相交线与平行线竞赛试题
竞赛数学：相交线与平行线
竞赛数学：相交线与平行线在竞赛试题中，平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中，单独出题的情况很少，但当平行和垂直的性质与实际情况结合时，往往也会被做为新题型来考查.【例1】请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数.【思考与分析】本题有多种分类，如以两条直线的位置关系分类，再考虑第三条直线的位置；又如以三条直线交点的个数分类等.下面我们就第二种分类加以说明.解：（1）如图1，三条直线互相平行，此时交点个数为0；（2）如图2，三条直线相交于同一点，此时交点个数为1；（3）如图3，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3；（4）如图4，其中两条直线平行，都与第三条直线相交，此时交点个数为2.综上所述，平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个.（如果按第一种情况进行分类研究，又该如何呢？请大家思考一下.）反思：求解中（2）、（3）两种情况称为三条直线两两相交.当题目中图形不全或不确定时，我们一定要注意分类.【例2】（1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法.（2）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由. 【思考与分析】“6条直线相交且任意3条都不共点”，要解决这个问题，我们可以首先画出两条相交直线，这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线.对于（2）中所求，可以根据（1）得到的结论先对其进行推理，不要盲目的画图.解：（1）在平面上任取一点A，过A作两直线m1与n1.在n1 上取两点B、C，在m1上取两点D、G.过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示.由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交.（2）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又因没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为因为这与交点个数应为整数矛盾.所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的.反思：本题在说明理由时应用了假设法.利用假设推导出结果是否与题中条件冲突.这与我们以后要学的反证法相类似.【例3】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）对.A. 4对B. 8对C. 12对D. 16对【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF 和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例4】有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31名交警，刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤，请你画出公路示意图.【思考与解】我们可以把公路想象成直线，岔口想象成交点，由警察的人数及题意可知，10条直线刚好有31个交点.根据前面所学知识，平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点，现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这种情况下，通常采取两种办法：（1）多条直线共点；（2）出现平行线.根据题意，方法（1）不能实现，所以想到使用平行线.在某一方向上有5 条直线互相平行，则减少10个交点，若6条直线平行，则可减少15个交点，所以这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要去掉，换一个方向取3条平行线，即可再减少3个交点，这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行即可，如图所示：【小结】本题考查我们对知识的综合应用能力，在做题时，要牢牢把握平行线的性质，与图形结合，从简单的图形推理找出问题的入手点.【例5】把正方形ABCD边AD平移得到EF，作出平移后的正方形能有几种作法？【思考与分析】据题意，平移是指正方形整体平移，只有一个.我们根据以前学过的作图方法和本周学的平移作图，作法有如下几个：作法1：过E作EF的垂线，截取EG＝EF，过G点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接FH就得到平移后的正方形.如图（1）.作法2：过E、F分别作EF的垂线，截取EG＝EF，FH＝EF（注意截取方向），连接GH，就得到平移后的正方形.如图（1）.作法3：过F作EF的垂线，截取FH＝EF，过H点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接EG就得到平移后的正方形.如图（1）.作法4：过E作AC的平行线，过F作BD的平行线，截取EH=AC，FG=BD （注意截取方向）.连接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.如图（2）.作法5：连接EA，FD，过B点作EA的平行线，过C作FD的平行线.截取BG=EA，CH=FD（注意截取方向）.如图（3）.连接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.【小结】平移变换不改变图形的形状、大小和方向.连结对应点的线段平行且相等.要描述一个平移变换，必须指出平移的方向和移动的距离．【例6】电脑游戏上有一种俄罗斯方块的游戏，游戏规则：在所给各种各样的方块中，通过平移、旋转的方式，罗列方块使之排满每一横行，每排满一行，便消去一行，得100分，依次类推（本题特殊规定，只准平移），小方块在屏幕顶端居中出现（奇数列时居中偏左）．现在电脑屏幕上显示（如图所示）.（1）若按规定，想得分，甲方块需要怎样平移，才可能直接得分或为以后打下得分基础？乙方块呢？（2）若你把甲方块放到左侧，发现屏幕已暗示出丙方块为形状，在这种情况下，丙方块只需如何移动，便可得多少分？（注：屏幕上一共有10行10列）【思考与分析】第（1）题观察甲方块与底部方块的特点，我们可得出平移方式.第（2）题将丙方块通过平移嵌入空隙之中，即可得分.解：（1）甲方块可左移3个单位，下移7个单位放到屏幕左侧；乙方块需向右平移3个单位，下移8个单位，放到屏幕右侧.（可用其他平移方式）（2）丙方块下移7个单位，便可排满2行，得200分.【小结】解本题的关键是将各个方块通过平移嵌成一个长方形，需根据方块和现有图形选择合理的平移方式.【例7】如图1，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？【思考与分析】若P点在C、D之间运动时，我们只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC+∠PBD；若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则可以分为如图2和如图3两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.解：若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：如图1，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE ＝∠PBD，所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：（1）如图2，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB ＝∠BPE-∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.（2）如图3，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又因为l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB ＝∠APE-∠BPE，即∠APB＝∠PAC-∠PBD.【小结】我们做这类题的时候可以发现：点的移动带动角的位置变化，角的位置变化决定了角之间的关系.因此我们可以利用分类思想来分析题意，解决多种情况的讨论.。
2022年人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线综合测评试卷(精选)
七年级数学下册第五章相交线与平行线综合测评（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，直线AB 和CD 相交于点O ，若∠AOC ＝125°，则∠BOD 等于（ ）A ．55°B ．125°C ．115°D ．65°2、如图，直线AB ∥CD ，直线AB 、CD 被直线EF 所截，交点分别为点M 、点N ，若∠AME ＝130°，则∠DNM 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60° 3、可以用来说明“若22a b =，则a b =．”是假命题的反例是（ ）A ．1,2a b =-=B ．2,2a b ==C ．2,2a b =-=D ．4,3a b ==4、如图，平行线AB，CD被直线AE所截．若∠1=70°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°5、命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是（）A．如果a＜0，b＜o，那么ab＜0 B．如果ab＞0，那么a＜0，b＜0 C．如果a＞0，b＞0，那么a＜0 D．如果ab＜0，那么a＞0，b＞06、下列说法正确的是（）A．命题是定理，但定理未必是命题B．公理和定理都是真命题C．定理和命题一样，有真有假D．“取线段AB的中点C”是一个真命题∠构成同位角的有（）7、如图，能与αA．4个B．3个C．2个D．1个8、命题“等角的余角相等”中的余角是（）A．结论的一部分B．题设的一部分C．既不属于结论也不属于题设D ．同属于题设和结论部分9、如图，直线被所截，下列说法，正确的有（ ）①1∠与2∠是同旁内角；②1∠与ACE ∠是内错角；③B 与4∠是同位角；④1∠与3∠是内错角．A ．①③④B ．③④C ．①②④D ．①②③④10、如果存在一条直线将一个图形分割成两部分，使其中一部分图形按某个方向平移后能够与另一部分重合，那么我们把这种图形称为平移重合图形，下列图形中，不是平移重合图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、举例说明命题“如果22a b ≠，那么a b ”的逆命题为假命题__．2、如图，BD 平分ABC ∠，()430A x ∠=+︒，()15DBC x ∠=+︒，要使AD BC ∥，则x =______°．3、把命题“同角的余角相等”改写成：如果_____________________，那么_____________．4、已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b//c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中正确的是__．（填写序号）5、命题“垂直于同一直线的两条直线互相垂直”是______命题．（填“真”或“假”）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．（1）同位角相等；（2）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（3）等边三角形的三个角都是60°．2、阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．已知：如图，点D ，E 分别在线段AB 、BC 上，AC DE ∥，AE 平分BAC ∠，DF 平分BDE ∠交BC 于点E 、F ．求证：DF AE ∥．证明：AE ∵平分BAC ∠（已知），112(2BAC ∴∠=∠=∠ )． DF 平分BDE ∠（已知）， 1342∴∠=∠= （角平分线的定义），AC DE ∥（已知），(BDE BAC ∴∠=∠ )．23(∴∠=∠ )．(DF AE ∴∥ )．3、在如图所示55⨯的网格中，每个正方形的边长都是1，横纵线段的交点叫做格点，线段AB 的两个端点都在格点上，点P 也在格点上；（1）在图①中过点P 作AB 的平行线；（2）在图②中过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ；连接AP 和BP ，则三角形ABP 的面积是 ．4、如图1，点A 、O 、B 依次在直线MN 上，现将射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN 保持不动，如图2，设旋转时间为t （0≤t ≤30，单位：秒）（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；（2）在运动过程中，当∠AOB达到60°时，求t的值；（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．5、如图，已知∠1+∠AFE=180°，∠A=∠2，求证：∠A=∠C+∠AFC证明：∵ ∠1+∠AFE=180°∴ CD∥EF（，）∵∠A=∠2 ∴（）（，）∴ AB∥CD∥EF（，）∴ ∠A= ，∠C= ，（，）∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC，∴ = ．---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】根据对顶角相等即可求解．【详解】解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，∴∠BOD等于125°．故选B．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键．2、C【分析】由对顶角得到∠BMN=130°，然后利用平行线的性质，即可得到答案．【详解】解：由题意，∵∠BMN与∠AME是对顶角，∴∠BMN=∠AME=130°，∵AB∥CD，∴∠BMN+∠DNM=180°，∴∠DNM=50°；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∠BMN =130°．3、C【分析】若22a b =，则包括a b =或a b =-，由此分析即可．【详解】解：∵22a b =，∴a b =或a b =-，∴反例可为2,2a b =-=，故选：C ．【点睛】本题考查命题的判断，以及等式的性质，掌握举例证明命题真假的方法以及等式的性质是解题关键．4、D【分析】直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．【详解】解：∵∠1＝70°，∴∠1＝∠3＝70°，∵AB //DC ，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°−70°＝110°．故答案为：D．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及对顶角，正确掌握平行线的性质是解题关键．5、B【分析】根据互逆命题概念解答即可．【详解】解：命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＜0，b＜0”，故选：B．【点睛】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．6、B【分析】命题是判断一件事情的句子，可分为真命题和假命题；公认的真命题称之为公理，经过证明的真命题称之为定理；命题的结构必须有条件和结论，由此进行分析判断即可得到答案．【详解】解：A、说法错误，定理是经过证明的真命题，但是命题不一定是定理；B、说法正确，公理和定理都是真命题；C、说法错误，定理是经过证明的真命题，命题有真假之分；D、说法错误，取线段AB的中点C是描述性语言，不是命题，更不是真命题．故选：B【点睛】本题考查命题的定义、公理和定理的概念等相关知识点，牢记定义内容是解此类题的关键．7、B【分析】根据同位角的定义判断即可；【详解】∠能构成同位角的有：∠1，∠2，∠3．如图，与α故选B．【点睛】本题主要考查了同位角的判断，准确分析判断是解题的关键．8、B【分析】根据命题题设与结论的定义：题设是已知事项，结论是已知事项推出的事项，进行逐一判断即可．【详解】解：“等角的余角相等”中题设是：两个等角的余角，结论是：相等，故选B．【点睛】本题主要考查了命题的题设与结论，熟知定义是解题的关键．9、D【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义可直接得到答案．【详解】解：①1∠与2∠是同旁内角，说法正确；②1∠是内错角，说法正确；∠与ACE③B与4∠是同位角，说法正确；④1∠是内错角，说法正确，∠与3故选：D．