最新圆锥曲线近五年高考题(全国卷)文科
高三数学文科圆锥曲线大题训练(20个)(含答案)
高三数学文科圆锥曲线大题训练(含详细解答)1.已知椭圆22:416C x y +=. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.2.已知椭圆的中心在坐标原点O,长轴长为离心率2e =,过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ,Q 两点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线l 的斜率为1时,求POQ ∆的面积;(3)若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线l 的方程.3.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -(1)求椭圆C 的标准方程;(2)直线l 过点A ,过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ,Q 两点,如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切,求l 的方程.4.已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点(点P 在x 轴上方),且2PQ =.点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点,且APQ BPQ ∠=∠. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)求四边形APBQ 面积的取值范围.5.已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ,焦点在x 轴上,若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;(2)设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ,当AM AN =时,求m 的取值范围.6.已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点,直线0=x 与椭圆1C 交于A ,B 两点,且点A的坐标为(1),点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点,点Q 满足0AQ AP ⋅=,0BQ BP ⋅=,且A ,B ,Q 三点不共线.(1)求椭圆1C 的方程; (2)求点Q 的轨迹方程;(3)求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.7.如图,B A ,分别是椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点,F 为其右焦点,2是AF 与FB 的等差中项,3是AF 与FB 的等比中项. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点,直线l 过点A 且垂直于x 轴,若过F 作直线FQ 垂直于AP ,并交直线l 于点Q .证明:B P Q ,,三点共线.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1.圆22221:C x y a b +=+.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ,且l 与圆1C 相交于,A B 两点,问AM BM +=0是否成立?请说明理由.9.已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =.(1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 为抛物线C 的切线,且l ∥MN ,P 为l 上一点,求PM PN ⋅的最小值.10.已知动圆C 过定点)(2,0M ,且在x 轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 方程;(2)点A 为直线l :20x y --=上任意一点,过A 作曲线C 的切线,切点分别为P 、 Q ,APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标.11.已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上,直线1:l 1y kx =+(R k ∈,且0k ≠)与抛物线E 相交于C B ,两点,直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ,T .(1)求a 的值;(2)若S T =1l 的方程;(3)试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.12.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上,短轴长为2(1)求椭圆C 的方程;(2)B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 于点P ,设OP tOE =,求实数t 的值.13.已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上,直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。
圆锥曲线近五年高考题全国卷文科
2014(新课标全国卷1)22yx?a)(a?0??1的离心率为4.2已知双曲线,则23a56D. 1C.A. 2B.22?5?yxx x2?,Axy??FAF10.已知抛物线C:上一点,)的焦点为(, ,则C是000408D. C. 4 A. 1 B. 222CCl08y?x?y?PBA,)P(2,2两点,线段:的动直线与圆20.已知点,圆交于,过点O MAB.的中点为为坐标原点,M的轨迹方程;(1)求l?POM OM?OP的面积(2 时,求)当的方程及2014(新课标全国卷2)2°=3xyC:的直线交于CF为抛物线于的焦点,过F且倾斜角为)(10设30A,B AB= 两点,则3073 D))(C12 )((B)6 A (322°=1?yO:xx,1)M(x45OMN??的使得若在圆则,,(12)设点上存在点N,00取值范围是 ??1122??????,?1,1?,?)(BD (C)A ())(2?2,??????2222????22yx??1(a>b>0)的左,右焦点,M是C20.设F,F分别是椭圆:C上一21 22ab点且MF与x轴垂直,直线MF与C 的另一个交点为N。
123(I)若直线MN的斜率为,求C的离心率;4(II)若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|FN|,求a,b。
12013(新课标全国卷1)22yx5=1?CCab的渐近线方程为( ),.>0)4.已知双曲线:的离心率为(,则>0222ab111?x?x?x324 D.y===±x CA.y.=y B.y22x442POFPCPFCOFy则△=|的焦点,,:为=|8.上一点,为坐标原点,为抛物线若 ).的面积为(2322 D... CA.2 B4PC. 圆2222MxyNxyPMN内切,与圆=9,动圆=1,圆:(外切并且与圆-21.已知圆1):(++1)+心的轨迹为曲线C的方程; (1)求lPMlCABP的半径最长时,与曲线(2),是与圆交于,圆都相切的一条直线,两点,当圆AB|. |求2013(新课标全国卷2)22yxC:??1F,F P0)??b(aC上的点5是,的左、右、设椭圆焦点分别为,2122abPF?FF?PFF?30C的离心率为(,),则212211133)(D)((AB)(C)32632FFAB x4C:y?Cl两点。
《圆锥曲线》精选历届高考试题(文科)
历届高考中的“椭圆”试题精选(自我测试)一、选择题:1. 椭圆1422=+y x 的离心率为( )(A )23 (B )43 (C )22 (D )322.设p 是椭圆2212516x y +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于( ) A .4 B .5C .8D .103.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21,则m=( ) A .3 B .23 C .38 D .324.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC 的周长是( )(A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 5.如图,直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点 F 1和 一个顶点B ,该椭圆的离心率为( )A .51 B .52C .55D .552B .6.已知椭圆的焦点是F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点.如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ|=|PF 2|,那么动点Q的轨迹是( )(A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线的一支 (D )抛物线7.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )(A )32 (B )33 (C )22 (D )23 8.已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( ) (A )23 (B )62 (C )72 (D )24二、填空题:9.在ABC △中,90A ∠=o,3tan 4B =.若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = .10.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F (-23,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 .11.在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ,顶点B 在椭圆192522=+y x 上,则sin sin sin A CB+= .12.椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ,以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是_______________.1.双曲线22149x y -=的渐近线方程是( ) (A )23y x =± (B )49y x =± (C )32y x =± (D )94y x =±2. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =( )A .14-B .4-C .4D .143.双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( )A .2B .3C .2D .234.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )(A )112422=-y x (B )141222=-y x (C )161022=-y x (C )110622=-y x 5.已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,则m =( ) A .1 B .2 C .3 D .46.已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=u u u u r u u u u r 则点M 到x 轴的距离为( ) A .43B .53C .23D .37.双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的两个焦点为12,F F ,若P 为其上的一点,且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1,3) B.(1,3] C.(3,)+∞ D.[3,)+∞ 8.如图,1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222φφb a br a x =-的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以1F O为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△AB F 2是等边三角形,则双曲线的离心率为( )(A )3 (B )5(C )25(D )31+二、填空题:9. 已知双曲线22112x y n n-=-的离心率是3。
高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)
高三数学文科圆锥曲线大题训练(含详细解答)1.已知椭圆22:416C x y +=. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系. 1.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率2c e a ==............4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ..............5分设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+......................7分 因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即218k =,所以4k =±,....................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2.已知椭圆的中心在坐标原点O,长轴长为离心率e =F 的直线l 交椭圆于P ,Q 两点. (1)求椭圆的方程;(2)当直线l 的斜率为1时,求POQ ∆的面积;(3)若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线l 的方程.2.解:(1)由已知,椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>. --------1分∵长轴长为离心率2e =,∴1,b c a === 所求椭圆方程为2212x y +=. ----------- 4分 (2)因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ,且斜率为1,所以直线l 的方程为1y x =-.设()()1122,,,P x y Q x y ,由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=,解得 1211,3y y =-=.∴121223POQ S OF y y ∆=⋅-=. --------------9分(3)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 1=,此时POQ ∠小于90o,,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形.当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为()1y k x =-.由 ()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=.∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++.11(1)y k x =-Q ,22(1)y k x =- 212212k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ⇔⋅=uu u r uuu r .由221212222201212k k OP OQ x x y y k k--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =,k ∴=.∴所求直线的方程为1)y x =-. ----------------14分3.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A -,离心率为3(1)求椭圆C 的标准方程;(2)直线l 过点A ,过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ,Q 两点,如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切,求l 的方程. 3. 解:(1)依题意,椭圆的焦点在x 轴上,因为2a =,3c a =,所以 c =22243b ac =-=. 所以 椭圆的方程为223144x y +=. …………4分 (2)依题意,直线l 的斜率显然存在且不为0,设l 的斜率为k ,则可设直线l 的方程为(2)y k x =+, 则原点O 到直线l 的距离为d =.设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则 2234y kx x y =⎧⎨+=⎩ 消y 得22(31)4k x +=. 可得P ,(Q .因为 以PQ 为直径的圆与直线l 相切,所以1||2PQ d =,即||OP d =. 所以 222+=, 解得 1k =±.