辽宁省丹东市振安区高级中学高一数学 基础知识点汇总 7平面向量
高一数学平面向量基础知识整理
高一数学平面向量基础知识整理一、向量的定义与表示在数学中，向量是有大小和方向的量。
常用箭头在平面上表示向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、向量的性质1. 向量的相等性：向量的大小和方向完全相同，则两个向量相等。
2. 向量的相反性：如果两个向量大小相等，方向相反，则为相反向量。
3. 零向量：大小为零的向量，任何向量与零向量相加仍为原向量。
4. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称为平行向量。
5. 共线向量：两个向量在同一直线上，或者其中一个是另一个的常数倍时，称为共线向量。
6. 自由向量和定位向量：自由向量可以平移，定位向量则有固定的起点和终点。
三、向量的运算1. 向量的加法：- 要将两个向量相加，将它们首尾相连，连接起点和终点，新向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。
- 满足交换律和结合律。
2. 向量的减法：- 将减法转化为加法，即将减去的向量取相反向量，再进行加法。
3. 数量积：- 数量积又称为点积或内积，表示为两个向量的数量积的积，用符号 "·" 表示。
- 定义为两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。
4. 向量的数乘：- 数乘即将向量的每个分量都乘以一个标量。
四、向量的模（长度）向量的模表示向量的大小，有两种计算方法：1. 用坐标表示：向量 (a, b) 的模为√(a² + b²)。
2. 用数量积表示：设向量 a 的模为 |a|，则|a| = √(a·a)。
五、单位向量单位向量的模为 1，任何非零向量的单位向量可以通过将向量除以它的模来获得。
六、向量的夹角1. 向量的夹角余弦：- 两个非零向量 a 和 b 的夹角余弦定义为：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)，其中θ 为夹角。
2. 向量的垂直与平行关系：- 若 a·b = 0，则 a 与 b 垂直。
高一平面向量的知识点归纳总结
高一平面向量的知识点归纳总结平面向量是高中数学中一个重要的概念，也是数学建模中常用的工具。
在高一阶段，学生首次接触平面向量，并需要掌握其相关的计算方法和性质。
本文将对高一平面向量的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、平面向量的定义与表示方法平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，用一个点与另一个点之间的坐标差表示。
一般用字母加箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的运算1. 平面向量的相加减：向量的相加是指将一个向量的终点与另一个向量的起点相连，并以此线段为新向量的长度和方向。
向量的相减可以转换为向量的相加：A - B = A + (-B)。
2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的长度与一个实数相乘，得到一个新的向量，其方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。
3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的长度乘积与两向量夹角的余弦值的乘积。
数量积具有交换律和分配律。
三、平面向量的基本性质1. 平移性质：可以将一个向量平移至另一个点，其大小和方向不变。
2. 平面向量的共线性：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是共线的；如果两个向量的方向互相垂直，那么它们是互相垂直的；如果两个向量不共线且不垂直，那么它们是不共线也不垂直的。
3. 向量共点性质：三个向量共点的充分必要条件是其中一个向量等于另外两个向量的和。
四、平面向量的几何应用平面向量在几何中具有广泛的应用。
其中，平面向量的模表示向量的长度，平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，平面向量的端点坐标可以确定向量在平面直角坐标系中的位置。
通过对平面向量的几何运算，可以解决平面上的定位、距离和角度等问题。
五、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用其横坐标和纵坐标来表示。
具体地说，如果向量的起点在原点O(0, 0)，终点在A(x₁, y₁)，那么这个向量可以用[x₁, y₁]来表示。
新高一平面向量知识点汇总
新高一平面向量知识点汇总高一学生开始接触平面向量，平面向量是数学中的一个基本概念。
它不仅在数学中有重要应用，也在物理学和工程学等领域有广泛应用。
本文将汇总新高一平面向量的知识点，帮助同学们系统学习和理解这一概念。
一、平面向量的定义和表示方式平面向量是有大小和方向的量。
通常用有向线段来表示，其中线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。
平面向量可以用字母加箭头（如a→）来表示，或者用坐标表示（如(a, b)）。
二、平面向量的运算1. 平面向量的加法：平面向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，向量a→ = (a₁, a₂) 和向量b→ = (b₁, b₂) 的和为a→ + b→ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
2. 平面向量的数乘：平面向量的数乘是将向量的每个分量与一个数相乘得到一个新的向量。