【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F” 形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．10、D【分析】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF，证明平行四边形是平移重合图形，即可判断A、B、C；再由找不到一条直线将圆分割成两部分，使其中一部分图形按某个方向平移后能够与另一部分重合即可判断D．【详解】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．则有：AF =FD ，BE =EC ，AB =EF =CD ，∴四边形ABEF 向右平移可以与四边形EFCD 重合，∴平行四边形ABCD 是平移重合图形．同理可证，正方形，长方形，也是平移重合图形，故选项A 、B 、C 不符合题意，而找不到一条直线将圆分割成两部分，使其中一部分图形按某个方向平移后能够与另一部分重合，则圆不是平移重合图形，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查平移图形的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题1、如果55-≠，而22(5)5-=（举例不唯一）【解析】【分析】首先要写出原命题的逆命题，然后通过实例说明逆命题不成立即可．【详解】解：如果22a b ≠，那么a b 的逆命题是：如果a b ，那么22a b ≠．如果55-≠，而22(5)5-=．故如果a b ，那么22a b ≠为假命题．故答案为：如果55-≠，而22(5)5-=（举例不唯一）．【点睛】本题考查逆命题的相关知识，关键是能够写出原命题的逆命题．2、20【解析】【分析】利用角平分线的定义求解230,ABC x 再由AD BC ∥可得180,A ABC 再列方程求解即可.【详解】 解： BD 平分ABC ∠，()15DBC x ∠=+︒，2230,ABC DBC x由AD BC ∥，180,A ABC 而()430A x ∠=+︒，230430180,x x解得：20,x =所以当20x 时，AD BC ∥，故答案为：20【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.3、两个角是同一个角的余角 这两个角相等【解析】【分析】根据命题的概念把原命题改写成“如果…，那么…”的形式，根据余角的概念判断即可．【详解】解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．故答案为：两个角是同一个角的余角，这两个角相等．【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．4、①②④【解析】【分析】根据两直线的位置关系一一判断即可．【详解】解：在同一个平面内，①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c，正确；②如果b//a，c//a，那么b//c，正确；③如果b⊥a，c⊥a，那么b//c，错误；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c，正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．5、假【解析】【分析】由平行线公理进行判断，即可得到答案．【详解】解：垂直于同一直线的两条直线互相平行；∴原命题是假命题；故答案为：假；【点睛】本题考查了判断命题的真假，解题的关键是熟记平行线公理进行判断．三、解答题1、（1）相等的角是同位角，是假命题；（2）如果a=b，那么|a|=|b|，是真命题；（3）三个角都是60°的三角形是等边三角形，是真命题．【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断真假即可．【详解】解：（1）同位角相等的逆命题是相等的角是同位角，是假命题；（2）如果|a|=|b|，那么a=b的逆命题是如果a=b，那么|a|=|b|，是真命题；（3）等边三角形的三个角都是60°的逆命题是三个角都是60°的三角形是等边三角形，是真命题．【点睛】h本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．2、角平分线的定义；BDE；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质与判定即可证明．【详解】证明：AE∵平分BAC∠（已知），1 122BAC∴∠=∠=∠（角平分线的定义）．DF平分BDE∠（已知），1 342BDE∴∠=∠=∠（角平分线的定义），//AC DE（已知），BDE BAC∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）．23∴∠=∠（等量代换）．//DF AE∴（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；BDE∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3、（1）见解析；（2）见解析，5．【分析】（1）根据平行线的画法即可得；（2）根据垂线的画法即可得，再利用1个长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可得．【详解】解：（1）如图①，PC即为所求．（2）如图②，PQ 即为所求．三角形ABP 的面积为111343131425222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：5．【点睛】本题考查了平行线和垂线的画法等知识点，熟练掌握平行线和垂线的画法是解题关键．4、（1）150°；（2）12或24；（3）存在，9秒、27秒【分析】（1）根据∠AOB ＝180°−∠AOM −∠BON 计算即可．（2）先求解,OA OB 重合时，=18,t 再分两种情况讨论：当0≤t ≤18时；当18≤t ≤30时；再构建方程求解即可．（3）分两种情形，当0≤t ≤18时；当18≤t ≤30时；分别构建方程求解即可．【详解】解：（1）当t ＝3时，∠AOB ＝180°−4°×3−6°×3＝150°．（2）当,OA OB 重合时，46180,t t解得：18,t当0≤t ≤18时：60,AOB ∠=︒18060120,AOM BON∴ 4t +6t ＝120解得：12,t =当18≤t ≤30时：则18060,AOM BON∴ 4t +6t ＝180+60，解得 t ＝24，答：当∠AOB 达到60°时，t 的值为6或24秒．（3） 当0≤t ≤18时，由,OA OB ⊥90,AOB ∴∠=︒∴ 180−4t −6t ＝90，解得t ＝9，当18≤t ≤30时，同理可得：18090,AOM BON∴ 4t +6t ＝180+90解得t ＝27．030,t 所以大于30的答案不予讨论，答：在旋转过程中存在这样的t ，使得射线OB 与射线OA 垂直，t 的值为9秒、27秒．【点睛】本题考查的是平角的定义，角的和差关系，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练的利用一元一次方程解决几何角度问题，清晰的分类讨论是解本题的关键.5、同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC．【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得 CD∥EF，根据∠A=∠2利用同位角相等，两直线平行，AB∥CD，根据平行同一直线的两条直线平行可得AB∥CD∥EF根据平行线的性质可得∠A=∠AFE，∠C=∠EFC，根据角的和可得∠AFE =∠EFC+∠AFC即可．【详解】证明：∵ ∠1+∠AFE=180°∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∵∠A=∠2 ，∴（AB∥CD）（同位角相等，两直线平行），∴ AB∥CD∥EF（两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行）∴ ∠A= ∠AFE，∠C= ∠EFC，（两直线平行，内错角相等）∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC，∴∠A = ∠C+∠AFC．故答案为同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角的和差，掌握平行线的性质与判定是解题关键．。
相交线与平行线竞赛试题完整版
相交线与平行线竞赛试题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1.如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）A、80B、50C、30D、202.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（）A、43°B、47°C、30°D、60°3.如图，直线a∥b，那么∠x的度数是_________ ．4.如图，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。
试说明：∠BFE=∠FEC。
5.如图，已知AB∠∠∠∠∠∠图，DB∥FG∥EC，∠ACE=36°，AP平分∠BAC，∠PAG=12°，则∠ABD=_________ 度．6.已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．7.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．8.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．9.如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由．（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么？10.四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，（1）分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系；（2）选择其中一个图形，证明你得出的结论．11已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？12.已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．13.如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．14.如图AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．15.如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明理由．16.如图，点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，判断∠CEB与∠NFB是否相等？请说明理由．17.如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？18.如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．试判断CH 和DF的位置关系并说明理由．19.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．20如图，已知：点A在射线BG上，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠EAB=∠BCD．求证：EF∥CD．21.如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，CM平分∠BCD交AF于M，FN平分∠AFE交CD于N．试判断CM与FN的位置关系，并说明理由．22.如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，点E 、F 分别在AD 、BC 边上，连接AC 交EF 于G ，∠1=∠BAC．（1）求证：EF∥CD；（2）若∠CAF=15°，∠2=45°，∠3=20°，求∠B 和∠ACD 的度数．23.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6cm ，CD=4cm ，BC=BD=10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE ∥AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ=225S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．1.如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是____度。
(专题精选)初中数学相交线与平行线难题汇编附答案解析
（专题精选）初中数学相交线与平行线难题汇编附答案解析一、选择题1．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂直线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的定义判断即可.【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,选:B.【点睛】直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．2．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360°C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180°【答案】D【解析】试题解析：如图，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠α+∠AEF=180°，∵EF ∥CD ，∴∠γ=∠DEF ，而∠AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+∠β=180°+∠γ，即∠α+∠β-∠γ=180°．故选：D ．3．如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有几个（ ）（1）12∠=∠ （2）34∠=∠（3）5B ∠=∠ （4）180B BCD ∠+∠=︒．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的判定逐一判定即可.【详解】因为12∠=∠，所有AD ∥BC ，故（1）错误.因为34∠=∠，所以AB ∥CD ，故（2）正确.因为5B ∠=∠，所以AB ∥CD ，故（3）正确.因为180B BCD ∠+∠=︒，所以AB ∥CD ，故（4）正确.所以共有3个正确条件.故选B【点睛】本题考查的是平行线的判定，找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键.4．如图，已知AB ∥DC ，BF 平分∠ABE ，且BF ∥DE ，则∠ABE 与∠CDE 的关系是（ ）A ．∠ABE ＝2∠CDEB ．∠ABE ＝3∠CDEC ．∠ABE ＝∠CDE +90°D ．∠ABE +∠CDE ＝180°【解析】【分析】延长BF与CD相交于M，根据两直线平行，同位角相等可得∠M=∠CDE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠ABF，从而求出∠CDE=∠ABF，再根据角平分线的定义解答．【详解】解：延长BF与CD相交于M，∵BF∥DE，∴∠M=∠CDE，∵AB∥CD，∴∠M=∠ABF，∴∠CDE=∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∴∠ABE=2∠CDE．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，作辅助线，是利用平行线的性质的关键，也是本题的难点．5．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125°D．130°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．考点：平行线的性质．6．如图，AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE ，则ABE ∠与D ∠的关系是（ ）A ．2ABE D ∠=∠B ．180ABE D ∠+∠=︒C ．90ABED ∠=∠=︒D ．3ABE D ∠=∠【答案】A【解析】【分析】 延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得D G ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得G ABF ∠=∠，然后根据角平分线的定义解答．【详解】证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，//AB CD ，D G ∴∠=∠，//BF DE ，G ABF ∴∠=∠，D ABF ∴∠=∠， BF 平分ABE ∠，22ABE ABF D ∴∠=∠=∠，即2ABE D ∠=∠．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．7．如图所示，b ∥c ，a ⊥b ，∠1=130°，则∠2=（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】B【解析】【分析】 证明∠3=90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．【详解】如图，反向延长射线a 交c 于点M ，∵b ∥c ，a ⊥b ，∴a ⊥c ，∴∠3=90°，∵∠1=90°+∠4，∴130°=90°+∠4，∴∠4=40°，∴∠2=∠4=40°，故选B ．【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识8．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O(AD>AB).下列说法：①AB=CD;②AOB AOD S S ∆∆=;③∠ABD=∠CBD;④对边AB,CD 之间的距离相等且等于BC 的长。