所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=. ………14分4.的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线2x =相交于,P Q 两点(点P在x 轴上方),且2PQ =.点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点,且APQ BPQ ∠=∠.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求四边形APBQ 面积的取值范围.4.解:(1)由已知得e =,则12b a =,设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上, 所以224114b b+=.解得22b =. 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=. ………4分 (2)由题意可知,直线PA ,直线PB 的斜率都存在且不等于0. 因为APQ BPQ ∠=∠,所以PA PB k k =-.设直线PA 的斜率为k ,则直线:1(2)PA y k x -=-(0k ≠).由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意,方程(1)有两个不相等的实数根,即根的判别式0∆>成立. 即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>,解得12k ≠-. 因为2是方程(1)的一个解,所以2216164214A k k x k --⋅=+.所以2288214A k k x k--=+. 当方程(1)根的判别式0∆=时,12k =-,此时直线PA 与椭圆相切. 由题意,可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--.同理,易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+.由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点,APQ BPQ ∠=∠,且能存在四边形APBQ ,则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ,则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++21614k k =+ 由于12k >,故216161144k S k k k==++. 当12k >时,144k k +>,即110144k k<<+,即04S <<. (此处另解:设t k =,讨论函数1()4f t t t=+在1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t -'=-=,则当12t >时,()0f t '>,()f t 单调递增. 则当12t >时,()(4,)f t ∈+∞,即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分5.已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ,焦点在x 轴上,若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ,当AM AN =时,求m 的取值范围.5.解: (1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,………….2分则右焦点F的坐标为),3=,解得23a =,故所求椭圆的标准方程为2213x y +=. ………………………….5分6.已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点,直线20+=x 与椭圆1C 交于A ,B 两点,且点A 的坐标为(2,1),点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点,点Q 满足0AQ AP ⋅=u u u r u u u r ,0BQ BP ⋅=u u u r u u u r,且A ,B ,Q 三点不共线.(1)求椭圆1C 的方程; (2)求点Q 的轨迹方程;(3)求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.6.(1)解法1: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , ……1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>,∵ 椭圆1C 过点A (1),∴ 1224a AF AF =+=,得2a =.……2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>,∵ 椭圆1C 过点A (1), ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 (2)解法1:设点),(y x Q ,点),(11y x P ,由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-,∴(1)AQ x y =-u u u r ,11(1)AP x y =-u u u r,(1)BQ x y =+u u u r ,11(1)BP x y =+u u u r.由 0AQ AP ⋅=u u u r u u u r, 得 11((1)(1)0x x y y +--=, ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=u u u r u u u r, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=,得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时,有2225x y +=,当2110y -=,则点(1)P -或1)P ,此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ,其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时,即点P (1),由②得3y =-,解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时,可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,2⎫-⎪⎪⎝⎭, (),2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2:设点),(y x Q ,点),(11y x P ,由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-,∵0AQ AP ⋅=u u u r u u u r ,0BQ BP ⋅=u u u r u u u r,∴AQ AP ⊥,BQ BP ⊥.1=-(1x ≠,① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=,得221122x y =-,代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--,即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或P , 此时点Q对应的坐标分别为1)或(1)- ,其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时,即点P (1),由②得3y =-,解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时,可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法1:点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+(当且仅当2x =∴S =≤==. ……12分当且仅当2x =时, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩………………………13分∴△ABQ的面积最大值为52, 此时,点Q的坐标为2,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭或2,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭.…14分解法2:由于()()22221123AB=++--=,故当点Q到直线AB的距离最大时,△ABQ的面积最大.………………………10分设与直线AB平行的直线为20x y m++=,由2220,25,x y mx y⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x,得22542250y my c++-=,由()223220250m m∆=--=,解得52m=±.………………………11分若52m=,则2y=-,2x=-;若52m=-,则2y=,2x=.…12分故当点Q的坐标为2,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭或2,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭时,△ABQ的面积最大,其值为()2222221522212S AB+⨯=⨯=+.………………………14分7.如图,BA,分别是椭圆C:)0(12222>>=+babyax的左右顶点,F为其右焦点,2是AF与FB的等差中项,3是AF与FB的等比中项.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P是椭圆C上异于BA,的动点,直线l过点A且垂直于x轴,若过F作直线FQ 垂直于AP,并交直线l于点Q.证明:BPQ,,三点共线.7.【解析】: (1)解:F (1,0),|AF|=a+c ,|BF|=a ﹣c .由2是|AF|与|FB|的等差中项,是|AF|与|FB|的等比中项. ∴,解得a=2,c=1,∴b 2=a 2﹣c 2=3. ∴椭圆C 的方程为=1.(2)证明:直线l 的方程为:x=﹣2,直线AP 的方程为:y=k (x+2)(k≠0),联立,化为(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0,∴,∴x P =,∴y P =k (x P +2)=,∵QF ⊥AP ,∴k PF =﹣. 直线QF 的方程为:y=﹣,把x=﹣2代入上述方程可得y Q =, ∴Q.∴k PQ ==,k BQ =.∴k PQ =k BQ ,∴B ,P ,Q 三点共线.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32,且经过点()0,1.圆22221:C x y a b +=+.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ,且l 与圆1C 相交于,A B 两点,问AM BM +=u u u u r u u u u r0是否成立?请说明理由. 8.解析:(1)解:∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1,∴ 21b =.∵2222c a b c a ==+, ∴24a =. ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………4分 (2)解法1:由(1)知,圆1C 的方程为225x y +=,其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ,∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ (*) 有且只有一组解.由(*)得()222148440k x kmx m +++-=. …………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+.①………7分()228414214M km kmx k k =-=-++,22241414M Mk m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………10分 由于0k ≠,结合①式知0m ≠,∴OMk k ⨯=2211414414mk k km k +⨯=-≠--+. …………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分∴AM BM +=u u u u r u u u u r0不成立. ………14分解法2:由(1)知,圆1C 的方程为225x y +=,其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ,∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ (*) 有且只有一组解.由(*)得()222148440k x kmx m +++-=. ………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+.① ………7分()228414214M km kmx k k =-=-++, ………………8分 由于0k ≠,结合①式知0m ≠,设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 12221N x x kmx k+==-+. …………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分∴ AM BM +=u u u u r u u u u r0不成立. ………14分9.已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =. (1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 为抛物线C 的切线,且l ∥MN ,P 为l 上一点,求PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值.9.【解析】(1)由题可知(,0)2p F ,则该直线方程为:2py x =-,………1分 代入22(0)y px p =>得:22304p x px -+=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则有123x x p +=…3分∵8MN =,∴128x x p ++=,即38p p +=,解得p =2∴抛物线的方程为:24y x =.………5分 (2)设l 方程为y x b =+,代入24y x =,得22(24)0x b x b +-+=,因为l 为抛物线C 的切线,∴0∆=,解得1b =,∴:l 1y x =+ ………7分 由(1)可知:126x x +=,121x x =设(,1)P m m +,则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+u u u u r u u u r所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ⋅=--+-+-+u u u u r u u u r2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++126x x +=,121x x =,21212()1616y y x x ==,124y y =-, 2212124()y y x x -=-,∴12y y +=221644(1)(1)PM PN m m m m ⋅=-+--+++u u u u r u u u r………10分222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-当且仅当2m =时,即点P 的坐标为(2,3)时,PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值为14-.………12分10.已知动圆C 过定点)(2,0M ,且在x 轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 方程;(2)点A 为直线l :20x y --=上任意一点,过A 作曲线C 的切线,切点分别为P 、 Q ,APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标. 10.