2006年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学试题及解答(WORD版)

2006年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数1i i+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个（4）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（A ）一条直线 （B ）一个圆 （C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支（5）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11(,)73 （D ）1[,1)7（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有（A ）1()f x x= （B ）()||f x x = （C ）()2x f x = （D ）2()f x x =（7）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于 （A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +-（C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +- （8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A ）123x x x >> （B ）132x x x >>（C ）231x x x >>（D ）321x x x >>第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）22132lim 1x x x x →-++-的值等于__________________. （10）在72)x 的展开式中，2x 的系数中__________________（用数字作答）. （11）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于_________________. （12）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________. （13）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_______,最大值等于____________.（14）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且A B R =，那么,A B两点的球面距离为_______________，球心到平面ABC 的距离为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题共12分）已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.（17）（本小题共14分）如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅲ）求二面角E AC B --的大小.（18）（本小题共13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅ 的最小值.（20）（本小题共14分）在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12||,3,4,5,n n n a a a n --=-= ，则称{}n a 为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”{}n a 中，20213,0a a ==，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，1,2,3,n = ，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.参考答案一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D ；2．C ；3．B ；4．A ；5．C ；6．A ；7．D ；8．C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）12-；（10）－14；（11）12；（12）3π；（13（14）13R π、2R 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（共12分）解：（Ⅰ）由cos 0x ≠得()2x k k Z ππ≠+∈。

故()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， （Ⅱ）因为43tan ,cos ,55αα=-=且第四象限的角， 所以43sin ,cos ,55αα=-= 故()1)4cos f πααα-=122)22cos ααα-= 1sin 2cos 2cos ααα-+=22cos 2sin cos cos αααα-=()2cos sin αα=-145= （16）（本小题共13分）解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(),1-∞上()'0f x >，在()1,2上()'0f x <，在()2,+∞上()'0f x >故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减，因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x =（Ⅱ）'2()32,f x ax bx c =++由'''f f f （1）0，（2）＝0，（1）＝5， 得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,9,12.a b c ==-=解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,232m a b m c m ==-= 32|3()2,32m f x x mx mx =-+ 由(1)5f =， 即325,32m m m -+= 得6,m =所以2,9,12a b c ==-=（17）（共14分）解法一：（Ⅰ） PA ⊥平面ABCD ，∴AB 是PB 在平面ABCD 上得射影，又 AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ，ABCD 是平行四边形∴O 是BD 的中点又E 是PD 的中点，∴EO PB.又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，∴PB 平面AEC ，（Ⅲ）取BC 中点G ，连接OG ，则点G 的坐标为,,022a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02b OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭又(,0,0),OE AC a = b b ＝（0，－,）,220,0,OE AC OG AC ∴==,,OE AC OG AC ∴⊥⊥EOG ∴∠是二面角E AC B -=的平面角。

cos cos ,2OE OG EOG OE OG OG OG=<>==- 0135.EOG ∴∠=∴二面角E AC B --的大小为0135.18.（13分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C.则P （A ）=a ，P （B ）=b ，P （C ）=c（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率()()()()1P P A B C P A B C P A B C P A B C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()()()111ab c bc a ac b abc =-+-+-+2ab bc ca abc =++-应聘者用方案二考试通过的概率2111()()()333p P A B P B C P A C =⋅+⋅+⋅1()3ab bc ca =++ （Ⅱ）因为a ，b ，c ∈[0，1]，所以122()23p p ab bc ca abc -=++-2[(1)(1)(1)]03ab c bc a ca b =-+-+-≥ 故p 1≥p 2即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.19.（共14分）解法一：（Ⅰ）由P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长又半焦距c=2。

故虚半轴长所以W 的方程为221,22x y x -=≥（Ⅱ）设A 、B 的坐标分别为（x 1y 1），（x 2y 2）.当AB x ⊥轴时，1212,x x y y ==，从而221212112OA OB x x y y x y ⋅=+=-= 。