相交线与平行线常考题目及答案绝对经典)
相交线与平行线一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个B．2个 C．1个 D．0个3．如图所示，同位角共有（）A．6对B．8对 C．10对D．12对二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3= ．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是．评卷人得分三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB ∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D 在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．（直接写结论）19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF= ．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH ﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴∥（）（3）∵∠ADF+=180°（已知）∴AD∥BF（）27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．29．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以∥（）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2= °．所以∠EAB=∠FBG（）．所以∥（同位角相等，两直线平行）．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）所以∠1=∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3=180°（已知）∠3=∠6（）所以∠2+∠6=180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．（1）在图1 中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D 的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．38．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？40．已知直线AB∥CD，（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED 之间的数量关系是．（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是．（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．41．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数．42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DA B=90°．（）∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）又∠1=∠2，从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣．（等式的性质）即∠3= ．∴DF∥AE．（）．43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：（1）AB∥EF．（2）AB∥ND．45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB．46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC= ．（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC= ．（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是．47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F的度数．48．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．50．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？参考答案及解析一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行．【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，∴l2⊥l8．∵l1⊥l2，∴l1∥l8．故选A【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个B．2个 C．1个 D．0个【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．故选A．【点评】本题解决的关键是由已知联想到可以转化为求∠1和∠AOF的余角．3．如图所示，同位角共有（）A．6对B．8对 C．10对D．12对【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN 后，增加了多少对同位角，求总和．【解答】解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．则总共10对．故选C．【点评】本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成8 块．【分析】一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成23=8块．【解答】解：长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2块，第二次在第一次的基础上增加2倍，第三次在第二次的基础上又增加2倍，故最多能被分成8块．【点评】本题考查了学生的空间想象能力，分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为9 ．【分析】过P分别作x轴和y轴的垂线，交x轴和y轴与C和D．构造全等三角形△PDB≌△PCA（ASA）、正方形CODP；所以S四边形OAPB=S正方形ODPC=3×3=9．【解答】解：过P分别作x轴和y轴的垂线，交x轴和y轴于点C和D．∵P点坐标为（3，3），∴PC=PD；又∵l1⊥l2，∴∠BPA=90°；又∵∠DPC=90°，∴∠DPB=∠CPA，在△PDB和△PCA中∴△PDB≌△PCA（ASA），=S△PCA，∴S△DPBS四边形OAPB=S正方形ODPC+S△PCA﹣S△DPB，即S四边形OAPB=S正方形ODPC=3×3=9．故答案是：9．【点评】本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形的面积．解答此题时，利用了“割补法”求四边形OAPB的面积．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3= 200°．【分析】过∠2的顶点作l2的平行线l，则l∥l1∥l2，由平行线的性质得出∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，即可得出∠2+∠3=200°．【解答】解：过∠2的顶点作l2的平行线l，如图所示：则l∥l1∥l2，∴∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°+20°=200°；故答案为：200°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是75°．【分析】根据平行线的性质得到∠EDC=∠E=45°，根据三角形的外角性质得到∠AFD=∠C+∠EDC，代入即可求出答案．【解答】解：∵∠EAD=∠E=45°，∵AE∥BC，∴∠EDC=∠E=45°，∵∠C=30°，∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能利用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，难度适中．三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB ∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．【分析】（1）首先作MQ∥AB，根据平行线的性质，推得∠M=（∠FHP+∠HFP）；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M的度数即可．（2）①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．②首先判断出∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°﹣2∠ENQ即可．【解答】解：（1）如图1，作MQ∥AB，，∵AB∥CD，MQ∥AB，∴MQ∥CD，∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=（∠FHP+∠FED）=（∠FHP+∠HFP），∵HP⊥EF，∴∠HPF=90°，∴∠FHP+∠HFP=180°﹣90°=90°，∵∠1+∠2=∠M，∴∠M=．（2）①如图2，，∠FHE=2∠ENQ，理由如下：∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，∵NQ⊥EM，∴∠NEQ+∠ENQ=90°，∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，∵AB∥CD，∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．②如图3，，∠FHE=180°﹣2∠ENQ，理由如下：∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED，∵NQ⊥EM，∴∠NEQ+∠ENQ=90°，∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，∵AB∥CD，∴∠FHE=180°﹣∠CEH=180°﹣2∠ENQ．综上，可得当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°﹣2∠ENQ．【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2个交点；4条直线相交有1+2+3个交点；5条直线相交有1+2+3+4个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；…n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=个交点．【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交有个交点．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等得到答案；（2）设∠EOC=4x，根据邻补角的概念列出方程，解方程求出∠EOC=80°，根据角平分线的定义和对顶角相等计算即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠EOC=70°，OA平分∠EOC，∴∠AOC=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）设∠EOC=4x，则∠EOD=5x，∴5x+4x=180°，解得x=20°，则∠EOC=80°，又∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=40°，∴∠BOD=∠AOC=40°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？【分析】（1）、（2）根据平角的性质求得∠AOF，又有角平分线的性质求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD=∠FOC；∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，∠BOD=∠EOD﹣∠BOE；（3）由（1）、（2）的结果找出它们之间的倍数关系．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，∴∠AOF=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．【点评】本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D 在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．【分析】（1）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数，（2）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数，【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥PQ，∵∠CBN=100°，∠ADQ=130°，∴∠CBM=80°，∠ADP=50°，∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDP=∠ADP=25°，∵EF∥PQ，∴∠DEF=∠EDP=25°，∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN．∴∠FEB=∠EBM=40°∴∠BED=25°+40°=65°；（2）如图2，过点E作EF∥PQ，∵∠CBN=100°，∴∠CBM=80°，∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDQ=∠ADQ=n°，∵EF∥PQ，∴∠DEF=180°﹣∠EDQ=180°﹣n°，∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN，∴∠FEB=∠EBM=40°，∴∠BED=180°﹣n°+40°=220°﹣n°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，运用角平分线与平行线的性质相结合来求∠BED解题的关键．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据平角等于180°，列式计算即可得解；（2）根据三角形的外角性质求出∠4，然后根据同位角相等，两直线平行解答．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠1=26°，∴∠2=180°﹣∠1﹣∠ACB，=180°﹣90°﹣26°，=64°；（2）结论：n∥m．理由如下：∵∠3=19°，∠A=45°，∴∠4=45°+19°=64°，∵∠2=64°，∴∠2=∠4，∴n∥m．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2．（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；过P作直线PQ∥l1∥l2，则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，∴∠3=∠2﹣∠1．