银行经济学第一次作业答案

n 个人在第 1 期不需要消费，只需要在第 2 期 2
n 个人在第 1 期末（投资项目已经进行但未完成）遇到流动性危机（liquidity 2
shock） ，必须在第 2 期到来之前提前消费， 第 2 期不再消费；投资项目 I 如果在第 2 期之前 。在第 1 期初做出投资决策之前，每个人都不知道 就提前变卖，清算可以收回 rI（ r < 1 ） 自己是否会遇到流动性危机，即属于第 1 期消费的
1
max1 + (1 − c1 ) 2 + ln c1
0 ≤ c1 ≤1
1
FOC： −
1 1 1 − 0。 (1 − c1 ) 2 + = 2 c1
解得 = c1 2 2 − 2 或 c1 = −2 2 − 2 。 舍去负根， c = 2 2 − 2 ≈ 0.828427 ∈ [ 0,1] 。 1
I= 1 − c1 ≈ 0.171573
《银行经济学》
2015-2016 学年第二学期
任课教师：颜建晔
第一部分：以下 4 题，请选做 3 题（每题 20 分；做 4 题者取得分低的 3 题计分）
1.市场利率的决定（纯消费经济） 一个经济中有 7 个消费者，每个消费者都生存在同样的二期。其中 6 个消费者（类型 I）的 跨期效用函数为 u
I
而 ( c1 , c2 ) = (1,1) 是储蓄者问题的可行决策但不是最优决策， 所以可以确定整个问题 的解是储蓄 （禀赋点的左侧） ： c1 =
2 + rD rD 2 + rD ，c2 = ， 储蓄量 s = 。 2 (1 + rD ) 2 (1 + rD ) 2
■
4.银行提供流动性保险（liquidity insurance） ：Diamond-Dybvig (1983) 。每个人存在两期，第 1 期初拥有初始禀赋 1，可用来进 一个村子里共有 n 个人（n 为偶数） 行投资决策 I（ 0 ≤ I ≤ 1 ） ；投资项目在第 2 期完成，无论 n 个人分散投资还是集体投资， 投资完成时的总回报率都是 R（ R > 1 ） 。有 消费；另外
1 3。 f = 4 2
max c2 + ln c1 3 3 + 4 2
s.t. c1 + c2 ≤
可解得 c1 = 1 。 所以此人第 1 期的金融决策为向市场借
1 ，以达到 c1 = 1 的消费需求。 4
c2 =
3 3 5 1 + − c1 = 。 c2 的实现过程为第 2 期的原始禀赋 1+实物投资产出 -归还第 1 期的 4 2 4 2
类型 I 在第 1 期存款，类型 II 在第 1 期透支。 代入消费量可以计算 效用值，在跨期 金融市场交易后 ，类型 I 的效 用值提升到
ln
14 2 7 441 ≈ 0.00227 ，类型 II 的效用值提升到 ln ≈ 0.125649 。金融市场的存在 11 10 440
∑ (1 − I ) 平均
i =1 i
n
分给出现流动性危机的
n 个人消费；在第 2 期投资项目完成后，银行把所有 n 个人投资项 2 n 个人消费。 2
目的总回报 R
∑I
i =1
n
i
平均分给剩下的
（1） 情形 a 中，发生流动性危机时（第 1 期）的消费量和不发生流动性危机时（第 2 期） 的消费量分别为多少？ （2） 考虑 = R
rD 和 rL ， rL > rD > 0 。
（1） 画图示意你面临的跨期预算约束。 （2） 求最优储蓄或贷款决策。
【提醒：请在相应的页面答本题，原则上本题留空足够（三张半纸，含正反面） ，如不够可
自附纸答本题】 Solution. (2) 这不是一个 传统的微 观经济学效 用最大化 问题，因为 在禀赋点 的两侧价 格不一样 （ 1 + rL > 1 + rD ） ，所以需要在禀赋点的两侧分段求解。 如果作为储蓄者（saver） ，那么决策位于禀赋点的左侧， c1 ≤ 1 ：
c1 , c2 ≥ 0
max u ( c1 , c2 )
s.t. (1 + r ) c1 + c2 ≤ 2 + r
可解得两个类型消费者的需求函数分别为：
1 / 7
《银行经济学》
2015-2016 学年第二学期
任课教师：颜建晔
= c1I
2+r 2 + r II 2 ( 2 + r ) II 2 + r I 。 = , c2 = ; c1 = , c2 2 (1 + r ) 2 3 (1 + r ) 3
2 / 7
《银行经济学》
2015-2016 学年第二学期
任课教师：颜建晔
向市场还是向市场借 ）） 。与（1）相比，金融市场的存在如何改变了跨期效用水平？ 【提示：计算数值时可用计算器】 【提醒：请在相应的页面答本题，原则上本题留空足够（三张半纸，含正反面） ，如不够可 自附纸答本题】 Solution. (1) 实物投资： c2 = 1+ f ( I ) = 1 + (1 − c1 ) 2 。 跨期效用最大化可写作：
