2.5 一元一次不等与一次函数2
北师版《一元一次不等式与一元一次不等式组》2.5.1一元一次不等式与一次函数的关系(练习题课件)
12．【2019·常德】某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡， 设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时， y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
解：设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100， 解得k1＝20，∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x＋100， 将点(20，300)的坐标代入得20k2＋100＝300， 解得k2＝10.∴y乙＝10x＋100.
4．如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点 P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b>kx－1 的解集在数轴上表示正确的是( A )
*5.如图，已知正比例函数 y1＝ax 与一次函数 y2＝12x＋b 的图象交于点 P.下面有四个结论：①a＜0；②b＜0； ③当 x＞0 时，y1＞0；④当 x＜－2 时，y1＞y2.其中正 确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①④
(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10 000 只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设 购进A型口罩m只，这10 000只口罩的销售总利润为W 元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？
解：根据题意得， W＝0.5m＋0.6(10 000－m)＝－0.1m＋6 000， 由题知10 000－m≤1.5m，解得m≥4 000. ∵－0.1＜0，∴W随m的增大而减小． ∴当m＝4 000时，W取最大值， W最大＝－0.1×4 000＋6 000＝5 600， 即药店购进A型口罩4 000只、B型口罩6 000只，才能使 销售总利润最大，最大总利润为5 600元．
【点拨】由图象知，对于 y1＝ax，y1 随 x 的增大而减小， ∴a＜0，故①正确；直线 y2＝12x＋b 与 y 轴交于正半轴， ∴b＞0，故②错误；当 x＞0 时，y1＜0，故③错误；当 x＜－2 时，直线 y1＝ax 在直线 y2＝12x＋b 的上方，
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。
本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。
一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。
其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。
二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。
其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。
三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。
2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。
3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。
四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。
2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。
3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。
五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。
例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。
2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。
例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。
3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。
一元一次不等式与一次函数2
一元一次不等式与一次函数（二）授课人：兴化学校夏虹2012.3.12 一、学生知识状况分析学生在前面一学期已经学习过一次函数，会求一次函数的表达式，会画一次函数的图象。
在前面几节课中，相继学习了一元一次不等式概念，如何解一元一次不等式的方法，并且具备解运用函数图像、数形结合解一元一次不等式的基本技能。
在相关知识的学习过程中，学生已经接触一次函数和一元一次不等式解决了一些较为简单的实际问题，感受到了一次函数和一元一次不等式解决问题的必要性和其在生活中的作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作探究学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析本课属于八下第一章第五节《一元一次不等式与一次函数》第二课时内容，从属于“数与代数”这一数学学习领域，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基础之上，教师应帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
在对一次函数与一元一次不等式进行整合的教学时，我利用学生已掌握的知识，设计有层次、与现实生活有关联的问题，不断深入，力求从题目所提供的图形及已知条件中提取相关信息，结合函数图象的几何意义运用数形结合法来解答问题。
北师大版的数学教学由一系列相互联系而又层层递进的板块组成，因而具体的课堂教学过程也应满足于整个数学教学的远期目标。
教科书基于学生对一元一次不等式和一次函数认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务，因而本节课的教学目标是：1、了解一元一次不等式与一次函数的关系.2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较大小.3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.4、训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.5、体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.在教学的过程中，采取了“二七一”式的教学模式，所谓“271课堂教学模式”，就是在时间分配及内容安排上做到：20%（约10分钟）展示点评，总结升华；70%（约30分钟）读书自学，自主探究，分组合作，讨论解疑；10% （约5分钟）总结反刍，当堂检测。
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系随着数学的学习深入，我们会发现一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系。
在本文中，我将对这三者之间的关系进行探讨。
一元一次方程一元一次方程是数学中非常基础的概念，它表达的是一个未知数的值需要满足的条件。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0（其中a和b为已知数，x为未知数）。
它有且只有一个解，解为x=-b/a。
我们可以通过将未知数表示出来，来解决各种各样的问题。
比如：“丽丽现在的年龄是小明的三倍，而小明现在的年龄是5岁，那么请问丽丽现在的年龄是多少岁？”这个问题可以表示成x=3*5，即x=15岁。
一元一次不等式一元一次不等式也可以表示为类似于ax+b≥0或者ax+b＜0的形式，它要求未知数满足一定的条件。
比如：“一个小卖部卖饮料，每一瓶饮料的成本是1元，销售价格是3元，如果要利润不少于4元，那么至少需要卖出几瓶饮料？”这个问题可以表示成x*2≥4，即x≥2瓶。
一次函数一次函数是以一次方程（即y=kx+b）为基础，表示为y=f(x)的函数。
事实上，一次函数可以通过一元一次方程的解析式来表示出来。
（y-y1）=k(x-x1)对应解析式为y=kx+(y1-kx1)。
因为一次函数中的k的值表示的是斜率，所以通过一次函数可以得到许多信息。
比如：两点之间的距离公式（d=√(x1-x2)²+(y1-y2)²）就可以表示为一次函数的形式。
如果我们要获得两个点的连线的斜率，那么只需要除以偏移量（即两个点在x轴上的距离）即可。
三者之间的关系可以看到，这三个数学概念之间有着紧密的联系。
具体而言，一元一次不等式可以看成在直线上面的点构成的区域，这个区域里面的点都是满足不等式的，而不在这个区域内的点则不满足这个不等式。
一元一次方程和一次函数则可以在二维坐标系上表示。
其中，一元一次方程对应的是一条直线，而一次函数则对应的是一条斜率为k，截距为b的直线。
一元一次不等式与一次函数(第2课时)(课件)八年级数学下册(北师大版)
探究新知
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行 社时，所需的费用为 y 1 元，选择乙旅行社时，所需的费 用为 y 2 元，则 y 1 = 200 × 0.75 x， 即 y 1 = 150 x； y 2 = 200 × 0.8（x - 1），即 y 2 = 160 x - 160.
