应用
导数是高等数学中的一个重要概念，也是数学中的重要工具之一、它在函数中的应用非常广泛，涉及到各个领域，如物理学、经济学、生物学等等。
本文将从几个方面介绍导数在函数中的应用。
一、导数求函数的增减与极值导数能够帮助我们判断函数在一些区间上的增减性。
设函数f(x)在区间[a,b]上可导，如果对于任意的x1,x2∈(a,b)，当x1<x2时，有f'(x1)<f'(x2)（即导数单调递增），则f(x)在区间[a,b]上是单调递增的；如果对于任意的x1,x2∈(a,b)，当x1<x2时，有f'(x1)>f'(x2)（即导数单调递减），则f(x)在区间[a,b]上是单调递减的。
当然，导数等于0的点也很重要，这些点我们称之为函数的驻点，函数在这些点上的增减性可能发生转折。
导数还可以帮助我们求函数的极值。
如果函数f(x)在一些点c的导数存在，并且f'(c)=0，那么我们称c为函数的驻点。
当然，f'(c)=0还不足以保证f(x)在c处取得极值，还需要利用导数的符号来判断。
如果在c的左侧，f'(x)由正变负，那么我们称c为函数的极大值点；如果在c的左侧，f'(x)由负变正，那么我们称c为函数的极小值点。
当然，f'(x)由正变负在f'(x)由负变正之间的地方，也可能存在极值点。
二、导数解决最优化问题导数在解决最优化问题中有着广泛的应用。
最优化问题是指求函数在一定约束条件下的最大值或最小值。
其中，约束条件可以是线性或非线性，而目标函数可以是连续、离散或混合类型。
最常见的最优化问题就是求解函数的最大值或最小值。
我们可以通过求函数的导数，找到导数为0的点，进而判断函数的极值点。
比如，假设我们要在一根有限长度的线段上找到一点，使得该点到两个已知点的距离之和最小，这就是一个最优化问题。
我们可以通过建立数学模型，使用导数求解来找到这个点。
高中数学导数应用知识点精讲
高中数学导数应用知识点精讲在高中数学的学习中，导数是一个极其重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还为解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们深入探讨一下高中数学中导数的应用知识点。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数 y ＝ f(x) 在点x ＝ x₀处的导数存在，那么其定义式为：f'（x₀) ＝ lim （Δx→0)f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
通俗地说，导数表示了函数在某一点处的切线斜率。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，我们来求它在 x ＝ 1 处的导数。
f(1 ＋Δx) ＝（1 ＋Δx)² ＝ 1 ＋2Δx ＋（Δx)² ，f(1) ＝ 1 。
那么 f'（1) ＝ lim （Δx→0) （1 ＋2Δx ＋（Δx)² 1) ／Δx ＝ lim （Δx→0) （2 ＋Δx) ＝2 ，所以函数 f(x) ＝ x²在 x ＝ 1 处的导数为 2 ，意味着在 x ＝ 1 处的切线斜率为 2 。
二、导数的几何意义导数的几何意义是函数图象在某一点处的切线斜率。
如果函数在某点处的导数存在，那么该点处的切线方程可以通过点斜式来求得。
比如，已知函数 f(x) ＝ 2x 3 ，其导数为 f'（x) ＝ 2 。
在点（2, 1) 处，切线的斜率为 2 ，所以切线方程为 y 1 ＝ 2(x 2) ，即 y ＝ 2x 3 。
三、导数与函数的单调性通过导数可以判断函数的单调性。
若函数在某个区间内的导数大于零，则函数在该区间单调递增；若导数小于零，则函数在该区间单调递减。
以函数 f(x) ＝ x³ 3x²为例，其导数为 f'（x) ＝ 3x² 6x 。
令 f'（x) ＞0 ，解得 x ＜ 0 或 x ＞ 2 ，所以函数在（∞， 0) 和（2, ＋∞）上单调递增；令 f'（x) ＜ 0 ，解得 0 ＜ x ＜ 2 ，所以函数在（0, 2) 上单调递减。
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。
而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。
通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。
一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。
3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。
4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。
5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。