（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1∥l2；同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，即可得出结论；（2）由（1）的结论代入计算即可．【解答】解：（1）∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°；理由如下：延长NP交BC于M，如图所示：∵AB∥PN∥CD，∴∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，∵∠PCD=∠BCD﹣∠BCP=∠ABC﹣∠BCP，∴∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°．（2）由（1）得：∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°，则∠BCP=∠ABC+∠CPN﹣180°=155°+42°﹣180°=17°．【点评】本题考查了平行线的性质；熟记平行线的性质是解决问题的关键．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质和等量关系可得∠EAD+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；（2）根据平行线的性质可得∠AEB=∠C，根据三角形内角和定理和等量关系即可得到∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠EAD=∠C，∴∠EAD+∠D=180°，∴AE∥CD；（2）∵AE∥CD，∴∠AEB=∠C，∵∠FEC=∠BAE，∴∠B=∠EFC=50°．【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是证明AE∥CD．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．【分析】（1）首先作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，据此分别判断出∠B=∠1，∠D=∠2，即可判断出∠B+∠D=∠E，据此解答即可．（2）首先作EF∥AB，即可判断出∠B=∠1；然后根据∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，可得∠D=∠2，据此判断出EF∥CD，再根据EF∥AB，可得AB∥CD，据此判断即可．（3）首先过E作EF∥AB，即可判断出∠BEF+∠B=180°，然后根据EF∥CD，可得∠D+∠DEF=180°，据此判断出∠E+∠B+∠D=360°即可．（4）首先根据AB∥CD，可得∠B=∠BFD；然后根据∠D+∠E=∠BFD，可得∠D+∠E=∠B，据此解答即可．（5）首先作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，根据AB∥CD，可得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，所以∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；然后根据∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，可得∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，据此判断即可．【解答】解：（1）如图1，作EF∥AB，，∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠D=∠2，∴∠B+∠D=∠1+∠2，又∵∠1+∠2=∠E，∴∠B+∠D=∠E．（2）如图2，作EF∥AB，，∵EF∥AB，∴∠B=∠1，∵∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，∴∠D=∠2，∴EF∥CD，又∵EF∥AB，∴AB∥CD．（3）如图3，过E作EF∥AB，，∵EF∥AB，∴∠BEF+∠B=180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF=180°，∵∠BEF+∠DEF=∠E，∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°．（4）如图4，，∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∵∠D+∠E=∠BFD，∴∠D+∠E=∠B．（5）如图5，作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，，又∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；∵∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为∠P+n∠Q=360°．（直接写结论）【分析】（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可．（2）首先由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF=，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°．（3）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+3∠Q=360°．（4）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+n∠Q=360°．【解答】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，又∵∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，，由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）==，∴∠EPF+2∠EQF=360°．（3）如图3，，由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=×（360°﹣∠P），∴∠P+3∠Q=360°．（4）由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=×（360°﹣∠P），∴∠P+n∠Q=360°．故答案为：∠P+n∠Q=360°．【点评】此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．【分析】设∠1=x，根据题意表示出∠2，再表示出∠3，然后根据邻补角的和等于180°列式求出x，再根据对顶角相等求出∠4即可．【解答】解：设∠1=x，则∠2=x，∠3=8x，依题意有x+x+8x=180°，解得x=18°，则∠4=18°+18°=36°．故∠4的度数是36°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角的定义，准确识图，设出未知数并列出方程是解题的关键．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【分析】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．【解答】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【点评】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF= ．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．【分析】（1）由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由角平分线的定义可知∠BOE=∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB 求解即可；（2）①先证明∠AOE=∠COE=x，然后由角平分线的定义可知∠FOE=；②∠BOE=∠FOE﹣∠FOB可知∠BOE=x﹣15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而可求得∠AOC的度数．【解答】解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF﹣∠BOD，∴∠FOB=90°﹣70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠BOD=×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°，（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE=x，故答案为：；②∵∠BOE=∠FOE﹣∠FOB，∴∠BOE=x﹣15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴x﹣15°+x=180°，解得：x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°﹣130°）=100°．【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．【分析】（1）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，设∠BOE=2x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）根据角平分线的定义求出∠AOF的度数即可．【解答】解：（1）设∠BOE=2x，则∠EOD=3x，∠BOD=∠AOC=75°，∴2x+3x=75°，解得，x=15°，则2x=30°，3x=45°，∴∠BOE=30°；（2）∵∠BOE=30°，∴∠AOE=150°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=75°，∴∠COF=∠AOC，∴OA是∠COF的角平分线．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．【分析】（1）设∠BOE=x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）分射线OF在∠AOD的内部和射线OF在∠BOC的内部两种情况，根据垂直的定义计算即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=72°，∴∠BOD=72°，∠AOD=108°，设∠BOE=x，则∠DOE=2x，由题意得，x+2x=72°，解得，x=24°，∴∠BOE=24°，∠DOE=48°，∴∠AOE=156°；（2）若射线OF在∠BOC的内部，∠DOF=90°+48°=138°，若射线OF在∠AOD的内部，∠DOF=90°﹣48°=42°，∴∠DOF的度数是138°或42°．【点评】本题考查的是对顶角和邻补角的概念和性质以及垂直的定义，掌握对顶角相等、邻补角的和是180°是解题的关键．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH ﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．（2）由已知条件和对顶角相等得出∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，得出∠ONF=90°，求出∠OFM=54°，延长∠OFG=2∠OFM=108°，证出∠OFG+∠EOC=180°，即可得出结论．【解答】解：∵∠EOC：∠EOD=2：3，∴∠EOC=180°×=72°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°．（2）延长FM交AB于N，如图所示：∵∠MFH﹣∠BOD=90°，FM平分∠OFG，∴∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，∴∠ONF=126°﹣36°=90°，∴∠OFM=90°﹣36°=54°，∴∠OFG=2∠OFM=108°，∴∠OFG+∠EOC=180°，∴OE∥GH．【点评】本题考查了平行线的判定、角平分线定义、角的互余关系等知识；熟练掌握平行线的判定、角平分线定义是解决问题的关键，（2）有一定难度．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余角的概念计算即可；（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE=70°，∴∠BOC=2∠BOE=140°，∴∠AOC=180°﹣140°=40°，又∠COF=90°，∴∠AOF=90°﹣40°=50°；（2）∵∠BOD：∠BOE=1：2，OE平分∠BOC，∴∠BOD：∠BOE：∠EOC=1：2：2，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=36°，又∵∠COF=90°，∴∠AOF=90°﹣36°=54°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴CD ∥AB （内错角相等，两直线平行）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴AC ∥BD （同位角相等，两直线平行）（3）∵∠ADF+∠5 =180°（已知）∴AD∥BF（同旁内角互补，两直线平行）【分析】（1）由∠3=∠4根据平行线的判定推出CD∥AB；（2）由∠DBE=∠CAB，根据同位角相等，两直线平行得出答案；（3）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠3=∠4（已知），∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），（2）∵∠DBE=∠CAB（已知），∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行），（3）∵∠ADF+∠5=180°（已知），∴AD∥BF（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：（1）AB∥CD，内错角相等，两直线平行，（2）AC∥BD，同位角相等，两直线平行，（3）∠5，同旁内角互补，两直线平行．【点评】本题主要考查对同位角，内错角，同旁内角，平行线的判定等知识点的理解和掌握，能识别同位角，内错角，同旁内角和利用平行线的判定进行证明是解此题的关键．。
相交线与平行线：经典专题训练及答案
专题训练：相交线与平行线一、选择题（每小题4分，共48分）1．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（ ）。
Ａ．相等 Ｂ．互补 Ｃ．相等或互补 Ｄ．相等且互补2．已知∠AOB=30°，又自∠AOB 的顶点O 引射线OC ，若∠AOC : ∠AOB=4 : 3 ，那么∠BOC 等于（ ）。
Ａ．10° Ｂ． 40° Ｃ．70° Ｄ． 10°或70°3．一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（ ）。
Ａ．30° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．以上答案都不对4.用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数（ ）。
A ． 5个B ．10个C ． 11个D ．以上都不对5.在平面上画出四条直线，交点的个数最多应该是（ ）Ａ．4个 B ． 5个 C ． 6个 D ． 8个6.已知三条直线a,b,c ，下列命题中错误的是（ ）Ａ．如果a ∥b,b ∥c,那么a ∥c B ．如果a ⊥b,b ⊥c,那么a ⊥cC ．如果a ⊥b,b ⊥c,那么a ∥cD ．如果a ⊥b,a ∥c,那么b ⊥c7．如果两条平行线被第三条直线所截得的8个角中，有一个角的度数已知，则（ ）。
Ａ．只能求出其余3个角的度数 B.能求出其余5个角的度数C ．只能求出其余6个角的度数 D. 能求出其余7个角的度数8．若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）。
Ａ．一对同位角的平分线互相平行 B.一对内错角的平分线互相平行C ．一对同旁内角的平分线互相垂直D ．一对同旁内角的平分线互相平行9．在同一平面内互不重合的三条直线,它们的交点个数是（ ）。
A ．可能是0个，1个，2个B ．可能是0个，2个，3个C ．可能是0个，1个，2个或3个D ．可能是1个或3个10．下列说法，其中正确的是（ ）。
相交线与平行线专项练习题
