西城区2016高一年级第一学期期末考试数学试卷含详细答案
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷-理数-含答案
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+， 所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤． 所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =． 所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以 {}n b 成等比数列． [13分]。
2016-1市西城区高三上学期期末数学(理)试卷
北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞-（B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x = 3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1 7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+ （B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.E FD P C A BB OC A NM12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．F CADPMB E已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos222x x=+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………5分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 2|22|||3λλ-=， 解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）F CADPMB Ezyx（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分 （Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时， 令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)t t(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增， 所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增，所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-. 要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同， 再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ， 再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD版)-含答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1 6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）E FD P C A BB OC A NM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）F CADPMB E已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos222x x=+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>， 所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，FADPMz所以//MF 平面PAB . ………………5分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 2|22|||3λλ-=， 解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时， 令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)tt(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增， 所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增， 所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e(0,1)t-∈ ，111122()12ln 0tttth t ----=--=>ee ee ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同， 再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ， 再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试理数试题(解析版)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【答案】A【解析】试题分析：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．考点：交集及其运算．2．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x| D．y=【答案】C【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=e x﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．y=[0，+∞）．故选：C考点：函数奇偶性的判断．3．设命题p：“若1sin2α=，则6πα=”，命题q：“若a＞b，则11a b<”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为假命题C．“￢q”为假命题D．以上都不对【答案】B 【解析】试题分析：命题p ：“若1sin 2α=，则6πα=”是假命题， 命题q ：“若a ＞b ，则11a b<”，如：a=1，b=﹣1，故命题q 是假命题， 故p∨q 是假命题， 故选：B ．考点：复合命题的真假．4．“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{a n }为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：若数列{a n }是等比数列，根据等比数列的性质得：212*,n n n n N a a a ++∀∈=，反之，若“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”，当a n =0，此式也成立，但数列{a n }不是等比数列， ∴“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件，故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+ 【答案】B 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱， 其底面面积为：×（1+2）×2=3， 底面周长为：高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（16+， 故选：B考点：由三视图求面积、体积．6．设x ，y 满足约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z=x+3y 的最大值与最小值的差为7，则实数m=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩作出可行域如图，联立13y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （1，2），联立1y my x =⎧⎨-=⎩，解得B （m ﹣1，m ），化z=x+3y ，得33x zy =-+． 由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，z 有最大值为7，当直线33x zy =-+过B 时，z 有最大值为4m ﹣1，由题意，7﹣（4m ﹣1）=7，解得：m=14．考点：简单线性规划．7．某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+12]×2+1=12[]52x++，考点：程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE=2AE ，CF=2BF ．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得成立，那么λ的取值范围是（ ）A ．（0，7）B ．（4，7）C ．（0，4）D ．（﹣5，16） 【答案】C 【解析】试题分析：以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则E （0，4），F （6，4）． （1）若P 在CD 上，设P （x ，0），0≤x≤6．∴PE =（﹣x ，4）， PF =（6﹣x ，4）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣6x+16，∵x∈[0，6]，∴7≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=7时有一解，当7＜λ≤16时有两解．（2）若P 在AD 上，设P （0，y ），0≤y≤6．∴PE =（0，4﹣y ），PF =（6，4﹣y ）． ∴PE PF ⋅=（4﹣y ）2=y 2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．（3）若P 在AB 上，设P （x ，6），0≤x≤6. PE =（﹣x ，﹣2），PF =（6﹣x ，﹣2）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣6x+4，∵0≤x≤6．∴﹣7≤PE PF ⋅≤4． ∴当λ=﹣7时有一解，当﹣7＜λ≤2时有两解．（4）若P 在BC 上，设P （6，y ），0≤y≤6，∴PE =（﹣6，4﹣y ），PF =（0，4﹣y ）． ∴PE PF ⋅=（4﹣y ）2=y 2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解． 综上，∴0＜λ＜4．考点：平面向量数量积的运算．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足z （1+i ）=2﹣4i ，那么z= ． 【答案】13i -- 【解析】试题分析：由z （1+i ）=2﹣4i ，得24(24)(1)26131(1)(1)2i i i iz i i i i -----====--++-． 故答案为：﹣1﹣3i ．考点：复数代数形式的乘除运算．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若A=B ，a=3，c=2，则cosC= ． 【答案】79【解析】试题分析：∵A=B，a=3，c=2，可得：b=3，∴cosC=2229942233a b c ab +-+-=⨯⨯=79．故答案为：79． 考点：余弦定理．11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为 ；设F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且|PF 1|=4，则|PF 2|= ． 【答案】12y x =±,12 【解析】试题分析：双曲线C ：221164x y -=中a=4，b=2，则渐近线方程为12y x =±，由题意P 在双曲线的左支上，则|PF 2|﹣|PF 1|=2a=8， ∴|PF 2|=12 故答案为：12y x =±，12． 考点：双曲线的简单性质．12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN= ；AMMC= ．2-，916【解析】试题分析：由题意，AO==， 由切割线定理可得9=AN•（+2），∴AN=． AC==5，由切割线定理可得9=AM•5，∴AM=95， ∴MC=165， ∴916AM MC =．2-，916．考点：与圆有关的比例线段．13．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 种．（用数字作答） 【答案】54 【解析】试题分析：第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中（2，1，1），C 42A 33=36种， 第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A 33C 32=18种， 根据分类计数原理可得，共有36+18=54种， 故答案为：54．考点：排列、组合的实际应用．14．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是 ．【答案】①④ 【解析】试题分析：∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． ∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣12， ∴16264,02,0x x t x -+≤⎧⎪=⎨⎪>⎩，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x ∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t 随看x 增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确， 故正确的结论的序号为：①④， 故答案为：①④．考点：命题的真假判断与应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()cos (sin )f x x x x =+-，x ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，求α的最小值． 【答案】（Ⅰ）周期是π，单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f （x ）的单调递增区间．（Ⅱ）由题意可得g （0）=0，即sin(2)03πα+=，由此求得α的最小正值．试题解析：（Ⅰ）解：2()cos (sin )sin cos 1)f x x x x x x x =+-=+-1sin 222x x ==sin(2)3x π+，所以函数f （x ）的最小正周期22T ππ==． 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数f （x ）的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ． （Ⅱ）解：由题意，得()()sin(22)3g x f x x παα=+=++，因为函数g （x ）为奇函数，且x ∈R ，所以g （0）=0，即sin(2)03πα+=，所以23k παπ+=，k ∈Z ，解得26k ππα=-，k ∈Z ，验证知其符合题意． 又因为α＞0，所以α的最小值为3π．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．16．