高考题_圆锥曲线_中弦张直角时的_必然_一组优美的结论
圆锥曲线中弦张直角时的一组结论
１。＞６ ） （ ＞０ 交于 、Ｂ两点， 是其右 Ｍ
顶点， 当Ｍ Ａ 上Ｍ Ｂ时， 直线 ｃ 过定点
（２２） －， ａｂ． （ ） ａ 。
ｌ
并求出该定点的坐标．
答案：Ｉ ＋－ ＝１ （ ） ５ － ；
ｏ
／９ 、
Ｍ
（ 直线ｃ Ⅱ ） 过定点 （ ， １ 弓０ ．
： ＝＝
１ｎ＞ ０ ６＞ ０交于 、Ｂ两点， （ ， ）
肴Ｍ －ＭＢ‘ ｌ ） － ．
（２２） 时有≠ 否不 ＋） （ 应ｎ６则可 ａ ｂ。 （ ，此 ａ ，
简证： 仿上． 设直线与双曲线交于Ａ（ｌｖ） Ｘ ，ｉ、
ｒ Ｙ＝ ｋ ｘ＋ ｍ，
—
定理２１ 直线与抛物线Ｙ ． ＝ ２ｘ ＞０ ｐ ） 交于 、Ｂ两 点， ０ － ０Ｂ（ 当 ｌ － ０为坐标原点）
６（ 一ａｋ） ２仇２ ２２
ｌ ２ ＝
６ ２＋ ａ ｋ ‘ ２２ ０ ．
又Ｍ （，） ＭＡ上ＭＢ， ａ０，
・
．
点为Ａ ｘ ，１、Ｂ（２ｙ）联立方程组得 （ｌｙ） ｘ ，２，
．
．
：
维普资讯
２０ 年第 ５ ０８ 期 （ｌ ）ｘ 一ａ ＋ＹＹ ＝０ Ｘ —ａ（２ ） ｌ２ ， Ｘ ） １２＝０ ２ ＋ａ ＋ＹＹ ， ＸＸ 一ａｘ ＋ ｌ２ （ｌ ６ｆ ｍ２一ａ ｋ ） ２ ２ ｎ （ 一ｂ） ｍ
猜想一 当圆锥曲线 中弦张直 角 （ 角顶 点 直 为曲线顶 点） 时的直线过定点
Ｂ
图 ２
定理 １ 直线与抛物线Ｙ ． １ ２＝ ２ｘ ＞０ ｐ ） 交于 、Ｂ两点， 《 上 《Ｂ（） 当＝ ） ＝ （为坐标原点） ） 二 时， 直线Ａ Ｂ过一定点（ ０． ，）
高考题(圆锥曲线)中弦张直角时的_必然_——一组优美的结论再探
万方数据
万方数据
高考题(圆锥曲线)中弦张直角时的"必然"——一组优美的结
论再探
作者：杨冬梅， 邓成
作者单位：浙江省象山中学,315700
刊名：
中学数学
英文刊名：MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS
年，卷(期)：2008(9)
1.郭建斌;汪琼高考题(圆锥曲线)中弦张直角时的"必然"[期刊论文]-中学数学 2008(04)
1.汪克明"设而不求"在圆锥曲线中的应用[期刊论文]-中学数学2008(9)
2.苏立标圆锥曲线中"张角为直角的弦"问题概述[期刊论文]-中学数学2007(11)
3.陈显宏圆锥曲线左右逢"圆"探秘[期刊论文]-中学数学2007(9)
4.徐益萍.朱冬平圆锥曲线中求参数范围的处理方法[期刊论文]-中学数学2010(7)
5.李世臣圆锥曲线的又一类定点、定值问题的补充与推广[期刊论文]-数学教学研究2007(9)
6.郭建斌.汪琼高考题(圆锥曲线)中弦张直角时的"必然"——一组优美的结论[期刊论文]-中学数学2008(4)
7.胡寅年一道质检题的优解及推广[期刊论文]-中学数学2011(3)
8.刘箭飞圆锥曲线中一类过定点的弦[期刊论文]-中学数学2007(8)
9.冯寅利用圆锥曲线定义解题的四大特征[期刊论文]-中学数学2007(2)
10.戴海林直角梯形在圆锥曲线中的应用[期刊论文]-中学数学2006(5)
引用本文格式：杨冬梅.邓成高考题(圆锥曲线)中弦张直角时的"必然"——一组优美的结论再探[期刊论文]-中学数学 2008(9)。
高中数学有关圆锥曲线的经典结论
⾼中数学有关圆锥曲线的经典结论有关解析⼏何的经典结论⼀、椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线⽅程是00221x x y ya b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意⼀点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点⾓形的⾯积为122tan 2F PF S b γ=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆⼀个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a=-，即0202y a x b K AB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的⽅程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹⽅程是22002222x x y yx y a b a b+=+. ⼆、双曲线1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右⽀；外切：P 在左⽀）00022a b 0线的切线⽅程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点⾓形的⾯积为122t 2F PF S b co γ=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - ,2(,0)F c当00(,)M x y 在右⽀上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左⽀上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线⼀个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即0202y a x b K AB =。
高考数学复习 圆锥曲线常用结论整理
圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理椭圆问题小结论：1.与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=>或()2222,0x y b aλλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22221x y a b+=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点(),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：22AB OPb K K a⋅=-；若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，22AB OP a K K b⋅=-；4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.6. 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a=-7.（焦点弦结论）设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处12F PF θ∠=最大。
圆锥曲线的一组优美结论
圆锥曲线是一种常见的几何曲线，它是由一个固定的圆盘和一条永远经过圆盘中心的直线（称为锥轴）所构成的曲线。
圆锥曲线有许多有趣的性质，下面是一些关于圆锥曲线的结论：
1 圆锥曲线的经过点数是无限的，因此它是一条无端的曲线。
2 圆锥曲线是一条连续曲线，因此它不会断开。
3 圆锥曲线的经过点都在相同的平面内，因此它是一条二维曲线。
4 圆锥曲线的形状受到锥轴的方向和斜率的影响。
如果锥轴垂直于
圆盘，则圆锥曲线是一个圆；如果锥轴斜率较大，则圆锥曲线会变得较长和较细；如果锥轴斜率较小，则圆锥曲线会变得较短和较厚。
5 圆锥曲线是一条对称曲线，即对于任意一条垂直于锥轴的直线，
圆锥曲线的两侧都是对称的。
6 圆锥曲线的长度是无限的，因此它是一条无限长的曲线。
希望这些信息能帮到你！。
高三数学圆锥曲线试题
高三数学圆锥曲线试题1.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则等于（）A．5B．4C．3D． 2【答案】C【解析】如图，过作准线的垂线，垂足分别为，过作于，由垂直及抛物线的定义可知，所以，所以,所以.【考点】抛物线的定义.2.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，，利用点差法，设过点的直线（显然，斜率存在）为，交点联立椭圆方程得：，则，又的中点坐标为，即，，故，又，所以，，联立得，所以椭圆方程为，选D.【考点】直线点斜式方程、椭圆方程.3.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则= .【答案】2【解析】抛物线的准线为，而圆化成标准方程为，圆心，，圆心到准线的距离为，所以，即.【考点】1.抛物线的准线方程；2.勾股定理.4.如图, 在等腰梯形ABCD中, AB//CD, 且AB="2CD," 设∠DAB=, ∈（0, ）, 以A, B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1, 以C, D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2, 设的大致图像是（）【答案】D【解析】根据题意，由于等腰梯形ABCD中, AB//CD, 且AB="2CD," 设∠DAB=, ∈（0, ）,那么结合双曲线的定义，以A, B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1, 以C, D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,BD-DA=2a,AB=2c,AD+DC=2a’,且，因为a在增大，c不变可知离心率e1增大，而对于离心率e2，不变，那么可知正确的图象为D。
【考点】双曲线的性质，椭圆的性质点评：主要是考查了双曲线以及椭圆性质的运用，属于中档题。
5.在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，) ()，则线段长度的最小值为．【答案】【解析】根据题意，由于点为圆：上的任意一点，由于圆心（1,0），且点(2，) ()，则线段长度的最小值为圆心到Q的距离减去圆的半径2，那么可知，故可知答案为。
圆锥曲线高考题选
全国卷圆锥曲线高考题选1、 (15全国新课标1)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．2、(14全国新课标)已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 相交于A 、B 两点，若AB 的 垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求的方程.3、（13新课标1）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.4．（13新课标Ⅱ卷数学）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直30x y +交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.5、(12全国新课标)设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值。
押新高考第21题 圆锥曲线(新高考)(解析版)
圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．3定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.1．（2021·湖南·高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()20A ，3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y x =-与椭圆C 相交于P Q ，两点，求AP AQ ⋅的值. 【详解】（1）椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()20A ，，所以2a =， 32c ca ==，所以3c =222431b ac =-=-=， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2580x x ，解得128,05x x ==，所以118583155x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，或110011x y =⎧⎨=-=-⎩，可得83,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1Q -，或者83,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1P -，所以()834312,02,155555AP AQ ⎛⎫⋅=-⋅--=-= ⎪⎝⎭.2．（2021·江苏·高考真题）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上.(1) 求实数a 的值； (2) 求()()48f f -+的值； (3) 求函数()f x 的解析式. 【详解】(1) 由直线l 过定点可得：(2)5m x y +=--，由2050x y +=⎧⎨--=⎩，解得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线l 过定点()2,5A --.又因为0x <时，()log ()2a f x x x =-+， 所以(2)log 245a f -=-=-， 有log 21a =-，12a =. (2) 12(4)log 4810f -=-=-， 因为()f x 为偶函数，所以12(8)(8)log 81619f f =-=-=-， 所以(4)(8)29f f -+=-.(3) 由(1)知，当0x <时，12()log ()2f x x x =-+. 当0x >时，0x -<，1122()log 2()log 2f x x x x x-=+⋅-=-，又()f x 为偶函数，所以12()()log 2f x f x x x =-=-，综上可知，1212log ()20()log 20x xx f x x x x -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.3．