二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了一个函数在其中一点处的变化率。
导数的应用非常广泛，不仅在数学中有着重要的意义，也在物理、经济、工程等领域中得到了广泛的应用。
下面将详细介绍导数的定义、性质及其应用。
首先，我们来看导数的定义。
设函数f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，则导数的定义为：f'(a) = lim_(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)其中，lim表示极限运算。
这个定义表明，导数可以通过求极限来得到，它描述了函数在点a处的变化率。
根据导数的定义，我们可以得到一些导数的基本性质。
首先，导数有线性性质，即对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有：（af(x)+bg(x))' = af'(x)+bg'(x)其次，导数满足乘法法则和链式法则。
乘法法则表明，对于函数的乘积，其导数可以通过各个函数的导数来计算，具体而言有：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)链式法则表明，对于复合函数，其导数可以通过外层函数和内层函数的导数来计算，具体而言有：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)此外，导数还满足反函数法则和导数的平均值定理。
反函数法则表明，对于反函数，其导数可以通过原函数的导数来计算，具体而言有：(f^(-1)(y))'=1/f'(x)导数的平均值定理表明，对于一个区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)，存在一个点c，在[a,b]内，使得f'(c)等于函数在该区间的平均变化率。
了解了导数的定义和性质后，我们可以来看一些导数的应用。
首先，导数可以用于计算函数在其中一点的斜率。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么它就可以表示函数在该点处的斜率，即函数在该点处的切线的斜率。
其次，导数还可以用于确定函数的最值。
导数的应用与极值例题和知识点总结
导数的应用与极值例题和知识点总结在数学的广袤领域中，导数无疑是一个极为重要的工具。
它不仅能够帮助我们描绘函数的变化趋势，还能在解决各种实际问题中发挥关键作用。
接下来，让我们一起深入探讨导数的应用与极值，通过具体的例题来加深对相关知识点的理解。
一、导数的定义与几何意义导数的定义为函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处可导，那么其导数记为＄f'（x_0)＄，表示函数在＄x_0$ 处的切线斜率。
从几何意义上看，导数就是函数图像在某一点处切线的斜率。
当导数大于零，函数单调递增；当导数小于零，函数单调递减；当导数等于零，可能是函数的极值点。
二、导数的计算对于常见的基本函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，都有相应的求导公式。
例如，对于幂函数＄y ＝ x^n$ ，其导数为＄y' ＝ nx^｛n 1}＄；对于指数函数＄y ＝ e^x$ ，其导数仍为＄y' ＝ e^x$ ；对于对数函数＄y ＝＼ln x$ ，其导数为＄y' ＝＼frac{1}｛x}＄。
三、利用导数求函数的单调性例 1：求函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$ 的单调区间。
首先，对函数求导：＄f'（x) ＝ 3x^2 6x$令＄f'（x) ＝ 0$ ，即＄3x^2 6x ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 0$ 或＄x ＝2$ 。
当＄x ＜ 0$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增；当＄0 ＜ x ＜ 2$ 时，＄f'（x) ＜ 0$ ，函数单调递减；当＄x ＞ 2$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增。
所以，函数的单调递增区间为＄（＼infty, 0)＄和＄（2, ＋＼infty)＄，单调递减区间为＄（0, 2)＄。
四、利用导数求函数的极值例 2：求函数＄g(x) ＝ 2x^3 9x^2 ＋ 12x 3$ 的极值。
对函数求导：＄g'（x) ＝ 6x^2 18x ＋ 12$令＄g'（x) ＝ 0$ ，即＄6x^2 18x ＋ 12 ＝ 0$ ，化简得＄x^2 3x＋ 2 ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 1$ 或＄x ＝ 2$ 。
高三导数的综合应用知识点
