复合函数的概念和性质

复合函数的概念和性质

一、知识点内容和要求：

理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间

二、教学过程设计

（一）复习函数的单调性

引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？

（二）新课

1、复合函数的概念

如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）] 叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立，a是中间变量。

2、复合函数单调性

由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。

对任意，

当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。

∵当a＞1时，

∵y=f（u）是上的递减函数∴

∴

∴是单调递减函数

类似地，

当0＜a＜1时，

是单调递增函数

一般地，

定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。有以下四种情况：

（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；

（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。即：同增异减。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性

（1）（2）

解：①

又是减函数

∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②x∈（-1，3）

令

∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。

∵是增函数

∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。

注意：要求定义域

练习：求下列函数的单调区间。

1、（1）减区间，增区间；

（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；

（3）减区间，增区间；

（4）减区间，增函数。

2、已知求g（x）的单调区间。

提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）

的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）

（1）y=f（x）的表达式及定义域；

（2）求y=f（x）的值域；

（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。

答案：（1）x∈（0，3）

（2）（0，]

（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数

当x∈时，；

当x∈时，。

例3、确定函数的单调区间。

提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。函数的递增区间分别为（-∞，-1]， [0，+∞）

函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。

作业：1、求下列函数的单调区间。

（1）（2）（3）

2、求函数的递减区间。

3、求函数的递增区间。

4、讨论下列函数的单调性。

（1）（2）

答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）2、[，2] 3、（-∞，-2）

4、（1）在上是增函数，在上是减函数；

（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；