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）13；（Ⅱ）分布列见解析，期望为15；（Ⅲ）6，7，8．（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为13，15，16，18，…且3(13)8P X==，1(15)8P X==，3(16)8P X==，1(18)8P X==，…所以X的分布列为：所以()13151618158888E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可证明平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．（Ⅲ）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD 的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°．所以AB⊥AC．由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC．…因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，所以PA⊥底面ABCD．…又因为EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF．…又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC．…（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MF∥PA，又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MF∥平面PAB．…同理，得EF∥平面PAB ．又因为MF∩EF=F，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面MEF∥平面PAB ．…又因为ME ⊂平面MEF ，所以ME∥平面PAB ．…（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD ，AB⊥AC，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （﹣2，2，0），E （1，1，0）， 所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-，… 设([0,1])PM PDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以M （﹣2λ，2λ，2﹣2λ），(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量m =（0，0，1）．…设平面PBC 的法向量为n =（x ，y ，z ），由0n BC ⋅=，0n PB ⋅=，得220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩令x=1，得n =（1，1，1）．…因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以cos ,cos ,ME m ME n <>=<>，即ME m ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅，所以2λ解得λ=，或λ=（舍）．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．18．已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围．【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得t=1，即可得到切线的斜率和切点坐标，可得切线的方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．对h（x）求导，讨论①当t≤0时，②当t=1时，③当0＜t＜1时，求出单调区间，即可得到零点和所求范围．试题解析：（Ⅰ）求导，得f′（x）=2x，2'()tg xx=，（x＞0）．由题意，得切线l的斜率k=f′（1）=g′（1），即k=2t=2，解得t=1．又切点坐标为（1，0），所以切线l的方程为2x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣1﹣2tlnx，x∈（0，+∞）．“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．求导，得2222'()2t x th x xx x-=-=．①当t≤0时，由x∈（0，+∞），得h'（x）＞0，所以h （x ）在（0，+∞）单调递增．又因为h （1）=0，所以y=h （x ）有且仅有一个零点1，符合题意．②当t=1时，当x 变化时，h'（x ）与h （x ）的变化情况如下表所示：所以h （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，h （x ）min =h （1）=0，故y=h （x ）有且仅有一个零点1，符合题意．③当0＜t ＜1时，令h'（x ）=0，解得x =．当x 变化时，h'（x ）与h （x ）的变化情况如下表所示：所以h （x ）在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =时，min ()h x h ==．因为h （1）=01<，且h （x ）在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=．又因为存在12(0,1)t e -∈，111122()12ln 0t t t th e e t e e ----=--=>， 所以存在x 0∈（0，1）使得h （x 0）=0，所以函数y=h （x ）存在两个零点x 0，1，与题意不符．综上，曲线y=f （x ）与y=g （x ）有且仅有一个公共点时，t 的范围是{t|t≤0，或t=1}．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点问题的解法，注意运用构造法，通过导数求得单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，点A 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程． （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可．试题解析：（Ⅰ）解：由题意，得c a =a 2=b 2+c 2，…又因为点A 在椭圆C 上， 所以221314a b+=，解得a=2，b=1，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=．… （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．…由方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，… 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即m 2=4k 2+1．… 由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，… 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -=+，… 设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m rk --⋅+⋅+-++==--+，… 将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-． 要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意． 所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．… 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2，此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214k k =-． 综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．20．在数字1，2，…，n （n≥2）的任意一个排列A ：a 1，a 2，…，a n 中，如果对于i ，j ∈N *，i ＜j ，有a i ＞a j ，那么就称（a i ，a j ）为一个逆序对．记排列A 中逆序对的个数为S （A ）．如n=4时，在排列B ：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S （B ）=4．（Ⅰ）设排列 C ：3，5，6，4，1，2，写出S （C ）的值；（Ⅱ）对于数字1，2，…，n 的一切排列A ，求所有S （A ）的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：a 1，a 2，…，a n 中两个数字a i ，a j （i ＜j ）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b 1，b 2，…，b n ，求证：S （A ）+S （A'）为奇数．【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）(1)4n n -；（Ⅲ）证明见解析．所以1(1)()()2n n S D S D -+=． 所以排列D 与D 1的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -． 而对于数字1，2，…，n 的任意一个排列A ：a 1，a 2，…，a n ，都可以构造排列A 1：a n ，a n ﹣1，…，a 2，a 1， 且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -． 所以所有S （A ）的算术平均值为．（Ⅲ）证明：（1）当j=i+1，即a i ，a j 相邻时，不妨设a i ＜a i+1，则排列A'为a 1，a 2，…，a i ﹣1，a i+1，a i ，a i+2，…，a n ，此时排列A'与排列A ：a 1，a 2，…，a n 相比，仅多了一个逆序对（a i+1，a i ），所以S （A'）=S （A ）+1，所以S（A）+S（A'）=2S（A）+1为奇数．（2）当j≠i+1，即a i，a j不相邻时，假设a i，a j之间有m个数字，记排列A：a1，a2，…，a i，k1，k2，…k m，a j，…，a n，先将a i向右移动一个位置，得到排列A1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，a i，k2，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A1）与S（A）的奇偶性不同，再将a i向右移动一个位置，得到排列A2：a1，a2，…，a i﹣1，k1，k2，a i，k3，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A2）与S（A1）的奇偶性不同，以此类推，a i共向右移动m次，得到排列A m：a1，a2，…，k1，k2，…，k m，a i，a j，…，a n，再将a j向左移动一个位置，得到排列A m+1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，…，k m，a j，a i，…，a n，以此类推，a j共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：a1，a2，…，a j，k1，…，k m，a i，…，a n，即为排列A'，由（1）可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以S（A）+S（A'）为奇数．综上，得S（A）+S（A'）为奇数．考点：数列与函数的综合．：。
2016年北京市西城区高一数学期末试题.doc
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.ABCD17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ACPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2, 1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2x x f >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）。
北京市西城区高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D 【答案】D 7. 若直线x a =是函数sin()6y x π=+图象的一条对称轴，则a 的值可以是（ ）（A ）3π （B ）2π （C ）6π-（D ）3π-【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。
故答案为：A【答案】A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A9. 函数2sin(2)y x =π的图象与直线y x =的交点个数为（ ） （A ）3（B ）4（C ）7（D ）8【知识点】数量积的定义【试题解析】因为由图像可知共7个交点 故答案为：C【答案】C10. 关于函数()sin cos f x x x =+，给出下列三个结论：①函数()f x 的最小值是1； ②函数()f x 的最大值是2； ③函数()f x 在区间(0,)4π上单调递增.其中全部正确结论的序号是（ ） （A ）②（B ）②③（C ）①③（D ）①②③【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确 故答案为：D 【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 【知识点】诱导公式【试题解析】因为ABCD故答案为：【答案】12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，则BD u u u r_____.（用a ，b 表示）【知识点】平面向量基本定理【试题解析】因为故答案为：【答案】13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan2α=_____.【知识点】倍角公式【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以，故答案为：【答案】14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为所以，的夹角等于。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD精校版)