探究新知
例 3 ： 为绿 化 校园 ， 某校 计 划购 进 A， B两 种 树苗 ， 共 21 棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种 树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)y与x的函数关系式为________； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种
千米收取的费用比乙租赁公司多 D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每
千米收取的费用比乙租赁公司少
随堂练习
4.某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定 月租费10元，每通话1 min收费0.3元；乙种业务不收月 租费，但每通话1 min收费0.4元.你认为何时选择甲种业 务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
情境导入
一次函数与一元一次不等式的关系是什么？ 一次函数与一元一次不等式的关系： 任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为 常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次 函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围． 从 图 象 上 看 ， ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 的 解 集 是 使 直 线 y ＝ ax ＋ b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
探究新知
核心知识点一： 一元一次不等式与一次函数的综合应用
例1：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规 定月租费10元，每通话1min收费0.3 元；乙种业务不收月租 费，但每通话1min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对 顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
一元一次不等式与一次函数(2
“一元一次不等式与一次函数（2）”教学设计设计者：深圳实验学校初中部詹欣豪老师一、教材分析本节课是北师大版初中数学八年级下册第二章第五节第二课时的内容，承接第一课时，旨在进一步研究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关联性，并综合运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题．本节课既是对前面所学知识的丰富与应用，也是为后续学习反比例函数、二次函数与方程、不等式的知识奠定了重要基础．二、学情分析1．认知基础：学生已经学习了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式等内容，具备进一步探索三者联系和解决实际问题的学习经验和心理需求；2．认知障碍：八年级学生处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对于从“数”与“形”两方面理解这三者关系存在一些困难．三、教学目标1．通过具体实例，进一步体会一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的内在联系及解决实际问题中的作用；2．经历“代数法”和“图象法”解决实际问题的过程，感受数形结合、数学建模、分类讨论等思想，培养问题解决能力，积累活动经验；3．通过较优方案选择，体会数学源于生活又服务于生活，感受数学知识和数学方法的辩证统一，发展数学核心素养．四、教学重难点1．教学重点：探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，会用“代数法”和“图象法”解决实际问题；2．教学难点：分段函数图象的绘制及“图象法”思路的形成．五、教学过程（一）回顾思考，藤蔓之美回顾：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有什么联系呢？教师引导学生共同得出：当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量的取值范围时，可以用一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．设计意图：复习第一课时的内容，从“数”的角度建立了一次函数与一元一次不等式、一元一次方程的内在联系．教师顺势总结：我们所学习的代数内容沿着从“数→式”的脉络，进而发展出方程与不等式，最后以函数的视角统领全局，如同一条渐次生长的藤蔓．设计意图：藤蔓之美，让三个“一次”串珠成线，使得学生不仅拥有了整体观，而且对不同知识的整体一致与和谐美妙有了更深的理解．（二）函数统领，高屋建瓴例1 已知一次函数y =kx +b 的图象经过（0, 4），（3, 0）两点，求不等式kx +b >0的解集．问题1：可以通过待定系数法求出k ，b ，再解一元一次不等式吗？问题2：可以从函数图象来解决问题吗？教师引导：从一次函数的图象上看，y >0表示图象在x 轴上方的部分，这部分上的点的横坐标的范围是x <3，即不等式kx +b >0的解集是x <3．并总结：一次函数y =kx +b kx +b =c （一元一次方程） kx +b <c 或kx +b >c （一元一次不等式）对于直线y =kx +b ：① 图象在x 轴的上方部分，表示y >0，即kx +b >0；② 图象与x 轴相交于（x , 0），表示y =0，即kx +b =0；③ 图象在x 轴的下方部分，表示y <0，即kx +b <0．设计意图：以一次函数的图象特点及不等式解集的意义为生长点，以数形结合思想为生长路径，构建了一次函数与一元一次不等式的联系．变式1 如图，直线y =kx +b 的图象经过A （3, 1），B （6, 0）两点，求：（1）直线OA 的解析式；（2）不等式13kx b x +<的解集．有了例1的铺垫，容易联想到从函数图象的视角来看待不等式．这是一个“双函数”的问题，需确定当x 取何值时，直线13y x =的图象在直线y =kx +b 的图象上方．当x >3时，13y x =对应的函数值要比y =kx +b 对应的函数值大．变式2 如图，已知直线1123y x =-+，213y x =，若无论x 取何值，y 都取y 1，y 2中的较小值，求y 的最大值．实际上，这是一个“三函数”的问题，y 是由y 1，y 2产生的新函数，理解题意、数形结合，描绘出y 的函数图象，确定何处取得最值为关键．由图得：y max =1．设计意图：在例1学习的基础上，通过变式及问题串，实现“垂直数学化”，帮助学生进一步强化理解“利用函数图象解不等式”的威力．（三）生活情境，学以致用例 2 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．该单位选择哪家旅行社支付的费用较少？请大家先猜想一下，你选哪家旅行社？再通过计算验证．教师引导学生分析：首先要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较．而且比较情况有三种：等于、大于、小于．解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时, 所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则：y1=200×0.75x=150x，y2=200×0.8（x–1）=160x–160由y1=y2，得150x=160x–160，解得：x=16；由y1>y2，得150x>160x–160，解得：x<16；由y1<y2，得150x<160x–160，解得：x>16．因为参加旅游的人数为10至25人，所以：当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．