相交线与平行线专项练习题一、选择题：1.如图，DE ∥AB ，∠CAE=31∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55°1题 2题 3题 4题2.如图所示，∠1的邻补角是( )A.∠BOCB.∠BOE 和∠AOFC.∠AOFD.∠BOC 和∠AOF3.如图所示，内错角共有( )A.4对B.6对C.8对D.10对4.如图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=•∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a ∥b 的条件的序号是（ ）A ．（1）、（2）B ．（1）、（3）C ．（1）、（4）D ．（3）、（4）5.如图，点E 在BC 的延长线上，在下列四个条件中，不能判定AB ∥CD 的是( )A.∠1=∠2B.∠B=∠DCEC.∠3=∠4D.∠D+∠DAB=180°5题 6题7题 8题6.如图，如果AB ∥CD ，则α、β、γ之间的关系为 ( )A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β-γ=180°D.α+β+γ=180°7.如图，AB ∥CD ，那么∠A ，∠P ，∠C 的数量关系是( )A.∠A+∠P+∠C=90°B.∠A+∠P+∠C=180°C.∠A+∠P+∠C=360°D.∠P+∠C=∠A8.如图，AB ∥CD ，∠ABF=32∠ABE ，∠CDF=32∠CDE ，则∠E ∶∠F 等于（ ） A ．2：1 B ．3：1 C ．3：2 D ．4：39.如图，AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD 相等的角有（ ）B DE 1 3 A CF 2 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题：10.观察图中角的位置关系，∠1和∠2是______角，∠3和∠1是_____角，∠1•和∠4是_______角，∠3和∠4是_____角，∠3和∠5是______角.10题11题12题13题11.如图，已知CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，∠DGC=105°，∠BCG=75°，则∠1+∠2=____度．12.如图，AB ∥CD ，∠BAE = 120º，∠DCE = 30º，则∠AEC = 度。
相交线与平行线难题汇编附答案
相交线与平行线难题汇编附答案一、选择题1．如图，直线 a ∥b ∥c ，直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若∠1＝30°，则∠2 等于（ ）A ．40°B ．60°C ．50°D ．70° 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠，∠∠，再根据直角三角板的性质得341290+=+=︒∠∠∠∠，即可求出∠2的度数．【详解】∵a ∥b ∥c∴1324==∠∠，∠∠∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上∴341290+=+=︒∠∠∠∠∵∠1＝30°∴290160=︒-=︒∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线和三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键．2．如图，不能判断12//l l 的条件是（ ）A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．23∠∠=【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合图形对选项一一分析，排除错误答案．【详解】A 、∠1=∠3正确，内错角相等两直线平行；B 、∠2+∠4=180°正确，同旁内角互补两直线平行；C 、∠4=∠5正确，同位角相等两直线平行；D 、∠2=∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行． 故选：D ．【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义．3．如图，直线a ∥b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，∠BAC 的平分线交直线b 于点D ，若∠1=50°，则∠2的度数是( )A ．50°B ．70°C ．80°D ．110°【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD 是∠BAC 的平分线，进而可得∠BAC 的度数，再根据补角定义可得答案．【详解】因为a ∥b ，所以∠1=∠BAD=50°，因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠BAC=2∠BAD=100°，所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.故本题正确答案为C.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．4．如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有几个（ ）（1）12∠=∠ （2）34∠=∠（3）5B ∠=∠ （4）180B BCD ∠+∠=︒．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的判定逐一判定即可.【详解】因为12∠=∠，所有AD ∥BC ，故（1）错误.因为34∠=∠，所以AB ∥CD ，故（2）正确.因为5B ∠=∠，所以AB ∥CD ，故（3）正确.因为180B BCD ∠+∠=︒，所以AB ∥CD ，故（4）正确.所以共有3个正确条件.故选B【点睛】本题考查的是平行线的判定，找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键.5．如图，点D 在AC 上，点F 、G 分别在AC 、BC 的延长线上，CE 平分∠ACB 交BD 于点O ，且∠EOD+∠OBF ＝180°，∠F ＝∠G ，则图中与∠ECB 相等的角有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】B【解析】【分析】 由对顶角关系可得∠EOD=∠COB ，则由∠COB+∠OBF=180°可知EC ∥BF ，再结合CE 是角平分线即可判断.【详解】解：由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC ∥BF ，结合CE 是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF ，再由EC ∥BF 可得∠ACE=∠F=∠G ，则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得，∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC ，共有5个与∠ECB 相等的角，故选择B.【点睛】本题综合考查了平行线的判定及性质.6．已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（）A．2 B．4 C．5 D．7【答案】A【解析】试题分析：如图，根据垂线段最短可知：PC＜3，∴CP的长可能是2，故选A．考点：垂线段最短．7．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1=56°，则∠2等于（）A．24°B．34°C．56°D．124°【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据对顶角相等可得∠3=∠1=56°，根据平行线的性质得出∠2=∠3=56°．故答案选C.考点：平行线的性质.8．如图AD∥BC,∠B=30,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为（）A ．30B ．60C ．90D ．120 【答案】B【解析】∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵DB 平分∠ADE ，∴∠ADB=∠ADE ，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠DEC=∠B+∠BDE=60°．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB 的度数是解题关键．9．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，故①正确；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B ，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．10．如图，一副三角板按如图所示的位置摆放，其中//AB CD ，45A ∠=︒，60C ∠=°，90AEB CED ∠=∠=︒，则AEC ∠的度数为（ ）A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°【答案】C【解析】【分析】 延长CE 交AB 于点F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠C ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长CE 交AB 于点F ，∵AB ∥CD ，∴∠AFE ＝∠C ＝60°，在△AEF 中，由三角形的外角性质得，∠AEC ＝∠A +∠AFE ＝45°+60°＝105°．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键．11．如图，直线,AB CD 相交于点,50,O AOC OE AB ︒∠=⊥，则DOE ∠的大小是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．70︒D ．90︒【答案】A【解析】【分析】 根据对顶角的性质，把BOD ∠的度数计算出来，再结合OE AB ⊥，即可得到答案.【详解】解：∵50AOC ∠=︒，∴50BOD ∠=︒（对顶角相等），又∵OE AB ⊥，∴90EOB ∠=︒，∴905040DOE BOE DOB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故A 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等），判断,BOD AOC ∠∠是对顶角是解题的关键.12．如图，AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE ，则ABE ∠与D ∠的关系是（ ）A ．2ABE D ∠=∠B ．180ABE D ∠+∠=︒C ．90ABED ∠=∠=︒D ．3ABE D ∠=∠【答案】A【解析】【分析】 延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得D G ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得G ABF ∠=∠，然后根据角平分线的定义解答．【详解】证明：如图，延长DE交AB的延长线于G，AB CD，//∴∠=∠，D GBF DE，//∴∠=∠，G ABF∴∠=∠，D ABF∠，BF平分ABE∠=∠．∴∠=∠=∠，即2ABE DABE ABF D22故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．∠=∠，那么13．如图，现将一块含有60︒角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若12∠的度数为（）1A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】B【解析】【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．【详解】∵AB∥CD，∴∠3=∠2，∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴2∠3+60°=180°，∴∠3=60°，∴∠1=60°，故选：B ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】 根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••， 即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯， 解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=； 故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.15．若∠A 与∠B 是对顶角且互补，则它们两边所在的直线( )A ．互相垂直B ．互相平行C ．既不垂直也不平行D ．不能确定【答案】A【解析】∵∠A 与∠B 是对顶角，∴∠A=∠B ，又∵∠A 与∠B 互补，∴∠A+∠B=180°，可求∠A=90°．故选A ．16．如图，//AB CD ，点E 在CD 上，点F 在AB 上，如果:6:7CEF BEF ∠∠=，50ABE ∠=︒，那么AFE ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】B【解析】【分析】 由//AB CD 可得∠ABE+∠CEB=180°,∠BED=50ABE ∠=︒,即∠CEB=130°,由:6:7CEF BEF ∠∠=可得=67CEF BEF ∠∠,设=67CEF BEF ∠∠=k,则∠CEF=6k,∠FEB=7k,可得∠FEB=70°，可得∠DEF=∠FEB+∠BED=120°;又由//AB CD 可得AFE ∠=∠DEF 即可解答．【详解】解：∵//AB CD∴∠ABE+∠CEB=180°，∠BED=50ABE ∠=︒∴∠CEB=130°∵:6:7CEF BEF ∠∠= ∴=67CEF BEF ∠∠ 设=67CEF BEF ∠∠=k ，则∠CEF=6k,∠FEB=7k,∴6k+7k=130°∴∠FEB=7k=70°∴∠DEF=∠FEB+∠BED=120°AB CD∵//=∠DEF=120°∴AFE故答案为B．【点睛】本题考查的是平行线的性质以及比例的应用，.熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．17．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C．【点睛】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．下列说法中不正确的是（）①过两点有且只有一条直线②连接两点的线段叫两点的距离③两点之间线段最短④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点A．①B．②C．③D．④【答案】B【解析】【分析】依据直线的性质、两点间的距离、线段的性质以及中点的定义进行判断即可．【详解】①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误③两点之间线段最短，正确；④点B 在线段AC 上，如果AB=BC ，则点B 是线段AC 的中点，正确；故选B ．19．如图，下列判断：①若12A C ∠=∠∠=∠，，则B D ∠=∠；②若12B D ∠=∠∠=∠，，则A C ∠=∠：③若,A C B D ∠=∠∠=∠，则12∠=∠．其中，正确的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 ①根据12A C ∠=∠∠=∠，证明四边形DEBF 是平行四边形即可判断；②根据12B D ∠=∠∠=∠，证明DC ∥AB 即可判断；③根据,A C B D ∠=∠∠=∠证明DC ∥AB 即可判断.【详解】解：如图，标出∠3，①∵A C ∠=∠，∴DC ∥AB （内错角相等，两直线平行），∵2,3∠∠是对顶角，∴23∠∠=，∴13∠=∠（等量替换），∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行），∴四边形DEBF 是平行四边形（两组对边分别平行），∴B D ∠=∠，故①正确；②∵2,3∠∠是对顶角，∴23∠∠=，∴13∠=∠（等量替换），∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行），∴∠B+∠DEB=180°，又∵B D ∠=∠，∴∠D+∠DEB=180°，∴DC ∥AB （同旁内角互补，两直线平行），∴A C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）；故②正确；③∵A C ∠=∠，∴DC ∥AB （内错角相等，两直线平行），∴B CFB ∠=∠（两直线平行，内错角相等）,又∵B D ∠=∠，∴D CFB ∠=∠,∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行），∴13∠=∠（两直线平行，同位角相等）,∵2,3∠∠是对顶角，∴23∠∠=，∴12∠=∠（等量替换），故③正确.故D 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）、直线平行的性质、等量替换的相关知识点，掌握直线平行的判定和性质是解题的关键.20．如图，下列推理错误的是( )A ．因为∠1＝∠2，所以c ∥dB ．因为∠3＝∠4，所以c ∥dC ．因为∠1＝∠3，所以a ∥bD ．因为∠1＝∠4，所以a ∥b【答案】C【解析】分析：由平行线的判定方法得出A 、B 、C 正确，D 错误；即可得出结论．详解：根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠2，所以c ∥d ，故正确； 根据同位角相等，两直线平行，可知因为∠3＝∠4，所以c ∥d ，故正确；因为∠1和∠3的位置不符合平行线的判定，故不正确；根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠4，所以a∥b，故正确.故选：C.点睛：本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．。