市西城区2015 —2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x=>，集合{2}B a=+，若A B=∅，则实数a的取值X围是（）（A）(,1]-∞-（B）(,1]-∞（C）[1,)-+∞（D）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R的偶函数是（）（A）21y x=+（B）e ex xy-=-（C）lg||y x=（D）y3. 设命题p：“若1sin2α=，则π6α=”，命题q：“若a b>，则11a b<”，则（）（A）“p q∧”为真命题（B）“p q∨”为假命题（C）“q⌝”为假命题（D）以上都不对4. 在数列{}n a中，“对任意的*n∈N，212n n na a a++=”是“数列{}na为等比数列”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+（B）16+侧(左)视图正(主)视图（C ）20+ （D ）20+6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32（B ）32-（C ）14（D ）14-7.某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值X 围是（） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值X 围．F CADPMB E19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列C ：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值； （Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±1212291613．54 14．○1○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =-1sin 22x x =………………4分πsin(2)3x =+， ………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分 由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>， 所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131E X=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分()13151618158888（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB AC=，135∠=，BCD所以AB AC⊥.由,E F分别为,EF AB，BC AD的中点，得//所以EF AC⊥.………………1分因为侧面PAB⊥底面ABCD，且90∠=，BAP所以PA⊥底面ABCD. ………………2分又因为EF⊂底面ABCD，所以PA EF⊥.………………3分又因为PA AC A=，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC. ………………4分（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以//MF PA，Array又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以//MF平面PAB. ………………5分EF平面PAB.同理，得//D又因为=MF EF F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面所以平面//MEF平面PAB. ………………7分又因为ME⊂平面MEF，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 |22|λ-=，解得λ=λ=.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >．………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =．……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=．………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞．………………5分“曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分①当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………8分②当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………10分③当01t <<时，令()0h x '=，解得x ．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =时，min()h x h =．………………11分因为(1)0h =1<，且()h x在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=. 又因为存在12e(0,1)t-∈ ，111122()12ln 0tttth t ----=--=>ee ee ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的X 围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点A 在椭圆C 上， 所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =；………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数.………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时， 假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，m+次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，而排列A经过21所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以()()+为奇数.S A S A'综上，得()()+为奇数.………………13分S A S A'。
2016北京西城区高一(上)期末数学
2016北京西城区高一（上）期末数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．（4分）化简+﹣等于（）A．B．C．D．3．（4分）若向量=（，1），=（2，x）共线，则实数x的值是（）A．﹣B．C．0 D．±4．（4分）函数f（x）=cosx的一个单调递增区间是（）A．（0，）B．（﹣，）C．（﹣π，0）D．（0，π）5．（4分）函数y=sinxcosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．（4分）函数y=sin（2x﹣）的图象可由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到7．（4分）若直线x=a是函数y=sin（x+）图象的一条对称轴，则a的值可以是（）A．B．C．﹣D．﹣8．（4分）已知非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．则||等于（）A．2B．2 C．D．9．（4分）函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为（）A．3 B．4 C．7 D．810．（4分）关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|，给出下列三个结论：①函数f（x）的最小值是1；②函数f（x）的最大值是；③函数f（x）在区间（0，）上单调递增．其中全部正确结论的序号是（）A．②B．②③C．①③D．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）sin=．12．（4分）如图所示，D为△ABC中BC边的中点，设=，=，则=．（用，表示）13．（4分）角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=．14．（4分）设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于．15．（4分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣sin，则α=．16．（4分）已知函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，且在区间（0，）上单调递增，则ω的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知α∈（，π），且sinα=．（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）如图所示，B，C两点是函数f（x）=Asin（2x+）（A＞0）图象上相邻的两个最高点，D点为函数f（x）图象与x轴的一个交点．（Ⅰ）若A=2，求f（x）在区间[0，]上的值域；（Ⅱ）若BD⊥CD，求A的值．19．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°．（Ⅰ）求•的值；（Ⅱ）设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且=x+y，其中x，y∈R．求xy的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=．21．（4分）log2=，3=．22．（4分）已知函数f（x）=，且f（a）+f（2）=0，则实数a=．23．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的减函数，如果f（a）＞f（x+1）在x∈[1，2]上恒成立，那么实数a的取值范围是．24．（4分）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系y=e kx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）．若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求满足不等式f（2x）＞2x的实数x的取值范围．26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的值域；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的最小值．27．（10分）设函数f（x）定义域为[0，1]，若f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称x*为函数f（x）的峰点，f（x）为含峰函数．（特别地，若f（x）在[0，1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点x*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x*的近似值．试验原理为：“对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，此时称x1为近似峰点；若f（x1）＜f（x2），则（x1，1）为含峰区间，此时称x2为近似峰点”．我们把近似峰点与x*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}（其中max{x，y}表示x，y中较大的数）．（Ⅰ）若x1=，x2=．求此试验的预计误差d．（Ⅱ）如何选取x1、x2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明x1的取值即可）（Ⅲ）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，可以确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1）．在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可以进一步得到一个新的预计误差d′．分别求出当x1=和x1=时预计误差d′的最小值．（本问只写结果，不必证明）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．2．【解答】+﹣=﹣=．故选：B．3．【解答】向量=（，1），=（2，x）共线，可得，解得x=．故选：B．4．【解答】函数f（x）=cosx的单调递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z．故选：C．5．【解答】y=sinxcosx=sin2x，周期为T==π，且其图象关于原点对称，故为奇函数，故选A．6．【解答】将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：B．7．【解答】当x=时，函数y=sin（x+）取得最大值，所以a的值可以是．故选：A．8．【解答】非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．可得=4，4﹣2||+||2=4则||=2．故选：A．9．【解答】∵函数y=2sin（2πx）的振幅为2，∴作函数y=2sin（2πx）与y=x在[﹣2，2]上的图象如下，，结合图象可知，函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为7，故选：C．10．【解答】∵函数f（x）=|sinx|+|cosx|=，故当sin2x=0时，函数取最小值1，故①正确；当sin2x=±1时，函数取最大值，故②正确；当x∈（0，）时，2x∈（0，），此时sin2x随x的增大从0增至1，故函数f（x）为增函数，故③正确；故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．【解答】sin=﹣．故答案为：．12．【解答】==，=．故答案为．13．【解答】角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===﹣．故答案为：．14．【解答】=2．||=2，||=2，∴cos＜＞==．∴，的夹角是．故答案为．15．【解答】∵α∈（0，π），且cosα=﹣sin，∴cosα=cos（）=cos，∴．故答案为：．16．【解答】∵函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，∴f（π）=sinπω=﹣1，即πω=2kπ﹣，即ω=2k﹣，∵在区间（0，）上单调递增，∴T=≥，即2ω≤3，则0＜ω≤，则当k=1时，ω=，满足条件．故答案为：．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．【解答】（Ⅰ）∵α∈（，π），且sinα=．∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣，∴tan（α﹣）===﹣7．（Ⅱ）===﹣．18．【解答】（Ⅰ）若A=2，求f（x）=2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴2sin（2x+）∈[﹣，2]．（Ⅱ）分别令2x+=，2x+=，求得B、C的横坐标分别为，，故B（，A）、C（，A），可得D（+，0），即D（，0）．若BD⊥CD，∴=（﹣，A）（，A）=﹣+A2=0，∴A=．19．【解答】（1）以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图：则A（0，0），B（1，0），C（﹣，）.=（1，0），=（﹣，）．∴•=﹣．（2）=x+y=（x﹣，）．∵||=1．∴（x﹣）2+（）2=1．∴x2+y2=1+xy≥2xy．∴xy≤1．∴xy的最大值是1．B卷[学期综合]本卷满分：50分填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．【解答】∵U=R，B={x|x＞1}，∴∁U B={x|x≤1}，又A={x|x＞0}，∴A∩（∁U B）={x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．21．【解答】log2=，3=3×2=6．故答案为：；6．22．【解答】∵f（2）=﹣，∴f（a）+f（2）=0可化为f（a）=，∴2a=或﹣=，解得，a=﹣1或a=﹣2（舍去）；故答案为：﹣1．23．【解答】f（a）＞f（x+1）在x∈[1，2]上恒成立，∵函数f（x）是定义在R上的减函数，∴a＜x+1在x∈[1，2]上恒成立，∴a＜2．