设计意图：让学生经历运用一元一次不等式解决一次函数问题的过程，师生共同梳理解决决策型应用题的步骤及格式规范，起到示范作用．（四）推陈出新，深化理解例 3 小明买了部手机准备入网，咨询了电信公司后，得到了以下两种计费套餐，他该如何选择？解法1：设每月通话时间为x分钟，A套餐每月话费为y A元，B套餐每月话费为y B元，则：y A=0.4x+50，y B=0.6x由y A=y B，得0.4x+50=0.6x，解得：x=250；由y A>y B，得0.4x+50>0.6x，解得：x<250；由y A<y B，得0.4x+50<0.6x，解得：x>250．答：当x=250时，A套餐与B套餐相同；当0≤x<250时，选择B套餐较为省钱；当x>250时，选择A套餐较为省钱．教师整理：在解决这一问题时我们采用了分类讨论的思想．这种利用方程和不等式的思想来解决较优方案问题的方法我们称之为代数法．解法2：由解法1得：y A =0.4x +50，y B =0.6x ，在同一平面直角坐标系中画出函数图象，得：当x =250时，A 套餐与B 套餐相同；当0≤x <250时，选择B 套餐较为省钱；当x >250时，选择A 套餐较为省钱．教师整理：这种利用函数图象来解决较优方案问题的方法我们称之为图象法． 设计意图：对同一问题多种解法的思考，意在激发学生的学习兴趣，开拓学生思路，培养学生发散性思维能力以及勇于创新的精神．变式 小颖也买了部手机准备入网，咨询了电信公司后，得到了两种新的计费套餐，她该如何选择？C 套餐D 套餐 月租费30元 50元 每月免费通话时间50分钟 150分钟 超出后每分钟收费 0.4元 0.4元头脑风暴：结合该背景，思考如下问题：1．服务质量相同，选择套餐的依据是什么？2．每月付费金额与什么有关？3．涉及哪些量？哪些已知？哪些未知？4．怎样用式子来表示每月话费与通话时间的关系？5．怎样求这个数学问题的解？6．解法是否具有多样性？7．用数学知识解决实际问题一般要经历哪几个环节？设计意图：套餐的变更既是知识的巩固又是知识的拓展，它激发了学生思考的欲望，头脑风暴则引导着学生对新问题的自主思考．解法1：设每月通话时间为x 分钟，C 套餐每月话费为y C 元，D 套餐每月话费为y D 元，则：30(050)0.410(50)C x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩， 50(0150)0.410(150)D x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩这两个函数均为分段函数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象：结合图象得：当x =100时，C 套餐与D 套餐相同；当0≤x <100时，选择C 套餐较为省钱；当x >100时，选择D 套餐较为省钱．解法2：由解法1得：30(050)0.410(50)C x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩， 50(0150)0.410(150)D x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩ ① 当0≤x ≤50时，y C <y D ；② 当50<x ≤150时， 由0.4x +10<50，解得：x <100；由0.4x +10=50，解得：x =100；由0.4x +10>50，解得：x >100；③ 当x >150时，由0.4x －10<0.4x +10，得：y D <y C ．综上所述：当x =100时，C 套餐与D 套餐相同；当0≤x <100时，选择C 套餐较为省钱；当x >100时，选择D 套餐较为省钱．教师总结：代数法的优点是准确严密，缺点是分类要求高且运算量大；图象法的优点是直观形象，缺点是画图要求高．就本题而言，图象法更为简便，选择较优方法能让我们节省时间，少犯错．设计意图：本题的两种解法，既是对前面知识的巩固和拓展，又可以检查学生知识的掌握情况，而对解法优劣的判断又可以帮助学生选择较优解法．教师带领学生共同整理问题解决的一般环节：实际问题 理想化问题 寻找变量关系 建立数学模型 纯数学问题 求解数学模型 解释数学结果 反思发散、评价、引申设计意图：本例意在培养学生的“识图”和“释图”能力，将提取的有效信息进行分析、整合、数学化的能力，以及数学建模、数学抽象、数学运算等核心素养．（五）小结反思，布置作业小结清单：1．你在学习过程中获得了哪些知识？感受到了哪些思想方法？2．你在学习过程中碰到哪些困难？有哪些收获？教师与学生共同整理，这节课我们解决了一个问题：怎样选择较优方案；得出了两种方法：代数法和图象法；渗透了多种思想：数形结合思想、函数思想、转化化归思想、分类讨论思想、数学建模思想等．布置作业：1．（基础练习）课本53页习题2.7第1-3题；2．（拓展练习）如果将例3中的A，B，C，D四个套餐共同纳入考虑，又应该如何选择？3．（课题研究）任选一个生活中的选择性问题，以研究报告的形式上交研究成果．要求：①问题是有意义的且自己想解决的；②提供尽可能多的数学方法；③有研究后的思考与体会．设计意图：学生总结收获，有利于学生理清思路、整理经验；教师在学生总结的基础上进一步小结内容，可提纲挈领、升华主题．由浅入深的分层作业，能够强化本节课所学知识，也能尊重个体差异，满足不同程度学生的需求．六、教学反思1．本节课的要让学生体会：刻画运到变化的规律需要用函数模型；刻画变化过程中同类量之间的大小，需要用不等式模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型．解决实际问题时，要合理选择这三种数学模型；2．教学过程中，要让学生在“活动”中学习，在“主动”中体验，在“合作”中发展，在“探究”中创新．在自主学习中探究，在质疑问难中探究，在观察比较中探究，在矛盾冲突中探究，在问题解决中探究，在实践活动中探究；3．教师要注重从学生的生活实际出发，通过设计问题串引导学生思考、促进学生理解，宏观引导，适时点拨，规范演示，及时提炼．。
2.5.2一元一次不等式与一次函数学案
八年级数学学案跟踪测试1、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y 1元，国营出租车公司收费为y 2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算.2、甲有存款600元，乙有存款2000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元.(1)列出甲、乙的存款额y 1、y 2(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式，画出函数图象.(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？3、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利10%；如果下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8000元.请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多．4、某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过8 m 3，则每m 3按1元收费；若每户每月用水超过8m 3，则超过部分每m 3按2元收费.某用户7月份用水比8m 3多xm 3，交纳水费y 元.(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围.(2)此用户要想每月水费控制在20元以内，那么每月的用水量最多不超过多少m 3?5、（2007年河南省）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：1380（注：获利＝售价－进价）(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件?(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?6、为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台5800元，优惠条件是购买10台以上，则从第11台开始按报价的70%计算；乙公司的报价也是每台5800元，优惠条件是每台均按报价的85%计算.假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由？7、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？。