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F 6（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN = 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距2c =6c e a =，所以3a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线(:2MN y k x =即20kx y k --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>2211k k =+，解得1k =±，联立(22213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122343x x x x +=⋅=，所以()212121143MN x x x x =++-⋅所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>211b k =+，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++， 所以()2222212122263314141313kb b MN k x x x x kk k -⎛⎫=++-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭22241k k =+3 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:2MN y x =或2y x =-+所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =4．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围. 【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =. （2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ， 所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=， 因为2RN PN QN =⋅，故21111+1+1+444R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅. 又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-， 同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦， 整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭， ()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-， 令21s t =-，则12s t +=且0s ≠， 故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩， 解得73n ≤--7431n -+≤<或1n >.故直线l 在x 轴上的截距的范围为743n ≤--731n -+<或1n >. [方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-． 因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+， 12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=+++=+=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-． 同理3112Q m y k +=-． 由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-． 因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故22121314112k m m k ++⎛⎫=⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭． 令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得73m ≤--731m -+≤<或1m．故直线l 在x 轴上的截距的范围为(,743)[743,1)(1,)-∞---++∞． [方法三]【最优解】：设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-． 所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--． 设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-， 则222(2)(2)(2),,,1112P Q R N m a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--．所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN aa aa +-=⋅⇔=--+-．故()()2222222222221112(1)2140,2133111a a a m t t t a m t t a a a a ⎛⎫-- ⎪--+--+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）． 所以(,1483][1483,)m ∈-∞-++∞． 因此直线l 在x 轴上的截距为(,743][743,1)(1,)2m-∈-∞---++∞．5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围． 【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤， 综上，31k -≤<-或13k <≤.1．（2022·天津·一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2且6AB (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程.【解析】(1)根据题目列方程2222226a b c c a a b ⎧=+⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩ 解得24a =，22b =， 所以椭圆的方程为22142x y +=. (2)由已知得12=-AH k ，所以，直线AH 的方程为()122y x =--，所以，S 点的坐标为()0,1.当直线l 的斜率不存在时，21=-ASM S △，213+=HSN S △， 或21=+ASM S △，213-=HSN S △都与已知不符； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212420k x kx ++-=， 122412k x x k -+=+，122212x x k -=+， 1sin 2=⋅∠ASM S AS MS ASM △，1sin 2=⋅∠HSN S HS NS HSN △， 由△ASM 的面积是△HSN 面积的32可得23=ASM HSN S S △△化简23⋅=⋅AS MS HS NS ，即23=AS NSHS MS， 又3==-A HAS xHS x ，所以，2=NS MS ，即212=-x x ，也就是212x x =-， 所以，12412--=+k x k ，12412=+k x k ，22812-=+k x k ，()2122223221212k x x k k --==++， 解得，2114k =，所以，直线方程为14114=±+y x .2．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，22.过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在直线l ，使得21F A ，2112F P ，21F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 【解析】(1) 由题意知：2c e a ==，即2a c =； 当A 为椭圆的短轴端点时，不妨设()0,A b ，则()2,AF b c =-，(),2AP b =-，2223AF AP b c ∴⋅=+=，又22222a b c c =+=，22∴=b c ，即223c c +=，解得：1c =，2a ∴1b =， ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；(2)设():2l y k x =-，由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222218820k x k x k +-+-=， ()()42264421820k k k ∆=-+->，22k ⎛∴∈ ⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+，()()()42222121212224821221k k x x x x x x k -+∴+=+-=+，()11,0F -，()()2222221111111111112222F A x y x x x x ∴=++=++-=++，同理可得：221221222F B x x =++， ()()2242221211122248122244221x x k k F A F B x x k +++∴+=+++=++， 又219F P =，()4222481224921k k k++∴+=+，整理得：4228830k k --=，即()()22211430k k -+=，解得：2k =，222k ⎛∈- ⎝⎭，∴不存在直线l 符合题意. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为C 的左､右焦点，过1F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，满足115AF F B =，且1222AF F S =.设e 为C 的离心率. (1)求2e ； (2)若32e ≤2a =，过点P （4，1）的直线1l 与C 交于E ，F 两点，1l 上存在一点T 使111EP FP PT +=.求T 的轨迹方程. 【解析】 (1)由题直线l 斜率存在且不为0，设:l x my c =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22221x my cx ya b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222221210m mc c y y ab a a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 则2222122122222222214,511mc c a a y y y y y y m m a b a b -+=-==-=++，消去2y ，得2222454a m c b =-，不妨设0m >，则()()122121212215452226AF F c y y y y c y y cSy +--====，整理可得64272176136330e e e -+-=，解得212e =3537-3537+（舍）. (2)由题知22:142x y C +=， 若1l 斜率不存在，则与C 无交点，不合题意； 若1l 斜率存在，设1:(4)1l y k x =-+，与22142x y +=联立， 得()()222221416321620k x k k x k k ++-+--=，设()()1122,,,E x y F x y ，则2212122216432162,2121k k k k x x x x k k ---+==++，由()2Δ812810k k =-++>得2727k -+∈⎝⎭，设()00,T x y ，由题120111444x x x +=---，即()1212120811644x x x x x x x --=+-+-， 则可得07424x k -=+， 若07424x k -=+，则008954,2424k k x y k k +-+==++，消去k 得0042110x y +-=，若07424x k --=+，则0082394,2424k k x y k k ++==++，消去k 得0042250x y +-=， 综上，T 的轨迹方程为42110x y +-=或42250x y +-=.4．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点3M ⎛ ⎝⎭，且焦距1223F F =,AB CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；(2)若(,)N s t 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个．．．．．．．．．．．，证明：直线PQ 经过定点． ①31,s t =≠,NA NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ； ②2,t s =∈R ，直线,NC ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ． 【解析】(1)由已知，3c =3M ⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=，又因为222a c b -=，所以 224,1a b ==，所以椭圆的方程为：224,1a b ==.