高三导数的综合应用知识点导数作为微积分的重要概念，具有广泛的应用价值。
在高三阶段，导数的综合应用是学习微积分的关键内容之一。
本文将介绍高三导数的几个重要应用知识点，并分析它们在实际问题中的具体应用。
知识点一：函数的极值点与最值在函数的导数概念中，导数为0的点被称为极值点。
通过求解导数为零的方程，我们可以找到函数的极值点。
对于一个一元函数而言，当导数由正变负时，函数达到极大值；当导数由负变正时，函数达到极小值。
这种知识点在优化问题中非常常见，例如在生产中求解最大利润、最小成本等问题时，可以通过导数来确定关键点。
知识点二：函数的导数与变化率函数的导数还可以表示函数在某一点的变化率。
例如，对于位移函数，其导数表示着时间上的速度变化率。
当导数大于零时，表示速度增加；当导数小于零时，表示速度减小。
这一知识点在物理学中的应用较多，例如运动学中的加速度、速度与位移之间的关系。
知识点三：函数的导数与曲线的凸凹性函数的二阶导数可以描述函数曲线的凸凹性。
当二阶导数大于零时，表示函数曲线为凸函数；当二阶导数小于零时，表示函数曲线为凹函数。
凸凹性对于确定函数的极值点具有重要的指导意义。
这一知识点在经济学、生物学等领域的曲线分析中经常被应用。
知识点四：函数的导数与图像的切线与法线函数导数的另一个重要应用是描述函数图像上某一点的切线与法线。
切线的斜率即为函数在该点处的导数值，而法线的斜率为切线的相反数。
通过求解导数值，我们可以确定函数图像上任意一点的切线和法线方程。
这一知识点在几何学中经常被应用，例如求解曲线的切线和法线方程。
知识点五：函数的导数与函数图像的几何性质函数的导数还可以反映函数图像的一些几何性质。
例如，当函数的导数恒大于零时，表示函数图像单调递增；当导数恒小于零时，表示函数图像单调递减。
这一知识点在函数图像的性质分析中非常有用，例如考察函数在特定区间上的单调性、拐点等。
通过以上几个知识点的介绍，我们可以看到高三导数的综合应用是非常广泛的。
【高中数学】导数知识点梳理(附题型答题技巧)
高中数学导数知识点梳理一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=图片处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点图片趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点图片趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=图片处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，图片便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作图片，即二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
高三复习：导数在研究函数中的应用
名师大讲堂 名师大讲堂高考总复习
第四章 导数
练习: 练习:
1 函数 f ( x)=x3 +ax 2 +3 x-9 则a等于 等于( ) 等于 A. 2 B. 3 ,已知 f ( x ) 在 x =-3 时取得极值, 时取得极值, C. 4 D. 5
2 已知函数 f ( x)=x 3 +ax 2 +bx +1 ,当且仅当 当且仅当x=-1,x=1时取得极值. 时取得极值. 时取得极值 的值. (1)求a,b的值. ) 的值 (2)求函数的极大值和极小值. )求函数的极大值和极小值.
a = ______ .
和
1 4.(湖南卷) 4.(湖南卷)曲线 y = x
y =x 2
.
在它们交点处的两条切线
与轴所围成的三角形面积是
新课标
新高考
新理念
�
2
y
-3 -2 - 1 2
O
2
3 4 5 x
新课标
新高考
新理念
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第四章 导数
2.(浙江卷) 2.(浙江卷) f ( x)=x 3 +3x 2 -2 在区间上 (A)(A)-2 (B)0 (C)2
[-1,1]的最大值是
(D)4
3.(福建卷) 3.(福建卷)已知直线 x +y -1=0 与抛物线 y =ax 2 相切, 相切,则
1 在区间(- (-3 内单调递增; ①函数y=f(x)在区间(-3,- )内单调递增; 2 1 在区间(- 内单调递减; ②函数y=f(x)在区间(- ,3)内单调递减; 2
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; 在区间( 内单调递增; =2时 有极小值; ④当x=2时,函数y=f(x)有极小值; 有极大值. ⑤当x=- 1 时,函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的是________. 则上述判断中正确的是________.