例如，向量a→ = (a₁, a₂) 乘以数k的结果为k·a→ = (k·a₁, k·a₂)。
3. 平面向量的减法：平面向量的减法可以利用向量的加法和数乘来表示。
例如，向量a→ 和向量b→ 的差为a→ - b→ = a→ + (-b→)。
4. 平面向量的数量积：平面向量的数量积（内积）是将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个数。
数量积可以用以下公式表示：a→ · b→ = a₁b₁ + a₂b₂。
三、平面向量的性质1. 平面向量的相等性：两个平面向量相等，当且仅当它们的对应分量相等。
即，a→ = b→ 当且仅当 a₁ = b₁且 a₂ = b₂。
2. 平面向量的数量积性质：平面向量的数量积有以下性质：- 交换律：a→ · b→ = b→ · a→- 结合律：(k·a→) · b→ = k·(a→ · b→)，其中k是一个数- 分配律：(a→ + b→) · c→ = a→ · c→ + b→ · c→- 数乘结合律：(k·a→) · b→ = k·(a→ · b→)- 单位向量性质：一个向量与其自身的数量积等于它的大小的平方：a→ · a→ = ||a→||²四、平面向量的应用平面向量在几何学和物理学中有广泛的应用。
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
高中数学中的平面向量应用知识点总结
高中数学中的平面向量应用知识点总结平面向量是高中数学中的一个重要知识点，它广泛应用于几何、物理等学科中。
在本文中，将总结和介绍高中数学中的平面向量的应用知识点，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 平面向量的表示平面向量通常用加粗的小写字母表示，如a、b等。
它可以表示为有序数组(a₁, a₂)，其中a₁和a₂分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 平面向量的模和方向角平面向量的模表示向量的长度，记作|a|。
方向角表示向量与x轴正半轴的夹角，记作θ。
根据平面向量的模与方向角，可以将向量表示为|a|cosθi + |a|sinθj的形式。
3. 平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法满足向量的三角形法则和平行四边形法则。
即两个向量相加（或相减）时，将它们的起点相接，并终点连线构成的三角形（或平行四边形）的对角线就是所求向量。
4. 平面向量的数量积和向量积平面向量的数量积又称为点积，表示为a·b。
它等于两个向量模的积与它们夹角的余弦值的乘积。
平面向量的向量积又称为叉积，表示为a×b。
它等于两个向量模的积与它们夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两个向量所在平面的法向量。
5. 平面向量的应用(1) 向量的共线与垂直判定：若两个向量共线，则它们的向量积为零；若两个向量垂直，则它们的数量积为零。
(2) 向量的模长和夹角关系：若两个非零向量的数量积为零，则它们夹角为90°；若两个非零向量的向量积为零，则它们夹角为0°或180°。
(3) 向量的投影：向量b在向量a上的投影表示为b在a方向上的分量，记作projₐb。
它等于向量b与向量a的数量积除以向量a的模长，即projₐb = (a·b) / |a|。
(4) 向量的单位化：将向量除以其模长，得到长度为1的单位向量，称为单位向量。
单位向量在方向上与原向量相同。
6. 平面向量的应用举例(1) 平面向量的位移：在平面内，若有物体从点A移动到点B，可以用向量AB表示物体的位移。
高中数学《平面向量》知识点总结
高中数学《平面向量》知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容之一、它是描述平面上的有向线段的数学工具，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
以下是对平面向量知识点的总结。
1.平面向量的定义和表示法：平面向量是具有大小和方向的有向线段。
可以用有序数对(x,y)表示向量，也可以用字母加上箭头表示向量，如向量a用小写字母a加上箭头表示。
2.平面向量的运算：(1)向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”，即两个向量相加等于以它们为相邻边的平行四边形的对角线；(2)向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量，其大小等于原向量大小乘以实数，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）；(3)数乘的性质：数乘满足交换律、结合律和分配律；(4)向量的减法：向量减法即向量加上其负向量；(5)零向量：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身，与零向量的数乘等于零向量本身；(6)向量的线性组合：若有一组向量，每个向量乘以相应的实数再相加得到的向量称为向量的线性组合；(7)内积：内积是一种向量间的一种运算，定义为两个向量的大小之积乘以夹角的余弦值，用点乘符号表示，即向量a与向量b的内积为a·b；(8)内积的性质：内积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律，同时与向量的长度、夹角以及方向都有关系；(9)垂直：若两个非零向量的内积为0，则它们互相垂直。
3.平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示。
设平面上一个点的坐标为A(x1,y1)，则以原点O为起点的向量可以表示为向量a(x1,y1)，其中x1和y1分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。