故答案为a＜2．24．【解答】根据题意得，x=0时，y=0.1；x=30时，y=0.8；代入函数y=e kx+b中，可得e b=0.1，e30k+b=0.8，∴e30k=8，∴e10k=2；当x=20时，y=e20k+b=e20k•e b=（e10k）2•e b=22×0.1=0.4；即液体在20℃的蒸发速度是0.4升/小时．故答案为：0.4．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．【解答】（Ⅰ）f（x）为奇函数，证明如下：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=；∴f（x）为奇函数；（Ⅱ）由f（2x）＞2x得，；∴；整理成22x＜5；∴2x＜log25；∴；即；∴实数x的取值范围为（﹣∞，）．26．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∵x∈[0，2]，∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，∴f（x）在区间[0，2]上的值域为[﹣1，0]；（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|x（x﹣2a）|，①当a≤0时，g（x）=x2﹣2ax在[0，2]上是增函数，故t（a）=g（2）=4﹣4a；②当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，而g（a）=a2，g（2）=4﹣4a，g（a）﹣g（2）=a2+4a﹣4=（a﹣2+2）（a+2+2），故当0＜a＜2﹣2时，t（a）=g（2）=4﹣4a，当2﹣2≤a＜1时，t（a）=g（a）=a2，当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，故t（a）=g（a）=a2，当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，t（a）=g（2）=4a﹣4，故t（a）=，故t（a）的最小值为t（2﹣2）=12﹣8．27．【解答】（Ⅰ）由已知，∴d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}=max{max{}，max{}}=max{}=．（Ⅱ）取，此时试验误差为．以下证明，这是使试验误差达到最小的试验设计．证明：分两种情况讨论x1点的位置，①当时，如图所示，如果≤x2，那么d≥1﹣x2＞，如果≤x2≤1，那么d≥x2﹣x1＞；②当．综上，时，d．同理得时，．∴时，试验的误差蕞小．（Ⅲ）当x1=时预计误差d′的最小值为，当x1=时预计误差d′的最小值为．。
北京市西城区高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D【答案】D的值可以是（【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。
故答案为：A【答案】A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A交点个数为（【试题解析】因为由图像可知共7个交点故答案为：C【答案】C【知识点】三角函数的图像与性质 【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确 故答案为：D 【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 【知识点】诱导公式 【试题解析】因为故答案为：【答案】12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）ABC【知识点】平面向量基本定理 【试题解析】因为故答案为：【答案】13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 【知识点】倍角公式 【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以， 故答案为：【答案】14. 设向量(0,2),)a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】因为所以，的夹角等于。
西城高一数学试卷答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2016.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.D ；6.D ；7.A ；8.A ；9.C ； 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.； 12. 1()2-b a ； 13. 43-；14.3π； 15. 85π； 16. 32.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2απ∈π(,)，且3sin 5α=，所以4cos 5α==-. ………………3分所以sin 3tan cos 4ααα==-. ………………5分所以tan 1tan()741tan αααπ--==-+. ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，24sin 22sin cos 25ααα==-， ………………9分2321cos 22cos 25αα+==. ………………11分 所以244sin2cos 1255321cos 2825ααα-+-==-+. ………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意()2sin(2)3f x x π=+，因为02x π≤≤，所以02x ≤≤π.所以42333x πππ≤+≤. ………………3分所以sin(2)13x π≤+≤. ………………6分所以2)(3≤≤-x f ，函数)(x f的值域为[. ………………8分 （Ⅱ）由已知(,)12B A π，13(,)12C A π，(,0)3D π, ………………11分 所以(,)4DB A π=-，3(,)4DC A π=.因为CD BD ⊥，所以⊥，223016DB DC A -π⋅=+=，解得A =又0A >，所以A =………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- ………………2分213122AB AC AB =⋅-=--=-.………………4分（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，1(2C -. ………………5分 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈， (6)分 由AP x AB y AC =+，得1(cos ,sin )(1,0)(,22x y θθ=+-. 所以cos ,sin 2y x y θθ=-=.所以cos x θθ=+，y θ=，………………8分 2211sin cos sin 2cos 233333xy θθθθθ=+=+- 2112cos 2)323θθ=-+ ………………10分 21sin(2)363θπ=-+. ………………11分 因为2[0,]3θπ∈，2[,]666θππ7π-∈-.所以，当262θππ-=，即3θπ=时，xy 的最大值为1. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01}x x <≤；2. 1,62； 3. 1-； 4. {2}a a <； 5. 0.4. 注：2题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）因为26()1x f x x =+，所以26()1xf x x --=+ ()f x =-. ………………4分 所以()f x 为奇函数. ………………6分（Ⅱ）由不等式(2)2xxf >，得262221xx x ⋅>+. ………………8分整理得225x <， ………………9分所以22log 5x <，即21log 52x <. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）当1a =时，2()2f x x x =-. 二次函数图象的对称轴为1x =，开口向上.所以在区间[0,2]上，当1x =时，()f x 的最小值为1-. ………………1分 当0x =或2x =时，()f x 的最大值为0. ………………2分 所以()f x 在区间[0,2]上的值域为[1,0]-. ………………3分 （Ⅱ）注意到2()2f x x ax =-的零点是0和2a ，且抛物线开口向上.当0a ≤时，在区间[0,2]上2()()2g x f x x ax ==-，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………4分当01a <<时，需比较(2)g 与()g a 的大小，22()(2)(44)44g a g a a a a -=--=+-，所以，当02a <<时，()(2)0g a g -<；当21a ≤<时，()(2)0g a g ->.所以，当02a <<时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………5分当21a ≤<时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………6分当12a ≤≤时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………7分 当2a >时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………8分所以，()g x的最大值244,2,(),22,44, 2.a a t a a a a a ⎧-<⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩………………9分所以，当2a =时，()t a的最小值为12-………………10分 8.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知114x =，212x =.所以 121212max{max{,},max{,1}}d x x x x x x =---1111111max{max{,},max{,}}max{,}4442422===. ………………4分（Ⅱ）取113x =，23x 2=，此时试验的预计误差为31. ………………5分以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计. 证明：分两种情形讨论1x 点的位置. ① 当311<x 时，如图所示， 如果 21233x ≤<，那么 2113d x ≥->；如果2213x ≤≤，那么 2113d x x ≥->. ………………7分② 当311>x ，113d x ≥>.综上，当113x ≠时，13d >. ………………8分 (同理可得当223x ≠时，13d >)即113x =，23x 2=时，试验的预计误差最小. （Ⅲ）当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值分别为14和15. ………………10分注：用通俗语言叙述证明过程也给分.11x 2x 31。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(版)
7分
又因为 ME 平面 MEF ，
所以 ME // 平面 PAB.
）
（A ） ( , 1]
（ B） ( ,1]
（ C） [ 1, )
（D ） [1, )
2. 下列函数中，值域为 R 的偶函数是（ ）
（A） y
2
x
1
（B） y
x
e
x
e
（ C） y lg | x|
（ D） y
2
x
3. 设命题 p：“若 sin
1 ，则
2
π”，命题 q：“若 a
6
1 b ，则
a
1 ”，则（
（Ⅱ）如果 x y 7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X ，
求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出
x 的所有可能
取值 .（结论不要求证明）
17．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， BCD 135 ，侧面 PAB 底面 ABCD ，
○3 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
○4 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间 .
其中，所有正确结论的序号是 ____.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) cos x(sin x 3 cosx) 3 ， x R . 2 （Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）设
0 ，若函数 g( x) f ( x ) 为奇函数，求 的最小值 .
北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷
北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷九年级数学2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．二次函数()257y x=-+的最小值是（）．A．7-B．7C．5-D．5【答案】B【解析】当5x=时y取得最小值，最小值为7．2．如图，在Rt ABC△中，90C∠=︒，3AC=，4BC=，则cos A的值为（）．A．35B．53C．45D．34【答案】A【解析】在Rt ABC△中，由勾股定理得：5AB=．∴3 cos5ACAAB==．3．如图，⊙C与AOB∠的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若90AOB∠=︒，6OP=，则OC的长为（）．A．12B．C ．D ． 【答案】C【解析】如图，连接C 点与切点，则QCPO 为正方形，∴CO ==4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是（ ）．A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-【答案】C【解析】22265(3)95(3)4y x x x x =-+=--+=--．5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12πcm ，则此扇形的圆心角等于（ ）． A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 【答案】D 【解析】∵π180n rl =， ∴18018012π120ππ18l n r ⨯===︒⨯．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2)-，AB x ⊥轴于点B ．以原点O 为位似中心，将OAB △放大为原来的2倍，得到11OA B △，且点1A 在第二象限，则点1A 的坐标为（ ）．A ．(2,4)-B ．1(,1)2-C ．(2,4)-D ．(2,4) 【答案】A【解析】将OAB △放大为原来的2倍， 且点A 的坐标为(1,2)-， ∴1A 坐标为(2,4)-．7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37︒方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与灯塔P 的距离BP 的长可以表示为（ ）．A ．40海里B ．40tan37︒海里C ．40cos37︒海里D ．40sin37︒海里【答案】D【解析】由图像知cos 40cos5340sin 37BP AP APB =⋅∠=⋅︒=⋅︒．