一元一次不等式与一次函数整理
一元一次不等式与一次函数整理一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。
一、概念一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。
二、性质1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。
2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。
3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
三、解法1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。
图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。
代数法是通过移项、化简等代数运算来求解。
2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。
四、应用1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。
2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。
3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。
一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数之间有着密切的联系，这一联系表现在以下几个方面：
一、当令一元一次不等式中等号左边的表达式为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式：
1. 一元一次方程组：
a. 当一元一次方程组中等式左右两边分别为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式。
b. 两个一次方程涉及到同一个未知数时，可以最终得出结果，即将一元一次不等式化简为一次函数的形式。
2. 一元二次不等式：
a. 当一元二次不等式左边为一次函数时，也可以将其化简为一次函数形式。
b. 二次不等式的解也可以表现为一次函数的形式，即分段函数。
二、求解一元一次不等式可以利用一次函数的性质：
1. 关于一元一次方程：
a. 利用一次函数求函数图像实现一元一次方程的求解，从而得到不
等式的解。
b. 利用一次函数的性质验证不等式的正确性，从而得到不等式的解。
2. 关于一元二次方程：
a. 利用一次函数的对称性，判断不等式的大小，从而得到不等式的解。
b. 利用一次函数的单调性，得到不等式上下界，从而得到不等式的解。
综上所述，一元一次不等式与一次函数有着密切的联系，一元一次不
等式可以化简为一次函数形式，求解一元一次不等式也可以利用一次
函数的性质。
一元一次不等式与一次函数
知识回顾：1、定义：不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。
2、不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3、解不等式：把不等式变为x>。
或x<a的形式。
一、知识要点:1、一次函数的定义:若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，kHO）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量）。
当b=0时，y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的解析式：y=kx+b（kH0）注:一次函数的解析式的形式是y=d+b,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0,b）和（-纟，0）两点的一条直线，我们称它为直线ky=kx+b,它可以看作由直线尸kx平移|b|个单位长度得到.（当b〉0时，向上平移；当b〈0时，向下平移）（1）解析式：（k、b是常数，kHO）（2）必过点：和（3）走向：k>0,b=0,图象经过第象限；k<0,b二0,图象经过象限O直线经过第象限O直线经过第象限Z?>0\b<0<O C>直线经过第象限P<0<=>直线经过第象限\b>Q[b<0（4）增减性：k>0,y随x的增而；k<0,y随x增大而（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于轴；|k|越小，图象越接近于轴.（6）图像的平移：上加下减；左加右减将函数y=kx+b图像向上平移3个单位变为,然后再向右平移3个单位变为;将函数y=kx+b图像向下平移3个单位变为然后再向左平移3个单位变为2、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线, 所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点,.即横坐标或纵坐标为0的点.34、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（设、列、解、答）（1）设：根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）列：将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解：解方程得出未知系数的值；（4）答：将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.二、典型例题：1、若点（inji）在函数y=2x+l的图象上，则2m-n的值2、己知正比例函数y=kx伙工0),点⑵-3)在函数上，则y随x的增大而3、如果一次函数空+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是4、地面气温是20°C,如果每升高100m，气温下降6°C,则气温t(°C)与高度h(m)的函数关系式是o5、己知一次函数尸kx+b的图象如图所示，则k,b的符号是()(A)k>0,b>0(B)k>0,b<0(C)k<0,b>0(D)k<0,b<06、已知一次函数尸kx+b的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数尸**的图象相交于点(2,a),(1)求a的值，(2)k,b的值，(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与一元一次不等式的关系一次函数是数学中非常重要的一个概念，而它与一元一次不等式之间也存在着密切的关系。
下面就让我们来了解一下。
一、一次函数的定义与性质一次函数指的是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k 和b为常数。
它的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率k表示线性关系的比例系数，k越大，直线越陡峭；k为正数时，直线右上方倾斜；k为负数时，直线左下方倾斜。
2. 截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，y=b。
当k=0时，直线平行于x轴，即为一条水平直线。
3. 一次函数图像在直线上每个点的斜率都相等，斜率就是函数的导数。
