ch3.电路的暂态分析10年1

零输入响应： 零输入响应： 零状态响应： 零状态响应： 全响应： 全响应：
uc = 0 + U0e − tτ uc = U −Ue − tτ uc = U + (U0 −U)e
− t
− tτ
暂态分 量
则RC电路响应的一般式可写为： RC电路响应的一般式可写为 电路响应的一般式可写为：
f (t) = f ′(t) + f ′′(t) = f (∞) + Ae
uC (0+ ) = uC (0− ) iL(0+ ) = iL(0− )
3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的 u(0+ )或 i(0+ ) 的电路，
(2) 稳态值 f (∞) 的计算 ∞ 求换路后电路中的电压和电流 ： a）若电路中有电源，则其中 ——开路 L—— 若电路中有电源， 其中C 开路, 开路 短路， 短路， b）若电路中无电源，则其中 ——短路 L—— 短路, ）若电路中无电源， 其中C 短路 开路。 开路。 然后求解直流电阻性电路中的电压和电流。 然后求解直流电阻性电路中的电压和电流。
t=0 S R1
+
R1 R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 = (R1 // R2 ) + R3 τ = R0C
C R0的计算类似于应用戴 维宁定理解题时计算电路 等效电阻的方法。 等效电阻的方法。即从储 能元件两端看进去的等效 电阻，如图所示。 电阻，如图所示。
-
U0
[例 2] 在下图中，已知 U1 = 3 V， U2 = 6 V，R1 = 在下图中， V， V， 1 kΩ，R2 = 2 kΩ，C = 3 µF ，t < 0 时电路已处于稳态。 kΩ kΩ 时电路已处于稳态。 用三要素法求 t ≥ 0 时的 uC(t)，并画出变化曲线。 [解] 先确定 uC(0+) 1 S uC(∞) 和时间常数 τ ∞ t < 0 时电路已处于 稳态， 稳态，意味着电容相 当于开路。 当于开路。
−
0
τ
∴ A = f (0+ ) − f (∞)
∴ f (t) = f (∞) + [ f (0+ ) − f (∞)] e
−t
τ
即在直流电源激励的情况下， 即在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方 程解的通用表达式为： 程解的通用表达式为：
f (t ) = f (∞) +[ f (0+ ) − f (∞)] e
第3章 电路的暂态分析
3.1 储能元件和换路定则 3.2 RC电路的暂态分析 RC电路的暂态分析 3.3 一阶电路暂态分析的三要素法 3.4 RL电路的暂态分析 RL电路的暂态分析
电路的暂态分析
前面讨论的是电路的稳定状态。所谓稳态 稳态是指电路 前面讨论的是电路的稳定状态。所谓稳态是指电路 稳定状态 的结构和参数一定时，电路中电压、 的结构和参数一定时，电路中电压、电流在给定条件下 已达到某一稳定值。 已达到某一稳定值。 但是，当电路中含有储能元件 电感或电容) 储能元件( 但是， 当电路中含有储能元件(电感或电容)时， 由 于物质所具有的能量不能跃变，所以在发生换路 换路时 于物质所具有的能量不能跃变，所以在发生换路时(指电 路接通、断开或结构和参数发生变化) 路接通、断开或结构和参数发生变化)，电路从一个稳定 状态变化到另一个稳定状态一般需要经过过渡状态才能 到达。由于过渡状态所经历的时间往往很短，故又称暂 到达 。由于过渡状态所经历的时间往往很短，故又称 暂 态过程。 态过程。 本章先讨论暂态过程产生的原因， 本章先讨论暂态过程产生的原因 ， 而后讨论暂态过 程中电压、电流随时间变化的规律。 程中电压、电流随时间变化的规律。
C
τ
τ = RC
uc
U
0.368U 0
τ1 <τ 2 <τ3
时间越长。 时间越长。
越大，曲线变化越慢， τ越大，曲线变化越慢，u 达到稳态所需要的
C
τ1 τ2 τ3
t
(3) 暂态时间 、 理论上认为 t → ∞ uC
−t e τ随时间而衰减
→0电路达稳态 电容放电基本结束。 工程上认为 t = (3~ 5)τ 、 C → 0电容放电基本结束。 u
电路中各电压电流的初始值为 uC(0+) u2(0+) i1(0+) = iC(0+) = U iC(0+) + – – + R1 iL(0+) u (0 ) = i (0 ) R = U R2 1 + 1 + 1 i1(0+) + + + uL(0+) u2(0+) = 0 U R1 u1(0+) – – – iL(0+) = iL(0−) = 0 uL(0+) = U t = 0+ 时的等效电路为