解析:(1)设动圆圆心坐标为(,)C x y ,根据题意得=, (2分)化简得24x y =. (2分) (2)解法一:设直线PQ 的方程为y kx b =+,由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî,且21616k b D =+ (2分)以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=,其切线方程为1111()2y y x xx -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上,12x x ¹Q ,解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî,即(2,)A k b - 则:220k b +-=,即22b k =- (2分) 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>22212||1||41PQ k x x k k b \=+-=++(2,)A k b -到直线PQ 的距离为22|22|1k b d k +=+ (2分)3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时,APQ S D 最小,其最小值为4,此时点A 的坐标为(2,0). (4分) 解法二:设00(,)A x y 在直线20x y --=上,点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上,则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=,其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =- (2分) 设两条切线的均过点00(,)A x y ,则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî,\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-,即直线PQ 的方程为:0012y x x y =- (2分)代入抛物线方程24x y =消去y 可得:200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ 的距离为200201|2|2114x y d x -=+ (2分)33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时,APQ S D 最小,其最小值为4,此时点A 的坐标为(2,0). (4分)11.已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上,直线1:l 1y kx =+(R k ∈,且0k ≠)与抛物线E 相交于C B ,两点,直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ,T . (1)求a 的值;(2)若25S T =1l 的方程;(3)试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.11.(1)解:∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上, ∴4a =. ……1分 第(2)、(3)问提供以下两种解法:解法1:(2)由(1)得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,依题意,2211224,4x y x y ==, 由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=, 解得221,2412212k k x k k ±+==±+.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--, 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-,得1822x x =-+,∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =,∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-,得22201616k k =+,解得2k =, 或2k =-, (7)分∴直线1l 的方程为21y x =+,或21y x =-+. ……………9分 (3)设线段ST 的中点坐标为()0,1x -,则()()()120122441882222222x x x x x ++⎛⎫=-+-= ⎪+++⎝⎭ ()()121244422224k x x x x k+=-==-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==, ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =,得()214y +=,解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2:(2)由(1)得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-,点B 的坐标为()11,x y ,由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ,得2114840x k x k -+-=, 即()()12420x x k --+=,解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-,22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ………3分 同理,设直线AC 的方程为()212y k x -=-,则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上,∴()()()()()()22222211212121214414414242kk k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ………5分又()211144142k k k k -+=-1+,得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--, 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, …………7分∵ST =,∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+,得()225124k k k +=+,解得2k =±. ……8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+,或21y x =-+. …… 9分(3)设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点,则0SP TP ⋅=u u r u u r, ………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, …11分整理得,()224410x x y k+-++=. …12分 令0x =,得()214y +=,解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分12.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上,短轴长为2,(1)求椭圆C 的方程;(2)B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 于点P ,设OP tOE =u u u r u u u r.12.【解】(I)设椭圆C 的方程为)022+a x由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=2222222b a c e c b a ,解得:1,2===c b a因此:椭圆C 的方程为1222=+y x (II)(1)当B A ,两点关于x 轴对称时,设直线AB 的方程为m x =,由题意可得:)2,0()0,2(Y -∈m将x m =代入椭圆方程1222=+y x ,得22||2m y -= 所以:4622||2=-=∆m m S AOB ,解得:232=m 或212=m ① 又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==因为P 为椭圆C 上一点,所以12)(2=mt ② 由①②得:42=t 或342=t ,又知0>t ,于是2=t 或332=t (2)当B A ,两点关于x 轴不对称时,设直线AB 的方程为h kx y +=,由⎪⎩⎪⎨⎧+==+h kx y y x 1222得:0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ,由判别式0>∆可得:2221h k >+此时:2212122212212122)(,2122,214k hh x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+, 所以222221221221211224)(1||k h k kx x x x kAB +-++=-++=因为点O 到直线AB 的距离21||kh d +=所以:222221||212112221||21kh k h k k d AB S AOB+⨯+-+⨯+⨯⨯==∆ 46||21212222=+-+=h k h k ③令221k n +=,代入③整理得:016163422=+-h n h n解得:24h n =或234h n =,即:22421h k =+或223421h k =+④又)21,212(),(21)(21222121k htk kht y y x x t t t ++-=++=+==因为P 为椭圆C 上一点,所以1])21((21[222=+kh t ,即121222=+t k h ⑤ 将④代入⑤得:42=t 或342=t 2=t 或332=t ,经检验,符合题意综上所述:2=t 或332=t13.已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上,直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。
圆锥曲线近五年高考题(全国卷)文科
4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2B. 26 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( )A. 1B. 2C. 4D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :0822=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ∆的面积2014(新课标全国卷2)(10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB =(A )3(B )6 (C )12 (D )(12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是(A )[]1,1- (B )1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, (C )⎡⎣ (D ) ⎡⎢⎣⎦20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :12222=+by a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。
(I )若直线MN 的斜率为43,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。
4.已知双曲线C :2222=1x y a b -(a >0,b >0)C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x± D .y =±x8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=则△POF 的面积为( ). A .2 B...421.已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |.2013(新课标全国卷2)5、设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为( )(A(B )13 (C )12 (D10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线2000年:(10)过原点的直线与圆相切,若切点在第三象限,则该直03422=+++x y x 线的方程是( )(A ) (B ) (C )(D )x y 3=x y 3-=x 33x 33-(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点,若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、,则等于( )p q qp 11+(A )(B )(C ) (D )a 2a21a 4a4(14)椭圆的焦点为、,点P 为其上的动点,当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时,点P 横坐标的取值范围是________。
(22)(本小题满分14分)如图,已知梯形ABCD 中,点E 分有向线段所成的比为,CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点。
当时,求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。
e 2004年3.过点(-1,3)且垂直于直线的直线方程为( )032=+-y x A .B .C .D .12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8.已知圆C 的半径为2,圆心在轴的正半轴上,直线与圆C 相切,则圆x 0443=++y x C 的方程为( )A .B .03222=--+x y x 0422=++x y x C .D .3222=-++x y x 0422=-+x y x 8.(理工类)已知椭圆的中心在原点,离心率,且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合,x y 42-= 则此椭圆方程为( )A .B .13422=+y x 16822=+y x C .D .1222=+y x 1422=+y x 22.(本小题满分14分)双曲线的焦距为2c ,直线过点(a ,0)和(0,b ),且点)0,1(12222>>=-b a by a x l (1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年:9.已知双曲线的焦点为,点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为(x )A .B .CD435310.设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()A B C .D 2121、(理工类)(本小题满分12分)设,两点在抛物线上,是的垂直平分线。
全国卷高考十年(2007-2016)圆锥曲线题目汇总
在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上, 离心率为 两点,且 △ ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 。
2 。 过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 2
31. [2010 年高考全国新课标文数第 5 题] 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离心率为 ( A) 6 (B) 5 (C)
∆ ABP 的面积为
(A)18 (B)24 (C)36 (D)48
29. [2011 年高考全国新课标理数第 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 题] 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍, 则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)2 30. [2011 年高考全国新课标理数第 14 题] (D)3
1 3
(B)
1 2
(C)
2 3
(D)
3 4
7. [2015 年高考全国新课标Ⅱ卷文数第 15 题]
8. [2015 年高考全国新课标Ⅱ卷理数第 11 题]
1
新课程标准(2007-2016)数学试卷分类汇编—圆锥曲线
2016 年 10 月 13 日
9. [2015 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 5 题]
63 32
D. 9
4
15. [2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 4 题] 已知双曲线
x2 y2 − = 1(a > 0) 的离心率为 2,则 a = ( a2 3
)
16. [2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 10 题]
2
新课程标准(2007-2016)数学试卷分类汇编—圆锥曲线
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
一、选择题:(60分)
1.椭圆 的离心率是()
A. B. C. D.
2.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 轴上,并且长轴长为12,离心率为 ,则该椭圆的方程为()
A. B. C. D.
3.方程 所表示的曲线是()
A.双曲线B.椭圆C.线段D.圆
4.已知双曲线的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率曲线的实轴长和虚轴长。
(2)若 ,点 是双曲线上的任意一点,求 的最小值。
20.已知双曲线 。
(1)求与双曲线 有相同的焦点,且过点 的双曲线 的标准方程。
(2)直线 分别交双曲线的两条渐近线与A,B两点,当 时,求实数 的值。
(A)(B)(C)(D)
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则三角形ABC的周长是()
(A)2(B)6(C)4(D)12
6.已知双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为 , ,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
7.曲线 与曲线 的()
