海南省海口四中高三数学综合测试五

海南省海口四中2016-2017学年度第一学期高三数学综合测试
五（理科）（2016-11-20）
一．选择题：每题5分，共60分
1．已知集合{}80|≤<∈=x N x U ，{}5,4,3,2=A ，{}7,5,3=B ，则下列所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{}7
B ．{}4,2
C ．{
}8,6,1 D ．{}7,5,4,3,2 2．若复数()()ai i z -+=11是实数，则实数a 的值是（ ）A ．1± B ．1- C ．0 D ．1
3．设2
.03=a ，1
.131-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=b ，2log 3=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．b a c <<
D ．a b c << 4．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A ．命题“若12
>x ，则1>x ”的否命题为“若12
>x ，则1≤x ” B ．“1-=x ”是“0322
=--x x ”的必要不充分条件
C ．命题“R x ∈∃，使得012
<++x x ”的否定是“R x ∈∀，均有012
<++x x ” D ．命题“若y x =，则y x cos cos =”的逆否命题为真命题 5．等轴双曲线过点()1,2，则双曲线的焦点坐标为（ ） A ．()0,3± B ．()3,0± C ．()0,6± D ．()
6,0±
6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 7．若将函数()x x x f 2cos 2sin 3+=
的图象上的各个点向左平移()0>n n 个单位长
度，得到的图象关于y 轴对称，则n 的最小正数为（ ）A ．65π B ．6π C ．3
2π
D ．
3
π
8．函数()x x x f sin 2+=的部分图象可能是（ ）
9．已知抛物线()022
>=p px y 的焦点为F ，圆M 的圆心在抛物线上且经过坐标原点
O 和点F ，若圆M 的半径为3，则抛物线方程为（ ）A ．x y 42= B ．x y 62=
C ．x y 82
= D ．x y 162
=
10．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧≤≥+≥+-0004x y x y x ，在此可行域中随机选取x ，y ，则
22≤+y x 的概率为（ ）
A ．
41 B ．21 C ．31 D ．4
3
11．已知等比数列{}n a 满足41
1=a ，()14453-=a a a ，则=2a （ ）
A ．2
B ．1
C ．2
1
D ．81
12．已知球O 的半径为3，CD 为球的直径，A ，B 为球面上两点，且AB 长为23，则四面体ABCD 的体积是最大值为（ ）A ．8 B ．26 C ．9 D ．12 二．填空题：每题5分，共20分
13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 ． 14．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
15．ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，且1=AD ，则()
AD AC AB ⋅+的值为 ．
16．（理）5
321⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中8
x 的系数是 ．（用数字作答） （文）定义运算“⊗”：xy
y x y x 2
2-=⊗()0,,≠∈xy R y x ．当0>x ，0>y 时，()x y y x ⊗+⊗2的最小值为 ． 三．解答题：17~21每题12分，22题10分，共70分 17．设()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
-=4cos cos sin 2
πx x x x f ．
（1）求()x f 的单调区间；（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，若02=⎪⎭
⎫
⎝⎛A f ，1=a ，求ABC ∆面积的最大值．
18．（理）（15湖南理）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖．每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
（文）某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：
一次购物款（单位：元）
[)50,0
[)100,50
[)150,100
[)200,150
[)+∞,200
顾客人数
m
20
30
n
10
统计结果显示100位顾客中购物不低于100元的顾客共60位，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．
（1）试确定m ，n 的值，并据上述数据估计该商场每日应准备纪念品的数量；
（2）若商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款一次购物款（单位：元）
[)50,0
[)100,50
[)150,100
[)200,150
返利百分比
6%
8%
10%
若用各组购物款的中位数估计该组的购物款，请据上述数据估计该商场日均让利多少元？
19．（理）如题图，三棱锥ABC P -中，⊥PC 平面ABC ，3=PC ，
2
π
=∠ACB ，
D ，
E 分别为线段AB ，BC 上的点，且2==DE CD ，22==EB CE ．
（1）证明：⊥DE 平面PCD ； （2）求二面角C PD A --的余弦值．
（文）如图1，在ABC Rt ∆中，ο
90=∠ABC ，D 为AC 中点，BD AE ⊥于E （不同于D ），延长AE 交BC 于F ，将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥BCD A -1，如图2所示．
（1）求证：F A BD 1⊥；
（2）若图1中，2=AB ，32=BC ，图2中M 是FC 的中点，求点M 到平面EF A 1的距离．
20．已知圆C ：()812
2
=++y x ，定点()0,1A ，M 为圆上一动点，线段
MA 的垂直平分线交MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ．
（1）求曲线E 方程；
（2）若经过F ()2,0的直线l 交曲线E 于不同的两点G ，H （点G 在点F ，H 之间）
，且满足FH FG 5
3
=，求直线l 的方程．
21．已知函数()x e mx x f =
在点()()2,2f 处的切线方程为()n x e
y +-=2
1
． （1）求m ，n 的值； （2）过点⎪⎭
⎫
⎝⎛24,0e P 作曲线()x f y =的切线，求证：这样的切线有两条．
四．选考题：请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分，作答时请写清题号
22．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是圆O 的一条切线，切点为B ，ADE ，CFD ，CGE 都是圆O 的割线，已知AB AC =．
（1）证明：2
AC AE AD =⋅； （2）证明：FG ∥AC ．
23．选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：⎩
⎨⎧==ϕϕ
sin 2cos y a x （ϕ为参数）()0>a ．以
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相等的长度单位建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：08sin 3cos 2=-+θρθρ．已知曲线1C 与曲线2C 的一个交点在x 轴上．
（1）求a 的值及曲线1C 的普通方程；
（2）已知点A ，B 是极坐标方程αθ=，2
παθ+
=的两条射线与曲线1C 的交点，求
2
2
11OB
OA
+
的值．
24．选修4—5：不等式选讲
已知函数()2--=x m x f ，+
∈R m ，且()02≥+x f 的解集为[]1,1-．
（1）求m 的值；
（2）若a ，b ，c 均为正数，且m c
b a =++31211，求证：932≥++
c b a ．
高三数学测试五参考答案
13．6；14．4；15．2；16．（理）2
；（文）2； 17．（1）增区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
ππππk k 4,4，减区间：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++ππππk k 43,4，Z k ∈；（2）
4
3
2+； 18．（理）（1）107；（2）⎪⎭
⎫
⎝⎛51,3~B X ，53=EX ；（文）（1）20=m ，20=n ，3000
件；（2）52000；
19．（理）（1）略；（2）
6
3；（文）（1）略；（2）1； 20．（1）12
22
=+y x ；（2）22+±=x y 21．（1）1=m ，4-=n ；（2）略； 22．（1）略；（2）略
23．（1）4=a ，141622=+y x ；（2）16
5
； 24．（1）1=m ；（2）略；。