大学物理课件

= Rω
方向：垂直于转动半径， 方向：垂直于转动半径，指 向与角速度的转向一致。 向与角速度的转向一致。
转动刚体上各点的加速度
切向加速度： 切向加速度：
dv aτ = dt
法向加速度： 法向加速度： （向心加速度） 向心加速度）
d ɺ = ( Rω) = Rω = Rα dt
an =
v
2
ρ
=
( Rω)
dt r dt r dt 法一：在∆t时间内，纸带拉出长度∆s, 纸带盘减少了∆n层
解 v = ωr ： dv dω dr =0 =r +ω dt dt dt dω ω dr v dr ∴α = =− =− 2
∆s v∆t ∆n = − =− 2πr 2πr
v∆t ∆r = ∆n ⋅ b = − b 2πr
2πn nπ 则：ω = = 60 30
角加速度
∆ω d ω ɺ ɺɺ α = lim = =ω =ϕ ∆t →0 ∆t dt
α是代数量，与 ω同号时，刚体加速转动； 是代数量， 同号时，刚体加速转动；
异号时，刚体减速转动。 与 ω异号时，刚体减速转动。
单位：rad s
2
dω =0 匀速转动 α = dt
求 1： ω
1 dθ r[r + b cos(ωt)] 1 =ω 2 2 sec θ dt sec2 θ [b + r cos(ωt)]
而 sec θ = 1 &#sin(ωt ) = 1+ b + r cos(ωt )
2
2
r + 2br cos(ωt ) + b = 2 [b + r cos(ωt )]
§4.3 刚体的定轴转动
刚体运动时，如其上（或其扩大部分） 刚体运动时，如其上（或其扩大部分）有一条直线 始终保持不动，则这种运动称为刚体的定轴转动 定轴转动。 始终保持不动，则这种运动称为刚体的定轴转动。
刚体的转动方程
ϕ = f (t )
ϕ：刚体的转角
正负号规定： 正负号规定：从轴的 正向向负向看， 正向向负向看，刚体 逆时针转动时为正， 逆时针转动时为正， 反之为负。 反之为负。
ϕ = ϕ0 +ωt
dω = cont 匀变速转动 α = dt ω = ω0 +αt 1 2 ϕ = ϕ0 +ω0t + αt 2
转动刚体上各点的速度和加速度
转动刚体上各点的速度
M点的运动方程： 点的运动方程： M点的速度值： 点的速度值：
s = Rϕ
dϕ ds d ( Rϕ ) =R v= = dt dt dt
aτ = α × r
an = ω × v
轮系的传动
１、齿轮传动 ① 啮合条件
Rω1 = vA = vB = R2ω2 1
② 传动比
R2 z2 ω1 i12 = ± = ± = ± ω2 R1 z1
２、带轮传动
rω1 = vA = v′ = v′ = vB = r2ω2 1 A B
ω1 r2 i12 = = ω2 r 1
d BA ∵ =0 dt
( )
( )
∴ v A = vB
加速度
∵vA = vB
dvA dvB = dt dt
⇒ a A = aB
刚体平移→点的运动 刚体平移→ 结论：刚体平动时，在同一瞬时刚体上各点有 结论：刚体平动时， 彼此相同的速度和加速度， 彼此相同的速度和加速度，所以在研究刚体的 平动时，可以任选一点（比如重心） 平动时，可以任选一点（比如重心）的运动来 代替刚体的运动。 代替刚体的运动。
例 曲 摆 机 ， 柄 OA = r， 角 度ω绕 轴 动 即 ： 柄 杆 构 曲 长 以 速 O 转 ，
ϕ = ωt。曲柄带动摆杆O1B绕O1轴往复摆动。已知OO1 = b, 试求摆
杆 转 方 、 速 和 加 度 的 动 程 角 度 角 速 。
解：设摆杆的转角为 θ，在任意 t时刻 A 点的坐标为 :
R
2
= Rω
2
an
aτ
M点加速度： 点加速度：
a = aτ + an = R α + ω
2 2 2
4
an
aτ
与转动半径的夹角： 与转动半径的夹角：
θ = arctan
aτ α = arctan 2 an ω
θ
a
结论：在同一瞬时， 结论：在同一瞬时，刚体上各点的速度大小与其转 动半径成正比，其方向与转动半径垂直， 动半径成正比，其方向与转动半径垂直，各点的加 速度大小也与其转动半径成正比， 速度大小也与其转动半径成正比，且与转动半径成 相同的偏角。 相同的偏角。