8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在ABC △中，70ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 是 BAC的中点，连接DB ，DC ，则DBC ∠的度数为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．70︒ 【答案】C【解析】由题知18080BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴80BDC BAC ∠=∠=︒， ∵D 是BAC 的中点，∴BD CD =， ∴180502BDCDBC ︒-∠∠==︒．9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为（ ）．A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+C ．300(6020)y x =-D ．(60)(30020)y x x =-- 【答案】B【解析】由题知y 与x 的关系式为(60)(30020)y x x =-+．10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ）．A ．8B ．10-C ．42-D ．24-【答案】D【解析】函数对称轴为直线22bx a=-=． 又当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，∴222(2)8(2)026860m m ⎧⨯--⨯-+⎪⎨⨯-⨯+⎪⎩≤≥， 解得24m =-．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a bb +的值为 ． 【答案】74【解析】34a b =，∴34a b =，∴3(1)744ba b b b ++==．12．点1(3,)A y -，2(2,)B y 在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】>【解析】函数对称轴为直线5522x -=-=，且函数开口向上， 3-离对称轴更远，∴12y y >．13．ABC △的三边长分别为5，12，13，与它相似的DEF △的最小边长为15，则DEF △的周长为 ． 【答案】90【解析】ABC △与DEF △相似，且DEF △的最小边长为15， ∴相似比为51153=， ∵ABC △的周长为5121330++=， ∴DEF △的周长为33090⨯=．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，30A ∠=︒，20AB =．点D 在射线AC 上，且ADB∠是钝角，写出一个满足条件的AD 的长度值：AD = ．【答案】10【解析】如图，过点B 作BE AC ⊥交AC 于点E ，∴cos30AE AB =⋅︒=∵点D 在射线AC 上，且ADB ∠是钝角， ∴0AD AE <<． ∴AD 可以为10．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步5=尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏板移动的轨迹．已知1AC =尺，10CD EB ==尺，人的身高5BD =尺．设绳索长OA OB x ==尺，则可列方程为____________．【答案】222(4)10x x =-+【解析】∵5EC BD ==尺，1AC =尺，∴514EA EC AC =-=-=尺，(4)OE OA AE x =-=-尺， 在Rt OEB △中，(4)OE x =-尺，OB x =尺，10EB =尺， 根据勾股定理得：222(4)10x x =-+．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证90OAP OBP ∠=∠=︒，其依据是____________；由此可证明直线PA ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是____________．【答案】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：24cos30tan 60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，ABC △中，12AB =，15BC =，AD BC ⊥于点D ，30BAD ∠=︒．求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，A BDC ∠=∠． （1）求证：ABD DCB ∽△△；（2）若12AB =，8AD =，15CD =，求DB 的长．21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点． （1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点(1,)A t 和点(,)B m n 都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在⊙xOy 上，且OC AB ⊥于点D ，30E ∠=︒，连接l ．（1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙P 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为BAF ∠的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45︒，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58︒．请帮助他们计算出最高塔的高度1P 约为多少米．（参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）25．如图，ABC △内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD AB⊥于点D ，交AC 于点E ． （1）求证：PCE PEC ∠=∠； （2）若10AB =，32ED =，3，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于(1,3)A 和(3,1)B --两点． 观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式kax b x+>的解集． 有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<； （2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系 中分别画出这两个函数的图象． 双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中 画出抛物线．．．．．2341y x x =+-； （不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为 ； （4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为 ．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A ，且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数212y x bx c =-++的表达式；（2）连接AB ，求AB 的长； （3）连接AC ，M 是线段AC 的中点，将点B 绕点M 旋转180︒得到点N ，连接AN ，CN ，判断四边形ABCN 的形状，并证明你的结论．28．在ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当2BD =时，AN = _______，NM 与AB 的位置关系是____________； （2）当48BD <<时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．29．在平面直角坐标系xOy 中，过⊙C 上一点P 作⊙C 的切线l ．当入射光线照射在点P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l 的夹角和入射光线与切线l 的夹角相等，点P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C ，即当入射光线在⊙C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C 内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C 外反射的示意图如图1所示，其中12∠=∠．（1）自⊙C 内一点出发的入射光线经⊙C 第一次反射后的示意图如图2所示，1P 是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C 第二次反射后的反射光线； （2）当⊙O 的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x 轴，且自⊙O 的外部照射在其上点P 处，此光线经⊙O 反射后，反射光线与y 轴平行，则反射光线与切线l 的夹角为__________︒；②自点(1,0)A -出发的入射光线，在⊙O 内不断地反射．若第1个反射点1P 在第二象限，且第12个反射点12P 与点A 重合，则第1个反射点1P的坐标为______________；（3）如图4，点M 的坐标为(0,2)，⊙M 的半径为1．第一象限内自点O 出发的入射光线经⊙M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P 的纵坐标的取值范围．北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式24= 162=- 112=．18．解：∵AD BC ⊥于点D ， ∴90ADB ADC ∠=∠=︒．∵在Rt ABD △中，12AB =，30BAD ∠=︒， ∴162BD AB ==， cos 12cos30AD AB BAD =⋅∠=⋅︒=∵15BC =，∴ 1569CD BC BD ==-=-． ∴在Rt ADC △中，tan AD C CD ===19．解：（1）令0y =，则2230x x -++=．解得 11x =-，23x =． ∵点A 在点B 的左侧，∴(1,0)A -，(3,0)B ．对称轴为直线1x =． （2）∵当1x =时，4y =，∴顶点C 的坐标为(1,4)． ∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为(1,4)-． ∵4AB =，∴1=442162ACB DCB ACBD S S S +=⨯⨯⨯=四边形△△．20．（1）证明：∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠． ∵A BDC ∠=∠， ∴ABD DCB ∽△△．（2）解：∵ABD DCB ∽△△，∴AB ADDC DB=． ∵12AB =，8AD =，15CD =， ∴12815DB =． ∴10DB =． 21．解：根据题意，得(213)(82)60x x --=．整理得211180x x -+=．解得12x =，29x =． ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =．答：人行通道的宽度是2米．22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根． ∴2(4)420k ∆=--⨯=． 解得 2k =．（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为(1,0)，抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为(1,8)--，∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ．（3）31m -<<． 23．解：（1）∵OC AB ⊥于点D ，∴AD DB =，90ADO ∠=︒．∵AB =∴AD =∵2AOD E ∠=∠，30E ∠=︒， ∴60AOD ∠=︒．∵在Rt AOD △中，sin ADAOD OA∠=，∴4sin AD OA AOD ===∠．（2）75BAF ∠=︒或15︒．24．解：（1）∵在Rt ADB △中，90ADB ∠=︒，45B ∠=︒，∴9045BAD B ∠=︒-∠=︒． ∴BAD B ∠=∠． ∴AD DB =． 设AD x =，∵在Rt ADC △中，tan ADACD DC∠=，58ACD ∠=︒， ∴tan58xDC =︒．∵ DB DC CB AD =+=，90CB =，∴90tan58xx +=︒．将tan58 1.60︒≈代入方程， 解得240x ≈．答：最高塔的高度AD 约为240米．25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵PC 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴OC PC ⊥．∴1290PCO ∠=∠+∠=︒． ∵PD AB ⊥于点D ， ∴90EDA ∠=︒．∴390A ∠+∠=︒． ∵OA OC =， ∴1A ∠=∠． ∴23∠=∠． ∵34∠=∠， ∴24∠=∠． 即PCE PEC ∠=∠．（2）解：作PF EC ⊥于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒．∵在Rt ABC △中，10AB =，3sin 5A =， ∴sin 6BC AB A =⋅=．∴8AC ==． ∵在Rt AED △中，32ED =， ∴5sin 2ED AE A ==． ∴112EC AC AE =-=． ∵24∠=∠， ∴PE PC =．∵PF EC ⊥于点F ，∴11124FC EC ==，90PFC ∠=︒．∴2590∠+∠=︒．∵21290A ∠+∠=∠+∠=︒． ∴5A ∠=∠． ∴3sin 55∠=． ∴在Rt PFC △中，55sin 512FC PC ==∠． 26．解：（2）抛物线如图所示；（3）x =4-，1-或1； （4）41x -<<-或1x >．27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++，当0x =和5x =时所对应的函数值相等，∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称轴是直线52x =． ∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A ，∴10252b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．解得 252c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩．∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-．（2）过点B 作BD x ⊥轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，∴2153222x x x -+=-+-．解得 12x =，25x =． ∴交点坐标为(2,1)，(5,2)-． ∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为(2,1)． ∴点D 的坐标为(2,0)．在Rt ABD △中，1AD =，1BD =，∴AB（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形．证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转180︒得到点N ，∴M 是线段BN 的中点．∴ MB MN =．∵M 是线段AC 的中点， ∴ MA MC =． ∴四边形ABCN 是平行四边形．