4.平面向量的模和方向角：(1) 模：向量的模是指向量的长度，用，a，表示，计算公式为：，a，=sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度；(2) 方向角：向量的方向角是指向量与x轴正半轴之间的夹角，一般用θ表示，计算公式为：θ=tan^(-1)(y/x)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
高一平面向量所有知识点
高一平面向量所有知识点1. 引言在高一数学课程中，平面向量是一个重要的概念。
它不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理、工程、计算机科学等领域中发挥着重要作用。
理解和掌握平面向量的知识点，对于学生打下数学基础，以及将来的学习和应用都具有重要意义。
2. 平面向量的定义与表示平面向量是指既有大小又有方向的量。
通常用带箭头的有向线段来表示，箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
在二维平面上，一个向量可以用两个实数表示，即向量的坐标。
3. 平面向量的加法与减法向量的加法与减法是平面向量的基本运算。
向量的加法可以通过将两个向量的对应坐标相加得到。
减法则可以视为加法的逆运算，即将被减向量取反，再进行加法运算。
4. 平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点乘，表示两个向量之间的乘积。
数量积的结果是一个标量，即一个实数，而不是向量。
数量积的计算公式是两个向量的坐标分量相乘后相加。
数量积可以用来计算向量的模长、两个向量之间的夹角以及判断两个向量是否垂直。
5. 平面向量的向量积平面向量的向量积也叫叉乘，表示两个向量之间的乘积。
向量积的结果是一个新的向量，并且与原来的两个向量都垂直。
向量积的计算公式是利用行列式的形式来求解。
向量积可以用来计算向量的面积和判断向量的方向。
6. 平面向量的共线与线性运算如果两个向量的积为零，即向量积为零向量，则说明这两个向量共线。
线性运算是指对向量进行加法和数量乘法的运算。
对于共线向量，可以利用线性运算来证明它们共线的关系。
7. 平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影分量。
通过将一个向量投影到另一个向量上，可以得到一个新的向量，它与原来的向量垂直。
投影的计算公式是利用数量积来求解。
8. 平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的角度。
通过计算两个向量的数量积，可以得到它们之间的夹角。
夹角的计算公式是利用数量积的性质推导而来。
夹角的值范围是0到180度之间。
9. 平面向量的模长平面向量的模长是指向量的大小，即向量的长度。
高一数学平面向量的知识点
高一数学平面向量的知识点引言高一数学中，平面向量是一个重要的概念。
它不仅在数学中有广泛的应用，还在物理、工程等领域中扮演着重要的角色。
掌握好平面向量的知识点，对于学生的整体数学素养的提升是至关重要的。
本文将从平面向量的定义、表示和运算等几个方面进行讲解。
一. 平面向量的定义平面向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量通常用大写字母表示，例如A，A。
这个箭头的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
平面向量的大小通常用模表示，记作|A|。
二. 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示，也可以用点表示。
用坐标表示时，一个向量分别由x和y方向的分量表示。
例如，向量A的坐标表示为(AA,AA)或A=AA+AA，其中A和A分别是该向量在x和y方向上的分量。
用点表示时，可以用起点和终点表示一个向量。
例如，向量A的点表示为AA。
三. 平面向量的运算1. 向量的加法和减法向量的加法和减法都遵循平行四边形法则。
加法表示两个向量的合成，减法表示两个向量的分解。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘。
数乘的结果是一个新的向量，它的大小是原向量大小的绝对值倍，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。
数量积的结果是一个实数。
数量积满足交换律和分配律，并且与夹角的余弦有密切的关系，即A·A=|A||A|cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角。
四. 平面向量的应用平面向量在几何、物理等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用：1. 几何定理证明平面向量在几何中的应用主要体现在定理证明中。
例如，可以用平面向量证明中点四边形对角线平分定理等。
2. 向量的分解向量的分解是平面向量的重要应用之一。
通过将一个向量分解成若干个平行于坐标轴的分量，使得计算变得简单而直观。
3. 力的合成与分解在物理学中，力的合成与分解是平面向量的重要应用之一。
高一知识点总结平面向量
高一知识点总结平面向量高一知识点总结：平面向量引言：高一是学习数学的一个重要阶段，学生们会接触到许多新的数学概念。
其中一个重要的概念是平面向量。
平面向量既有理论性的意义，又具有广泛的应用价值。
本文将总结高一阶段学习的关于平面向量的知识点。
一、平面向量的定义和表示方式1.1 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
它由起点和终点确定，起点表示向量的起点，终点表示向量的方向和大小。
1.2 平面向量的表示方式平面向量可以用坐标表示，也可以用字母表示。