(2)选①，则()()(1,),2,0,2,0N t A B -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， ,,12312NA NB t t t k k t ====-+-所以()():2,:2,3NA NB tl y x l y t x =+=-- ()222314t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()2222941616360t x t x t +++-=， ()()42222564941636360t t t ∆=-+-=>所以221636294P t x t --=+，所以2281894Pt x t -+=+，则21294P t y t =+，所以22281812,9494t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， ()22214y t x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222214161640t x t x t +-+-=， ()()422256414164160t t t ∆=-+-=>，所以22164214Q t x t -=+，所以228214Qt x t -=+，则2414Q t y t =+，所以 222824,1414t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以322224222124322429414818823664349414PQt tt t t t t k t t t t t t ---++===-+--+-++，所以直线PQ 的方程为：22224282143414t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+++⎝⎭， 所以()()43216832162830y x t yt x t y +-++-+=，所以0,4y x ==，故直线PQ 恒过定点()4,0.选②，则()()(,2),0,1,0,1N s C D -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， 211213,,NC ND k k s s s s -+====所以13:1,:1,NC ND l y x l y x s s=+=- 221114y x s x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()22224240s y s y s +++-=， ()()4224444640s s s ∆=-+-=>所以2244P s y s -=+，所以284P s x s -=+， 所以22284,44s s P s s ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 同理：223636Q s y s -=+，所以22436Q s x s =+，所以2222436,3636s s Q s s ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()()()2222222222364121212364248161612364PQs s s s s s s k s s s s s s s ---+⋅--++===-+-++所以直线PQ 的方程为：22224128+4164s s s y x s s s --⎛⎫-= ⎪++⎝⎭令0x =，则()()2222212+2841=22424s s s y s s --+==++ 故直线PQ 恒过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.5．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由． 【解析】 (1)易知OC ⊥面ABD ，OA BD ⊥，以,,OD OA OC 所在直线为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3)A B D C -，(1,0,3),(1,1,0),(1,1,0)BC AD BA ==-=，()1,1,0(1,1,0)(1,1,0)BE BA AE BA t AD t t t =+=+=+-=+-， 易知面BCD 的一个法向量为(0,1,0)OA =，设面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则30(1)(1)0n BC x z n BE t x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令1x =，则13(1,,)13t n t +=--， 可得222131cos30213113t OA n t OA nt t +⋅-===⋅⎛⎫+⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得13t =或3，又点E 在弦AD 上，故13t =. (2)P 的轨迹为过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线，证明如下： 取AD 靠近D 的三等分点即DE 中点M ，CD 中点N ，连接,,MN OM ON ， 由O 为BD 中点，易知ON BC ∥，又ON ⊄面BEC ，BC ⊂面BEC ， 所以ON //平面BEC ，又MN EC ∥，MN ⊄面BEC ，CE ⊂面BEC ，所以MN //平面BEC ， 又ON MN N ⋂=，所以面OMN //平面BEC ，即O 和MN 所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC ，又MN ⊂面ACD ，故P 的轨迹即为MN 所在直线， 即过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线.（限时：30分钟）1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .【详解】（1）由圆()22116x y -+=，可得圆心()1,0C ，半径4r =，因为24FC =<，所以点F 在圆C 内，又由点M 在线段PF 的垂直平分线上，所以MF MP =， 所以4MC MF MP MC PC +=+==，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以F ，C 为焦点的椭圆， 其中2a =，1c =，23b =，所以点M 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设直线GH 的方程为4x my =+，()11,G x y ，()22,H x y ，()2,0A -，()2,0B ，将4x my =+代入22143x y +=，得()223424360m y my +++=，1222434my y m -+=+，1223634y y m =+， 直线AG 的方程为11(2)2y yxx ，令1x =得1132y y x =+，即1131,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，NH 的直线方程为121121323(1)12y y x y y x x x -+=-+-+， 2x =代入得()()()()121211211212133231231212y y y y x y x x y y x x x x --++-+=+=-+-+ 12112213(6)3(3)(1)(2)y y my y my x x -++--=-+12122146()(1)(2)my y y y x x ++=-+222136244634340(1)(2)mm m m x x -⨯+⨯++==-+，所以直线NH 过定点(2,0)B ．2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O 为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由． 【详解】(1)依题意有2111||42GO GO GO GP O P +=+==，所以G 点轨迹是以1O ，2O 为焦点的椭圆，长轴长242a =，焦距24c =，故点G 的轨迹C 方程为22184x y +=；(2)设存在直线l 满足2MD MA MB =⋅，因为()()22AM BM AO OMBO OM AO OM ⋅=+-=-，222MD AO OM =-，设l 方程为2x my =+，()11,D x y ，()22,E x y ，222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)440m y my ++-=，12242m y y m -+=+，12242y y m -=+． 22221222241642(1)11()222m m DE m y mm m m -+=+-=++=+++，222(1)m MD += 121228()42x x m y y m +=++=+，∴2242(,)22m M m m -++，2OM m k =-，224m OM +=，AB 方程为2m y x =-，设()00,A x y ，()00,B x y --，由222184m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22162x m =+， ∴22222000224(1)42m m OA x y x m +=+=+⋅=+∴2222222228(1)4(4)4(4)(2)2(2)m m m m m m +++=-+++，解得：22m =或21m =-(舍)，2m =±，故存在符合条件的直线l ，其方程为220x y +-=或220x --=．3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．【详解】（1）由题：32c a =，且12242a b ⋅⋅=，又222a c b -=， 所以2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()00,P x y ，则220014x y +=即()220041x y =-，不妨设()0,1C ，()0,1D -，直线PC ：0011y y x x -=+， 令0y =得001x x y =-，故00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可求00,01x N y⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 则200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-，030y k x =，所以004x k y =-，所以直线l 为()00004x y y x x y -=--，令0y =得220004x y x x +=，又220014x y +=， 故04x x =即04,0Q x ⎛⎫⎪⎝⎭． ()()0000000002881111x MQ NQ x x y y x y y x =+-=--++--， 又220014x y +=即()220041x y =-，代入上式得，02002804x x MQ N x Q --==． 4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】解：（1）设02,3D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意得0002022122433142223419DA DB y y k k a a a y y ab ⎧⋅=⋅=-⎪+-⎪⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪⎩， 2214b a ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）假设存在这样的点N ，设直线PM 与x 轴相交于点()0,0T x ，由题意得TP BQ ⊥，由（1）得()2,0B ，设2,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,Q x y ，由题意可设直线AP 的方程为2x my =-， 由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22440m y my +-=，1244m y m ∴=+或10y =(舍去)，212284m x m -=+， 223mt =-，83t m∴=， TP BQ ⊥，()0112203TP BQ x x ty ⎛⎫∴⋅=--+= ⎪⎝⎭， 210212284403233416ty m m x x m m +∴=+=+⋅⋅=-+-， ∴直线PM 过定点()0,0T ，∴存在定点()1,0N ，使得1MN =.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【详解】解：（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=- 又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+ 则212222A N A N A NB M A N y y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+ ∴存在实数2λ=，使得212k k =成立.。
有关圆锥曲线的四组结论及其应用
有关圆锥曲线的四组结论及其应用
1、圆锥曲线结论：一条圆锥曲线都可以表示为与轴成一定余角的
正弦曲线，它的焦点和轴向量成正比。
2、平面上的圆锥曲线有两个焦点。
在平面内，它的曲线的几何形状是
自相似的。
3、空间上的圆锥曲线也有两个焦点，它的曲线的几何形状不是自相似的，它的曲线会发生波动。
4、应用：圆锥曲线用于许多工程领域，如机械设计、结构设计和航空
航天等，也常用于几何学和动力学中。
例如，它用于圆锥组件的设计，如螺旋桨叶片、火花塞等，以及高速旋转盘、高精度机械装置、海上
风机等。
圆锥曲线也可以用于工作介质管道结构件的设计，如水管、
燃气管、液压系统等。
圆锥曲线中的弦长问题(含解析)