二、一元一次不等式的定义与性质一元一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中x为变量，a和b为常数。
它的解集是一个区间。
不等式的基本性质如下：1. 如果不等式两边同时加上一个正数，则不等式不变。
2. 如果不等式两边同时乘上一个正数，则不等式不变。
3. 如果不等式两边同时乘上一个负数，则不等式的不等号方向改变。
三、一次函数与一元一次不等式的关系一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，具体表现在以下几个方面：1. 根据一次函数的性质，我们可以根据一次不等式求解其解集合并确定一次函数的定义域和值域。
2. 根据一元一次不等式的基本性质，我们可以对一次函数的图像进行平移、伸缩和翻折等操作，从而得到不同的函数图像。
3. 一元一次不等式的解与一次函数的斜率有关，当一次不等式为ax+b>0时，解集表示函数图像位于y轴上方的区间，此时函数的斜率为正数a；当一次不等式为ax+b<0时，解集表示函数图像位于y轴下方的区间，此时函数的斜率为负数a。
综上所述，一次函数与一元一次不等式之间存在着密切的关系，掌握了它们之间的关系，不仅有助于我们深入理解函数与不等式的概念，还能够为我们解决实际问题提供很多有益的启示。
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解1.什么是一次函数一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
一次函数的图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。
一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。
2.一元一次方程的求解等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。
解一元一次方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。
求解一元一次方程的一般步骤如下：1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到$a x=-b$；3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得到$x=\f ra c{-b}{a}$；4.化简得到最终解，即$x$的值。
通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。
3.一元一次不等式的求解等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。
求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等式统一变形原则**。
求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或$a x+b>c$的形式；2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。
需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负进行对应，以确保不等式符号的方向正确。
4.总结一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。
掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法，能帮助我们更好地理解和解决数学问题。
2.5 一元一次不等式与一次函数 第一课时 导学案
2.5一元一次不等式与一次函数(1)一、学习准备：1、在所给出的平面直角坐标系中画出y=2x-5的图象。
二、学习目标：1通过观察函数图象求解方程的解和不等式的解集，从中体会一元一次方程，一元一次不等式与一次函数的内在联系2通过具体的问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系三、学习提示：1、合作交流：利用预备知识中的图象，小组讨论交流利用图象回答下列问题：（1）当x取哪些值时，2x－5=0?从图象你你可以看出：当x=2.5时，直线y=2x-5•上的点全在x轴，即这时y=2x-5 0．（2）当x取哪些值时，2x－5>0?从图象中你可以看出：当x 2.5时，直线y=2x-5•上的点全在x轴的上方．．，即这时y=2x-5 0．(3) 当x取哪些值时，2x－5<0?从图象中我们可以看出：当x__2.5时，直线y=2x-5•上的点全在x轴，即这时y=2x-5 0．（4）当x取哪些值时，2x－5>3?从图象中我们可以看出：当x>_____时，这时y=2x-5 3．2、以同桌为单位，快速画出y=-2x-5•的图象，并小组讨论研究当x取哪些值时，y>0？3、仔细阅读书P50的“做一做”，作出函数图象，并观察图象小组讨论回答相应问题：解：设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，可得y1= ， y2=从图象上来看：（1）当时，弟弟跑在哥哥前面；（2）当时，哥哥跑在弟弟前面；（3）先跑过20m，先跑过100m。
练习：P50随堂练习四、学习小结：你有哪些收获五、夯实基础：1,直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x-3>0的解集是________．2，直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤13，已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）A．（0，1）B．（-1，0）C．（0，-1）D．（1，0）4，已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x•轴的交点是__________．六、能力提升1，已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2•的解集是________．2，已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3•的交点坐标是_________．3，在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．（2）直接写出：当x取何值时,y1>y2；y1<y2.4.已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A（2，-1）（1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．②y1≥y2.（4）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0.作业：P451习题2.1—1。
北师大版八年级数学下册易错试题 2.5一元一次不等式与一次函数专项练习