以字母表示时，通常用大写字母表示向量，如A、B，用小写字母表示向量的坐标，如a、b。
二、平面向量的运算2.1 平面向量的加法平面向量的加法满足平行四边形法则。
即把一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
2.2 平面向量的数乘平面向量的数乘就是将向量的模长与一个实数相乘。
三、平面向量的性质3.1 平行向量若两个向量的方向相同或相反，且模长成比例，则它们为平行向量。
3.2 垂直向量若两个向量的数量积为零，则它们为垂直向量。
3.3 向量的模长向量的模长即向量的长度，可以通过勾股定理计算。
四、平面向量的坐标表示4.1 向量的坐标表示向量的坐标表示是通过向量的终点坐标减去起点坐标得出的差值。
4.2 向量相等的条件两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点坐标分别相等。
五、平面向量的应用5.1 向量的平移通过平移向量可以将一个向量的起点变为另一个点，且起点、终点、大小和方向不变。
5.2 向量的投影当一个向量与另一个向量垂直时，可以通过计算数量积得到向量在另一个向量上的投影。
5.3 向量的共线与共面若两个向量共线，则它们可以表示同一直线上的不同点。
若三个向量共面，则它们可以表示同一个平面上的不同点。
结论：平面向量是高一数学中一个重要的概念，掌握平面向量的定义、表示方式以及运算法则是解决平面向量相关问题的基础。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一的平面向量知识点归纳总结
高一的平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一种重要概念，它具有方向和大小。
在高一数学学习中，平面向量是一个重要的知识点。
在这篇文章中，我将对高一平面向量的相关知识进行归纳总结，以帮助大家更好地理解和应用平面向量的概念。
一、平面向量的定义和表示方法平面向量是由有序的数对表示的。
我们通常用大写的字母加箭头表示平面向量，如AB→表示从点A到点B的平面向量。
平面向量的表示方法有坐标表示、单位向量表示和分解表示。
1. 坐标表示：假设A和B两点的坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量AB→的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。
2. 单位向量表示：单位向量是长度为1的向量，表示方向而不考虑大小。
我们可以通过求出向量AB→的模长，然后将向量AB→除以它的模长，得到单位向量。
3. 分解表示：平面向量可以分解为两个分量，即横坐标和纵坐标的分量。
假设向量AB→的坐标表示为(Δx, Δy)，则向量AB→可以表示为AB→ = Δx * i + Δy * j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。
二、平面向量的运算法则平面向量有加法、减法和数量乘法三种运算法则，这些法则可以帮助我们对平面向量进行运算和求解。
1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
假设向量A→和向量B→的坐标表示分别为(Δx₁, Δy₁)和(Δx₂, Δy₂)，则向量A→ + B→的坐标表示为(Δx₁ + Δx₂, Δy₁+ Δy₂)。
2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
假设向量A→和向量B→的坐标表示分别为(Δx₁, Δy₁)和(Δx₂, Δy₂)，则向量A→ - B→的坐标表示为(Δx₁ - Δx₂, Δy₁ - Δy₂)。
3. 数量乘法：数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
假设向量A→的坐标表示为(Δx, Δy)，实数k，则数量乘积kA→的坐标表示为(kΔx, kΔy)。
高一平面向量知识点
高一平面向量知识点在高中数学的学习过程中，平面向量是一个非常重要的概念。
它不仅在数学中具有广泛的应用，也涉及到其他学科，如物理学和工程学等。
本文将介绍高一平面向量的一些重要知识点和应用。
1. 向量的定义和表示方式向量是有大小和方向的量，用箭头来表示。
在平面直角坐标系中，一个向量可以由两个有序实数表示，分别表示其在x轴和y轴上的分量。
例如，向量AB可以表示为(3, 4)，其中3表示x轴上的分量，4表示y轴上的分量。
2. 向量的基本运算向量之间有三种基本运算：加法、减法和数量乘法。
向量加法的结果是两个向量的分量相加，减法的结果是两个向量的分量相减，数量乘法的结果是将向量的每个分量乘以一个实数。
这些运算符合向量的运算律，即满足交换律、结合律和分配律。
3. 向量的模和单位向量向量的模是指向量的大小，用符号||AB||来表示。
可以使用勾股定理来计算模：||AB|| =√(x^2 + y^2)。
单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以其模来得到单位向量。
4. 向量的数量积和夹角向量的数量积是两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦的乘积。
可以使用余弦定理来计算夹角：cosθ = (aa) / (||a|| ||b||)，其中a和b分别为两个向量。
数量积还可以用来计算向量的投影和判断两个向量是否垂直。
5. 平面向量的平移到一般位置平面向量可以在平面上不同的位置进行平移。
例如，向量AB可以平移到其它位置C，只需要将向量保持大小和方向不变地移动到C点。
这样得到的向量AC就表示了AB到AC的平移。
6. 平面向量的共线和共面关系如果两个向量的方向相同或相反，它们就是共线的；如果三个或更多个向量在同一平面上，它们就是共面的。
共线向量和共面向量之间有着特殊的关系，可以用来解决实际问题。