圆锥曲线中的弦长问题一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ）A ．2B C ．72D ．42．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．83．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．B ．4C ．2D ．14．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．,3⎡⎢⎣B ．3⎡⎢⎣C ．,48⎣⎦D ．816⎣⎦5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52二、填空题6．已知P 为椭圆221164x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则AB 的最小值为_______.7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为2. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为32，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ．12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值.14．已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为43.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB 15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点. （1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长.16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ） A ．3 B ．3C ．72D ．4【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时，，而,所以,故选C.考点：椭圆的性质2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A 【分析】由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p =，由抛物线的定义知：121231422p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin 2EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．2B ．4C ．2D ．1【答案】A 【分析】过点P 作PH 垂直于准线于点H ，由双曲线的定义得cos PF PH m FEP ==∠，在EFP △中利用正弦定理可求出FEP ∠，带入所给等式即可推出2EFP π∠=，即可求得PE 的值. 【详解】如图所示，过点P 作PH 垂直于准线于点H ，设PE m =，则cos PF PH m FEP ==∠， 在EFP △中，由正弦定理知sin sin PF PEPEF EFP=∠∠，即cos sin 2sin m FEP FEP FEP∠=∠∠，所以2cos 2FEP ∠=，又()0,FEP π∠∈，所以4FEP π∠=，则sin 21EFP FEP ∠=∠=，又()0,EFP π∠∈，所以2EFP π∠=，在直角EFP △中，2EF =，4FEP π∠=，所以22PE =故选：A 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质、正弦定理解三角形，属于中档题.4．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．45,253⎡⎢⎣B ．85453⎡⎢⎣C ．535,48⎣⎦D ．535816⎣⎦【答案】B【分析】先利用等面积法可得：12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-，求解出12y y -的值，然后根据弦长公式12AB y =-的取值范围. 【详解】设内切圆半径为r ，由题意得12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-得1228,43y y e ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，1212AB y y y =-=-∈⎣. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52【答案】B 【分析】设点()1,P t -，利用4PF FQ =求得点Q 的横坐标，利用抛物线的定义可求得QF . 【详解】抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.设点()1,P t -、(),Q x y ，则()2,PF t =-，()1,FQ x y =-，4PF FQ =，可得()412x -=，解得32x =， 由抛物线的定义可得35122QF =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点Q 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.二、填空题6．已知P为椭圆221 164xy+=上的一个动点，过点P作圆()2211x y-+=的两条切线，切点分别是A，B，则AB的最小值为_______..【答案】422.【分析】连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，求得圆心和半径，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，运用勾股定理和三角形面积公式可得AB，设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，运用两点的距离公式和同角的平方关系，结合配方和二次函数的最值求法，可得所求最小值.【详解】如图，连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，圆()2211x y-+=的圆心为()1,0C，半径1r=，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，则21PA PB PC==-又222121221PCPA ACAB AHPC PC PC-⋅====-设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，可得()()2 2222111 4cos12sin12cos8cos512cos33PCθθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭，当1cos 3θ=时，2PC 取得最小值为113，此时AB 取得最小值为11=.故答案为：11. 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题，涉及圆的相切问题，属于中档题7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 【答案】10 【分析】首先根据已知条件得到抛物线方程为28xy ，设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，利用导数的几何意义得到两条切线分别为21148x x y x =-+和22248x x y x =-+，联立切线得到122M x x x +=，从而得到124x x +=，联立直线AB 与抛物线，利用韦达定理即可得到12k =-，再求焦点弦长即可. 【详解】由题意可得()0,2F -，则4p =，抛物线方程为28xy .设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，其中2118x y =-，2228x y =-. 由28x y =-得4x y '=-，所以在点A 处的切线方程为()1114x y y x x -=--，化简得21148x x y x =-+①，同理可得在点B 处的切线方程为22248x x y x =-+②.联立①②得122M x x x +=，又M 的横坐标为2， 124x x ∴+=.将AB 方程代入抛物线得28160x kx +-=，1284x x k ∴+=-=，12k ∴=-，()1212144462y y k x x ∴+=+-=-⨯-=-，1210AB p y y ∴=--=.故答案为：10 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.【分析】由题意可得PF 2平行y 轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵原点O 是F 1F 2的中点，∴PF 2平行y 轴，即PF 2垂直于x 轴， ∵c =3，∴|F 1F 2|=6，设|PF 1|=x，根据椭圆定义可知2PF x =，∴22)36x x +=，解得2x =.. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.【答案】（1）22193x y +=；（232. 【分析】（1）由12:3e e =可得得42243840c a c a -+=，化为2232a c =，从而3a b ，2c b =， )2,0Ab ，()0,B b -，则直线AB 的方程为2y x b =-，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得3b =（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ，利用韦达定理、弦长公式表示出弦长，结合配方法可得答案. 【详解】（1）由题意知1c e a =，222222c b c ae --==， 因为12:3e e =22232c c a a c-=⋅，222223a c a c -=，将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即()()22222230a cac --=，所以2232a c =，又222a b c =+，所以3a b，c =，所以),0A，()0,B b -，所以直线AB的方程为y x b =-， 与椭圆1C ：222213x y b b +=联立并消去y，得222332x x b b ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 整理得10x =，25x =，所以,55b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 因为185PB =185=，得b =3a =，椭圆1C 的方程为22193x y +=.（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ， 得()222124260kxknx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以()()222216412260k m k m∆=-+-=，整理得()22630*k m +-=，将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得()222136390k x kmx m +++-=，由()*式可得()()()22222223641339129336k m kmk m k ∆=-+-=+-=.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2613M N km x x k -+=+，223913M N m x x k-=+，所以M N MN x =-==设213k t +=，则1t >，2MN ==22<，所以当4t =，即1k =±时，MN 最大，且最大值为322. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为22. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值 【答案】（1）2212x y +=；（2）1t =±.【分析】（1）求出,a b 可求椭圆的方程.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和弦长公式公式可得关于t 的方程，解方程后可得t 的值.【详解】解：（1）因为1222PF PF +=P 轨迹为椭圆，并且长轴长222a =， 因为焦点坐标分别为()1,0-，()1,0，所以22c =，又因为222a b c =+，所以1b =，所以P 点运动轨迹椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，因为22220x y y x t⎧+-=⎨=+⎩，消元化简得2234220x tx t ++-=，所以()2221612222480t t t ∆=--=->，1221243223t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以3AB ==又因为3AB =3=， 解得1t =±，满足>0∆，所以1t =±. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ． 【答案】（1）28y x =；（2）30. 【分析】(1)根据椭圆离心率的关系可得2a =，进而根据抛物线的性质求出方程即可. (2) 设直线:AB x my n =+，联立28y x =得出韦达定理，再结合抛物线的方程与20OA OB ⋅=化简可得10n =，再根据抛物线的焦半径公式以及弦长公式求得2m =±，进而求得||AB . 