∵一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ， 当0y =时，3x =． ∴点E 的坐标为(3,0)． ∴1 DE DB ==．∴在Rt BDE △中，45DBE DEB ∠=∠=︒． 同理45DAB DBA ∠=∠=︒． ∴90ABE DBA DBE ∠=∠+∠=︒． ∴四边形ABCN 是矩形．28．解：（1（2）①补全图形如图所示；②结论：（1）中NM 与AB 的位置关系不变． 证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC =， ∴45CAB B ∠=∠=︒． ∴ 45CAN NAM ∠+∠=︒．∵AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AE ， ∴AD AE =，90DAE ∠=︒． ∵N 为ED 的中点，∴1452DAN DAE ∠=∠=︒，AN DE ⊥． ∴ 45CAN DAC ∠+∠=︒，90AND ∠=︒． ∴ NAM DAC ∠=∠．在Rt AND △中，cos cos 45AN DAN AD =∠=︒=在Rt ACB △中，cos cos 45AC CAB AB =∠=︒=． ∵M 为AB 的中点，∴2AB AM =．∴2AC AC AB AM ==．∴AM AC =． ∴AN AD =AMAC． ∴ANM ADC ∽△△．∴AMN ACD ∠=∠．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴18090ACD ACB ∠=︒-∠=︒． ∴90AMN ∠=︒． ∴NM AB ⊥．（3）当BD 的长为6时，ME 的长的最小值为2．29．解：（1）所得图形，如图1所示．（2）①45︒；②1(,)2或1(2-． （3）①如图5，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH x ⊥轴于点H ． ∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ， ∴MQ OQ ⊥．∴90MQO ∠=︒． ∵2MO =，1MQ =， ∴在Rt MQO △中，1sin 2MQ MOQ MO ∠==． ∴30MOQ ∠=︒．∴OQ OM cos MOQ =⋅∠= ∵QH x ⊥轴， ∴90QHO ∠=︒．∵9060QOH MOQ ∠=︒-∠=︒，∴在Rt QOH △中，3sin 2QH OQ QOH =⋅∠=． …………………………6分 ②如图6，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE OD ⊥于点E ，过点O 作OF PD ⊥于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线， ∴MD l ⊥．∴12 90OPD NPD ∠+∠=∠+∠=︒． ∵12∠=∠，∴OPD NPD ∠=∠． ∵PN x ∥轴，∴NPD PDO ∠=∠．∴OPD PDO ∠=∠． ∴OP OD =． ∵OF PD ⊥，∴ 90MFO ∠=︒，PF FD =．∵cos OMF ∠=MF MOMO MD=， 设PF FD x ==，而2MO =，1M P =， ∴12212x x+=+．解得x =． ∵0x >，∴x =∵PE OD ⊥，∴ 90PED MOD ∠=︒=∠． ∴PE MO ∥．∴ EPD OMF ∠=∠．∴cos cos EPD OMF ∠=∠． ∴PE MFPD MO=． ∴MFPE PD MO=⋅ 122xx +=⋅ (1)x x =+=可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵32P y <．。
2017学年北京市西城区高一上学期期末数学试卷及参考答案
2016-2017学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（x，4）满足⊥，则实数x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣23．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B．C．D．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减5．（4分）函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|x| B．y=cos|x|C．y=|sinx| D．y=|cos2x|8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A． B．13 C． D．199．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=．13．（4分）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为．14．（4分）若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于．15．（4分）已知，则cos（x﹣y）=．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6k，k∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a （a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁U B）=．21．（4分）已知函数若f（a）=2，则实数a=．22．（4分）定义在R上的函数f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为．23．（4分）函数的值域为．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）24．（4分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．26．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．27．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A卷[必修模块4]本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果θ是第三象限的角，那么（）A．sinθ＞0 B．cosθ＞0 C．tanθ＞0 D．以上都不对【解答】解：如果θ是第三象限的角，则sinθ＜0，cosθ＜0，tanθ＞0，故选：C．2．（4分）若向量=（1，﹣2），=（x，4）满足⊥，则实数x等于（）A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2【解答】解：根据题意，若向量、满足⊥，必有•=0，又由=（1，﹣2），=（x，4），则有•=1×x+（﹣2）×4=0，解可得x=8；故选：A．3．（4分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：由定义若角α的终边经过点（﹣4，3），∴tanα=﹣，故选：D．4．（4分）函数是（）A．奇函数，且在区间上单调递增B．奇函数，且在区间上单调递减C．偶函数，且在区间上单调递增D．偶函数，且在区间上单调递减【解答】解：函数=cosx，是偶函数，且在区间上单调递减，故选D．5．（4分）函数f（x）=sinx﹣cosx的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称【解答】解：函数y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），∴x﹣=kπ+，k∈Z，得到x=kπ+，k∈Z，则函数的图象关于直线x=﹣对称．故选：B．6．（4分）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵BD=2DC，∴=+=+=+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，∴=，故选：A7．（4分）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（）A．y=sin|x| B．y=cos|x|C．y=|sinx| D．y=|cos2x|【解答】解：对于A：y=sin|x|不是周期函数，对于B，y=cos|x|的最小正周期为2π，对于C，y=|sinx|最小正周期为π，对于D，y=|cos2x|最小正周期为，故选：C8．（4分）设向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，则|+|等于（）A． B．13 C． D．19【解答】解：∵向量，的模分别为2和3，且夹角为60°，∴=||•||cos60°=2×3×=3，∴|+|2=||2+||2+2=4+9+2×3=19，∴|+|=，故选：C．9．（4分）函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4=16，又∵ω＞0，∴ω==，当x=2时取最大值，即2sin（2×+φ）=2，可得：2×+φ=2kπ+，k ∈Z，∴φ=2kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ=，故选：B．10．（4分）如图，半径为1的圆M，切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PNO的面积S=f（x），那么f （x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得S=f （x ）=x﹣f′（x）=≥0当x=0和x=2π时，f′（x）=0，取得极值．则函数S=f （x ）在[0，2π]上为增函数，当x=0和x=2π时，取得极值．结合选项，A正确．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）若向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，则实数x=﹣2．【解答】解：因为向量=（﹣1，2）与向量=（x，4）平行，所以，所以﹣1=λx，2=λ4，解得：λ=，x=﹣2．故答案为﹣2．12．（4分）若θ为第四象限的角，且，则cosθ=；sin2θ=﹣．【解答】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（﹣）×=﹣．故答案为：，﹣．13．（4分）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为y=﹣sin2x．【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x．故答案为：y=﹣sin2x．14．（4分）若，均为单位向量，且与的夹角为120°，则﹣与的夹角等于150°．【解答】解：∵，均为单位向量，且与的夹角为120°，∴（﹣）•=﹣||2=1×1×（﹣）﹣1=﹣，|﹣|2=||2﹣2+||2=1﹣2×1×1×（﹣）+1=3，∴|﹣|=，设﹣与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=150°，故答案为：150°15．（4分）已知，则cos（x﹣y）=﹣．【解答】解：∵sinx+siny=，①cosx+cosy=，②①2+②2得：2+2sinxsiny+2cosxcosy=，∴cos（x﹣y）=sinxsiny+cosxcosy=﹣，故答案为：﹣．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，给出以下四个结论：①ω=3；②ω≠6k，k∈N*；③φ可能等于；④符合条件的ω有无数个，且均为整数．其中所有正确的结论序号是①③．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））满足，∴ω（）=nπ，∴ω=n（n∈Z），∴①ω=3正确；②ω≠6k，k∈N*，不正确；③φ可能等于，正确；④符合条件的ω有无数个，且均为整数，不正确．故答案为①③．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知φ∈（0，π），且．（Ⅰ）求tan2φ的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵φ∈（0，π），且=，可得：tanφ=﹣2，∴tan2φ==．（Ⅱ）===﹣．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数=cosx（cosx+sinx）=+sin2x=cos（2x﹣）+，由2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由（1）可得当2x﹣=2kπ，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最大值；当2x﹣=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值﹣．由直线y=a与函数f（x）的图象无公共点，可得a的范围是a＞或a＜﹣．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a （a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（x）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值．【解答】解：（1）如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=x，（0≤x≤1）．∴=+x=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），∴=﹣=（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）∴y=f（x）=•=（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．∴f（1）=a2+1﹣（4+a2）+4=1（Ⅱ）由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0=．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．当a＞时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．综上所述函数f（x）的最大值为4B卷[学期综合]本卷满分：50分．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁U B）={x|﹣1≤x＜0} ．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x||x|＞1}={x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U B={x|﹣1≤x≤1}，A∩（∁U B）={x|﹣1≤x＜0}．故答案为：{x|﹣1≤x＜0}．21．（4分）已知函数若f（a）=2，则实数a=e2．【解答】解：∵函数，f（a）=2，∴当a＜0时，f（a）=a﹣2=2，解得a=，不成立；当a＞0时，f（a）=lna=2，解得a=e2．∴实数a=e2．故答案为：e2．22．（4分）定义在R上的函数f （x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣3）=0，得﹣f（3）=0，即f（3）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：∴f（x）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞），故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．23．（4分）函数的值域为{0，1} ．（其中[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）【解答】解：设m表示整数．