7. 平面向量的应用平面向量在几何、物理和工程学中具有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以利用向量来证明两条线段平行、垂直或夹角相等；在物理学中，可以使用向量来描述速度、加速度和力等物理量；在工程学中，可以利用向量来计算力的合成和分解。
新高一平面向量知识点梳理
新高一平面向量知识点梳理【主题】新高一平面向量知识点梳理近年来，平面向量方面的知识在高中数学课程中占据着重要的位置。
它不仅是高等数学的基础，还在实际生活中有着广泛的应用。
在新高一数学教学大纲中，平面向量作为必修内容，更加注重学生对其基本概念和应用技巧的掌握。
本文将梳理新高一平面向量的知识点，帮助同学们深入理解和应用。
一、向量的基本概念向量是高中数学中的重要概念，它不仅可以表示有大小和方向的物理量，还可以表示位移、速度等。
在平面上，一个向量可以由两个实数确定。
向量的加法满足“三角形法则”，也就是两个向量相加等于由它们的起点作为两个边的三角形的第三边。
向量的乘法有数量积和向量积两种形式，而数量积代表了两个向量之间的夹角和长度的关系，向量积则表示了两个向量构成平行四边形的面积。
二、向量的坐标表示和运算在平面直角坐标系中，可以利用坐标表示一个向量。
给定平面上两点A（x₁, y₁）和B（x₂, y₂），可以得到向量AB的坐标表示：(x₂-x₁, y₂-y₁)。
向量的加法和减法可以通过对应坐标元素进行相加和相减完成。
例如，向量AB + 向量CD = (x₂-x₁ + x₄-x₃, y₂-y₁ + y₄-y₃)。
同样，向量的乘法也可以直接应用于坐标表示的向量进行运算。
这样的坐标表示法使得向量的运算更加简便。
三、向量的共线与共面关系在平面向量的学习中，共线与共面是非常重要的概念。
当两个向量共线时，它们的夹角为0或180度。
而共面则表示三个或更多个向量所在的平面是同一个平面。
通过观察向量的坐标表示，我们可以简单地判断向量之间的共线与共面关系。
这对于解决平面几何问题具有重要的指导意义。
四、向量的线性运算向量的线性运算是指向量与实数之间的运算，包括向量的数乘和向量的线性组合。
数乘指的是用实数乘以一个向量，这个向量的长度会相应地变化。
向量的线性组合是指对向量进行加法和数乘的运算，如：λ₁a + λ₂b + … + λₙn。
高一数学平面向量基础知识要点复习 人教版
高一数学平面向量基础知识要点复习 人教版一． 基本概念：1． 向量： ．2． 向量相等：b a=⇔ ⇔3． 两个非零向量a 、b 的夹角：做 =a ； =b ； 叫做a 与b的夹角。
4． 坐标表示：i 、j分别是 ，若=a则 叫做a的坐标。
二． 基本运算： 运算 向量形式坐标形式：()11,y x a =；()22,y x b = 加法 =+BC AB a +b=减法 =-AC ABa -b =数乘aλ是一个 ，=a λ方向：=aλ点乘a ·b =a ·b =三． 基本定理、公式：1． 平面向量基本定理：若1e与2e，则对平面内的任意一个向量a，一对实数1λ、2λ；使得=a2． 向量的模：a ＝ ＝ ； a 与b夹角：=θcos =3． 向量平行：a ∥b⇔ ⇔；垂直向量：a ⊥b⇔ ⇔4． 定比分点坐标公式： 中点坐标公式： 5． 平移公式： 6． 正弦定理：余弦定理：[参考答案]一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、向量相等：b a=⇔ 模相等，方向相同 ⇔21x x =，21y y =。
3、两个非零向量a 、b 的夹角：做OA =a ；OB =b ；AOB ∠叫做a 与b的夹角。
4、坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=aj y i x +，则()y x ,叫做a 的坐标。
运算 向量形式坐标形式：()11,y x a =；()22,y x b = 加法 =+BC AB AC a +b=()2121,y y x x ++ 减法 =-AC AB CBa -b=()2121,y y x x --数乘aλ是一个向量，=a λ||||a λ方向：0>λ时，与a 同向；0<λ时，与a 反向；0=λ时，0=a λ()11,y x a λλλ=点乘a ·b=θcos ||||b aa ·b=2121y y x x +三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若1e与2e不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1λ、2λ；使得=a2211e e λλ+。
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。
几何表示法AB ，a；坐标表示法),(y x j y i x a =+=。
向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。
（与0的区别） ③单位向量｜a｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a∥b⑤相等向量记为b a=。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=特殊情况：abab a+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbba +ba +AABBC C)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b +-、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =aλ。