北师大版八年级数学易错试题 2.5一元一次不等式与一次函数专项练习一．选择题1.如图，直线y= kx+ b（k≠0）经过点A（ - 2，4），则不等式kx+ b> 4的解集为（）A.x>- 2B.x<- 2C.x> 4D.x< 4第1题图第2题图第3题图2.直线y = kx + b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx + b≤2的解集是（）A.x≤ - 2B.x≤ - 4C.x≥ - 2D.x≥ - 43.如图，直线y = kx + b（k≠0）与y轴交于点（0，3），与x轴交于点（a，0），当a满足 - 3≤a< 0时，k的取值范围是（）A.k≥2B.k≤5C.k≥1D.k> 34.如图，在同一直角坐标系中，函数y1 = 2x和y2 =- x + b的图象交于点A（m，n）.若不等式y1<y2恰好有3个非负整数解，则（）A.m = 2B.m = 3C.2 < m < 3D.2 < m≤3第4题图第5题图第6题图5.如图，函数y1 =- 2x和y2 = ax + 3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式- 2x>ax + 3的解集是（）A.x> 2B.x< 2C.x>- 1D.x<- 16.如图，已知直线y1 = x + b与y2 = kx - 1相交于点P，点P的横坐标为1，则关于x 的不等式x + b≤kx - 1的解集在数轴上表示正确的是（）7.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，如果每支钢笔5元，每本笔记本2元，那么小明最多能买钢笔的支数是（）A.12B.13C.14D.15二．填空题1.如图，直线y = x + 32 与y = kx - 1相交于点P，点P的纵坐标为12 ，则关于 ×的不等式 ×+ 32 >kx - 1的解集为_________.2.如图，直线y1=- 13 x+ b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2= x交于点E，点E的横坐标为3.则b的值: _________ ；当0 <y1≤y2时，x的取值范围是_________ ；在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1=-13 x+ b交于点C，与直线y2 = x交于点D，若CD = 2OB，则m的值为_________.第1题图第2题图第3题图3.已知一次函数y1 = kx + b与y2 = x + a的图象如图所示，则下列结论:①k< 0；②a>0；③关于x的方程kx + b = x + a的解为x = 3；④x> 3时，y1>y2.正确的有_________.三.解答题1如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + b的图象与x轴交点为A（ - 3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y = 43x的图象交于点C（m，4）.（1）求m的值及一次函数y = kx + b的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式43x<kx + b的解集.2.如图，函数y =- 2x + 3与y =- 12 x + m的图象交于点P（n， - 2）.（1）求出m，n的值；（2）直接写出不等式 - 12x + m >- 2x + 3的解集；（3）求出△ABP的面积.3.某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费:若每户每月用水不超过8立方米，则每立方米按1元收费；若每户每月用水超过8立方米，则超过的部分每立方米按2元收费.某用户7月份用水x立方米，缴纳水费y元.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）此用户要想每月水费不超过20元，那么每月的用水量不超过多少立方米?4.为了响应“足球进学校”的号召，某学校准备到体育用品批发市场购买A型号与B型号两种足球，其中A型号足球的批发价是每个200元，B型号足球的批发价是每个250元，该校需购买A、B两种型号足球共100个.（1）若该校购买A、B两种型号足球共用了22000元，则分别购买两种型号足球多少个?（2）若该校计划购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，请求出最省钱的购买方案，并说明理由.5.如图，某面粉加工企业急需汽车，但因资金问题无力购买，公司经理想租一辆汽车.一国有公司的条件是每千米租费1.1元；一个体出租车公司的条件是每月付租金1000元，油钱600元，另外每千米付0.1元，请问公司经理根据自己的情况应该怎样租汽车比较划算?。
1 一元一次不等式与一次函数(二)教案 及反思
一元一次不等式与一次函数（二）教案南顿二中：倪娜娜一元一次不等式与一次函数（二）教学设计教学任务分析数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本节课是八下第一章第五节《一元一次不等式与一次函数》第二课时的内容，从属于“数与代数”这一数学学习领域，因而务必服务于数与代数教学的远期目标，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
教科书基于学生对一元一次不等式与一次函数的关系认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务，本节课的教学目标是：1、掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用不等式解决函数有关问题。
2、通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。
3、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想。
4、训练大家能利用数学知识去解决问题的能力.5、体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段.教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究、合作学习；第三环节：运用巩固、练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。
第一环节：情境引入活动内容：放假期间很多人热衷于旅游，而旅行社瞅准了这个商机，会打着各式各样的优惠来吸引你，那么究竟应该选哪一家呢？下面我们一起来探究这里的奥妙。
活动目的：让学生在一个比较熟悉的氛围中接触学习主题，有利于他们启动思维。
活动效果：引发了学生的兴趣。
第二环节：探究、合作学习活动内容：学生在分组讨论的基础上，大胆提出自己解决问题的方法，教师点评。
1.［例1］某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？请大家先计划一下，你选哪家旅行社？分析：首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较.而且比较情况只能有三种，即大于，等于或小于.解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则y1=200×0.75x=150xy2=200×0.8（x－1）=160x－160当y1=y2时，150x=160x－160,解得x=16;当y1＞y2时，150x＞160x－160,解得x＜16;当y1＜y2时，150x＜160x－160,解得x＞16.因为参加旅游的人数为10~25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少，当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.由此看来，选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关，而且还和参加旅游的人数有关，那么在以后的旅行中，大家一定不要想当然，而是要精打细算才能做到合理开支，现在，你学会了吗？活动目的：此处主要是想让学生经历运用不等式解决实际问题的过程。
一次函数与一元一次方程,一元一次不等式的关系
详细描述
解一元一次不等式的步骤包括：去分、去括号、移项、合 并同类项和化简。在解不等式时，需要注意不等号的方向在 不等式两边同时除以或乘以负数时需要改变。
一元一次不等式的应用
总结词
一元一次不等式在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如比较大小、解决优化问题 等。
详细描述
一元一次不等式可以用来解决各种实际问题，如比较大小、解决优化问题、确定范围等。 例如，在购物时比较不同商品的价格和优惠条件，或者在生产中优化资源分配和成本效
总结词
求解一元一次方程通常涉及移项 、合并同类项和系数化为1等步骤 。
详细描述
对于 ax + b = 0，解得 x = -b/a。 如果 a = 0 且 b ≠ 0，则方程无解。 如果 a = 0 且 b = 0，则方程有无 数多个解。