A. B. C. D.
二、填空题:(30分)
11.双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍,则 。
12.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为 ,且长轴长是短轴长的2倍,则求该椭圆的标准方程为。
13.已知椭圆 的焦点为 ,点P在椭圆上。若 ,则 的大小为
14.已知点 ,椭圆 与直线 交于点A,B,则 的周长为()
15.已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线,且 的右焦点为 ,则 ( ), ()。
(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同
8.已知F是双曲线 的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线上一点,则 的大小不可能是()
圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C :x 2+y 2=16(y >0),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ,P 为垂足,则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y ),由题意,根据中点的坐标表示可得P (x ,2y ),代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y ),则P (x ,y 0),P (x ,0),因为M 为PP 的中点,所以y 0=2y ,即P (x ,2y ),又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上,所以x 2+4y 2=16(y >0),即x 216+y 24=1(y >0),即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选:A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ,点P -6,4 在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ,结合双曲线定义计算可得2a ,即可得离心率.【详解】由题意,F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ,则F 1F 2 =2c =8,PF 1 =62+4+4 2=10,PF 2 =62+4-4 2=6,则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4,则e =2c 2a =84=2.故选:C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点,且直线PF 2的斜率为2.△PF 1F 2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设PF 2 =m ,由面积公式求出m ,由勾股定理得出c ,结合第一定义再求出a .【详解】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,∠F 1PF 2=90°,设PF 2 =m ,∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2,由k PF 2=tan θ1=2,求得sin θ1=25,因为∠F 1PF 2=90°,所以k PF 1⋅k PF 2=-1,求得k PF 1=-12,即tan θ2=12,sin θ2=15,由正弦定理可得:PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5,则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ,由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22,则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10,由双曲线第一定义可得:PF 1 -PF 2 =2a =22,a =2,b =c 2-a 2=8,所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选:C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2,到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4,则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时,y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a,故可判断A的正误,结合曲线方程可判断B的正误,利用特例法可判断C的正误,将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A:设曲线上的动点P x,y,则x>-2且x-22+y2×x-a=4,因为曲线过坐标原点,故0-22+02×0-a=4,解得a=-2,故A正确.对于B:又曲线方程为x-22+y2×x+2=4,而x>-2,故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时,22-22×22+2=8-4=4,故22,0在曲线上,故B正确.对于C:由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22,取x=32,则y2=6449-14,而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0,故此时y2>1,故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.对于D:当点x0,y0在曲线上时,由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22,故-4x0+2≤y0≤4x0+2,故D正确.故选:ABD.【点睛】思路点睛:根据曲线方程讨论曲线的性质,一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则()A.l与⊙A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项,抛物线准线为x=-1,根据圆心到准线的距离来判断;B选项,P,A,B三点共线时,先求出P 的坐标,进而得出切线长;C选项,根据PB=2先算出P的坐标,然后验证k PA k AB=-1是否成立;D选项,根据抛物线的定义,PB=PF,于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题,此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可,亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项,抛物线y2=4x的准线为x=-1,⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和⊙A相切,A选项正确;B选项,P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标y P=4,由y2P=4x P,得到x P=4,故P(4,4),此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15,B选项正确;C选项,当PB=2时,xP=1,此时y2P=4x P=4,故P(1,2)或P(1,-2),当P(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),k PA=4-20-1=-2,k AB=4-20-(-1)=2,不满足k PA k AB=-1;当P(1,-2)时,A(0,4),B(-1,2),k PA=4-(-2)0-1=-6,k AB=4-(-2)0-(-1)=6,不满足k PA k AB=-1;于是PA⊥AB不成立,C选项错误;D选项,方法一:利用抛物线定义转化根据抛物线的定义,PB=PF,这里F(1,0),于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题,A(0,4),F(1,0),AF中点12,2,AF中垂线的斜率为-1kAF =14,于是AF的中垂线方程为:y=2x+158,与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0,Δ=162-4×30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,即存在两个P点,使得PA=PF,D选项正确.方法二:(设点直接求解)设Pt24,t,由PB⊥l可得B-1,t,又A(0,4),又PA=PB,根据两点间的距离公式,t416+(t-4)2=t24+1,整理得t2-16t+30=0,Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解,即存在两个这样的P点,D选项正确.故选:ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为.【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象,求出AF2,结合双曲线第一定义求出AF1,即可得到a,b,c的值,从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ,即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ,故AB =2b 2a =10,AF 2 =b 2a=5,又AF 1 -AF 2 =2a ,得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13,解得a =4,代入b 2a=5得b 2=20,故c 2=a 2+b 2=36,,即c =6,所以e =c a =64=32.故答案为:327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ,则焦点坐标为.【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0,由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ,所以其焦点坐标为4,0 .故答案为:4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1,则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为.【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在,然后设出方程,联立双曲线方程,根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1,解得y =±52,这表明满足题意的直线斜率一定存在,设所求直线斜率为k ,则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ,联立x 24-y 2=1y =k x -3 ,化简并整理得:1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0,由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0,解得k =±12或无解,即k =±12,经检验,符合题意.故答案为:±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为.【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标,从而可求焦准距,再联立圆和抛物线方程,求A 及AF 的方程,从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ,故p2=1即p =2,由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0,故x =4或x =-6(舍),故A 4,±4 ,故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0,故原点到直线AF 的距离为d =45=45,故答案为:4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9,那么点P 到x 轴的距离为.【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8,将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1,设点P x 0,y 0 ,由题意得x 0+1=9,解得x 0=8,代入抛物线方程y 2=4x ,得y 20=32,解得y 0=±42,则点P 到x 轴的距离为42.故答案为:42.11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且△ABP 的面积为9,求l 的方程.【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程,解出即可;(2)方法一:以AP 为底,求出三角形的高,即点B 到直线AP 的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到B 点坐标,则得到直线l 的方程;方法二:同法一得到点B 到直线AP 的距离,再设B x 0,y 0 ,根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组,解出即可;法三:同法一得到点B 到直线AP 的距离,利用椭圆的参数方程即可求解;法四:首先验证直线AB 斜率不存在的情况,再设直线y =kx +3,联立椭圆方程,得到点B 坐标,再利用点到直线距离公式即可;法五:首先考虑直线PB 斜率不存在的情况,再设PB :y -32=k (x -3),利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案;法六:设线法与法五一致,利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1,解得b2=9a2=12,所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一:k AP=3-320-3=-12,则直线AP的方程为y=-12x+3,即x+2y-6=0,AP=0-32+3-3 22=352,由(1)知C:x212+y29=1,设点B到直线AP的距离为d,则d=2×9352=1255,则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,设该平行线的方程为:x+2y+C=0,则C+65=1255,解得C=6或C=-18,当C=6时,联立x212+y29=1x+2y+6=0,解得x=0y=-3或x=-3y=-32,即B0,-3或-3,-3 2,当B0,-3时,此时k l=32,直线l的方程为y=32x-3,即3x-2y-6=0,当B-3,-3 2时,此时k l=12,直线l的方程为y=12x,即x-2y=0,当C=-18时,联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0,Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B x0,y0,则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1,解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3,即B0,-3或-3,-3 2,以下同法一.