二．【典例解析】题型一： 向量与与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若==则(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a =；(7)若b a //，c b //，则c a// (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a//；(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算与相关运算律 例2 化简)()(---=练习1.下列命题中正确的是A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2.化简AC -BD +CD -AB 得 A ．AB B ． C ． D ．3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B.BD →－CF →＋DF →＝0 C.AD →＋CE →－CF →＝0 D.BD →－BE →－FC →＝0题型三: 结合图型考查向量加、减法例3在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34例4重心、垂心、外心性质练习: 1．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ．2已知a b a b+-=求证a b ⊥3若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的ABCDE形状为（ ）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于________．6．已知平面内有一点P 与一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上 D ．点P 在线段AC 上7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23 题型四: 三点共线问题 例4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值例5已知A 、B 、C 、P 为平面内四点， A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA→ +nPB → ，求证： m+n=1．练习：1．已知：2121212CD ,B C ),(3e e e e e e AB +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线2．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________．第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 一．【要点精讲】 1．平面向量的基本定理如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中A不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○1，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为),(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++，a b -= 1212(,)x x y y -- （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB = （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中baa∥b (b)的充要条件是12210x y x y -=二．【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量[例1] 在△OAB 中，OBOD OA OC 21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .练习:1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e2．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________. 题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算例3 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且CA CM 3=,CB CN 2=,求点M 、N 的坐标与向量的坐标.练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12) C ．(3,2)D ．(1,3)2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =, 求P 点的坐标；3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P 在MN 的延长线上，且 12MP MN =,求P 点的坐标；4.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线5．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG →＝2GD →，则点C 的坐标是( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53题型三: 平行、共线问题例4已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒例5．（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-， 如果//c d 那么 ( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向练习：1．若向量a=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)与t +=， 求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。