蓄 者 约 束 0 ≤ c1 ≤ 1 ， 于 是 c1 =
s
2 + rD 确为储蓄者的最优解；可继续求得 2 (1 + rD )
s c2 =
r 2 + rD ，储蓄量 s = 。 1 − c1s = D 2 (1 + rD ) 2
如果作为贷款者（borrower） ，那么决策位于禀赋点的右侧， c2 ≤ 1 ：
max c1c2
0 ≤ c1 ≤1
s.t. c2 = (1 − c1 )(1 + rD ) + 1
4 / 7
《银行经济学》
2015-2016 学年第二学期
任课教师：颜建晔
先忽略储蓄约束 0 ≤ c1 ≤ 1，可解得 c1 =
2 + rD 1 。 rD > 0 ⇒ c1 ∈ ,1 ，满足储 2 (1 + rD ) 2
n n 之中还是第 2 期消费的 之中。每个 2 2
1
人的目标都是自身效用最大化，不管在第 1 期还是第 2 期消费，效用函数 u ( c ) = c 2 ，其中
5 / 7
《银行经济学》
2015-2016 学年第二学期
任课教师：颜建晔
c 为消费量。
情形 a：每个人独立进行投资决策，如果遇到流动性危机就提前变卖 I。 情形 b：每个人把初始禀赋 1 存进一家银行（假设村里只有一家银行） ，并且自己决策投资 量 0 ≤ I ≤ 1 ；在第 1 期末，银行把所有 n 个人未被投资项目冻结的资金总量
3 3 ，分别解出情形 a 和情形 b 中每个人的投资量。 【提示：因为每个 = ,r 2 5
人偏好相同、技术（投资回报率）相同、信息（投资时都不知道是否自己会遇到流 动性危机）相同，在情形 a 和情形 b 中都可直接假设 I= = I= I 再求解】 1 n （3） 在 （2） 中求出的情形 a 和情形 b 投资量所对应的每个人消费量分别为多少？有何启 示和评论？ （4） 在同一张图中表示出情形 a 和情形 b 的投资可行性轨迹和投资决策，评论一下“银 行提供流动性保险（liquidity insurance） ” 和 Diamond-Dybvig (1983)。
f= (I )
I ，其中 I 是第 1 期的投入量， O 是
第 2 期的产出量。求此人的最优投资、消费决策。 （2） 假 设 此 人 除 了 自 给 自 足 （ autarky ） 的 实 物 投 资 机 会 （ Physical Investment Opportunity） ，还处于一个无摩擦（frictionless）的跨期金融市场中，并且现行 的市场金融投资机会（Financial Investment Opportunity）是存或借的净利率 r 都是 0。求此人的最优决策（含最优实物投资量、每一期消费量、金融投资决策（存
【提醒：请在相应的页面答本题，原则上本题留空足够（三张纸，含正反面） ，如不够可自
附纸答本题】 Solution.
a （1） c1a =1 − I + rI , c2 =1 − I + RI 。
c2 = 1 + (1 − c1 ) = 1+ 3 − 2 2
（2） 存在跨期金融市场，r=0。 实物投资决策： f ′ ( I ) =1 ⇒ I = 。 消费决策前的新禀赋为第 1 期 跨期效用最大化可写作：
c1 , c2 ≥ 0
1 2
(
)
1 2
3; 4
3 / 7
《银行经济学》
2015-2016 学年第二学期
任课教师：颜建晔
贷款
1 。 4 1 进行实 4
此人第 1 期消费 1，等于原始禀赋量，表面上既不储蓄，也不借款；但实际上储蓄 物投资，同时通过金融市场借入
1 1 5 ；第 2 期归还 （r=0）后可供消费的量 仍然大于原始 4 4 4
禀赋 1。 首先， 不通过计算可知金融市场的存在不会降低跨期效用， 因为 （1 ） 的投资消费决策在 （2） 中仍然能实现，但（2）的最优决策与（1）不同，可以推断（2）的跨期效用水平比（1）的 大。验算： 在（1）中， u = c2 + ln c1 =
c2 ) ( c1 , =
ln c1 + ln c2 ，第 7 个消费者（类型 II ）的跨期效用函数为
u II ( c1 = , c2 ) 2 ln c1 + ln c2 ； c1 , c2 分别代表第 1,2 期的消费水平。每个人在每一期的资源都
标准化为 1。 （1） 自给自足（autarky） ：如果没有跨期金融市场，每个人在每一期都自给自足，则每 个人的跨期效用值是多少？ （2） 跨期金融交易与消费存贷利率：如果允许这 7 个人之间进行跨期金融交易（即存款 与透支） ， 那么谁在第 1 期会存款？谁在第 1 期会透支？市场均衡利率为多少？有了 金融市场以后，每个人的跨期效用值是多少？金融市场的存在提升了谁的福利水 平？（假设：每个消费者都是价格（利率）的接受者） 【提示：比较效用值大小时可用计算器】