高考数学复习点拨 解析导数应用
解析导数应用一、研究函数的性质导数是研究函数问题的有力工具，主要应用于三个方面〔设函数()y f x =在某个区间内可导〕：〔1〕单调性判断：如果()0f x '>，那么()f x 单调递增；如果()0f x '<，那么()f x 单调递减．〔2〕极值判断：检验使()0f x '=的点0x 左右()f x '值的符号，左正右负0()f x 为极大值，左负右正0()f x 为极不值．〔3〕闭区间最值判断：先求出其开区间上的极值，再与端点的函数值比拟即可求解． 应注意有时以逆向题形式给出，即以上的性质，求参数的值或范围．例1 函数32()39f x x x x a =-+++．〔Ⅰ〕求()f x 的单调减区间；〔Ⅱ〕假设()f x 在区间[22]-，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 分析：此题主要研究函数的单调性及最值，运用导数可轻易获解．解：〔Ⅰ〕2()369f x x x '=-++．令()0f x '<，解得1x <-，或3x >．所以函数()f x 的单调递减区间为(1)(3)--+，，，∞∞．〔Ⅱ〕因为(2)812182f a a -=+-+=+，(2)8121822f s a =-+++=+． 所以(2)(2)f f >-．因为在(13)-，上()0f x '>，所以()f x 在(12)-，上单调递增，又由于()f x 在(21)--，上单调递减，因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[22]-，上的最大值和最小值．于是有2220a +=，解得2a =-．故32()392f x x x x =-++-．因此(1)13927f -=+--=-．即函数()f x 在区间[22]-，上的最小值为7-．评注：运用导数求函数的单调区间的方法简单，防止了运用定义时繁杂的运算及高难度变形技巧．二、解决几何问题例2 曲线3y x =在点(11)，处的切线与x 轴，直线2x =所围成的三角形的面积为 ．解：3y x =在点(11)，处的切线方程为11(1)x y y x ='-=-|，即32y x =-． 作图可知：1128242233ABC S AB BC ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭△·． 评注：函数()y f x =在点0x 处导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(())x f x ，处的切线的斜率，即0()k f x '=．三、解决不等式问题例3 假设ln 2ln3ln5235a b c ===，，，那么〔 〕 Ａ．a b c << Ｂ．c b a << Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c << 解：设ln (0)x y x x =>，令21(1ln )0y x x'=-=，得x e =． x (0)e ， e ()e +，∞y ' + 0 -y 单调递增 极大值 单调递减又235e <<<，故通过模拟函数ln x y x =的图象，得ln5ln 2ln3523<<，应选Ｃ． 评注：此题通过构造函数，再借助导数来判断所构造函数的单调性，准确、简捷，不失为解决此类问题的好方法．。
高考数学导数及其应用考点
高考数学导数及其应用考点高考数学中，导数及其应用是一个重要的考点，它不仅在函数的研究中发挥着关键作用，还与实际问题的解决紧密相关。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的瞬时变化率。
如果函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄与自变量的增量＄＼Delta x$ 之比当＄＼Delta x ＼to 0$ 时的极限存在，那么这个极限值就称为函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的导数，记作＄f'（x_0)＄。
通俗来讲，导数就像是函数图象在某一点处的“斜率”，它反映了函数在这一点处的变化快慢程度。
二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。
函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的导数＄f'（x_0)＄，就是曲线＄y ＝ f(x)＄在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率。