【详解】解析：（1）因为椭圆222:1x E y a +=22134a a -=， 解得24a =，所以2a =， 而22p=，所以4p =， 从而得抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立28y x =得2880y my n --=， 设()()1122,,,A x y B x y （其中120y y <） 所以12128,8y y m y y n +=⋅=-，且0n >，因为20OA OB ⋅=，所以22121212122064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，2820n n -=，所以(10)(2)0n n -+=，故10n =或2n =-（舍）， 直线:10AB x my =+， 因为PAB △的周长为2||4AB + 所以||||||2||4PA PB AB AB ++=+. 即||||||4PA PB AB +=+，因为()21212||||424824PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12||AB y y =-=所以2820m +=解得2m =±，所以||30AB ==.【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理与弦长公式、焦半径公式求解的问题，属于中档题.12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.【答案】（1）22143x y +=（2）257【分析】（1）由已知条件推导出1c =，12c a =，由此能求出椭圆的方程． （2）依题意可得直线1MF 的方程，联立直线与椭圆方程，消元，求出两交点的横坐标，再根据弦长公式计算可得； 【详解】 解：（1）椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限），1c ∴=，12c a =，解得2a =， 2223b a c ∴=-=，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）依题意可得()11,0F -，31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1MF ：3344y x =+ 联立方程得223344143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得22118390x x +-=，则()()121390x x -+=解得11x =，2137x =-所以121325177MN x ⎤⎛⎫=-=--= ⎪⎥⎝⎭⎦【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）245. 【分析】（1）求出椭圆的右集合，即抛物线的焦点，从而可得p 值，得抛物线方程，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，由切点设出切线方程11:()PA y y k x x -=-，由相切求出斜率k ，得切线PA 方程，同理得PB 方程，代入P 点坐标后可得过,A B 两点的直线方程，得证其过焦点；（2）由（1）中直线AB 方程与抛物线方程联立后消元应用韦达定理，然后可证得PA PB ⊥，又可证得PF AB ⊥，这样由直角三角形性质可得PF【详解】（1）证明：因为椭圆222:198x y C +=的右焦点()1,0F ，所以12p=，即2p =.所以抛物线1C 的方程为24y x =. 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，设()111:PA y y k x x -=-， 联立()1112,4,y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩消x 得211114440yy y x k k -+-=， 由0∆=得2111110k y k x -+=.又2114y x =，故2211111104k y k y -+=，故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为()1112y y x x y -=-， 即1122yy x x =+.同理22PB k y =，直线PB 的方程为2222yy x x =+. 又点P 在直线PA ，PB 上，所以112222,22,ay x ay x =-+⎧⎨=-+⎩故()11,A x y ，()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+，令0y =，得1x =，所以直线AB 过焦点F .（2）解：由（1）知联立222,4,ay x y x =-+⎧⎨=⎩消x 得2240y ay --=，故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=-， 故直线PA 与直线PB垂直，从而10AB ==.因为2AB k a =，0112PF a ak -==---，所以1PF AB k k ⋅=-， 故PF AB ⊥，所以6824105PF ⨯==. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，解题方法是设而不求的思想方法，本题中设出两切点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，由直线AB 方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后代入PA PB k k ⋅可得垂直．这是直线与圆锥曲线相交问题常用的方法．14．已知椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10. 【分析】（1）由点到直线的距离得12b a =，再由长轴长可求得,a b 得椭圆方程；（2）直线AB 的斜率一定存在，设方程为()12y k x +=-，代入椭圆方程整理，设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，由中点坐标公式求得k ，再由弦长公式求得弦长． 【详解】解：（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a =b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =-- 设()()1122,,,A x y B x y 联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆ 则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k +-⋅==+所以12AB x =-==【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查求直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理，得1212,x x x x +，由弦长公式得弦长．15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长. 【答案】（1）8；（2）6. 【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，求出12x x +的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段AB 的长； （2）设直线l 的方程为32x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，可得出129y y =-，由2AF =求得1x 的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得2x 的值，利用抛物线的定义可求得BF 的长. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线26y x =的焦点为3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， 由于直线l 过点F ，且该直线的倾斜角为60，则直线l的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，联立2326y x y x⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，消去y 并整理得29504x x -+=，259160∆=-=>， 由韦达定理可得125x x +=，由抛物线的焦点弦长公式可得123538AB x x =++=+=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由题意可知，直线l 不可能与x 轴重合，设直线l 的方程为32x my =+， 联立2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2690y my --=，()23610m ∆=+>，由韦达定理可得126y y m +=，129y y =-，1322AF x =+=，可得112x =，21163y x ∴==，129y y ∴=-，则22218127y y ==，222962y x ∴==，因此，2362BF x =+=.【点睛】有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M .（1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.【答案】（1）2214y x +=；（2【分析】（1）设M 、P ，利用相关点法即可求解.（2）将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，()00,Q y ∴，点M 是线段PQ 中点，002,x x y y ∴==，又()00,P x y 在圆224x y +=上，()2224x y +=， 即点M 的轨迹方程为2214y x +=. （2）联立22114y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，25230x x --=， ()22600∆=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1225x x +=，1235x x =，12AB x ∴=-===. 【点睛】方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义求解. （2）相关点法：由已知点的轨迹进行求解. （3）直接法：根据题意，列出方程即可求解.。
高考题圆锥曲线中弦张直角时的必然——一组优美的结论再探
复习参考中’?擞?(2008年第9期高中版)4l高考题(圆锥曲线)中弦张直角时的“必然"——一组优美的结论再探315700瘊辽笞象壹中学扬冬梅邓或文1中的定理1、1，定理1、2，定理1。
3的确是一组傀美薛结论。
笔者禳受疟发。
也一直在思考，如果点肘不是圆锥曲线的顶点，而是圆锥曲线上的任意一定点时，直线是否恒过定点呢?于是笔者进行了如下的探究．探究1点M(茗。
，Y o)为圆锥曲线上的任意定点，过掰作壹线A M与M B交飘锥馥线予囊、8两点，当A M上M B时，直线他是否悔过定点?经过探究得爨鲡下定理。
定理1过椭阙与+告=1(口>b>o)上的任意定熹M(xo，Y o)捧矗线A M与M B交椭圈于矗、君褥点，当A肼上M B时，直线A日憾过定点，球2一b2b2—82、‘丁再燕，丁再熟，定理2过双曲线≥寺=l。
(a>O，6>0)上的任意定点掰(X,0，Y o)作直线A M与M B交双曲线于A、B两点，当A M上M B时，赢线黪懂过定点，a2+62b2+口2、‘万万确，7j小，定理3过擞物线，=跏(p>o)上的任意定点M(x。
，Y o)作直线A M与M B交抛物线于A、B两点，当AM土M B对，壹线魑僵过定点(劫+粕，一甄)。
以椭圆为例证明定理1．簿诞当直线A嚣的斜率存在时，设A B：Y=兢+ p，交点A(x。
Y。
)，8(x2，扎)则f Y。
kx+p，蠢b芳叱。
得(62+82k2)∥+2kpa2x+82(，一b2)=o避△>0，即P2<62+耽。
k2时。
P茗：=一燕，k=甓斧，．赢．一M B：0．鄂Y—l--—lo。
Y—2-—Y o：一1．并l—X0戈2一X0(．|；：2+1)省l鬣2+(础一如摩一X0)(茹l+茗2)+P2—2翔％+菇÷茗。
2=0，’[p+(缸o-Y o)儿(n2+b2)p+(a2％一62‰)后+82甄一62yo]=0．旷％蚓舍去)或p=坠掣．当P：坠铲，y=蠢(x-器)专再b2_砂a2，．．直线AB…-…一露a；2“-b2‰笔南)。
高考题_圆锥曲线_中弦张直角时的_必然_一组优美的结论
y1 y2
= b2
(m 2 - a2 k2 ) b2 - a2 k2 ,
又 M ( a, 0) , MA ⊥MB ∴ MA ·MB = 0,
∴ ( x1 - a) ( x2 - a) + y1 y2 = 0, x1 x2 - a ( x1 + x2 ) + a2 + y1 y2 = 0
]
-
a2 (m2 + b2 ) b2 - a2 k2
应有 b > a > 0,否则不可能有 OA ⊥OB )
简证 仿 2. 2不难证得 :点 H 的轨迹方程为 : x2
+ y2
=
a2 b2 b2 - a2.
由上面的知识可知 , 高考题实际上是将必然有
的一些结论特殊化 ,化一般为特殊 , 让学生用所学知
识来解决必然成立的问题 , 只有学生把方法 、知识 、
F1 F2 , 原点
O 到直线
A F1 的距离为
1 3
O F1 .
( 1)证明 a = 2b; ( 2)设 Q1 , Q2 为椭圆上的两个动点 , OQ1 ⊥OQ2 , 过原点 O 作直线 Q1Q2 的垂线 OD, 垂足为 D, 求点 D 的轨迹方程. 答案 ( 1) 略 ; ( 2)点 D 的轨迹方程为 x2 + y2 =
a2 (m 2 - b2 ) b2 + a2 k2 ,
,
消去
x得
( b2 + a2 k2 ) y2 - 2m b2 y + b2 (m 2 - a2 k2 ) = 0,
y1 y2
= b2
(m 2 - a2 k2 ) b2 + a2 k2 .