法三:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B 23cos θ,3sin θ ,其中θ∈0,2π ,则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255,联立cos 2θ+sin 2θ=1,解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1,即B 0,-3 或-3,-32,以下同法一;法四:当直线AB 的斜率不存在时,此时B 0,-3 ,S △PAB =12×6×3=9,符合题意,此时k l =32,直线l 的方程为y =32x -3,即3x -2y -6=0,当线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +3,联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1,则4k 2+3 x 2+24kx =0,其中k ≠k AP ,即k ≠-12,解得x =0或x =-24k 4k 2+3,k ≠0,k ≠-12,令x =-24k 4k 2+3,则y =-12k 2+94k 2+3,则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0,点B 到直线AP 的距离d =1255,则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255,解得k =32,此时B -3,-32 ,则得到此时k l =12,直线l 的方程为y =12x ,即x -2y =0,综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时,设PB :y -32=k (x -3),令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ,消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0,Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0,且k ≠k AP ,即k ≠-12,x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ,A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9,∴k =12或32,均满足题意,∴l :y =12x 或y =32x -3,即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时,设l :y =k (x -3)+32,设l 与y 轴的交点为Q ,令x =0,则Q 0,-3k +32,联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36,则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0,3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0,其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0,且k ≠-12,则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2,则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9,解的k =12或k =32,经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3,即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ,点P 15,4 在C 上,k 为常数,0<k <1.按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ,过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1,令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点,记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12,求x 2,y 2;(2)证明:数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列;(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积,证明:对任意的正整数n ,S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3,y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可;(2)根据等比数列的定义即可验证结论;(3)思路一:使用平面向量数量积和等比数列工具,证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二:使用等差数列工具,证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9,故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时,过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32,与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5,所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ,该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ,从而x 2=3,y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ,与x 2-y 2=9联立,得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0,由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点,故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理,另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2,相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2,而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ,故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1-y 1≠0,所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一:先证明一个结论:对平面上三个点U ,V ,W ,若UV =a ,b ,UW =c ,d ,则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上,约定S △UVW =0)证明:S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕,回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ,P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ,故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值,所以S n =S n +1.方法二:由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1,以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减,即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ,P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行,这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3,即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合,需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,点M 1,32 在C 上,且MF ⊥x 轴.(1)求C 的方程;(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ ⊥y 轴.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ,根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量,故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立直线方程和椭圆方程,用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ,结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0,故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ,由题设有c =1且b 2a =32,故a 2-1a =32,故a =2,故b =3,故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在,设AB :y =k (x -4),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0,故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0,故-12<k <12,又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2,而N 52,0 ,故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ,故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5,所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0,故y 1=y Q ,即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,注意Δ的判断;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式;(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ,焦点和短轴端点构成边长为2的正方形,过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ,B ,C 0,1 ,连接AC 交椭圆于D .(1)求椭圆方程和离心率;(2)若直线BD 的斜率为0,求t .【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2,进一步得a ,由此即可得解;(2)说明直线AB 斜率存在,设AB :y =kx +t ,t >2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立椭圆方程,由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1,而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1,令x =0,即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2,从而a =b 2+c 2=2,所以椭圆方程为x 24+y 22=1,离心率为e =22;(2)显然直线AB 斜率存在,否则B ,D 重合,直线BD 斜率不存在与题意不符,同样直线AB 斜率不为0,否则直线AB 与椭圆无交点,矛盾,从而设AB :y =kx +t ,t >2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x 24+y 22=1y =kx +t ,化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0,由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0,即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0,所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1,若直线BD 斜率为0,由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ,所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1,在直线AD 方程中令x =0,得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1,所以t =2,此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ,即k 应满足k <-22或k >22,综上所述,t =2满足题意,此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12.左顶点为A ,下顶点为B ,C 是线段OB 的中点,其中S △ABC =332.(1)求椭圆方程.(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ,Q .在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12,故a =2c ,b =3c ,其中c 为半焦距,所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ,故S △ABC=12×2c ×32c =332,故c =3,所以a =23,b =3,故椭圆方程为:x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:y =kx -32,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ,由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0,故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ,故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2,因为TP ⋅TQ ≤0恒成立,故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0,解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在,则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ,此时需-3≤t ≤3,两者结合可得-3≤t ≤32.综上,存在T 0,t-3≤t ≤32 ,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的范围问题,往往需要用合适的参数表示目标代数式,表示过程中需要借助韦达定理,此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2,过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时,求b 的值.(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时,且点P 在第一象限,求点P 的坐标.(3)连接OQ 并延长,交双曲线Γ于点R ,若A 1R ⋅A 2P=1,求b 的取值范围.【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2,则c =2,b =22-1=3.(2)当b =263时,双曲线Γ:x 2-y 283=1,其中M -2,0 ,A 21,0 ,因为△MA 2P 为等腰三角形,则①当以MA 2为底时,显然点P 在直线x =-12上,这与点P 在第一象限矛盾,故舍去;②当以A 2P 为底时,MP =MA 2 =3,设P x ,y ,则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ,因为点P 在第一象限,显然以上均不合题意,舍去;(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ,矛盾,舍去);③当以MP 为底时,A 2P =MA 2 =3,设P x 0,y 0 ,其中x 0>0,y 0>0,则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1,解得x 0=2y 0=22,即P 2,22 .综上所述:P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 , 当直线l 的斜率为0时,此时A 1R ⋅A 2P=0,不合题意,则k l ≠0,则设直线l :x =my -2,设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ,根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 , 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0,显然二次项系数b 2m 2-1≠0,其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0,y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①,y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②,A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ,则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1,因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上,则x 1=my 1-2,x 2=my 2-2,即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1,即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0,将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0,即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0,所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0,解得b 2≤103,又因为b >0,则0<b 2≤103,综上知,b 2∈0,3 ∪3,103 ,∴b ∈0,3 ∪3,303.