通过导数，我们可以求出函数图象在某一点处的切线方程。
假设切点为＄（x_0, y_0)＄，导数为＄f'（x_0)＄，那么切线方程为＄yy_0 ＝ f'（x_0)（x x_0)＄。
三、基本初等函数的导数公式1、常数函数的导数：＄（C)＇＝ 0$ ，其中＄C$ 为常数。
2、幂函数的导数：＄（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＄。
3、正弦函数的导数：＄（＼sin x)＇＝＼cos x$ 。
4、余弦函数的导数：＄（＼cos x)＇＝＼sin x$ 。
5、指数函数的导数：＄（a^x)＇＝ a^x ＼ln a$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ＼neq 1$ ）；特别地，＄（e^x)＇＝ e^x$ 。
6、对数函数的导数：＄（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＄；＄（｛＼log}＿a x)＇＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＄（＄a ＞ 0$ 且＄a ＼neq 1$ ）。
熟练掌握这些基本初等函数的导数公式，是解决导数问题的基础。
数学高三重点总结函数与导数的应用
数学高三重点总结函数与导数的应用函数与导数的应用在高三数学中占据着重要的地位，既是知识点的难点，也是考试的重点。
本文将对函数与导数的应用进行总结，包括极值、最值、凹凸性、曲线与切线以及应用题等方面。
1. 极值与最值1.1 极值的判定对于函数f(x)，若在x=a处，f'(a)=0，并且f''(a)存在，那么有以下结论：- 若f''(a)>0，f(x)在x=a处取极小值；- 若f''(a)<0，f(x)在x=a处取极大值。
1.2 最大值与最小值对于函数f(x)，若在[a,b]上f(x)连续，那么有以下结论：- 若f(x)在[a,b]上有界，那么必定存在最大值与最小值；- 若f(x)在[a,b]上无界，那么最大值与最小值可能不存在。
2. 凹凸性与拐点2.1 凹凸性的判定对于函数f(x)，若f''(x)存在，那么有以下结论：- 若f''(x)>0，f(x)在该区间上是凹函数；- 若f''(x)<0，f(x)在该区间上是凸函数。
2.2 拐点的判定对于函数f(x)，若在x=c处，f''(c)=0，并且f'''(c)存在，那么有以下结论：- 若f'''(c)>0，f(x)在x=c处有拐点，且由凹变凸；- 若f'''(c)<0，f(x)在x=c处有拐点，且由凸变凹。
3. 曲线与切线对于函数f(x)，曲线上的一点P(x,f(x))处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。
4. 应用题4.1 题型：最优化最优化问题是函数与导数的一个重要应用，常见的题型有最大、最小值问题。
求解这类问题时，可以通过建立函数模型，利用函数与导数的性质进行分析。
4.2 题型：曲线的图形与性质曲线的图形与性质也是高考中常见的考点。
高考数学复习点拨例析导数在函数中的应用
（Ⅰ）用 t 表示 a， b， c； （Ⅱ）若函数 y f ( x) g(x) 在（－ 1， 3）上单调递减，求 t 的取值范围 .
解：（ I）因为函数 f (x) ， g( x) 的图象都过点（ t ， 0），所以 f (t ) 0 ，
即 t 3 at 0 .因为 t 0, 所以 a t 2 . g(t) 0,即 bt 2 c 0,所以 c ab.
例 3．求函数 f(x) ln 1 x
1 x 2 在 [0， 2]上的最大值和最小值 . 4
用心 爱心 专心
解：fˊ (x)
1
1
1
x, 令
1 x
0 ，化简为 x2
x
2
0 ，解得 x1=－ 2(舍去 )，x2=1.
1x 2 1x 2
当 0≤ x<1 时 , fˊ (x)>0，f(x)单调递增； 当 1<x≤ 2 时 , fˊ (x)<0，f(x)单调递减 .所以 , f(1)= ln 2 1 4
若f (x)在 ( 1,1)上是增函数 , 则在 ( 1,1)上可设 f ( x) 0.
f ( x) 0 t 3x2 2x,在区间 ( 1,1)上恒成立 , 考虑函数 g( x) 3x2 2x,
1 由于 g( x)的图象是对称轴为 x , 开口向上的抛物线，故要使
3 （－ 1， 1）上恒成立 t g( 1),即t 5.