又 M ( a, 0) , MA ⊥MB ,
高考数学：圆锥曲线相关结论汇总_知识点总结
高考数学：圆锥曲线相关结论汇总_知识点总结
导读：如何能快速提高数学成绩?查字典数学网小编认为：熟悉解题小结论，启迪解题思路，探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易错点的产生，对提高数学成绩将会有立竿见影的效果。
在高中数学中，圆锥曲线占据难题的一席之地，题目一般比较难，但对于选择填空来说，记住一些结论有利于解题。
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(完整word版)高中数学有关圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论点P 处的切线 PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角.PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PR 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切.2y_ b 2ex 0, |MF 2 | a e«( F, c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)).设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MF L NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 、A 为椭圆长轴上的顶点，AP 和A 2Q1. 2. 3.4. 5. 6.7.8. 9.10.11.12. 13.交于点M, A 2P 和A 1Q 交于点 N 贝y MF L NF. 2 2AB 是椭圆务笃 a b b 2 a 2，b 2x ° -2。
a y 。
1的不平行于对称轴的弦，M (X °, y °)为AB 的中点，k oM k AB 即K AB 若P °(x °, y °)在椭 2 X~~2 a 2y_ b 21内，则被Po 所平分的中点弦的方程 x °x y °y 22 2x22y 。
若P og y o )在椭圆 x.2a b2 2xy12a b X o X y o y2.2 a b ，则过P o 的椭圆的切线方程是竽 a 外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为1. ycy 1 孑1.P 1、P 2,则切点2椭圆笃a1 (a > b > 0)的左右焦点分别为F 1 , F 2，点P 为椭圆上任意一点F 1PF 2则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF 22b tan22椭圆笃a| MF 1 | a1 (a > b > 0)的焦半径公式:若P o (x ),y o )在椭圆 弦P 1P 2的直线方程是22解析几何专题•经典结论•常用技巧Marine2yb 2x °x y °y二、双曲线 点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 P 在左支) 若P o (x °, y °)在双曲线 1. 若P o (x °, y °)在双曲线 线切点为P 1、Pa , 双曲线 2 2x y ~ 7"2 a b 相切.(内切：P 在右支；外切: x 2~2 .2 a b2 2 x y 2 .2a b 1 (a > 0,b > 0) 则切点弦 -一占八、、F 1PF 2 2 y1 (a >0,b >0) 上，则过P 。
高中数学-有关圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上随意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+.二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上随意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线的相关结论192条
结论1：过圆2222a y x =+上任意点P 作圆222a y x =+的两条切线，则两条切线垂直．结论2：过圆2222b a y x +=+上任意点P 作椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的两条切线，则两条切线垂直．结论3：过圆2222b a y x -=+（0>>b a ）上任意点P 作双曲线12222=-by a x 的两条切线，则两条切线垂直．结论4：过圆222a y x =+上任意不同两点A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆：2222a y x =+．结论5：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x +=+．结论6：过双曲线12222=-by a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作双曲线的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x -=+．结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ．结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ． 结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=．结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--． 结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---b n y a m x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-b n y a m x 内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---b n y a m x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ； （2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ． 结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）与双曲线12222=-ny m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BPAQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论39：从椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论41：是椭圆（）的一个焦点，是椭圆上任意一点，则焦半径．结论42：是双曲线（）的右焦点，是双曲线上任意一点．（1）当点在双曲线右支上，则焦半径；（2）当点在双曲线左支上，则焦半径．结论43：是抛物线（）的焦点，是抛物线上任意一点，则焦半径=．结论44：椭圆上任一点处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质．结论45：双曲线上任一点处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．结论46：抛物线上任一点处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，亦即抛物线的光学性质．结论47：椭圆的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且⊥．结论48：双曲线的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且⊥．结论49：抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且⊥．结论50：椭圆上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交椭圆于，则必与该椭圆相切，且⊥．结论51：双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且⊥．结论52：抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且⊥．结论53：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论54：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论55：焦点在轴上的抛物线（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论56：椭圆上一个焦点关于椭圆上任一点处的切线的对称点为，则直线必过该椭圆的另一个焦点．结论57：双曲线上一个焦点关于双曲线上任一点处的切线的对称点为，则直线必过该双曲线的另一个焦点．结论58：椭圆上任一点（非顶点），过的切线和法线分别与短轴相交于，，则有，，及两个焦点共于一圆上．结论59：双曲线上任一点（非顶点），过的切线和法线分别与短轴相交于，，则有，，及两个焦点共于一圆上．结论60：椭圆上任一点（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点，的切线相交于，，则必得到以为直径的圆经过该椭圆的两个焦点．结论61：双曲线上任一点（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点，的切线相交于，，则必得到以为直径的圆经过该双曲线的两个焦点．结论62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆．结论63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆．结论64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．结论65：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴上）上任一点（非短轴顶点）与短轴的两个顶点，的连线分别交轴（或轴）于，，则（或）．结论66：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴上）上任一点（非顶点）与实轴的两个顶点，的连线分别交轴（或轴）于，，则（或）．结论67：为焦点在轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则与边（或）相切的旁切圆与轴相切于右顶点（或左顶点）．结论68：为焦点在轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则的内切圆与轴相切于右顶点（或左顶点）．结论69：是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则=．结论70：是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则=．结论71：是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则=．结论72：为抛物线的焦点弦，分别过，作抛物线的切线，则两条切线的交点在其准线上．结论73：为椭圆的焦点弦，分别过，作椭圆的切线，则两条切线的交点在其相应的准线上．结论74：为双曲线的焦点弦，分别过，作双曲线的切线，则两条切线的交点在其相应的准线上．结论75：为过抛物线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其准线相切．结论76：为过椭圆焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）．结论77：为过双曲线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为．结论78：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线．结论79：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆．结论80：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为．结论81：为过抛物线（）焦点的焦点弦，（，），（，），则=．结论82：为过椭圆（）焦点的焦点弦，（，），（，），则=．结论83：为过双曲线（）焦点的焦点弦，（，），（，）．若为单支弦，则=；若为双支弦，则=结论84：为抛物线的焦点，，是抛物线上不同的两点，直线交其准线于，则平分的外角．结论85：为椭圆的一个焦点，，是椭圆上不同的两点，直线交其相应的准线于，则平分的外角．结论86：为双曲线的一个焦点，，是双曲线上不同的两点（同一支上），直线交其相应的准线于，则平分的外角．结论87：为双曲线的一个焦点，，是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线交其相应的准线于，则平分．结论88：是椭圆（）过焦点的弦，点是椭圆上异于的任一点，直线、分别交相应于焦点的准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为．结论89：是双曲线（）过焦点的弦，点是双曲线上异于的任一点，直线、分别交相应于焦点的准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为．结论90：是抛物线（）过焦点的弦，点是抛物线上异于的任一点，直线、分别交准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为．结论91：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有．结论92：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论93：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论94：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论95：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论96：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论97：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论98：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论99：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有．结论100：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论101：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论102：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论103：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论104：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论105：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论106：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论107：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有==．结论108：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有==．结论109：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论110：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论111：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论112：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论113：，为椭圆（）的任一直径（中心弦），为椭圆上任一点（不与，点重合），则为定值，且有==．结论114：，为椭圆（）的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），为弦的中点，若与均存在，则为定值，且有==．结论115：为椭圆（）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于的弦的中点的轨迹为直线，则有==．结论116：过椭圆（）上任意一点(不是其顶点)作椭圆的切线，则有==．结论117：椭圆（）及定点，（），过的弦的端点为，，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，直线与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．结论118：椭圆（）及定点，（±），过任作一条弦，为椭圆上任一点，连接，，且分别与准线相交于，，则有=．结论119：椭圆（）及定点，（，），过任作一条弦，为椭圆上任一点，连接，，且分别与直线相交于，，则有=．结论120：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有==．结论121：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有=．结论122：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有=．结论123：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有=．结论124：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论125：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论126：为双曲线（）的任一直径，为双曲线上任一点（不与，点重合），则为定值，且有==．结论127：为双曲线（）的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），为弦的中点，若与均存在，则为定值，且有=．结论128：为双曲线（）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于的弦的中点的轨迹为直线，则有==．结论129：过双曲线（）上任意一点(不是其顶点)作双曲线的切线，则有==．结论130：双曲线（）及定点，（或），过的弦的端点为，，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，直线与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．结论131：双曲线（）及定点，（±），过任作一条弦，为双曲线上任一点，连接，，且分别与准线相交于，，则有=．结论132：双曲线（）及定点，（或），过任作一条弦，为双曲线上任一点，连接，，且分别与直线相交于，，则有=．结论133：抛物线（）及定点，（），过的弦的端点为，，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，直线与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．结论134：抛物线（）及定点，（），过任作一条弦，为抛物线上任一点，连接，，分别与准线相交，，则=．结论135：抛物线（）及定点，（），过任作一条弦，为抛物线上任一点，连，，分别与直线相交，，则=．结论136：过抛物线（）的焦点（，0）的弦（焦点弦）与抛物线相交于，，过作直线与轴平行，且交准线于，则直线必过原点（即其准线与轴交点与焦点的线段的中点）．结论137：为椭圆（）的焦点的弦，其相应的准线与轴交点为，过，作轴的平行线与其相应的准线分别相交于，，则直线，均过线段的中点．