一元一次方程的应用
总结词
一元一次方程在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如购物时计算找零、 物理中的简单运动问题等。
一次函数与一元一次方程、一元一 次不等式的关系
目录
• 一次函数 • 一元一次方程 • 一元一次不等式 • 一次函数与一元一次方程、一元一次
不等式的关系
01 一次函数
一次函数的定义
01
一次函数的一般形式为 y = ax + b， 其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
02
一次函数是函数的一种，自变量 x 和因变量 y 之间存在线性关系 。
一元一次不等式通常表示为 ax + b > c、ax + b < c 或 ax + b ≥ c 的形式，其中 a、 b、c 是常数，且 a ≠ 0。这个不等式只含有一个未知数 x，且 x 的最高次数为1。
一元一次不等式与一次函数课件
本章内容的总结
一元一次不等式的概念与性质
01
详细介绍了不等式的定义、性质以及解法，并通过实例进行说
明。
一次函数的定义与性质
02
深入探讨了一次函数的定义、性质、图像以及与一元一次不等
式的联系。
一元一次不等式与一次函数的实际应用
03
通过具体实例，展示了如何运用一元一次不等式和一次函数解
决实际问题。
对未来学习的展望
当k>0时，函数图像 为上升直线；当k<0 时，函数图像为下降 直线。
一次函数的性质
01
02
03
04
一次函数的单调性由斜率k决 定，k>0时单调递增，k<0时
单调递减。
一次函数的图像是直线，且过 定点(0,b)。
一次函数的斜截式方程 y=kx+b表示当x增加1时，y 增加k；当x减少1时，y减少k
方法2
对于题目2，代入 x = 2 到 y = 3x - 5 中得到 y = 1，因为 y 的 斜率为正，所以当 x < 2 时，y 的取值范围是 y < 1。
方法3
对于题目3，由解集的形式可知， 系数2a - 1必须小于0，即 2a - 1 < 0，解得 a < frac{1}{2}。
05
总结与展望
解题技巧与方法
技巧2
对于一次函数，根据一次函数的 性质，当斜率 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小。
技巧1
解一元一次不等式时，首先移项 并合并同类项，然后根据不等式 的性质求解。
方法1
对于题目1，首先移项得到 -2x > -12，然后除以-2并反转不等号得 到 x < 6。
初中数学八下习题与解析2-5 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
2.5 一元一次不等式与一次函数 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系一、选择题1．已知函数y ＝8x －11，要使y ＞0，那么x 应取( )A ．x ＞811 B ．x ＜811C ．x ＞0D ．x ＜02．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像，如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ •） A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．－2＜y ＜0 D ．y ＜－23．已知y 1＝x －5，y 2＝2x ＋1．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞5B ．x ＜12C ．x ＜－6D ．x ＞－6 4．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当x ＜1时，y 的取值范围是（ ）A ．－2＜y ＜0B ．－4＜y ＜0C ．y ＜－2D ．y ＜－45．一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x ＜3 时，y 1＜y 2中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．如图，直线y kx b =+交坐标轴于A ，B 两点，则不等式0kx b +>的解集是（ ）A ．x ＞－2B ．x ＞3C ．x ＜－2D ．x ＜36题 8题7．已知关于x 的不等式ax ＋1＞0（a ≠0）的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的yx 1-2-1y k b =+2y k x =Ｏ xyA(－2，0)B （0，3） x y O3y 2=x +ay 1=kx +b 5题－2 y O1 2题x－4 yO2 4题xOxyAy 1y 214题交点是（ ）A ．（0，1）B ．（－1，0）C ．（0，－1）D ．（1，0）8．直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为（ ） A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定二、填空题9．若一次函数y ＝(m －1)x －m ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________．10．如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过________千克，就可以免费托运．11．当自变量x 时，函数y ＝5x ＋4的值大于0；当x 时，函数y ＝5x ＋4的值小于0．12．已知2x －y ＝0，且x －5＞y ，则x 的取值范围是________．13．如图，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是_______________． 14．如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b 1与y 2＝k 2x ＋b 2的图象相交于A(3，2)，则不等式(k 2－k 1)x ＋b 2－b 1＞0的解集为_________． 15．已知关于x 的不等式kx －2＞0（k ≠0）的解集是x ＜－3，则直线y ＝－kx ＋2与x•轴的交点是__________． 16．已知不等式－x ＋5＞3x －3的解集是x ＜2，则直线y ＝－x ＋5与y ＝3x －3•的交点坐标是_________．三、能力提升17．已知：y 1=x+3，y 2=－x+2，求满足下列条件时x 的取值范围：O 10 （千克）y (元)10题20 30 40 50300 400 500O 2 2 -2-2xyy ＝3x ＋by ＝ax －3 13题（1）y1＜y2（2）2y1－y2≤418．在同一坐标系中画出一次函数y1＝－x＋1与y2＝2x－2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y1＝－x＋1与y2＝2x－2的交点P的坐标．（2）直接写出：当x取何值时y1＞y2；y1＜y2四、聚沙成塔如果x，y满足不等式组350xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，那么你能画出点(x，y)所在的平面区域吗?参考答案1．A；2．D；3．C；4．C；5．B；6．A；7．D；8．B；9．m＜4且m≠1；10．20；11．x＞－45，x＜－45；12．x＜－5；13．x＞－2；14．x＜3；15．（－3，0）；16．（2，3）．17．(1)12x<-；（2）x≤0．18．（1）P（1，0）；（2）当x＜1时y1＞y2，当x＞1时y1＜y2．聚沙成塔在直角坐标系画出直线x＝3，x＋y＝0，x－y＋5＝0，因原点(0，0)不在直线x－y＋5＝0上，故将原点(0，0)代入x－y＋5可知，原点所在平面区域表示x－y+5≥0部分，因原点在直线x+y=0上，故取点(0，1)代入x+y判定可知点(0，1)所在平面区域表示x+y≥0的部分，见图阴影部分．。
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请你 (1) 什么情况下到甲种业务更合算?