《相交线与平行线》常考题型训练(试题与答案)
《相交线与平行线》常考题型训练平行线＋角平分1．如图，直线AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠ACE＝20°，点F在AC的延长线上，则∠BAF的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝36°，则∠BDF的度数为（）A．18°B．36°C．54°D．72°3．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°4．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF＝70°，则∠BAG的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°5．如图，AB∥CD，∠B＝60°，EF平分∠BED，则∠FED的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°6．如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝5，AC＝4，则△ADF周长为（）A．7 B．8 C．9 D．107．如图，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，EP⊥FP，则以下结论错误的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝90°C．∠1+∠3＝90°D．∠3＝∠4两直线平行求角的度数（直尺、三角板）8．如图所示，AB∥CD，DB⊥BC于点B，若∠2＝50°，则∠1＝（）A．40°B．50°C．45°D．60°9．如图，直线a∥b，∠1＝32°，∠2＝45°，则∠3的度数是（）A．77°B．97°C．103°D．113°10．如图，一把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADB＝62°，则∠CBF的度数是（）A．128°B．118°C．108°D．62°11．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1＝∠2，（2）∠1＝∠3，（3）∠2+∠4＝90°，（4）∠4+∠5＝180°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝16°，那么∠2的度数是（）A．16°B．44°C．45°D．60°13．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°14．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝58°，则下列结论正确的是（）A．∠3＝42°B．∠4＝138°C．∠5＝42°D．∠2＝58°两直线平行与折叠综合求角的度数15．如图是一张长条形纸片，其中AB∥CD，将纸片沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D'对应，若∠1＝∠2，则∠D′FC的度数为（）A．72°B．36°C．60°D．65°16．如图，将长方形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′＝40°，则∠BEA′的度数为（）A．45°B．65°C．50°D．25°17．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝126°，则∠2的度数为（）A．54°B．63°C．72°D．45°18．如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°19．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点H处，点D落在AB边上的点G处，若∠AEG＝30°，则∠EFC等于（）A．115°B．75°C．105°D．150°两直线平行与拐角综合求角的度数20．如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝120°，则∠3等于（）A．100°B．110°C．120°D．130°21．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝180°B．∠β＝3∠αC．∠α+∠β＝90°D．∠β﹣∠α＝90°22．如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝95°B．∠β﹣∠α＝95°C．∠α+∠β＝85°D．∠β﹣∠α＝85°23．如图，已知AB∥CD，∠AEG＝40°，∠CFG＝60°，则∠G等于（）A．20°B．40°C．60°D．100°24．如图所示，直线a∥b，∠1＝38°，∠2＝90°，则∠3的度数为（）A．125°B．138°C．148°D．128°25．如图，AB∥CD，∠BAP＝60°﹣α，∠APC＝50°+2α，∠PCD＝30°﹣α．则α为（）A．10°B．15°C．20°D．30°26．如图，直线m∥n，∠1＝60°，∠2＝25°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°27．如图所示，直线AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝75°，则∠E的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．35°28．如图，已知AB∥CD．写出图形中∠P和∠A，∠C的关系（）A．∠C＝∠P﹣∠A B．∠P＝∠C﹣∠A C．∠P＝∠A+∠C D．∠C＝∠A﹣∠P29．如图，a∥b，则∠A的度数是（）度．A．28 B．31 C．39 D．40两直线平行填空题30．如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，求证：a∥c．在下列解答中，填空（理由或数学式）；解：∵∠1＝∠2（已知），∴（）．∵（已知），∴b∥c（），∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．31．已知：如图，∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．解：直线AD与BE平行，直线AB与DC．理由如下：∵∠DAE＝∠E，（已知）∴∥，（内错角相等，两条直线平行）∴∠D＝∠DCE．（两条直线平行，内错角相等）又∵∠B＝∠D，（已知）∴∠B＝，（等量代换）∴∥．（同位角相等，两条直线平行）两直线平行的性质与判定综合证明题32．已知：如图，AC⊥BC，CD∥FG，∠1＝∠2．求证：DE⊥AC．33．如图，在△ABC中，点E、H在BC上，EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，点G在AC上，∠AGD＝∠ACB，试说明∠1+∠2＝180°．34．如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？并说明理由．两直线平行拐点探究题35．（1）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．证明：如图①过点E作EF∥AB．∴∠A＝∠1 （）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（辅助线作法）∴CD∥EF（）∴∠2＝∠DCE（）∵∠AEC＝∠1+∠2∴∠AEC＝∠A+∠DCE（）（2）【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°（3）【应用】如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为．（请直接写出答案）36．感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D＝∠BED．阅读下面的解答过程，井填上适当的理由．解：过点E作直线EF∥CD∴∠2＝∠D（）∵AB∥CD（已知），EF∥CD，∴AB∥EF（）∴∠B＝∠1（）∵∠1+∠2＝∠BED，∴∠B+∠D＝∠BED（）应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝22°，∠G＝35°，∠D＝25°，则∠E+∠F＝度．方法与实践：如图③，直线AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝80°，则∠D＝度．《相交线与平行线》常考题型训练参考答案与试题解析一．选择题（共31小题）1．如图，直线AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠ACE＝20°，点F在AC的延长线上，则∠BAF的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可以求得∠BAF的值，本题得以解决．【解答】解：∵∠ACE＝20°，CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠ACE＝40°，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠ACD，∴∠BAF＝40°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．2．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝36°，则∠BDF的度数为（）A．18°B．36°C．54°D．72°【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠F AC＝∠1，再根据角平分线的定义可得∠BAF＝∠F AC．【解答】解：∵DF∥AC，∴∠F AC＝∠1＝35°，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝∠F AC＝36°，∴∠BAC＝72°，∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BAC＝72°故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．3．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠ABC＝70°，再根据角平分线的定义可得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠1＝∠ABC＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．4．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF＝70°，则∠BAG的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】首先，由平行线的性质得到∠BAC＝∠ECF＝70°；然后利用角平分线的定义来求∠BAG的度数．【解答】解：∵AB∥ED，∠ECF＝70°，∴∠BAC＝∠ECF＝70°，又∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠BAC＝35°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”求得∠BAC的度数是解题的难点．5．如图，AB∥CD，∠B＝60°，EF平分∠BED，则∠FED的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED＝60°∵EF平分∠BED，∴∠FED＝∠BED＝30°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝5，AC＝4，则△ADF周长为（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得出BD＝DE，EF＝FC，进而解答即可．【解答】解：∵DF∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，∵BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∠FCE＝∠ECB，∴∠DBE＝∠DEB，∠FEC＝∠FCE，∴BD＝DE，EF＝FC，∴△ADF周长＝AD+DF+AF＝AD+AF+DE+EF＝AD+AF+BD+FC＝AB+AC＝5+4＝9，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质；有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．7．如图，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，EP⊥FP，则以下结论错误的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝90°C．∠1+∠3＝90°D．∠3＝∠4【分析】过点P作PH∥AB，再根据平行线的性质及直角三角形的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1＝∠EPH，∠3＝∠HPF，∵EP⊥FP，∴∠2+∠4＝90°，∠HPF+∠EPH＝90°，∴∠3＝∠4，故B，D正确；∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，故C正确，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图所示，AB∥CD，DB⊥BC于点B，若∠2＝50°，则∠1＝（）A．40°B．50°C．45°D．60°【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵DB⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BCD＝40°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键．9．如图，直线a∥b，∠1＝32°，∠2＝45°，则∠3的度数是（）A．77°B．97°C．103°D．113°【分析】由直线a∥b，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠4的度数，结合对顶角相等可得出∠5的度数，再利用三角形内角和定理可求出∠3的度数．【解答】解：给图中各角标上序号，如图所示．∵直线a∥b，∴∠4＝∠2＝45°，∴∠5＝45°．∵∠1+∠3+∠5＝180°，∴∠3＝180°﹣32°﹣45°＝103°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．10．如图，一把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADB＝62°，则∠CBF的度数是（）A．128°B．118°C．108°D．62°【分析】利用平行线的性质可得∠DBC＝∠ADB，再由邻补角的定义，可求得∠CBF，可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝62°，∵∠CBF+∠DBC＝180°，∴∠CBF＝180°﹣62°＝118°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．11．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1＝∠2，（2）∠1＝∠3，（3）∠2+∠4＝90°，（4）∠4+∠5＝180°．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补可判断（1）、（2）、（4），根据平角的定义可判断∠2与∠4的关系．【解答】解：（1）因为∠1和∠2是两平行线间的同位角，所以根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠2；（2）∠1和∠3不属于平行线间的同位角或内错角，所以∠1和∠3不一定相等；（3）∠2、∠4和直角三角板的直角组成一个平角180°，所以∠2+∠4＝90°；（4）∠4和∠5是两平行线间的同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠4+∠5＝180°．所以正确的个数是3个．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是体现角之间关系的重要依据．12．