①当x=2m时，[]=[m+0.5]=m，[]=[m]=m．∴此时恒有y=0．②当x=2m+1时，[]=[m+1]=m+1，[]=[m+0.5]=m．∴此时恒有y=1．③当2m＜x＜2m+1时，2m+1＜x+1＜2m+2∴m＜＜m+0.5m+0.5＜＜m+1∴[]=m，[]=m∴此时恒有y=0④当2m+1＜x＜2m+2时，2m+2＜x+1＜2m+3∴m+0.5＜＜m+1m+1＜＜m+1.5∴此时[]=m，[]=m+1∴此时恒有y=1．综上可知，y∈{0，1}．故答案为{0，1}．24．（4分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是[10，20] ．【解答】解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：=，解得y=30﹣x，（0＜x＜30）∴矩形的面积S=x（30﹣x），∵矩形花园的面积不小于200m2，∴x（30﹣x）≥200，化为（x﹣10）（x﹣20）≤0，解得10≤x≤20．满足0＜x＜30．故其边长x（单位m）的取值范围是[10，20]．故答案为：[10，20]．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数．，∴=，∴=2，解得：a=3；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，理由如下：函数f（x）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称，且f（﹣x）+f（x）=+=0，即f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．26．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；27．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）x2+bx+c﹣≤0恒成立，可得a ＜，且b 2﹣4（a ﹣）（c ﹣）≤0，即有（1﹣2a ）2﹣4（a ﹣）2≤0恒成立．故存在常数a ，b ，c ，且0＜a=c ＜，b=1﹣2a ，可取a=c=，b=．满足题意．赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为 M FEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
2016北京西城区普通中学高一(上)期末数学
2016北京西城区普通中学高一（上）期末数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）sin（﹣60°）的值等于（）A．B． C．D．2．（4分）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=sin2x C．D．3．（4分）已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于（）A．B．C．D．4．（4分）已知平面向量=（﹣1，2），=（1，0），则向量等于（）A．（﹣2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，6） D．（2，﹣6）5．（4分）在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（）A．B．C．D．6．（4分）若tanα=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=（）A．﹣3 B．3 C．D．7．（4分）函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标是（）A．（0，0） B．C．D．8．（4分）下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．sin215°﹣cos215°C．1﹣2sin215°D．sin215°+cos215°9．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于（）A．0 B．C．2 D．10．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）已知，那么=．12．（4分）已知角α的终边经过点P（4，3），则cosα的值为．13．（4分）cos40°cos20°﹣sin40°sin20°的值等于．14．（4分）函数y=sinxcosx的最小值是．15．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（3，4），则||2﹣•=．16．（4分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且∠AOP0=，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．①1秒钟后，点P的横坐标为；②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量、满足||=||=1，且与的夹角为60°．（1）求；（2）若与+λ垂直，求实数λ的值．18．（12分）已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．（14分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），，C（2cosθ，sinθ），其中．（1）若，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求的最大值；（3）设点E（a，0），a∈R，将表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．【解答】由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°）=﹣，故选D．2．【解答】A、y=cos4x的周期T==，本选项错误；B、y=sin2x的周期T==π，本选项正确；C、y=sin的周期为T==4π，本选项错误；D、y=cos的周期为T==8π，本选项错误，则最小正周期为π的函数为y=sin2x．故选B3．【解答】∵已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线y=﹣x （x≤0）上，故α=，故选C4．【解答】=3（﹣1，2）+（1，0）=（3×（﹣1）+1，3×2+0）=（﹣2，6）故选A5．【解答】在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得=，故选C．6．【解答】tan（α﹣β）===，故选D．7．【解答】因为函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标（kπ，0）k∈Z，当k=1时对称中心坐标为（0，0）．故选A．8．【解答】因为2sin15°cos15°=sin30°=，sin215°﹣cos215°=﹣cos30°=﹣，1﹣2sin215°=cos30°=；sin215°+cos215°=1；所以1﹣2sin215°的值为：；故选C．9．【解答】如图，，有||=|2 |，又||=1∴有||=2，故选C．10．【解答】由图象知A=1，∵=，∴T=π，∴ω=2，∴函数的解析式是y=sin（2x+φ）∵函数的图象过（）∴0=sin（2×+φ）∴φ=kπ﹣，∴φ=∴函数的解析式是y=sin（2x﹣）故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．【解答】因为，所以||=．故答案为．12．【解答】∵角α的终边经过点P（4，3），∴cosα==，故答案为：13．【解答】cos40°cos20°﹣sin40°sin20°=cos（20°+40°）=cos60°=故答案为．14．【解答】∵y=sinxcosx∴y=sin2x又∵x∈R∴∴∴故答案为：15．【解答】||2﹣•═（﹣1，2）•（﹣1，2）﹣（﹣1，2）•（3，4）=（﹣1）2+22﹣[（﹣1）×3+2×4]=5﹣5=0故答案为：016．【解答】①1秒钟后，点P从P0处开始绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动，旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为；②由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，则此时点P的横坐标为，所以点P 到直线l的距离为，t≥0．故答案为；，t≥0．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【解答】（1）=||2﹣||||cos60°=（2）∵∴即解得λ=﹣218．【解答】（1）因为，，所以，…（3分）故．…（5分）（2）…（10分）=．…（12分）19．【解答】（1）由已知，得，，…（2分）因为，所以，．…（3分）（2）由已知，，，…（5分）又，…（6分）所以，当θ=0时，取得最大值，最大值为4．…（8分）（3）由已知，，所以，，设t=cosθ，…（10分）当，即时，f（a）=2a﹣4，当，即时，f（a）=﹣1，所以，…（12分）因为当时，，当时，f（a）=﹣1，所以f（a）的最大值为﹣1．…（14分）。
(优辅资源)版北京市西城区度第一学期期末试卷高一数学试题
北京市西城区2016 —2017学年度第一学期期末试卷高一数学2017.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.10. 如图，半径为1的M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA出发，绕着点O ，顺时针方向旋转到OB ，在旋转的过程中，OC 交M 于点P ，记PMO x ∠=，弓形PNO （阴影部分）的面积()S f x =，那么()f x 的图象是（ ）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. 若向量(12)=-，a 与向量(,4)x b =平行，则实数x =______.12. 若θ为第四象限的角，且1sin 3θ=-，则cos θ=______；sin2θ=______. 13. 将函数cos 2y x =的图象向左平移π4个单位，所得图象对应的函数表达式为______.14. 若,a b 均为单位向量，且a 与b 的夹角为120，则-a b 与b 的夹角等于______. 15. 已知11sin sin ,cos cos 35x y x y +=+=，则cos()x y -=_____. 16. 已知函数()sin()(0,(0,π))f x x ωϕωϕ=+>∈满足π5π()()066f f ==，给出以下四个结论:○1 3ω=； ○26k ω≠，k *∈N ；○3 ϕ可能等于3π4； ○4符合条件的ω有无数个，且均为整数.其中所有正确的结论序号是______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(0,π)ϕ∈，且π1tan()43ϕ+=-. （Ⅰ）求tan 2ϕ的值；（Ⅱ）求sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ+-的值．18．（本小题满分12分）已知函数π()cos cos()3f x x x =⋅-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若直线y a =与函数()f x 的图象无公共点，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，则得到函数()y f x =.（Ⅰ）求(1)f 的值；（Ⅱ）对于任意(0,)a ∈+∞，求函数()f x 的最大值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|||1}B x x =>，则()U AB =ð_____．2．已知函数20,,0,()ln ,x x f x x x -⎧<=⎨>⎩若()2f a =，则实数a = . 3．定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且()f x 在(0,)+∞是增函数，(3)0f =，则不等式()0f x >的解集为_____．A BD CP4．函数1()()22x x f x x +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N 的值域为_____．（其中[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[3.15]＝3，[0.7]＝0.）5． 在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200 m 2的内接矩形花园（阴影部分）， 则其边长x （单位：m ）的取值范围是______.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数41()log 1x f x x -=+. （Ⅰ）若1()2f a =，求a 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论．7．（本小题满分10分）已知函数()3xf x =，()||3g x x a =+-，其中a ∈R .（Ⅰ）若函数()[()]h x f g x =的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数[()]y g f x =的零点个数，并说明理由.8．（本小题满分10分）设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()g x ，使得()()f x g x ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数.已知函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-.（Ⅰ）若1a =，2b =．写出函数)(x f 的一个承托函数（结论不要求注明）； （Ⅱ）判断是否存在常数,,a b c ，使得y x =为函数)(x f 的一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =+的一个承托函数？若存在，求出,,a b c 的值；若不存在，说明理由．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2017.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3.D4.D5.B6.A7.C8.C9.B 10.A . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 2-12.3, 9- 13. πcos(2)2y x =+(或sin 2y x =-)14.150 15. 208225-16. ○2○3 注：第16题少选得2分，多选、错选不得分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由π1tan()43ϕ+=-，得tan 111tan 3ϕϕ+=--， ………………3分 解得tan 2ϕ=-. ………………5分所以22tan 4tan 21tan 3ϕϕϕ==-. ………………8分（Ⅱ）由tan 2ϕ=-，得cos 0ϕ≠.将分式sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ+-的分子分母同时除以cos ϕ,得sin cos tan 112cos sin 2tan 4ϕϕϕϕϕϕ++==---. ………………12分18.