用矢量表示角速度和角加速度
角速度矢
ω = ωk
角加速度矢
dω d ω α= = k = αk dt dt
用矢积表示点的速度和加速度
速度
大小
v = ω× r
确定的平面,即垂直于 确定的平面 即垂直于
ω×r = ωr sin θ = ωR
垂直于
方向
ω,r
转动半径 R
加速度
dv dω dr a= = × r + ω× dt dt dt = α × r + ω×v = α × r + ω×(ω× r )
2
dA 又∵ = bv dt
dr bv ∴ = dt 2πr
vb ⇒α = 3 2π r
2
2π n 2 r2 M 2点速度 : v = r2ω 2 = , 60
∵rω1 = r ω2 1 2
r n1 r ω1 ∴ = 2 或 = 2 ω2 r n2 r 1 1 ω1 r2 2π r2 Z 2 = = ∴ = Z1 ω2 2π r1 r1
即：相互啮合的两齿轮的角速度与齿数成反比。
刚体平动时，其上各点的轨迹可以是直线也可以是曲线。 刚体平动时，其上各点的轨迹可以是直线也可以是曲线。
刚体平动时其上各点运动的关系
刚体平动时，其上各点在空间描出的轨迹彼此完全相同。 刚体平动时，其上各点在空间描出的轨迹彼此完全相同。
运动方程
∆t
rA = rB + BA
速度
rA
o rB
drA drB d BA = + dt dt dt
dr vb ∴ =− dt 2πr
vb ⇒α = 3 2π r
2
法二：假设初始半径为r0 , 在t时刻时为r,
dr ω v ∴ = −b = −b dt 2π 2πr
1 t r = r0 − b ∫ ωdt 2π 0
v 2b ⇒α = 3 2π r
dA 法三：纸盘的面积随时间的改变量为 ： dt
dA d(πr ) dr = = 2πr dt dt dt
刚体的转动方程 ϕ = f ( t ) 角速度
∆ϕ dϕ ɺ ω = lim = =ϕ ∆t →0 ∆t dt
正负号规定：从轴的正向向负向看， 正负号规定：从轴的正向向负向看， 刚体逆时针转动时为正，反之为负。 刚体逆时针转动时为正，反之为负。
ω是代数量
单位： s rad
若已知转速：n (r min )
则：A = r3ω2 v
Z1 = r3 ω1 Z3
为了表示齿轮传动过程 中转速的变化规律，工 程实际中 常将主动轮角速度 ω1 （或转速 n1）与从动轮角速度 ω（或转 2 速n2）之比成为传动比，用 i表示 :
ω1 n1 r2 Z2 i12 = = = = ω 2 n2 r1 Z1
例：纸带盘由厚度为b的纸带卷成，可绕固定轴O转动。若以匀 速v水平地拉出纸带，试通过纸带半径r表示纸盘的角加速度。
例：如图所示轮系，已知主动轮Ι和从动轮ΙΙ的齿数分别为Z 1和Z 2，轮Ι 的角速度为ω1 （转速为n1）。半径为r3的鼓轮ΙΙΙ与齿轮ΙΙ相固连，当其和 齿轮ΙΙ一起转动时，便将重物向上提升。试求重物上升的速度。
解：设两轮的节圆半径分别为r1和r2
则 M 1点速度 :v = r1ω 1
2π n1 r1 = , 60
x = O Asin θ = r sin( ωt) 1 y = O Acosθ = b + r cos(ωt) 1
r sin( ωt) ∴tanθ = b + r cos(ωt)
r sin(ωt ) 即摆杆的转动方程为：θ = arctan b + r cos(ωt )
2
dθ r[r + b cos(ωt )] 则： 1 = ω =ω 2 2 dt r + 2br cos(ωt ) + b
dω1 br ( r 2 − b2 ) sin(ωt ) 则：α1 = = ω2 2 [ r + 2br cos(ωt ) + b 2 ]2 dt
b = 2 r b = 2 r
4.2
刚体的运动
刚体的基本 运动的形式
{
平行移动 定轴转动
§4.2 刚体的平动
定义
刚体运动时， 刚体运动时，如其上任一直线始终保持与初始位 置平行（即任一直线都保持其方位不变）， ），则这 置平行（即任一直线都保持其方位不变），则这 种运动称为刚体的平行移动（简称平动）。 种运动称为刚体的平行移动（简称平动）。