1 0x ,
2
故所求单调增区间为 1 ，＋ ，单调减区间为 0，1 。
2
2
方法总结 ：利用导数判断函数的单调性的步骤是： （ 1）确定 f x 的定义域；（ 2）求导
数 fˊ (x)；（ 3）在函数 f x 的定义域内解不等式 fˊ (x)>0 和 fˊ (x)<0；（4 ）确定 f x 的单
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那么上面命题中真命题的序号是________．
8 / 12
答案 ①④
1
1
解析 f′(x)＝cos x－3，由 f′(x)＝0，得 cos x＝3，即 x＝x0，因为 x0∈[0，π]，当 0<x<x0
时，f′(x)>0；当 x0<x<π 时，f′(x)<0，所以 f (x)的最大值为 f (x0)，f (x)在[x0，π]上是
6 / 12
1 解 方法一 f (x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－a.
若 a≤0，则 f′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
若 a>0，则当 x∈0，1a时，f′(x)>0，
当 x∈1a，＋∞时，f′(x)<0，所以 f (x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减，
高考数学复习考点知识解析与专题练习 导数在函数中的应用
1．函数 f (x)＝ex－ex，x∈R 的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
答案 D 解析 由题意知，f′(x)＝ex－e，令 f′(x)>0，解得 x>1，故选 D.
2．函数 f (x)＝1＋x－sin x 在(0,2π)上是( )
所以当 a≤0 时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，符合要求；当 a>0 时，f (x)在1a，＋∞上
单调递减，则
1 2≥a，即
1 a≥2.所以实数
a
的取值范围是(－∞，0]∪12，＋∞.
1 方法二 f (x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－a.
1 由题意得，当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0 恒成立或 f′(x)≤0 恒成立，即 a≤x恒成立或
当 a>2 时，对任意的 x>2 且 x≠a，恒有 f (x)>f (a)＋f′(a)(x－a)，即 f (x)－f (a)－f′(a)(x －a)＝x3＋2a3－2x2－2a2－3a2x＋4ax>0 在 x>2，a>2 且 x≠a 上恒成立，
设 g(x)＝f (x)－f (a)－f′(a)(x－a)， g′(x)＝3x2－4x－3a2＋4a，
间12，3上恒成立，所以ff′′(312)≤≤00，，
14－a2＋1≤0， 即9－3a＋1≤0，
10 解得 a≥ 3 ，所以实数 a
的取值范围为130，＋∞. 10．已知函数 f (x)＝ex－2x＋a 有零点，则实数 a 的取值范围是________________．
答案 (－∞，2ln 2－2] 解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程 ex－2x＋a＝0 有解问题，即方程 a＝2x －ex 有解． 令函数 g(x)＝2x－ex，则 g′(x)＝2－ex，
9 / 12
∴当 x∈1e，1时，f′(x)<0，函数 f (x)单调递减，
∴当 x∈(1,3]时，f′(x)>0，函数 f (x)单调递增，
∴f (x)min＝f (1)＝1， 当 x∈1e，3时，g(x)＝ax＋xln x≥1， 则 a≥x－x2ln x， 记 h(x)＝x－x2ln x，h′(x)＝1－2xln x－x，
1 a≥x恒成立．
11
1
∵x∈(2，＋∞)，∴0<x<2，∴a≤0 或 a≥2，
∴实数 a 的取值范围是(－∞，0]∪12，＋∞.
1 ex
ex
12．(2020·东北四校联考)已知 f (x)＝x＋ e －3，F (x)＝ln x＋ e －3x＋2.