duC U = Ri + uC = RC + uC dt
+ U –
1 S t=0 2
i
+
R C
′ uC = U
′′ uC = Ae
pt
– +
uR uC
特征方程 其根为 通解
RCp + 1 = 0
p=− 1 1 =− RC τ
–
τ = RC 单位是秒，所以称 单位是秒，
电路的时间常数 时间常数。 它为 RC 电路的时间常数。
∴iL不能突变
2. 换路定则 定为计时起点) 设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点 定为计时起点 t=0-— 表示换路前的终了瞬间 表示换路后的初始瞬间（ t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值） 表示换路后的初始瞬间 初始值）
换路定则用公式表示为： 换路定则用公式表示为：
ɺ ɺ ιL(0+ ) = ιL(0− )
duC 则 iC = C ⇒∞ 1. 电路中产生暂态过程的原因 dt 一般电路不可能！ 不可能！ 由于物体所具有的能量不能跃变而造成
在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变
3.1 储能元件和换路定则
发生突变， 若 uc发生突变，
1 2 储能： ∵ C 储能： C = CuC W 2
∴ u C 不能突变
1 2 储能： ∵ L储能：WL = LiL 储能 2
τ
f (t) = f ′(t) + f ′′(t) = f (∞) + Ae
f (∞)—— ∞
稳态分量。 稳态分量。
−
t
τ
f (t ) —— 代表一阶电路中任一电压、电流函数 代表一阶电路中任一电压、
− t
Ae
τ
—— 暂态分量。 暂态分量。
若初始值为f(0 若初始值为 +),
则 f (0 + ) = f (∞ ) + Ae
(电感电路) 电感电路)
uC (0+ ) = uC (0− ) (电容电路) 电容电路)
注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。 初始值。
3.初始值的确定 3.初始值的确定 初始值： 时的数值。 初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 求解步骤： 求解步骤： 1) 作出t =0-的电路，求出 uC ( 0– ) 、iL ( 0– )； 作出t 的电路， 2) 根据换路定则知: uC( 0+)＝ uC( 0-) 、iL ( 0+)= iL ( 0-) 。 根据换路定则知: 3) 作出t =0+的电路，将 uC = uC( 0+)， iL = iL ( 0+)作为 作出t 的电路， 已知条件，求其它电量的初始值； 已知条件，求其它电量的初始值； 说明：对于直流电源， 说明：对于直流电源， a.换路前，若C、L已储能，且电路已处于稳态， 换路前， 已储能， 换路前 、 已储能 且电路已处于稳态， 开路， 短路。 则C——开路，L——短路。 开路 短路 b.换路前，若C、L未储能，且电路已处于稳态， 换路前， 未储能， 换路前 、 未储能 且电路已处于稳态， 短路， 开路。 则C——短路，L——开路。 短路 开路
− t
′ ′′ uC = uC + uC = U + Ae
τ
若换路前电容元件已有储能， 若换路前电容元件已有储能，即 uC(0+) = U0 ， 则 A = U0 – U，于是得 ， t
uC = U + (U0 − U)e
−
τ
3.2 RC 电路的暂态分析
uC = U + (U0 − U)e
− t
τ
τ
引起的， 电路的零输入响应 零输入响应。 引起的，故常称为 RC 电路的零输入响应。 向稳态值零衰减， 电容两端的电压 uC 由初始值 U0 向稳态值零衰减， 这是电容的放电过程， 这是电容的放电过程，其随时间变化表达式为
uC = U0e
−
t
τ
电路中 uR 和电流 i 可根据电阻和电容元件两端的电 压、电流关系确定。 电流关系确定。
t
e
− t
τ
e
2 τ
τ
−1
e
−2
3 τ
e
−3
4 τ
e
−4
5 τ
e
−5
6 τ
e
−6
uC
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
过渡过程基本结束， 达到稳态值。 当 t =5τ 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的 线性电路, 线性电路, 其微分方程都是一阶常系数线性微分 方程，这种电路称为一阶线性电路 一阶线性电路。 方程，这种电路称为一阶线性电路。 稳态分量 据经典法推导结果知： 据经典法推导结果知：