高一数学必考知识点之平面向量相关知识
高一数学必考知识点之平面向量相关知识进入新高一，很多同学还不能适应高中数学课程的学习，尤其高一又是非常关键的一年，高一数学学的好坏将直接影响同学们整个高中数学的成绩。
那么高一数学的最关键学习点是什么呢?学习高一数学最关键的是要抓基础，只有基础牢固了，才能将各种解题技巧运用得熟练，在高考中取得好成绩。
以下是新高一同学必掌握的知识点----平面向量。
第一、向量的基本概念。
既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量叫做向量(物理学中叫做矢量)，向量可以用小写黑体字母a，b，c，.......表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
只有大小没有方向的量叫做数量(物理学中叫做标量)。
第二、向量的表示方法。
1、几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。
(AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→)有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，在向量中共线向量就是平行向量，(这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量)长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
(注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆)零向量的方向是任意的;且零向量与任何向量都平行且垂直。
模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
2、坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj我们把(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a=(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
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平面向量
坐标表示法
平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y 叫做在y轴上的坐标。
在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向
向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长
度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．
向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，记作a∥b∥c．0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行．
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．零向量与零向量相等．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
向量的运算
1、向量的加法：
AB+BC=AC
设a=（x,y） b=(x',y')
则a+b=(x+x',y+y')
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：
交换律：
a+b=b+a
结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
2、向量的减法
AB-AC=CB
a-b=(x-x',y-y')
若a//b
则a=eb
则xy`-x`y=0
若a垂直b
则ab=0
则xx`+yy`=0
3、向量的乘法
设a=（x,y） b=(x',y')
a·b(点积）=x·x'+y·y'=|a|·|b|*cos夹角
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是 )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：‖，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有 )；④三点共线共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是
例题：
1.已知点A(1,1),B(-1,5)及AC向量=1/2AB向量，AD向量=2AB向量，AE向量=-1/2AB 向量，求点C，D，E的坐标。
设C点(x，y)，则AB＝(－2，4)，AC＝(x－1，y－1).
由AC＝1/2AB得：
x－1＝1/2×(－2)＝－1，
y－1＝1/2×4＝2
所以，x＝0，y＝3，所以点C的坐标是(0,3)
设D点(x，y)，则AD＝(x－1，y－1).
由AD＝2AB得：
x－1＝2×(－2)＝－4，
y－1＝2×4＝8
所以，x＝－3，y＝9，所以点C的坐标是(－3,9)
设E点(x，y)，则AE＝(x－1，y－1).
由AE＝－1/2AB得：
x－1＝－1/2×(－2)＝1，
y－1＝－1/2×4＝－2
所以，x＝2，y＝－1，所以点C的坐标是(2,－1)。