【点睛】关键点点睛:本题第三问的关键是采用设线法,为了方便运算可设l :x =my -2,将其与双曲线方程联立得到韦达定理式,再写出相关向量,代入计算,要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22,则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况,求椭圆的离心率,求解参数a ,再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴,则离心率e =a 2-3a =22,得a 2=6,此时焦距2c =26-3=23,若椭圆的焦点在y 轴,则离心率e =3-a 23=22,得a 2=32,此时焦距2c =23-32=6,所以该椭圆的焦距为23或6.故选:D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线,则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4,O 2:x 2+(y -1)2=1,所以两圆方程相减可得y =2x ,由题意知C 的一条渐近线为y =2x ,即ba =2,双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5.故选:C .3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ,则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1,2D.102,10【答案】A【详解】依题意,双曲线E :3mx 2-my 2=3化为:y 2-3m -x 2-1m=1,则-3m +-1m =22,解得m =-1,双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选:A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ,N ,则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y ),根据线段MN 的中点为P ,则CP ⊥MN ,即CP ⊥AP ,所以CP ⋅AP =0,又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4),所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心,半径为5的圆在圆C 内的一部分,故选:D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ,点B -1,0 ,动点M 满足直线AM ,BM 的斜率之积为4,则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ,B -1,0 ,根据直线AM 与BM 的斜率之积为4.整理得y x +1⋅y x -1=4,化简得:x 2-y 24=1(x ≠±1).故选:D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中,把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2,点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点,则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ,使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4,可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4,整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ,即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ,由x 用-x 代换,方程没变,可知曲线C 关于y 轴对称,由y 用-y 代换,方程没变,可知曲线C 关于x 轴对称,由x 用-x 代换,y 用-y 同时代换,方程没变,可知曲线C 关于原点对称,图象如图所示:所以①不正确,②正确;③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x,可得x 4=0,即x =0,所以y =0,所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0),所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程,即原点O 在曲线C 上,则OF 1 =OF 2 ,即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时,满足PF 1 =PF 2 ,所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),左、右顶点分别为A ,B ,O 为坐标原点,如图,已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ,Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ,S 两点,则下列命题正确的是()A.存在直线l ,使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时,|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ,使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ,则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解:对于A 项:与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A 项错误;对于B 项:设直线l :y =kx +t ,与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1,得:b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0,其中b 2-a 2k 2≠0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由根与系数关系得:x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2,所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t,将直线l :y =kx +t ,与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak,将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ,所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t,所以线段PQ 与线段RS 的中点重合.所以,对任意的直线l ,都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |,故B 项不正确;对于C 项:因为|OB |为定值,当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时,S △ORB 趋向于无穷,所以S △ORB 会趋向于无穷,不可能有最大值,故C 项错误;对于D 项:联立直线l 与渐近线y =bax ,解得Sa 22b +a ,ab2b +a,联立直线l 与渐近线y =-b a x ,解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知,BR =3BS ,3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ,解得b =2a ,所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3,故D 项正确.故选:D .【点睛】方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法:①定义法:通过已知条件列出方程组,求得a ,c 得值,根据离心率的定义求解离心率e ;②齐次式法:由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程,然后转化为关于e 的一元二次方程求解;③特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,焦距为82,点P 在双曲线C 上,OP =OF 2 ,且△POF 2的面积为8,则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8,所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ,所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2,所以△PF 1F 2为直角三角形,且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ,PF 2 =n ,所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2,所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16,又b >0,所以b =4.焦距为2c =82,所以c =42,则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16,所以a =4,则离心率e =424=2.故选:C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,点A 在第一象限,点O 为坐标原点,且S △AOF =2S △BOF ,则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图:设直线倾斜角为α,抛物线的准线l :x =-1作AM ⊥l 于M ,根据抛物线的定义,AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α,所以|AF |=21-cos α,类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |,得cos α=13,故k =tan α=22.故选:A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点,若点P (1,2)在C 上,则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意,2=a ×12,解得a =2,所以C :x 2=y 2的准线为y =-18,所以|PF |=2+18=178,故选:D .11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ,过抛物线上点P 作准线的垂线,设垂足为Q ,若∠PQF =30°,则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示:设 M 为准线与x 轴的交点,因为∠PQF =30°,且PF =PQ ,所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°,因为FM ⎳PQ ,所以∠QFM =30°,而在Rt△QMF中,QF=FMcos30°=232=433,所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选:A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0,B2,0,C1,0,动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4,动点M的轨迹记为Γ,过点C的直线交Γ于P,Q两点,且P,Q的中点为R,则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点,则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D,则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A,设M x,y,因为A-2,0,B2,0,所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34,化简得x24+y23=1x≠±2,故A错误;对于选项B,因为x24+y23=1x≠±2,则a=2,b=3,则c=a2-b2=1,所以C1,0为椭圆的右焦点,则MCmin=a-c=2-1=1,故B正确;对于选项C,设PQ的方程 x=my+1,代入椭圆方程,得3m2+4y2+6my-9=0,设P x1,y1,Q x2,y2,则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,Δ=36m2+363m2+4>0,所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4,令m2+1=t≥1,则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t,令g t =3t+1tt≥1,则S△OPQ=6g t,t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0,g t 在1,+∞为增函数,g t ≥g1 =4,g t min=4,所以S△OPQmax=64=32,当且仅当t=1时即m=0等号成立,故C正确;对于选项D,因为Rx1+x22,y1+y22,x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4,y1+y22=-3m3m2+4,所以R43m2+4,-3m3m2+4,则x R=43m2+4,设D x D ,0 ,则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1,则x D =13m 2+4,所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4,则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍,故D 正确.故选:BCD .【点睛】关键点点睛:本题求解的关键有两个:一是利用面积公式得出面积表达式,结合导数得出最值;二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质:从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图,双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后,分别经过点C 和D ,其中AF 2 ,BF 2共线,则()A.若直线AB 的斜率k 存在,则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时,光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时,△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时,cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示,过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2,则l 1,l 2的斜率分别为62和-62,对于A 中,由图可知,当点A ,B 均在E 的右支时,k <-62或k >62,所以A 正确;对于B 中,光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6,所以B 正确;对于C 中,由AB ⋅AD =AB 2,得AB ⋅AD -AB =0,即AB ⋅BD=0,所以AB ⊥BD ,设BF 1 =n ,则BF 2 =n -2a =n -4,因为∠ABD =π2,所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40,整理得n 2-4n -12=0,解得n =6或n =-2(舍去),所以BF 1 =6,BF 2 =2,所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6,所以C 错误;对于D 项,在直角△F 1BF 2中,cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010,所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010,所以D 正确.故选:ABD .14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点,且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1),则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1,由条件,点P 应在双曲线C 的右支上,设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M 、N 、A ,则由题A 3,0 ,且PM =PN ,F 1M =F 1A ,F 2N =F 2A ,又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3,A 选项正确;由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ,连接IF 1、IF 2、IA ,则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18,所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663,B 选项错误;同理,tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43,∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125,∴⇒tan∠F 1PF 22=32,所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323,又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2,故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643,∴△PF 1F 2的周长为643,C 选项正确;由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213,由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512,D 选项正确.故选:ACD .【点睛】关键点睛:求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ,P 为其上一动点,当P 运动到(t ,1)时,|PF |=2,直线l 与抛物线相交于A 、B 两点,下列结论正确的是()A.抛物线的方程为:x 2=8yB.抛物线的准线方程为:y =-1。