(1)判断 f (x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)判断函数 F (x)在(0，＋∞)上零点的个数． 1 ex x2ex－e
所以 g(x)>g(a)＝0，所以恒有 f (x)>f (a′)＋f′(a)·(x－a)．故 C 正确． 9．若函数 f (x)＝x33－a2x2＋x＋1 在区间12，3上单调递减，则实数 a 的取值范围是
________． 答案 130，＋∞ 解析 f′(x)＝x2－ax＋1，因为函数 f (x)在区间12，3上单调递减，所以 f′(x)≤0 在区
选 A. 5．(2019·石家庄模拟)直线 y＝a 与函数 y＝x3－3x 的图象有三个相异的交点，则实数 a
的取值范围为( )
A．(－2,2)
B．[－2,2]
C．[2，＋∞)
D．(－∞，－2]
答案 A 解析 考虑数形结合，y＝x3－3x 的导数 y′＝3x2－3＝3(x－1)·(x＋1)，令 y′>0 可解 得 x<－1 或 x>1，故 y＝x3－3x 在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调
故 F (x)在(0，＋∞)上的零点有 3 个．
1
1
13．已知函数 f (x)＝sin x－3x，x∈[0，π]，cos x0＝3，x0∈[0，π]．
①f (x)的最大值为 f (x0)；
②f (x)的最小值为 f (x0)；
③f (x)在[0，x0]上是减函数；
④f (x)在[x0，π]上是减函数．
h′(1)＝0，令 k(x)＝h′(x)，则 k′(x)＝－3－2ln x， k′(x)在1e，3上单调递减，k′(x)≤k′1e＝－1， ∴h′(x)单调递减，∴当 x∈1e，1时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当 x∈(1,3)时，h′(x)<0，
1 ex (2)F′(x)＝f (x)＝x＋ e －3，且 f (1)＝－1<0， 由(1)得∃x1，x2，满足 0<x1<1<x2， 使得 f (x)在(0，x1)上大于 0，在(x1，x2)上小于 0，在(x2，＋∞)上大于 0， 即 F (x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增， 而 F (1)＝0，x→0 时，F (x)→－∞， x→＋∞时，F (x)→＋∞， 画出函数 F (x)图象的草图，如图所示．
B．f (a)>eaf (0)
f (0) C．f (a)< ea
f (0) D．f (a)> ea
答案 B
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f (x) 解析 令 g(x)＝ ex ，
f′(x)ex－f (x)ex f′(x)－f (x)
∴g′(x)＝
(ex)2
＝ ex >0.
∴g(x)在 R 上为增函数，又∵a>0，
f ∴g(a)>g(0)，即
令 h(x)＝g′(x)，h′(x)＝6x－4， 2
令 h′(x)>0，x>3，
∴g′(x)在(2，＋∞)上单调递增，又因为 g′(a)＝0，所以当 2<x<a 时，g′(x)<0，当
5 / 12
x>a 时，g′(x)>0，所以 g(x)在(2，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，又 x≠a，
递减，函数的极大值为 f (－1)＝2，极小值为 f (1)＝－2，大致图象如图所示．而 y＝a
为一条水平直线，通过图象可得，y＝a 介于极大值与极小值之间，则有三个相异交点．可
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得 a∈(－2,2)．
1 6．已知定义在 R 上的可导函数 f (x)的导函数为 f′(x)，满足 f′(x)<f (x)，且 f (0)＝2，
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A．f (x)的单调递减区间是23，2
B．f (x)的极小值是－15
C．当 a＞2 时，对任意的 x＞2 且 x≠a，恒有 f (x)＞f (a)＋f′(a)(x－a)
D．函数 f (x)有且只有一个零点
答案 BCD 解析 f (x)＝x3－2x2－4x－7， 其导函数为 f′(x)＝3x2－4x－4.
解 (1)f′(x)＝－x2＋ e ＝ ex2 ， 令 g(x)＝x2ex－e，x>0， 则 g′(x)＝ex(x2＋2x)>0，
7 / 12
即 g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又 g(1)＝0，所以当 0<x<1 时，g(x)<g(1)＝0，则 f′(x)<0，当 x>1 时，g(x)>0，则 f′(x)>0， 所以 f (x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
则不等式 f (x)－12ex<0 的解集为(
)
A.－∞，12
B．(0，＋∞)
C.12，＋∞
D．(－∞，0)
答案 B
f (x) 解析 构造函数 g(x)＝ ex ，
f′(x)－f (x) 则 g′(x)＝ ex ，
因为 f′(x)<f (x)，所以 g′(x)<0，
故函数 g(x)在 R 上为减函数，
1
3
且 f (1)＝－2＋a≥1，所以 a≥2.