结论138：为双曲线（）的焦点的弦，其相应的准线与轴交点为，过，作轴的平行线与其相应的准线分别相交于，，则直线，均过线段的中点．结论139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点．结论140：AB为垂直于椭圆长轴上的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（或直线BF与AQ）的交点M必在该椭圆上．结论141：AB为垂直于双曲线实轴的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该双曲线上．结论142：AB为垂直于抛物线对称轴的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该抛物线上．结论143：AB为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线））的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该圆锥曲线上．结论144：圆锥曲线的焦点弦AM（不为通径，若双曲线则为单支弦），则在x轴上有且只有一点Q使．结论145：过F任作圆锥曲线的一条弦AB（若是双曲线则为单支弦），分别过A B 作准线l的垂线（是其相应准线与轴的交点），垂足为，则直线与直线都经过QF的中点K，即及三点共线．结论146：若AM、BM是圆锥曲线过点F且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线）)，如图5，则四线共点于K．结论147：，分别为椭圆（）的右顶点和左顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则以线段为直径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为（，0）及椭圆内定点为（，0）．结论148：，分别为双曲线（）的右顶点和左顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则以线段为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为（，0）及双曲线外定点为（，0）．结论149：过直线（）上但在椭圆（）外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点，且有．结论150：过直线（）上但在双曲线（）外（即双曲线中心所在区域）一点向双曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点，且有．结论151：过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点，且有．结论152：设点是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点向圆锥曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过准线对应的焦点，且⊥．结论153：过直线上但在椭圆（）外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点．结论154：过直线上但在双曲线（）外（即双曲线中心所在区域）一点向双曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点．结论155：过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点．结论156：，是椭圆（）的左右顶点，点是直线（，）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，，则直线必与轴相交于定点．结论157：，是在双曲线（）的顶点，点是直线（，）上的一个动点（不在双曲线上），直线及分别与双曲线相交于，，则直线必与轴相交于定点．结论158：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若直线过定点（，0），则⊥，且，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论159：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若⊥，则直线必过定点（，0），且，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论160：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若⊥，过作⊥，则动点的轨迹方程为（）．结论161：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若⊥，则=．结论162：过抛物线（）上任一点（，）作两条弦，，则⊥的充要条件是直线过定点（，）．结论163：过抛物线（）上任一点（，）作两条弦，，则=（）的充要条件是直线过定点（，）．结论164：过椭圆（）上任一点（，）作两条弦，，则⊥的充要条件是直线过定点（，）．特别地，（1）当为左、右顶点时，即=，=0时，⊥的充要条件是直线过定点（，）．（2）当为上、下顶点时，即=0，=时，⊥的充要条件是直线过定点（0，）．结论165：过双曲线（，）上任一点（，）作两条弦，，则⊥的充要条件是直线过定点（，）．特别地，当为左、右顶点时，即=，=0时，⊥的充要条件是直线过定点（，0）．结论166：过二次曲线：（，，，，为常数，）上任一点（，）作两条弦，，若⊥，则直线恒过定点．值得注意的是：在结论166中（1）令，，，就是结论159；（2）令，，就是结论162；（3）令，，就得到结论164；（4）令，，就得到结论165．结论167：，是椭圆（）上不同的两个动点，若⊥，则+=．结论168：，是椭圆（）上不同的两个动点，若⊥，则有+=，+=．结论169：，是双曲线（）上不同的两个动点（在同一支上），若⊥，则有+=．结论170：在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任意弦恒有．结论171：在椭圆（）的长轴上存在定点，使得过该点的任意弦恒有=．结论172：在双曲线（）的实轴上存在定点，使得过该点的任意弦恒有=．结论173：过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，，与轴相交于，若，，则为定值，且．结论174：过双曲线（）的焦点作一条直线与双曲线相交于，，与轴相交于，若，，则为定值，且．结论175：过抛物线（）的焦点作一条直线与抛物线相交于，，与轴相交于，若，，则为定值，且．结论176：过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，，与相应准线相交于，若，，则为定值，且．结论177：过双曲线（）的焦点作一条直线与双曲线相交于，，与相应准线相交于，若，，则为定值，且．结论178：过抛物线（）的焦点作一条直线与抛物线相交于，，与准线相交于，若，，则为定值，且．结论179：是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线，分别交轴于，，若，，则为定值，且．结论180：是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线，分别交轴于，，若，，则为定值，且．结论181：是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线，分别交轴于，，若，，则为定值，且．结论182：是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点。
圆锥曲线焦点弦长地一个公式在高考中地妙用
圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。
由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。
本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=.本文仅对焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线为例证明，其它情形请读者自证.证明：设双曲线方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a ce =，弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为为参数）（，t t y t c x ⎩⎨⎧=+-=.sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：|cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24||||22222222222222222222222122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=-=-----=-+=-=）（）（.|cos 1|22αe H-=推论（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =. 典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上；（Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程. 解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x .从而点A 的坐标为），（231或），（231-. 点A 在抛物线2C 上，.249p =∴即.89=p此时抛物线2C 的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2πα≠.则直线AB 的方程为）（1tan -⋅=x y α. 抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径382==p H ，离心率1=e ，于是有又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==a b H ，离心率21=e . .cos 138sin ||22）（αα-==H AB∴.cos 412|cos 1|||222αα-=-=e H AB∴）（α2cos 138-.cos 4122α-= 解之得：6tan 71cos 2±==αα，.抛物线2C 的焦点），（m F 32在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而36±=m .当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x . 例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：232020yx +＜1.（2）求四边形ABCD 的面积的最小值.（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角απ+2.2FOABxy通径33422==a b H ，离心率33=e .又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222ααπαα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||， ∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m OA =，45||mOB =. 2FABCD O xy 1F P又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x ab y =. ∴.tan ab=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α ∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a bαα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα ∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN .即451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x . 金指点睛1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________. 2. 过双曲线1322=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.A ByO F x1l2l N M3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.4. 已知抛物线px y 42=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值.5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.O xNPy MQFB O xy AF yO F x AB（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.（1）求点M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线.（1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的面积的最小值.参考答案1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23==a c e ，通径122==a b H ，直线l 的倾斜角4πα=. ∴58)22()23(11sin 1||2222=⋅-=-=αe HAB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==a c e ，通径622==a b H ，直线的倾斜角6πα=. ∴3|)23(21|6|cos 1|||2222=⋅-=-=αe HAB .3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率22==a c e ，通径yO F xA BDEC lαm P222==ab H .当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2===ab H AB ，高1||==c OF ，△AOB 的面积221221=⨯⨯=S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即0t a n t a n =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααsin |sec ||tan |1tan |tan 0tan 0|2==++-⨯=d .αααα222222sin 122cos 222cos )22(12cos 1||+=-=⋅-=-=e HAB . ∴△AOB 的面积αα2sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴22sin 2sin 2=≤ααS .当且仅当1sin =α，即2πα=时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为22. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOB 的面积22||||21p OF AB S =⨯⨯=.∴3442444p pp m p m S ===，是定值.当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即0t an t an =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααsin |sec ||tan |1tan |tan |2p p p d ==+=.BO xy AFαα22sin 4sin ||pH AB ==. ∴△AOB 的面积αsin 2||212p d AB S =⨯⨯=.∴32242424sin sin 41sin 4p pp m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32p m S =（3p 为定值）. 5. 解：在椭圆1222=+y x 中，.112===c b a ，， 由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥. 如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角απ+2.通径222==ab H ，离心率22=e .于是有.sin 222sin 1||cos 222)2(sin 1||222222ααααπ-=-=-=+-=e H PQ e HMN ，∴四边形PQMN 的面积.2sin 816sin 222cos 22221||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为916和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(，O xNPy MQFyO F x AB准线l 的方程为2-=x .（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααααcos ||||,cos ||||,sin 8sin ||22AF AD FP EF H AB ====. ∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF .∴αcos 14||-=AF .∴αααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=-=-=AB AF AE AF EF ， 从而αα2sin 4cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||22=⋅=-=-ααααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.从而22=p，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α， 则直线CD 的倾斜角为α+︒90. 抛物线的通径82==p H ，于是有：αααα2222sin 8)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===H CD H AB . ∴四边形ACBD 的面积.2sin 128sin 8cos 821||||21222ααα=⋅⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为128.y O F xA BDEClαm P FO xA BDCy文档8. 解：（1）在椭圆1522=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F . 在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为212==p x . 在双曲线中，21,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为1322=-y x . （2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90. 双曲线的通径622==a b H ，离心率2==ac e . 于是有： αααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB . ∴四边形ACBD 的面积 .2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为18.y2FAO x 1l 2l B CD。
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∴ ( x1 - a) ( x2 - a) + y1 y2 = 0,
x1 x2 - a ( x1 + x2 ) + a2 + y1 y2 = 0
]
a2 (m2 - b2 ) b2 + a2 k2
+
b2
(m2 - a2 k2 b2 + a2 k2
)
+
2km a3 b2 + a2 k2
+ a2
=0
] ( a2 + b2 ) m 2 + 2a3m k + a2 ( a2 - b2 ) k2 = 0
点 ( 2p, 0) , 命题获证.