(完整word版)圆锥曲线近五年高考题(全国卷)文科
4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2B. 26 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( )A. 1B. 2C. 4D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :0822=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ∆的面积2014(新课标全国卷2)(10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB =(A )3(B )6 (C )12 (D )(12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是(A )[]1,1- (B )1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, (C )⎡⎣ (D ) ⎡⎢⎣⎦20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :12222=+by a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。
(I )若直线MN 的斜率为43,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。
4.已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x± D .y =±x8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=,则△POF 的面积为( ). A .2 B...421.已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |.2013(新课标全国卷2)5、设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=o ,则C 的离心率为( )(A)6 (B )13 (C )12 (D)310、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。
圆锥曲线高考题选
全国卷圆锥曲线高考题选1、 (15全国新课标1)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.2、(14全国新课标)已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线与C 相交于A 、B 两点,若AB 的 垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点,且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上,求的方程.3、(13新课标1)已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.4.(13新课标Ⅱ卷数学)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直30x y +交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.5、(12全国新课标)设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,准线为l ,A C ∈,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点;(1)若090=∠BFD ,ABD ∆的面积为24;求p 的值及圆F 的方程;(2)若,,A B F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到,m n 距离的比值。
圆锥曲线高考真题训练题--解答题(文科)
圆锥曲线高考真题训练题--解答题(文科)一、选择题(共12小题;共60分)1. 设椭圆的左、右焦点分别为,,是上的点,,,则的离心率为2. 已知抛物线的焦点为,是上一点,,则A. B. C. D.3. 已知是双曲线:的右焦点,是上一点,且与轴垂直,点的坐标是.则的面积为4. 已知为坐标原点,是椭圆的左焦点,,分别为的左、右顶点,为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为5. 设,是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是A. B.C. D.6. 设点,若在圆上存在点,使得,则的取值范围是B. D.7. 已知椭圆的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为8. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到的距离为其短轴长的心率为9. 已知,,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为A. B. C. D.10. 已知椭圆:的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为A. B. C.11. 已知椭圆与双曲线的焦点重合,,分别为,的离心率,则A. 且B. 且C. 且D. 且12. 已知直线过点,当直线与圆有两个交点时,其斜率的取值范围是A.二、填空题(共14小题;共70分)13. 设直线与圆:相交于,两点,若,则圆的面积为.14. 已知是双曲线的右焦点,是左支上一点,,当周长最小时,该三角形的面积为.15. 设是双曲线的两个焦点,是上一点,若,且的最小内角为,则的离心率为.16. 已知点和的横坐标相同,的纵坐标是的纵坐标的倍,和的轨迹分别为双曲线和.若的渐近线方程为,则的渐近线方程为.17. 如图,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于,两点,且,则该椭圆的离心率是.18. 椭圆的左、右顶点分别是,左、右焦点分别是.若成等比数列,则此椭圆的离心率为.19. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.20. 一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.21. 已知、是椭圆的左右焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为,则.22. 已知椭圆的左、右焦点分别为,,若椭圆上存在点使,则该椭圆的离心率的取值范围为.23. 在平面直角坐标系中,分别为椭圆的左、右、上、下顶点,为其右焦点,直线与直线相交于点,线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为.24. 若椭圆的焦点在轴上,过点作圆的切线,切点分别为,,直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.25. 已知椭圆的左焦点为,与过原点的直线相交于两点,连接,若,则椭圆的离心率.26. 在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点,若点到直线的距离大于恒成立,则实数的最大值为.三、解答题(共12小题;共156分)27. 已知抛物线的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两点,交的准线于,两点.(1)若在线段上,是的中点,证明;(2)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.28. 设、分别是椭圆的左、右焦点,是上一点且与轴垂直,直线与的另一个交点为.(1)若直线的斜率为的离心率;(2)若直线在轴上的截距为,且,求,.29. 在直角坐标系中,曲线与轴交于,两点,点的坐标为,当变化时,解答下列问题:(1)能否出现的情况?说明理由;(2)证明过,,三点的圆在轴上截得的弦长为定值.30. 在平面直角坐标系中,已知圆在轴上截得线段长为,在轴上截得线段长为.(1)求圆心的轨迹方程;(2)若点到直线的距离为的方程.31. 设,为曲线:上两点,与的横坐标之和为.(1)求直线的斜率;(2)设为曲线上一点,在处的切线与直线平行,且,求直线的方程.32. 已知点,圆,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.(1)求的轨迹方程;(2)当时,求的方程及的面积.33. 已知过点且斜率为的直线与圆交于,两点.(1)求的取值范围;(2)若,其中为坐标原点,求.34. 在直角坐标系中,直线:交轴于点,交抛物线:于点,关于点的对称点为,连接并延长交于点.(1)求;(2)除以外,直线与抛物线是否有其它公共点?说明理由.35. 已知点是椭圆的左顶点,斜率为的直线交椭圆于,两点,点在上,.(1)当时,求三角形的面积;(2)当时,证明:.36. 已知圆,圆,动圆与圆外切并与圆内切,圆心的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长时,求.37. 设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.38. 已知椭圆的离心率为,,,,的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上的一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:为定值.答案第一部分1. D2. C3. D4. A 【解析】,,,,中点,,.5. A【解析】假设椭圆的焦点在轴上,则时,当位于短轴的端点时,取最大值,要使椭圆上存在点满足,则,,,解得:.当椭圆的焦点在轴上时,,当位于短轴的端点时,取最大值,要使椭圆上存在点满足,则,,,解得:,所以的取值范围是.6. A 【解析】点在直线上,过作圆的两条切线,记该点对圆的张角为,则圆上存在点使得.由此知只需在直线上寻找对圆的张角等于的两点,,则线段上的点的横坐标范围即为所求.事实上,张角等于时,点与圆心及切点构成的四边形为正方形,易知.7. A 【解析】以线段为直径的圆与直线相切,所以原点到直线的距离,化为:.所以椭圆的离心率.8. B 【解析】由题可设椭圆方程为,直线的方程为,整理为,椭圆中心到直线的距离,所以,,所以.9. C10. A【解析】以线段为直径的圆与直线相切,所以原点到直线的距离,化为:.所以椭圆的离心率.11. A 【解析】由题意知,即,,代入,得,.12. C 【解析】设的直线方程为,将直线方程与圆方程联立消得,直线与圆有两个交点,即,所以的取值范围为.第二部分13.【解析】将圆方程化简为标准方程为,即圆心,半径,圆心到直线的距离为,所以,解得,,所以圆面积.14.【解析】由已知得,,,所以,设双曲线的左焦点为,则的周长为(当点、、共线时取等号),直线方程为,代入得,解得或(舍去),所以,直线,可得点到直线的距离为,所以.15.【解析】设为右支上的点,根据双曲线定义可知,又,所以,而,所以,由余弦定理,解得.16.17.【解析】由题意,得.直线的方程与椭圆方程联立,解得,,则.由,得,即,再结合可得,则.19.20.【解析】由题意,圆经过椭圆的三点为,,,故设圆心为.从而有,解得,半径为.故圆的标准方程为.21.【解析】设,则.根据题意,得于是解得,.【解析】根据题意知,,,,,直线的方程为①,直线的方程为②.由①②可得,所以.又因为在椭圆上,所以,即,所以,又因为,所以.【解析】当斜率存在时,设过点的直线方程为,根据直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,可以得到,直线与圆方程联立,可以得到切点的坐标.当斜率不存在时,直线方程为,则得.根据,,可得直线的方程为,与轴的交点,即为上顶点坐标.与轴的交点,即为焦点坐标,,故椭圆方程为.【解析】双曲线的渐近线方程为,其与直线质知,右支上任意一点到直线的距离都大于.第三部分27. (1)连接,.由,及,得,所以,因为是中点,所以.所以,所以,.又,所以,所以(等角的余角相等),所以.(2)设,.,准线为,,设直线与轴焦点为,,因为,所以,所以,即.设中点为,由得,又,,即.所以中点轨迹方程为.28. (1)设为第一象限内的点.根据及题设知将代入,解得故的离心率为.(2)由题意,原点为的中点,轴,所以直线与轴的交点是线段的中点,故即由得设,由题意知,则即代入的方程,得将及代入得解得故29. (1)曲线与轴交于,两点,可设,,则,是方程的两根,有,由韦达定理可得,若,则,,即为这与矛盾,故不出现的情况.(2)设过,,三点的圆的方程为,由题意可得时,与等价.可得,,圆的方程即为,由圆过,可得,可得,则圆的方程即为,再令,可得,解得.即有圆与轴的交点为,,则过,,三点的圆在轴上截得的弦长为,所以过,,三点的圆在轴上截得的弦长为定值.30. (1)设,圆的半径为.由题设从而故点的轨迹方程为(2)设,由已知得又点在双曲线上,从而得由得此时,圆的半径由得此时,圆的半径故圆的方程为31. (1)设,为曲线:上两点,则直线的斜率为;(2)设直线的方程为,代入曲线:,可得,即有,,,再由的导数为,设,可得处切线的斜率为,由在处的切线与直线平行,可得,解得,即,由可得,,即为,化为,即为,解得,满足,则直线的方程为.32. (1)圆的标准方程设,圆心,则由题设知故即由于点在圆内部,所以的轨迹方程为(2)由(1)可知的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.由于,故在线段的垂直平分线上.又在圆上,从而.因为的斜率为,所以的斜率为故的方程为.又,到,所以的面积为.33. (1)由题设,可知直线的方程为.因为直线与圆交于两点,所以,解得.所以的取值范围为.(2)设,.将代入方程,整理得.所以,..由题设可得,解得,所以的方程是.故圆心在上,所以.34. (1)设点为,点为,点为.由题意,因为点在抛物线上,所以,所以.因为点是点关于点的对称点,且点为,所以得即点.所以直线的方程为:.因为点为直线与的交点,所以联立解得:(舍)或,所以,所以点的坐标为,.(2)由(1)可知,点,,所以直线的方程为:,联立消去得,,即.所以此方程组有两组相同的解,即直线与抛物线仅有一个交点.35. (1)由题意知,因为,且,所以为等腰直角三角形,所以,设点,由题意得,把代入椭圆方程得:解得:(舍),,所以.(2)设;;得.设,,所以,,,所以;同理;由,得;整理得:,得;即;设,,所以在递增;,,根据零点存在定理可知:.36. (1)因为圆与圆外切并且与圆内切,所以由椭圆的定义可知,曲线是以,为左,右焦点,长半轴长为,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为(2)对于曲线上任意一点,由于所以,当且仅当圆的圆心为时,,所以当圆的半径最长时,其方程为若的倾斜角为,则与轴重合,可得若的倾斜角不为,由知不平行于轴,设与轴的交点为,则可求得,所以可设.由与圆相切得解得当时,将代入并整理得解得所以当时,由图形的对称性可知.综上,37. (1)设,由题意可得,设,由点满足,可得,可得,,即有,,,可得,即有点的轨迹方程为圆.(2)设,,,可得,即为,解得,即有,的左焦点为,由,,由,可得过点且垂直于的直线过的左焦点.38. (1)由题意,得,.又因为,解得,,.故方程为.(2)由题意得不在顶点处,设,,即.又因为,,则直线,令,得.直线,令,得,,。
(完整word版)圆锥曲线文科测试(含答案)