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）π()cos cos()3f x x x =⋅- ππcos (cos cossin sin )33x x x =⋅+………………2分21cos 22x x =+ ………………3分112cos 244x x =++ ………………4分1π1sin(2)264x =++， ………………6分 由πππ2π22π+262k x k -+≤≤，得ππππ+36k x k -≤≤，所以()f x 的单调递增区间为ππ[ππ+],()36k k k -∈Z ,. ………………8分（Ⅱ）因为πsin(2)[1,1]6x +∈-,所以函数1π1()sin(2)264f x x =++的值域为13[,]44-. ………………10分因为直线y a =与函数()f x 的图象无公共点， 所以13(,)(,)44a ∈-∞-+∞. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以点B 为原点，以AB ，BC 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则(0,0)B ，(2,0)A -，(0,)C a ，(1,)D a -，(1,)AD a =，(2,0)AB =，(0,)BC a =.………………2分由AP xAD =, 得(,)AP x ax =. 所以(2,)PB PA AB x ax =+=--，(2,)PC PB BC x a ax =+=--. ………4分所以2222(2)y PB PC x a x a x =⋅=--+，即222()(1)(4)4f x a x a x =+-++. ………………6分 所以(1)1f =. ………………7分 （注：若根据数量积定义，直接得到(1)1f =，则得3分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知函数222()(1)(4)4f x a x a x =+-++为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为2242(1)a x a +=+， ………………8分因为对称轴222224(1)31312(1)2(1)22(1)2a a x a a a +++===+>+++，[0,1]x ∈， ……10分所以当0x =时， ()f x 取得最大值(0)4f =. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. [1,0)-2. 2e3. (3,0)(3,)-+∞4. {0,1}5. [10,20] 注：第2 题少解不得分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）由411()log 12a f a a -==+，得121a a -=+， ………………2分 解得3a =-. ………………4分 （Ⅱ）由函数41()log 1x f x x -=+有意义，得101x x ->+. ………………5分 所以函数()f x 的定义域为{|1x x >，或1}x <-. ………………6分因为1444111()log log ()log ()111x x x f x f x x x x ------===-=--+++， 所以()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）由函数()3xf x =，()||3g x x a =+-，得函数||3()[()]3x a h x f g x +-==. ………………1分 因为函数()h x 的图象关于直线2x =对称， 所以(0)(4)h h =，即||3|4|333a a -+-=，解得2a =-. ………………3分 （Ⅱ）方法一：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3xa +=， ………………5分 当3a ≥时，由30x >，得33xa +>，所以方程|3|3xa +=无解，即函数[()]y g f x =没有零点； ………………6分 当33a -<≤时，因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且33a -<≤，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，且对于任意的x ，都有33x a +≠-， 所以函数[()]y g f x =有且仅有一个零点； ………………8分 当3a -<时，因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且3a -<，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，有且仅有一个1x 使得133x a +=-， 所以函数[()]y g f x =有两个零点.综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 方法二：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30xg f x a =+-=，得|3|3x a +=， ………………5分 即33x a +=，或33x a +=-， 整理，得33x a =-，或33x a =--. ○1考察方程33x a =-的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a ->，即3a <时，方程33x a =-有且仅有一解；当03a -≤，即3a ≥时，方程33x a =-有无解； ………………7分○2考察方程33x a =--的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a -->，即3a <-时，方程33x a =--有且仅有一解；当03a --≤，即3a ≥-时，方程33x a =--有无解. ………………9分综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 注：若根据函数图象便得出答案，请酌情给分，没有必要的文字说明减2分. 8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）答案不唯一，如函数0y =，y x =等. ………………3分 （Ⅱ）因为函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-，所以0a b c -+=. ○1因为y x =为函数)(x f 一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =+的一个承托函数，所以2()1122x f x x +≤≤对x ∈R 恒成立. 所以1(1)1f ≤≤，即 (1)1f a b c =++=. ○2 ………………5分由○1○2，得12b =，12a c +=. ………………6分 所以211()22f x ax x a =++-. 由()f x x ≥对x ∈R 恒成立，得201122ax x a -+-≥对x ∈R 恒成立. 当0a =时，得01122x -+≥对x ∈R 恒成立，显然不正确； ………………7分 当0a ≠时，由题意，得0,0,114()42a a a >⎧⎪⎨∆=--⎪⎩≤ 即20(41)a -≤， 所以14a =. ………………9分 代入2()1122f x x +≤，得21110424x x -+≥， 化简，得2(1)0x -≥对x ∈R 恒成立，符合题意.精品文档试卷所以14a=，12b=，14c=. ………………10分。
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北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB = a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),)a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.ABC三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=.（Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP xAB yAC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ACPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B = ð_____． 2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2,1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系ekx by +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2xxf >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值.8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,max{},,max{max{212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2016.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.D ；6.D ；7.A ；8.A ；9.C ； 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.2- 12. 1()2-b a ； 13. 43-；14.3π； 15. 85π； 16. 32. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2απ∈π(,)，且3sin 5α=，所以4cos 5α==-. ………………3分所以sin 3tan cos 4ααα==-. ………………5分 所以tan 1tan()741tan αααπ--==-+. ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，24sin 22sin cos 25ααα==-， ………………9分2321cos 22cos 25αα+==. ………………11分所以244sin2cos 12551cos 2825ααα-+-==-+. ………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意()2sin(2)3f x x π=+，因为02x π≤≤，所以02x ≤≤π.所以42333x πππ≤+≤. ………………3分所以sin(2)13x π≤+≤. ………………6分 所以2)(3≤≤-x f ，函数)(x f的值域为[. ………………8分（Ⅱ）由已知(,)12B A π，13(,)12C A π，(,0)3D π, ………………11分 所以(,)4DB A π=- ，3(,)4DC A π= .因为CD BD ⊥，所以⊥，223016DB DC A -π⋅=+=，解得A =又0A >，所以A =. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-………………2分213122AB AC AB =⋅-=--=- . ………………4分（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B，1(2C -. ………………5分 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈， ………………6分 由AP xAB yAC =+ ，得1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-.所以cos ,sin 2y x y θθ=-=.所以cos 3x θθ=+，3y θ=， ………………8分2211cos sin sin 2cos 233333xy θθθθθ=+=+-2112cos 2)323θθ=-+ ………………10分 21sin(2)363θπ=-+. ………………11分 因为2[0,]3θπ∈，2[,]666θππ7π-∈-. 所以，当262θππ-=，即3θπ=时，xy 的最大值为1. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01}x x <≤；2. 1,62； 3. 1-； 4. {2}a a <； 5. 0.4. 注：2题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）因为26()1x f x x =+，所以26()1xf x x --=+ ()f x =-. ………………4分 所以()f x 为奇函数. ………………6分（Ⅱ）由不等式(2)2xxf >，得262221xx x⋅>+. ………………8分 整理得225x <， ………………9分所以22log 5x <，即21log 52x <. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）当1a =时，2()2f x x x =-. 二次函数图象的对称轴为1x =，开口向上.所以在区间[0,2]上，当1x =时，()f x 的最小值为1-. ………………1分 当0x =或2x =时，()f x 的最大值为0. ………………2分 所以()f x 在区间[0,2]上的值域为[1,0]-. ………………3分 （Ⅱ）注意到2()2f x x ax =-的零点是0和2a ，且抛物线开口向上.当0a ≤时，在区间[0,2]上2()()2g x f x x ax ==-，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………4分当01a <<时，需比较(2)g 与()g a 的大小，22()(2)(44)44g a g a a a a -=--=+-，所以，当02a <<时，()(2)0g a g -<；当21a ≤<时，()(2)0g a g ->.所以，当02a <<时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………5分当21a ≤<时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………6分 当12a ≤≤时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………7分 当2a >时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………8分所以，()g x的最大值244,2,(),22,44, 2.a a t a a a a a ⎧-<⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩………………9分所以，当2a =时，()t a的最小值为12-………………10分 8.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知114x =，212x =. 所以 121212max{max{,},max{,1}}d x x x x x x =---1111111max{max{,},max{,}}max{,}4442422===. ………………4分（Ⅱ）取113x =，23x 2=，此时试验的预计误差为31. ………………5分以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计. 证明：分两种情形讨论1x 点的位置. ① 当311<x 时，如图所示， 如果 21233x ≤<，那么 2113d x ≥->； 如果2213x ≤≤，那么 2113d x x ≥->. ………………7分 ② 当311>x ，113d x ≥>.综上，当113x ≠时，13d >. ………………8分 (同理可得当223x ≠时，13d >)即113x =，23x 2=时，试验的预计误差最小. （Ⅲ）当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值分别为14和15. ………………10分注：用通俗语言叙述证明过程也给分.11x 2x 31。