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝16°，那么∠2的度数是（）A．16°B．44°C．45°D．60°【分析】根据BE∥CD得到∠EBC＝16°，依据∠ABC＝60°，∠EBC＝16°，由角的和差关系可求∠2＝44°．【解答】解：如图，∵BE∥CD，∴∠EBC＝∠1＝16°，∵∠ABC＝60°，∴∠2＝44°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．13．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角相等求出∠5的度数，根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：由已知知：∠3＝60°∵1＝50°，∠3＝60°，∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠5＝∠4＝70°，∵a∥b，∴∠2＝∠5＝70°故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解决问题的前提．14．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝58°，则下列结论正确的是（）A．∠3＝42°B．∠4＝138°C．∠5＝42°D．∠2＝58°【分析】利用平行线的性质、直角的定义即可解决问题．【解答】解：∵a∥b，∠1＝58°，∴∠3＝∠1＝58°，∠2＝∠1＝58°，∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣58°＝122°，∵三角板为直角三角板，∴∠5＝90°﹣∠3＝90°﹣58°＝32°．∴选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．15．如图是一张长条形纸片，其中AB∥CD，将纸片沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D'对应，若∠1＝∠2，则∠D′FC的度数为（）A．72°B．36°C．60°D．65°【分析】依据平行线的性质以及折叠的的性质，即可得到∠A'EF＝60°，∠1＝60°，再根据平行线的性质，即可得到∠D′FC的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠AEF，由折叠可得∠A'EF＝∠AEF，又∵∠1＝∠2，∴∠AEF＝∠A'EF＝∠2，∵∠AEB＝180°，∴∠A'EF＝60°，∠1＝60°，∵A'E∥D'F，∴∠A'EF+∠D'FE＝180°，∴∠D'FC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．16．如图，将长方形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′＝40°，则∠BEA′的度数为（）A．45°B．65°C．50°D．25°【分析】由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可．【解答】解：根据题意，∠A′＝∠A＝90°，∠ABE＝∠A′BE，∵∠CBA′＝40°，∴∠EBA'′＝（180°﹣90°﹣40°）＝25°，∴∠BEA'＝90°﹣25°＝65°，故选：B．【点评】本题考查折叠的性质．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角．17．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝126°，则∠2的度数为（）A．54°B．63°C．72°D．45°【分析】由CD∥EF，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠DCF的度数，再利用折叠的性质及邻补角互补，可求出∠2的度数．【解答】解：在图中标上各字母，如图所示．∵CD∥EF，∴∠1+∠DCF＝180°，∴∠DCF＝180°﹣126°＝54°．∵2∠2+∠DCF＝180°，∴∠2＝＝63°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．18．如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°【分析】根据翻折不变性以及平行线的性质解决问题即可【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵∠ACD＝40°，∴∠BAC＝140°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAC＝70°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点H处，点D落在AB边上的点G处，若∠AEG＝30°，则∠EFC等于（）A．115°B．75°C．105°D．150°【分析】利用翻折变换的性质求出∠DEF，再利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：∵∠AEG＝30°，∴∠DEG＝150°，由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FEG＝∠DEG＝75°，∵AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠EFC＝105°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝120°，则∠3等于（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】利用平行线的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2+∠4＝180°，∵∠2＝120°，∴∠4＝60°，∵∠3＝∠1+∠4，∠1＝50°，∴∠3＝50°+60°＝110°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝180°B．∠β＝3∠αC．∠α+∠β＝90°D．∠β﹣∠α＝90°【分析】延长BC交DE于F，如图，利用平行线的性质得到∠BFD＝∠ABF＝∠α，然后根据三角形外角性质可得到∠β＝∠α+90°．【解答】解：延长BC交DE于F，如图，∵AB∥DE，∴∠BFD＝∠ABF＝∠α，∴∠CDE＝∠CDF+∠DCF，即∠β＝∠α+90°．故选：D．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．22．如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝95°B．∠β﹣∠α＝95°C．∠α+∠β＝85°D．∠β﹣∠α＝85°【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，于是得到结论．【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，∵∠BCD＝95°，∴∠1+∠2＝∠α+180°﹣∠β＝95°，∴∠β﹣∠α＝85°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．23．如图，已知AB∥CD，∠AEG＝40°，∠CFG＝60°，则∠G等于（）A．20°B．40°C．60°D．100°【分析】过点G作GH∥AB，得出∠EGH＝∠AEG，证出GH∥CD，则∠FGH＝∠CFG，得出∠EGF＝∠AEG+∠CFG，即可得出结果．【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示：∴∠EGH＝∠AEG，∵AB∥CD，∴GH∥CD，∴∠FGH＝∠CFG，∴∠EGH+∠FGH＝∠AEG+∠CFG．即：∠EGF＝∠AEG+∠CFG＝40°+60°＝100°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．24．如图所示，直线a∥b，∠1＝38°，∠2＝90°，则∠3的度数为（）A．125°B．138°C．148°D．128°【分析】反向延长∠2的边与a交于一点，由三角形外角性质可得∠4＝∠2﹣∠1＝55°，再根据邻补角以及平行线的性质，即可得到∠3的度数．【解答】解：如图，反向延长∠2的边与a交于一点，由三角形外角性质，可得∠4＝∠2﹣∠1＝52°，∴∠5＝180°﹣∠4＝128°，∵a∥b，∴∠3＝∠5＝128°．故选：D．【点评】考查了平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．25．如图，AB∥CD，∠BAP＝60°﹣α，∠APC＝50°+2α，∠PCD＝30°﹣α．则α为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【分析】过点P作一条直线平行于AB，根据两直线平行内错角相等得：∠APC＝∠BAP+∠PCD，得到关于α的方程，解即可．【解答】解：过点P作PM∥AB，∴AB∥PM∥CD，∴∠BAP＝∠APM，∠DCP＝∠MPC，∴∠APC＝∠APM+∠CPM＝∠BAP+∠DCP，∴50°+2α＝60°﹣α+30°﹣α，解得α＝10°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系26．如图，直线m∥n，∠1＝60°，∠2＝25°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．【解答】解：如图，∵直线m∥n，∴∠1＝∠3，∵∠1＝60°，∴∠3＝60°，∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝25°，∴∠A＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠3的度数，此题难度不大．27．如图所示，直线AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝75°，则∠E的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．35°【分析】先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再由三角形外角的性质得出结论即可．【解答】解：∵直线AB∥CD，∠A＝100°，∴∠EFD＝∠A＝100°，∵∠EFD是△CEF的外角，∴∠E＝∠EFD﹣∠C＝100°﹣75°＝25°．故选：A．【点评】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．28．如图，已知AB∥CD．写出图形中∠P和∠A，∠C的关系（）A．∠C＝∠P﹣∠A B．∠P＝∠C﹣∠A C．∠P＝∠A+∠C D．∠C＝∠A﹣∠P【分析】过P作PE∥AB，依据AB∥CD，即可得出PE∥CD，根据平行线的性质，即可得到∠APC＝∠CPE ﹣∠APE＝∠C﹣∠A，【解答】解：如图所示，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C＝∠CPE，∠A＝∠APE，∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE＝∠C﹣∠A，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质．解题时注意：两直线平行，内错角相等．29．如图，a∥b，则∠A的度数是（）度．A．28B．31C．39D．40【分析】利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：∵a∥b，∴∠ABE＝∠ACF＝70°，∵∠ABE＝∠A+∠ADB，∴∠A＝70°﹣31°＝39°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30．如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，求证：a∥c．在下列解答中，填空（理由或数学式）；解：∵∠1＝∠2（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．∵∠3+∠4＝180°（已知），∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行），∴a∥c（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定解答．31.已知：如图，∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．解：直线AD与BE平行，直线AB与DC平行．理由如下：∵∠DAE＝∠E，（已知）∴AD∥BE，（内错角相等，两条直线平行）∴∠D＝∠DCE．（两条直线平行，内错角相等）又∵∠B＝∠D，（已知）∴∠B＝∠DCE，（等量代换）∴AB∥DC．（同位角相等，两条直线平行）【分析】因为∠DAE＝∠E，所以根据内错角相等，两条直线平行，可以证明AD∥BE；根据平行线的性质，可得∠D＝∠DCE，结合已知条件，运用等量代换，可得∠B＝∠DCE，可证明AB∥DC．32．已知：如图，AC⊥BC，CD∥FG，∠1＝∠2．求证：DE⊥AC．【分析】由平行线的性质得∠2＝∠DCB，等量代换得∠DCB＝∠1，由平行线的判定定理可得DE∥BC，利用平行线的性质得出结论．【解答】证明：∵CD∥FG，∴∠2＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCB，∴DE∥BC，∵AC⊥BC，∴DE⊥AC．【点评】本题主要考查平行线的性质及判定定理，综合运用平行线的性质和判定定理是解答此题的关键．33．如图，在△ABC中，点E、H在BC上，EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，点G在AC上，∠AGD ＝∠ACB，试说明∠1+∠2＝180°．【分析】由垂直的定义可得∠BFE＝∠BDC，再根据平行线的判定可证明EF∥HD，根据平行线的性质得出∠2+∠DHB＝180°；由∠AGD＝∠ACB可证明DG∥BC，得出∠1＝∠DHB，等量代换即可证明∠1+∠2＝180°．【解答】证明：∵EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，∴∠BFE＝∠BDH＝90°，∴EF∥HD；∴∠2+∠DHB＝180°，∵∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠1＝∠DHB，∴∠1+∠2＝180°．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．反之也成立．34．如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？并说明理由．【分析】根据同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠4，然后求出∠3＝∠4，再根据同位角相等，两直线平行判断出CD∥FH，然后求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2＝∠4，∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠4，∴CD∥FH，∵FH⊥AB，∴CD⊥AB．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．35.【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2＝∠DCE，即可得出结论；（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，即可得出结论；（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∵EF∥AB（辅助线作法），∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）证明：过点E作EF∥AB，如图②所示：∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．36.【分析】感知与填空：过点E作直线EF∥CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2＝∠D，由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出AB∥EF，由两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠1，由∠1+∠2＝∠BED，等量代换得出∠B+∠D＝∠BED．应用与拓展：过点G作GN∥AB，则GN∥CD，由感知与填空得∠E＝∠B+∠EGN，∠F＝∠D+∠FGN，即可得出结果．方法与实践：设AB交EF于M，∠AME＝∠FMB＝180°﹣∠F﹣∠B＝40°，由感知与填空得∠E＝∠D+∠AME，即可得出结果．【解答】解：感知与填空：过点E作直线EF∥CD，∴∠2＝∠D（两直线平行，内错角相等），·∵AB∥CD（已知），EF∥CD，∴AB∥EF（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵∠1+∠2＝∠BED，∴∠B+∠D＝∠BED（等量代换），故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换．应用与拓展：过点G作GN∥AB，则GN∥CD，如图②所示：由感知与填空得：∠E＝∠B+∠EGN，∠F＝∠D+∠FGN，∴∠E+∠F＝∠B+∠EGN+∠D+∠FGN＝∠B+∠D+∠EGF＝22°+25°+35°＝82°，故答案为：82．方法与实践：设AB交EF于M，如图③所示：∠AME＝∠FMB＝180°﹣∠F﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，由感知与填空得：∠E＝∠D+∠AME，∴∠D＝∠E﹣∠AME＝60°﹣40°＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．。