圆锥曲线(文科)1.已知F 1、F 2是两个定点,点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且 PF 1⊥PF 2,e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率,则有 ( ) A .221≥e eB .42221≥+e eC .2221≥+e eD .2112221=+e e2.已知方程1||2-m x+my -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( )A .m<2B .1<m<2C .m<-1或1<m<2D .m<-1或1<m<23 3.在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0(a >b >0)的曲线大致是 ( )4.已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232n y m x -=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是 ( )A .x =±y215 B .y =±x 215C .x =±y 43D .y =±x 435.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则qp11+等于A .2aB .a21C .4aD .a46.若椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5:3两段,则此椭圆的离心率为( )A .1716B .17174 C .54 D .5527.椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上,那么点M 的纵坐标是( )A .±43B .±23C .±22D .±43 8.设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足∠F 1PF 2=90°,则 △F 1PF 2的面积是( )A .1B .25 C .2 D .59.已知双曲线22a x -22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数,那么以a 、b 、 m 为边长的三角形是 A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .锐角或钝角三角形10.中心在原点,焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x -y -2=0截得的弦的中点的横坐标为21,则椭圆方程为 A .2522x +7522y =1 B .7522x +2522y =1 C .252x +752y =1D .752x +252x =111.已知点(-2,3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5,则p =___ __。
2023年高考真题文科数学解析分类汇编圆锥曲线
高考文科试题解析分类汇编:圆锥曲线一、选择题1.【高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>旳左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,12PF F ∆是底角为30旳等腰三角形,则E 旳离心率为( )()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【命题意图】本题重要考察椭圆旳性质及数形结合思想,是简朴题.【解析】∵△21F PF 是底角为030旳等腰三角形,∴0260PF A ∠=,212||||2PF F F c ==,∴2||AF =c ,∴322c a =,∴e =34,故选C. 2.【高考新课标文10】等轴双曲线C 旳中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=旳准线交于,A B 两点,43AB =;则C 旳实轴长为( )()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题重要考察抛物线旳准线、直线与双曲线旳位置关系,是简朴题. 【解析】由题设知抛物线旳准线为:4x =,设等轴双曲线方程为:222x y a -=,将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-,∵||AB =43,∴2216a -=43,解得a =2, ∴C 旳实轴长为4,故选C.3.【高考山东文11】已知双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>旳离心率为 2.若抛物线22:2(0)C x py p =>旳焦点到双曲线1C 旳渐近线旳距离为2,则抛物线2C 旳方程为(A) 2833x y = (B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点:圆锥曲线旳性质解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a ,b ,c 旳关系可知a b 3=,此题应注意C2旳焦点在y 轴上,即(0,p/2)到直线x y 3=旳距离为2,可知p=8或数形结合,运用直角三角形求解。
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2圆锥曲线(文科)1已知F i 、F 2是两个定点,点P 是以F i 和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并且PF i 丄PF 2, e i 和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率,则有A . ee ? 22 ei2 2.已知方程— I m| 1 2 y=1 2 m表示焦点在y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是A . m<2 3 1<m<—22 4.已知椭圆二3m C . m< — 1 或 1<m<2D . m<— 1 或B . 1<m<2 3.在同一坐标系中, ) 5n 3n A . x —+ 上 y 2 5.过抛物线y=ax 2 (a > 0)的焦点 2m _ , <15 , £3 y 一 ± xC . x 一 ± y - 4 P 、 A . 2a B .丄 2a 2 F 用一直线交抛物线于 Q 两点, v —+ 3 y —± x 4 若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则丄 pC . 4a 2 y_ (a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F i 、F 2,线段 F i F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5:3两段, 则此椭圆的离心率为 7. 8. 椭圆 16 172 x 12 2 »=13 ± _34 B 4 1717 的一个焦点为F i ,点 P 在椭圆上 •如果线段 PF i 的中点M 在y 轴上,那么点 M 的纵坐标是(2设F i 和F 2为双曲线— 4 y 2 1的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足/ F i PF 2= 90°,则 △ F 1PF 2的面积是(2x 已知双曲线—a2 計利椭圆2x 2 m 2+每=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以 b 2 a 、 b 、 m 为边长的三角形是A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角或钝角三角形 10.中心在原点,焦点坐标为(0, ± 5=2)的椭圆被直线3x — y — 2=0截得的弦的中点的横坐标为 丄,则椭圆方程为22 2 A.红+也=1 25 752 2 B .红+也=1 75 25 2 2C . —1 25 75 11.已知点(一2, 3)与抛物线y 2=2px ( p >0)的焦点的距离是2 2 D .・+・=1 75 255,贝y p= ____2 212•设圆过双曲线 ] 1=1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是___________9162 213.双曲线x y = 1的两个焦点为F i 、F 2,点P 在双曲线上,若 PF i 丄PF 2,则点P 到x 轴的距离为 _________________________百 14.若A 点坐标为(1, 1) , F 1是5X 2 + 9y 2=45椭圆的左焦点,点P 是椭圆的动点,则|PA|+ |P F 1|的最小值是 _______________________2 216•双曲线 笃 与1 ( a>1,b>0)的焦距为2c,直线I 过点(a,0)和(0, b),且点(1,0)到直线I 的距离与点(- a b 1,0)到直线l 的距离之和s > 4 c.求双曲线的离心率e 的取值范围52 2 ,—17.已知圆C 1的方程为(x - 2)2+(y — 1)2=竺,椭圆C 2的方程为 —+ -^=1 (a>b>0), C 2的离心率为空,如果 G 与C 2相交 3 a 2 b 2 2 于A 、B 两点,且线段 AB 恰为圆C 1的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C 2的方程。
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4.已知双曲线)0(13
2
22>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2
B. 2
6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A
00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :082
2=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.
(1)求M 的轨迹方程;
(2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ∆的面积
2014(新课标全国卷2)
(10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB =
(A )3
(B )6 (C )12 (D )(12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是
(A )[]1,1- (B )1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, (C )⎡⎣ (D ) ⎡⎢⎣⎦
20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :122
22=+b
y a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。
(I )若直线MN 的斜率为4
3,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。
4.已知双曲线C :22
22=1x y a b
-(a >0,b >0)
的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x
± D .y =±x
8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2
=的焦点,P 为C 上一点,若|PF |
=,则△POF 的面积为( ). A .2 B
.
..4
21.已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,
圆心P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程;
(2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |.
2013(新课标全国卷2)
5、设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=o ,则C 的离心率为( )
(A
)6 (B )13 (C )12 (D
)3
10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。
若
||3||AF BF =,则l 的方程为( )
(A )1y x =-或!y x =-+ (B
)1)y x =-
或1)y x =- (C
)1)y x =-
或1)y x =- (D
)1)y x =
-
或1)y x =- (20)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x
轴上截得线段长为y 轴上截得线
段长为
(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程;
(Ⅱ)若P 点到直线y x =
的距离为2
,求圆P 的方程。
(4)设F 1、F 2是椭圆E :x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =3a 2上一点,△F 1PF 2
是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( )
(A )12 (B )23 (C )34 (D )45
(10)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB|=43,则C 的实轴长为
(A ) 2 (B )2 2 (C )4 (D )8
(20)(本小题满分12分)
设抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点。
(I )若∠BFD =90°,△ABD 的面积为42,求p 的值及圆F 的方程;
(II )若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值。
2011(新课标全国卷)
4.椭圆2
2
1168x y +=的离心率为
A .1
3 B .1
2 C .
3 D .2
9.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为
A .18
B .24
C . 36
D . 48
20.在平面直角坐标系xOy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上. (I )求圆C 的方程;
(II )若圆C 与直线0x y a -+=交于A ,B 两点,且,OA OB ⊥求a 的值.
(5)中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为
(A (B (C )2 (D )2
(13)圆心在原点且与直线20x y +-=相切的圆的方程为 。
(20)设1F ,2F 分别是椭圆E :2
x +2
2y b =1(0b<1<)的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点,且2AF ,AB ,2BF 成等差数列。
(Ⅰ)求AB
(Ⅱ)若直线l 的斜率为1,求b 的值。
2010(全国卷1)
(8)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,∠1F P 2F =060,
则
12||||PF PF =g
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
(11)已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,那么PA PB •u u u v u u u v 的
最小值为
(A) 4-+3- (C) 4-+3-+
(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,
线段BF 的延长线交C 于点D , 且→
→=FD BF 2,则C 的离心率为 .
(22)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D .
(Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上;
(Ⅱ)设89
FA FB =u u u r u u u r g ,求BDK ∆的内切圆M 的方程 .
2010(全国卷2) (12)已知椭圆C :22a x +22b y =1(a >b >0)的离心率为23,过右焦点F 且斜率k (k >0)
的直线与C 相交于A 、B 亮点,若AF =3FB ,则k =
(A )1 (B )2 (C )3 (D )2
(15)
(16)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ,过(1,0)M
的直线与l 相交
于点A ,与C 的一个交点为B ,若AM MB =u u u u r u u u r , 则p = .
(16)已知球O 的半径为4,圆M 与圆N 为该球的两个小圆,AB 为圆M 与圆N 的公共弦,4AB =.若3OM ON ==,则两圆圆心的距离MN = .
(22)(本小题满分12分)
已知斜率为1的直线l 与双曲线C ()0,0122
22>>=-b a b
y a x 相交于B 、D 两点,且BD 的中点为)3,1(M
(Ⅰ)求C 的离心率;
(Ⅱ)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,17=•BF DF ,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。