定理
1. 2 直线
l
∶y
=
kx
+m
与椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
( a > b > 0)交于 A, B 两点 , M 是其右顶点 , 当 MA ⊥
MB 时 ,直线 λ过定点
a ( a2 - b2 ) a2 + b2
,
0
.
简证 设直线 AB 与椭圆
相交于 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 两
F1 F2 , 原点
O 到直线
A F1 的距离为
1 3
O F1 .
( 1)证明 a = 2b; ( 2)设 Q1 , Q2 为椭圆上的两个动点 , OQ1 ⊥OQ2 , 过原点 O 作直线 Q1Q2 的垂线 OD, 垂足为 D, 求点 D 的轨迹方程. 答案 ( 1) 略 ; ( 2)点 D 的轨迹方程为 x2 + y2 =
y = kx +m,
点 ,联立方程组
x2 a2
+
y2 b2
= 1,
消去 y得
( b2 + a2 k2 ) x2 + 2km a2 x +
a2 (m 2 - b2 ) = 0.
当 △ > 0, 即 m 2 < b2 + a2 k2 时 ,
x1 x1
+ x2
x2 =
=
-
2km a2 b2 + a2 k2
a2 (m 2 - b2 ) b2 + a2 k2 ,
,
消去
x得
( b2 + a2 k2 ) y2 - 2m b2 y + b2 (m 2 - a2 k2 ) = 0,
y1 y2
= b2
(m 2 - a2 k2 ) b2 + a2 k2 .
又 M ( a, 0) , MA ⊥MB ,
∴ MA ·MB = 0,
①又联立直线 AB 方程 y = kx + m ,直线 OH ∶y =
- 1x k
y = kx +m , ∴ y = - 1 x ]
k
x=
-
m k+ 1
=
-
mk 1 + k2 ,
k
y
=
1
m +
k2.
∴
x =y m = x2k, 代 Nhomakorabea ①得+ y,
x2
+ y2
=
a2 b2 a2 + b2
,
y
即为点 H的轨迹方程.
42
· · (2008年第 4期 ·高中版 ) 初数研究
高考题 (圆锥曲线 )中弦张直角时的“必然 ”
———一组优美的结论
437000 湖北省咸宁高中 郭建斌 汪 琼
圆锥曲线这一章节是高考内容的一个重点和热
点 ,是学生学习中的一个难点 , 高考考题常考常新 , 是高考中的压轴大戏 ,命题者可谓是费尽心机 , 但出 题之中偶然也有必然. 笔者在做 07 年高考解析几何 题时 ,解决山东卷理科 21 题 (文科 22 题 ) 和天津卷 理科 21题后 , 受抛物线有关知识的启发 , 进而大胆 猜想两类知识 :一类是圆锥曲线中弦张直角 (直角顶 点为曲线顶点时的直线过定点问题 :二类是圆锥曲 线中弦张直角 (直角顶点为坐标原点 ) 时的 , 弦上高 的垂足的轨迹是圆的问题.
应有 b > a > 0,否则不可能有 OA ⊥OB )
简证 仿 2. 2不难证得 :点 H 的轨迹方程为 : x2
+ y2
=
a2 b2 b2 - a2.
由上面的知识可知 , 高考题实际上是将必然有
的一些结论特殊化 ,化一般为特殊 , 让学生用所学知
识来解决必然成立的问题 , 只有学生把方法 、知识 、
b2 b2
)
,
0
, 另一解舍去 .
定理 1. 3 直线
l
∶y
=
kx
+m
与双曲线
x2 a2
-
y2 b2
= 1 ( a > 0, b > 0) 交于 A, B 两点 , M 是其右顶点 , 当
MA ⊥MB 时 , 直线 λ过定点
a
( a2 a2
+ b2 - b2
)
,
0
(此时应
有 a≠b,否则不可能有 MA ⊥MB )
简证 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 直线方程为 x =
ty + m 由 1. 1知 , m = 2p, ∴ 直线方程为 x = ty + 2p.
x = ty + 2p, 联立 x = - 1 y,
t 消去 t得 ( x - p) 2 + y2 = p2 ( x ≠0 ) , 即为点 H
山东卷原题 已知椭圆 C 的中心在坐标原点 , 焦点在 x轴上 , 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值 为 3,最小值为 1.
( 1)求椭圆 C的标准方程 : ( 2)若直线 l ∶y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 (A, B 不是左右顶点 ) ,且以 AB 为直径的圆过椭 圆 C的右顶点 , 求证 :直线 l过定点 , 并求出该定点 的坐标. 答案 ( 1) x2 + y2 = 1;
定理
2. 3:直线
l:
y
=
kx
+m
与双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1
交于 A, B 两点 , 若 OA ⊥OB (O 为坐标原点 ) , 作 OH
⊥AB ,则点 H的轨迹是一个以 O 为圆心 , 以
a2 b2 b2 - a2
为半径的一个圆 ,轨迹方程为 : x2
+ y2
=
a2 b2 b2 - a2
(此时
-
ak或
m
=
a
( a2 b2
+ b2 - a2
)
k,
直线
l: y = k ( x - a)或 y = k
x
-
a ( a2 + b2 ) a2 - b2
即直线 λ过定点
a
( a2 a2
+ b2 - b2
)
,
0
, 另一解舍去 .
天津卷原题
设椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 ( a > b > 0)的
左 、右焦点分别为 F1 , F2 , A 是椭圆上的一点 , A F2 ⊥
+
b2
(m2 b2 -
- a2 k2 a2 k2
)
-
2km a3 b2 - a2 k2
+ a2
=0
] ( b2 - a2 ) m 2 - 2a3m k - a2 ( a2 + b2 ) k2 = 0
] (m + ak) ( b2 - a2 ) m - a ( a2 + b2 ) k = 0.
∴ m
=
] (m + ak) ( a2 + b2 ) m + a ( a2 - b2 ) k = 0.
∴ m
=
-
ak或
m
=
-
a ( a2 - b2 ) a2 + b2
k,
∴直线 l ∶y = k ( x - a) ,
或 y=k
x
-
a ( a2 - b2 ) a2 + b2
,
即直线 λ过定点
a
( a2 a2
+
2 b2. 3
猜想 2 当圆锥曲线中弦 张直角 (直 角 顶 点 为 坐 标 原
点 )时, 弦上高的垂足的轨迹 是圆 ;
定理 2. 1 直线与抛物线 y2 = 2px ( p > 0)交于 A, B 两点 , 当 OA ⊥OB ( O 为 坐 标 原 点 ) 时 ,作 OH⊥AB , 则点 H 的轨迹 是一个圆 (去掉原点 O ) , 轨迹方程为 : ( x - p) 2 + y2 = p2 ( x≠0) :
=
a2 b2 a2 + b2.
简证 ( 1)当 l⊥x轴时 ,易证.
( 2)仿 1. 2 ∵ OA ⊥OB ,
∴ x1 x2 + y1 y2 = 0.
∴ a2b(2m+2
a2
b2 k2
)
+
b2
(m 2 - a2 k2 b2 + a2 k2
)
= 0,
∴ m 2 ( a2 + b2 ) = ( k2 + 1) a2 b2.
y1 y2
= b2
(m 2 - a2 k2 ) b2 - a2 k2 ,
又 M ( a, 0) , MA ⊥MB ∴ MA ·MB = 0,