自动控制原理胡寿松 第4章

s 令s a＝s z1 s z2 s p1 s p2
代入标准形式：
s zm
s pn
nm
s a
K *
(n m) s a (2l 1)
(2l 1) s a (l 0,1, 2,..., n m 1) ( n m)
(s z )
i 1 n i
m
K
*
sm
(s p )
j 1 j
1
sm
zm z1 z2 (1 )(1 ) (1 ) s s s pm p1 p2 (1 )(1 ) (1 )( s pm 1 ) s s s 1 * 0( K * ) K
180 2l 1 a 60,180,300(60) nm
渐近线与实轴的交点坐标为：
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm

0 (1) (2) 0 1 30
• （4）实轴上的根轨迹： • 在s平面实轴上[0，-1]和[-，-2]线段上存在根轨 迹。
渐近线与实轴正方向夹角：
( 2l 1) a nm
l 0,1,2,, n m 1
规则5: 实轴上的根轨迹
在实轴上任取一点，若在其右侧的开环实极点与开环实零点 的总数为奇数，则该点所在线段构成实轴上的根轨迹 j
z1 p2 z2
(s z1 ) (s z2 ) (s p1 ) (s p2 ) (2l 1)
规则4:根轨迹的渐近线
s a
n j 1 m
nm
snm (n m) a snm1
s n s n 1 p j s m s m 1 zi
i 1 j 1 n n
K *
(s p j ) ( s zi )
i 1
K *
则：
K
*
s p1 s p2 s z1 s z2
s pn s zm
（1）上式表明，参变量无限小的增量与 s平面上长度s-pi及s-zi 的无限小增量相对应，这时复变量 s 在 n 条根轨迹上将产生一 个无限小的位移。这便说明了根轨迹线是连续的。 （2）由于反馈系统特征方程的系数仅与系统参数有关，而对实 际的物理系统来说，系统参数又都是实数，从而特征方程的系 数也必然都是实数。因为具有实系数的代数方程的根如为复数， 则必为共轭复数，所以实际物理系统的根轨迹必然是对称于实 轴的曲线。
规则3：根轨迹的起点和终点
起始点： 起始点为K*=0时的闭环极点。 终止点： 终止点为K*时的闭环极点。
1 * K ( s pi )
i 1 n i 1
( s zi )
m
(1)当K* =0时,根轨迹起始于开环极点 (2)当K* 时，有m条分支趋向开环零点； (3)n>m时，另外n-m条的终点？
i 1 i 1
K
*
| s z |
i 1 i j
m
| s p
j 1
n
1
|
G(s) H ( s) ( s zi ) ( s pi ) (2l 1) (l取整数)
i 1 i 1
m
n
• 相角条件与根轨迹增益K*无关，把满足相角条件的s代入到幅 值条件中，总能得到相应的K*，所以相角条件是决定根轨迹 的充分必要条件； • 幅值条件主要是用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、绘制根轨迹的基本条件 负反馈系统特征方程为 1＋G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)=-1
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得 • 幅值条件
G( s ) H ( s ) 1
• 相角条件
G(s) H (s) (2l 1) (l取整数)
如果参数K1从0向变化时，系统闭环 特征根在复平面上的变化形成的轨迹 如图。
定义：当系统中某一参数由零变到无穷大时，闭环系 统特征根在s平面上形成的轨迹称系统的根轨迹。 *一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系 统的任意参量。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析：
（1）判断该系统在K*从0到变化时的稳定性； （2）判断该系统在K*取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和欠阻尼状态； （3）判断系统的类型，从而计算系统稳态特性； （4）当K*值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从 而计算系统闭环性能指标；或反之。
抵消
s p 1


0
• 例3 试确定负反馈系统
K* G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
• 的根轨迹在实轴上的组成部分。
* K 例4-4 负反馈系统的开环传递函数为：G( s) H ( s) s( s 1)( s 2) 试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。
解（1）系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点， 分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线： K*时，有3条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线的倾角为：
从基本规则一知，系统有三条随变量K*由0变向∞对称于实轴的连 续根轨迹曲线。 又从基本规则二知，三条根轨迹分别起始于s平面上的点(0， j0) ,(-1，j0),及(-2, j0)，并随参变量K*—>∞，三条根轨迹都将趋向 于s平面上的无穷远处
规则4:根轨迹的渐近线
当系统的根轨迹增益K*时，趋向无穷远处的根轨迹共 有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由渐近线决定
j
j
j



j
j
j



规则6：根轨迹的分离点和分离角
分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面相遇又立即分开的点。 分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向 之间的夹角。 根轨迹的分离点实质上是闭环特征根出现重根的点，闭环特征 方程为
1 GH 1 K *
(s z ) (s p )
（3）利用幅值条件求得与 S1相对应的K*值。
K
*
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)

1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
11.94
二、绘制1800根轨迹的基本规则
• 假若根轨迹方程为
由相角条件知
j 1 j i 1 n i
m
0
D(s) (s p j ) K
j 1
n
*
(s z ) 0
i 1 i
m
规则6：根轨迹的分离点和分离角
方程D(s)=0出现重根，即
m dD( s) d n * ( s p j ) K ( s zi ) 0 ds ds j 1 i 1
(s z )
i 1 i
m
d m d n ln ( s p j ) ln ( s zi ) ds j 1 ds i 1 d m d n ln( s p j ) ln( s zi ) ds j 1 ds i 1
其中，根轨迹增益K*是绘制根轨迹的可变参数，称参变量
开环传递函数的标准形式必须具有下列特征： 1)参变量K*必须是G(s)H(s)分子连乘因子中的一个 2)G(s)H(s)必须通过其极点与零点来表示 3)构成G(s)H(s)分子分母的每个因子中s项的系数必须是+1
规则1：根轨迹的分支数
根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n(闭环极 点的数目)。
第四章 根轨迹法
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 正反馈系统根轨迹 第四节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹
第一节 根轨迹的基本概念
R( s )
பைடு நூலகம்

K s (0.5 s 1)
C (s)
K1 K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2) K1 C ( s) 系统闭环函数为： 2 R( s ) s 2s K1 开环传函G ( S ) 系统闭环特征根 : s1,2 1 1 K1 K1：根轨迹增益（P.72），本书用K 表示。
G(s) H ( s) ( s zi ) ( s pi ) (2l 1) (l取整数)
i 1 i 1 m n
G(s)H(s)= - 1
满足上述方程的根轨迹称为1800根轨迹
画根轨迹之前，需对开环传递函数化成标准形式
K * (s z1 )(s z2 ) (s zm ) G( s) H ( s) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
利用上式，可以解出 分离点。系统阶次不 高时，可以准确解出 分离点，系统阶次较 高时，可以用试探法 （P.153例4-1）解出 分离点。（方法一）
d n (s p j ) ds j 1 d m ( s zi ) ds i 1
m 1 1 j 1 s p j i 1 s zi n
(s p )
j 1 j
n

令分离点为d，则
m 1 1 j 1 d p j i 1 d zi n
m d n * d (s p j ) K (s zi ) ds j 1 ds i 1
——（1）
特征方程D(s)=0可以变形为
(s p ) K (s z )
* j 1 j i 1 i
n
m
——（2）
规则6：根轨迹的分离点和分离角
（1）式除（2）式，得
由于开环传递函数由物理系统决定，分母的阶数大于等于分子 的阶数，所以开环传递函数的阶数也就是闭环特征方程的阶数。 因此，根轨迹的分支数与开环传递函数的阶数相等。