决策
(2) 什么情况下到乙种业务更合算? (3) 什么情况下两种业务一样?
一元一次不等式与一次函数在决策型应用 题中的应用
画出图象 实际问题 分析图象 解决问题
写出两个函数表达式 不等式 解不等式
例题1：某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游， 参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服 务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行 社表示可以给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可以 先免去一位游客的旅游费用，其余的游客八折优惠。该单 位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以 购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动， 女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠。请你帮助他们选 择购票方案。
解：设该公司参观者中有女士x人，选择购买女士五折票时所需费用为 y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元，则
由y1 = y2,，得0.5x+40-x=40×0.8，解得x=16 由y1 ＞ y2,，得0.5x+40-x＞40×0.8 ，解得x＜16 由y1 ＜ y2,，得0.5x+40-x＜40×0.8 ，解得x＞16
y1 6000 6000(1 25%) x
y2 6000(1 20%) x
（1）当买电脑超过5台时，甲商场购买更优惠 （2）当买电脑少于5台时，甲商场购买更优惠 （3）当买电脑5台时，甲商场购买更优惠
某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克只需运费0.58元； 由公路运输，每千克需运费0.28元，运完这批牛奶还需其他费用600元。择公路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1，y2与x之间 的关系式； （2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？ 若公司运送1500kg牛奶，则选用哪种运输方式所需费用较少？
解: ⑴ 依题意，得 y 60 (0.05 0.02) x 计时制： 即 y 4.2 x 包月制： y 60 0.02x 50 即 y 1.2 x 50 ⑵ 当 x 20 时 计时制： y 4.2 20 84 （元） 包月制： y 1.2 20 50 74（元） 若某用户估计一个月上网20小时，采 用包月制较为合算．
答：当女士不足16人时，购买团体票合算；当女士恰好是16人时，两 种方案所需费用相同；当女士多于16人时，购买女士五折票合算。
y1 0.5 x 40 x
y2 40 0.8
中考链接
某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一： (A)计时制：0.05元/分； (B) 包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）． 此外，每一种 上网方式都得加收通信费0.02元/分． （1）请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y（元）与 上网时间x（小时）之间的函数关系式； （2）若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种 方式较为合算？
思考：“10~25人”的含义是什么？
解:设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所 需的费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则：
y1 = 200×0.75x, y2 = 200×0.8(x-1), 即y1 = 150x 即y2= 160x-160
由y1 = y2,，得150x=160x-160，解得x=16 应如何 回答？ 由y1 ＞ y2,，得150x＞160x-160，解得x＜16 由y1 ＜ y2,，得150x＜160x-160，解得x＞16 因为参加旅游的人数为10至25人,所以，当x=16时，甲、乙 两家旅行社的收费相同；当17≤<x≤25时，选择甲旅行社费 用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少。
2.5 一元一次不等式与 一次函数（2）
知识回顾：
1、若y1= -2x-2，y2=3x+3，试确定当x取何值时，y1<y2 。 你是怎样做的？
2、某商品原价60元，现优惠25%，则现价是 45 3、某商品原价200元，现打七五折，则现价是 150 元 元
做一做
某电信公司有甲、乙两种手机收费业务。甲种业务规定月租 费10元，每通话1min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但 每通话1min收费0.4元。你认为何时选择甲种业务对顾客更 合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？ 思考：1、”合算”怎么理解？ 2、可以用哪些学过的知识解决这个问题？
某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电 脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场 的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%。乙 商场的优惠条件是：每台优惠20%。 (1)什么情况下到甲商场购买更优惠? (2)什么情况下到乙商场购买更优惠? (3)什么情况下两家商场的收费相同?
某电信公司有甲、乙两种手机收费业务。甲种业务规定月租费10元， 每通话1min收费0.3元；乙种业务不收月租费，但每通话1min收费 0.4元。你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务 对顾客更合算？
分析：设顾客每月的通话时间为xmin，选择甲种业务时所 需费用为y甲元，选择乙种业务时所需费用为y乙元，则 甲种函数关系式为： 乙种函数关系式为： y甲=10+0.3x y乙=0.4x ； ； x>100 x<100 X=100
某单位要制作一批宣传材料。甲公司提出：每份材料收费20 元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元， 不收设计费。 (1)什么情况下选择甲公司比较合算? (2)什么情况下选择乙公司比较合算? (3)什么情况下两公司的收费相同?
（1）当制作材料超过300份时，选择甲公司比较合算； （2）当制作材料少于300份时，选择乙公司比较合算； （3）当制作材料为300份时，两公司收费相同。
(1) y1 0.58 x
y2 0.28 x 600
（2）公路运输运送的牛奶多；铁路运费较少。