2020-2021学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》竞赛题(解析版)
2020-2021学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》竞赛题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一，单项选择题（本大题共8小题）1．如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∥ABE 和∥CDE，BF∥DE，∥F 与∥ABE 互补，则∥F 的度数为A．30°B．35°C．36°D．45°【答案】C【解析】【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.【详解】解：如图延长BG交CD于G∵BF∵ED又∵DF 平分∵CDE，∵∵CDE=2∵F，∵BF∵ED∵∵CGF=∵EDF=2∵F，∵AB∵CD∵∵ABF=∵CGF=2∵F，∵BF平分∵ABE∵∵ABE=2∵ABF=4∵F，又∵∵F 与∵ABE 互补∵∵F +∵ABE =180°即5∵F=180°，解得∵F=36°故答案选C.【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.2．如下图，下列条件中：∥∥B+∥BCD=180°；∥∥1=∥2；∥∥3=∥4；∥∥B=∥5，能判定AB∥CD的条件为（）A．∥∥∥∥B．∥∥∥C．∥∥∥D．∥∥∥【答案】C【详解】解：∵∵∵B+∵BCD=180°，∵∵∵1=∵2，∵AD∵BC；∵∵∵3=∵4，∵AB∵CD；∵∵∵B=∵5，∵AB∵CD；∵能得到AB∵CD的条件是∵∵∵．故选C．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行.3．∥如图1,AB∥CD,则∥A +∥E +∥C=180°；∥如图2,AB∥CD,则∥E =∥A +∥C;∥如图3,AB∥CD,则∥A +∥E－∥1=180° ；∥如图4,AB∥CD,则∥A=∥C +∥P.以上结论正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】∵如图1，过点E作EF∵AB，因为AB∵CD，所以AB∵EF∵CD，所以∵A+∵AEF=180°，∵C+∵CEF=180°，所以∵A+∵AEC+∵C=∵A+∵AEF+∵C+∵CEF=180°+180°=360°，则∵错误；∵如图2，过点E作EF∵AB，因为AB∵CD，所以AB∵EF∵CD，所以∵A=∵AEF，∵C=∵CEF，所以∵A+∵C=∵AEC+∵AEF=∵AEC，则∵正确；∵如图3，过点E作EF∵AB，因为AB∵CD，所以AB∵EF∵CD，所以∵A+∵AEF=180°，∵1=∵CEF，所以∵A+∵AEC-∵1=∵A+∵AEC-∵CEF=∵A+∵AEF=180°，则∵正确；∵如图4，过点P作PF∵AB，因为AB∵CD，所以AB∵PF∵CD，所以∵A=∵APF，∵C=∵CPF，所以∵A=∵CPF+∵APC=∵C+∵APC，则∵正确；故选C.4．如图，∥1=70°，直线a平移后得到直线b，则∥2-∥3（）A．70°B．180°C．110°D．80°【答案】C【解析】【分析】作AB∵a,先证AB∵a∵b，由平行线性质得∵2=180°-∵1+∵3，变形可得结果.【详解】作AB∵a,由直线a平移后得到直线b，所以，AB∵a∵b所以，∵2=180°-∵1+∵3，所以，∵2-∵3=180°-∵1=180°-70°=110°.故选：C【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.5．下列说法：∥两点确定一条直线；∥连接两点的线段叫做两点的距离；∥两点之间，线段最短；∥由两条射线组成的图形叫做角；∥若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】分析：根据直线公理对∵进行判断；根据两点之间的距离的定义对∵进行判断；根据线段公理对∵进行判断；根据角的定义对∵进行判断；根据线段的中点的定义对∵进行判断．详解：根据直线公理：两点确定一条直线，所以∵正确；连接两点的线段的长度叫做两点的距离，所以∵错误；两点之间，线段最短，所以∵正确；有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以∵错误；若AB =BC ，且B 点在AB 上，则点B 是AC 的中点，所以∵错误．故选B ．点睛：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．6．如图，直线//AB CD ，点E 在CD 上，点O 、点F 在AB 上，EOF ∠的角平分线OG 交CD 于点G ，过点F 作FH OE ⊥于点H ，已知148OGD ∠=︒，则OFH ∠的度数为（ ）A ．26ºB ．32ºC ．36ºD ．42º【答案】A【解析】【分析】 依据∵OGD=148°，可得∵EGO=32°，根据AB∵CD ，可得∵EGO =∵GOF ，根据GO 平分∵EOF ，可得∵GOE =∵GOF ，等量代换可得：∵EGO=∵GOE=∵GOF=32°，根据FH OE ⊥，可得：OFH ∠=90°-32°-32°=26°【详解】解：∵ ∵OGD=148°,∵∵EGO=32°∵AB∵CD ，∵∵EGO =∵GOF,∵EOF ∠的角平分线OG 交CD 于点G ,∵∵GOE =∵GOF,∵∵EGO=32°∵EGO =∵GOF∵GOE =∵GOF,∵∵GOE=∵GOF=32°,∵FH OE ⊥,∵OFH ∠=90°-32°-32°=26°故选A.【点睛】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．7．如图，已知AB∥CD∥EF ，则∥x 、∥y 、∥z 三者之间的关系是( )A ．180x y z ++=°B ．180x y z +-=°C ．360x y z ++=°D ．+=x z y【答案】B【分析】根据平行线的性质可得∵CEF=180°-y，x=z+∵CEF，利用等量代换可得x=z+180°-y，再变形即可．【详解】解：∵CD∵EF，∵∵C+∵CEF=180°，∵∵CEF=180°-y，∵AB∵CD，∵x=z+∵CEF，∵x=z+180°-y，∵x+y-z=180°，故选：B．8．如图a是长方形纸带，∥DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∥CFE的度数是（）A．102°B．108°C．124°D．128°【答案】A【解析】【分析】先由矩形的性质得出∵BFE=∵DEF=26°，再根据折叠的性质得出∵CFG=180°-2∵BFE，∵CFE=∵CFG-∵EFG即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∵AD∵BC，∵∵BFE=∵DEF=26°，∵∵CFE=∵CFG-∵EFG=180°-2∵BFE-∵EFG=180°-3×26°=102°，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．二、填空题（本大题共6小题）9．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE∥CD)，若∥A=120°，∥B=150°,则∥C 的度数是________【答案】150°【解析】如图，过点B作BG∵AE，因为AE∵CD，所以AE∵BG∵CD.所以∵A=∵2，∵1+∵C=180°.因为∵A=120°，所以∵2=120°，所以∵1=150°-120°=30°.所以∵C=180°-30°=150°，故答案为150°.10．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∥EBA、∥EPC的角平分线于点F，已知∥F ＝40°，则∥E＝_____度．【答案】80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∵FMA=12∵CPE=∵F+∵1，∵ANE=∵E+2∵1=∵CPE=2∵FMA，即∵E=2∵F=2×40°=80°.故答案为80.11．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对．【答案】24【解析】【分析】根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.【详解】解：如图所示观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和E 有2对；A和F有2对.B和C有2对；B和D有2对；B和E有2对；B和F没有同旁内角.C和D有2对，C和E没有同旁内角，C和F有2对.D和E有2对；D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.故答案是：24.【点睛】本题主要考察三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键. 12．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM 于点C，AB平分∥DAC，直线DB平分∥FBC，若∥ACB=100°，则∥DBA的度数为________．【答案】50°【解析】解：如图，设∵DAB=∵BAC=x，即∵1=∵2=x．∵EF∵GH，∵∵2=∵3．在∵ABC内，∵4=180°﹣∵ACB﹣∵1﹣∵3=180°﹣∵ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线BD平分∵FBC，∵∵5=12（180°﹣∵4）=12（180°﹣80°+2x）=50°+x，∵∵DBA=180°﹣∵3﹣∵4﹣∵5=180°﹣x﹣（80°﹣2x）﹣（50°+x）=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x=50°．故答案为50°．点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．13．如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB//CD,若∥FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∥1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)【答案】70．【解析】【详解】作IF∵AB,GK∵AB,JH∵AB因为AB∵CD所以，AB∵CD∵ IF∵GK∵JH所以，∵IFG=∵FEC=10°所以，∵GFI=90°-∵IFG=80°所以，∵KGF=∵GFI=80°所以，∵HGK=150°-∵KGF=70°所以，∵JHG=∵HGK=70°同理，∵2=90°-∵JHG=20° 所以，∵1=90°-∵2=70°故答案为70 【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．14．如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB ⊥，5BC =，将直角梯形ABCD 沿AB 方向平移2个单位得到直角梯形EFGH ，HG 与BC 交于点M ，且1CM =，则图中阴影部分面积为______.【答案】9 【分析】由平移得到直角梯形ABCD 与直角梯形EFGH 全等，所以它们的面积相等，都减去直角梯形BMHE 的面积，得到阴影部分的面积等于直角梯形FGMB 的面积，再根据已知条件求得BM 、BF 、GF 的长度，代入梯形面积的公式即可求得结果. 【详解】由平移得直角梯形ABCD 与直角梯形EFGH 全等，∵S梯形ABCD=S梯形EFGH，∵S阴影=S梯形FGMB，∵GF=BC=5，CM=1，∵BM=4，∵BF=2，∵S阴影= 11()(45)29 22BM GF BF+⋅=+⨯=.故此题填9.【点睛】此题考查平移的性质，图形平移前后的面积不变，因此将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积，降到了难度，这是解此题的关键.三、解答题（本大题共4小题）15．如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∥1＝∥2，∥3＝∥4，求证：AD∥BE.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：先根据平行线的性质得出∵4=∵BAE．再根据∵3=∵4可知∵3=∵BAE．由∵1=∵2，得出∵1+∵CAE=∵2+∵CAE即∵BAE=∵CAD，故∵3=∵CAD，由此可得出结论．试题解析：证明：∵AB∵CD，∵∵4=∵BAE．∵∵3=∵4，∵∵3=∵BAE．∵∵1=∵2，∵∵1+∵CAE=∵2+∵CAE，即∵BAE=∵CAD，∵∵3=∵CAD，∵AD∵BE．16．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，CB∥y轴交y轴负半轴于B（0，b），且|a﹣3|+（b+4）2＝0，S四边形AOBC＝16．（1）求点C的坐标．（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD∥AC时，∥ODA的角平分线与∥CAE 的角平分线的反向延长线交于点P，求∥APD的度数；（点E在x轴的正半轴）．（3）如图3，当点D在线段OB上运动时，作DM∥AD交BC于M点，∥BMD、∥DAO 的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∥N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【答案】(1) C（5，﹣4）;(2)90°;(3)见解析.【解析】分析：（1）利用非负数的和为零，各项分别为零，求出a，b即可；（2）用同角的余角相等和角平分线的意义即可；（3）利用角平分线的意义和互余两角的关系简单计算证明即可．详解：（1）∵（a﹣3）2+|b+4|=0，∵a﹣3=0，b+4=0，∵a=3，b=﹣4，∵A（3，0），B（0，﹣4），∵OA=3，OB=4，∵S四边形AOBC=16．∵0.5（OA+BC）×OB=16，∵0.5（3+BC）×4=16，∵BC=5，∵C是第四象限一点，CB∵y轴，∵C（5，﹣4）；（2）如图，延长CA，∵AF是∵CAE的角平分线，∵∵CAF=0.5∵CAE，∵∵CAE=∵OAG，∵∵CAF=0.5∵OAG，∵AD∵AC，∵∵DAO+∵OAG=∵PAD+∵PAG=90°，∵∵AOD=90°，∵∵DAO+∵ADO=90°，∵∵ADO=∵OAG，∵∵CAF=0.5∵ADO，∵DP是∵ODA的角平分线，∵∵ADO=2∵ADP，∵∵CAF=∵ADP，∵∵CAF=∵PAG，∵∵PAG=∵ADP，∵∵APD=180°﹣（∵ADP+∵PAD）=180°﹣（∵PAG+∵PAD）=180°﹣90°=90°即：∵APD=90°（3）不变，∵ANM=45°理由：如图，∵∵AOD=90°，∵∵ADO+∵DAO=90°，∵DM∵AD，∵∵ADO+∵BDM=90°，∵∵DAO=∵BDM，∵NA是∵OAD的平分线，∵∵DAN=0.5∵DAO=0.5∵BDM，∵CB∵y轴，∵∵BDM+∵BMD=90°，∵∵DAN=0.5（90°﹣∵BMD），∵MN是∵BMD的角平分线，∵∵DMN=0.5∵BMD，∵∵DAN+∵DMN=0.5（90°﹣∵BMD）+0.5∵BMD=45°在∵DAM中，∵ADM=90°，∵∵DAM+∵DMA=90°，在∵AMN中，∵ANM=180°﹣（∵NAM+∵NMA）=180°﹣（∵DAN+∵DAM+∵DMN+∵DMA）=180°﹣[（∵DAN+DMN）+（∵DAM+∵DMA）] =180°﹣（45°+90°）=45°，∵D点在运动过程中，∵N的大小不变，求出其值为45°点睛：此题是四边形综合题，主要考查了非负数的性质，四边形面积的计算方法，角平分线的意义，解本题的关键是用整体的思想解决问题，也是本题的难点.17．如图，已知AM∥BN，∥A=60°，点P是射线M上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∥ABP和∥PBN，分别交射线AM于点C，D,（1）∥CBD=（2）当点P运动到某处时，∥ACB=∥ABD，则此时∥ABC=（3）在点P运动的过程中，∥APB与∥ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．【答案】（1）60°；（2）30°；（3）不变．【分析】（1）由AM∵BN可得∵ABN=180°-∵A，再由BC、BD均为角平分线可求解；（2）由AM∵BN可得∵ACB=∵CBN，再由∵ACB=∵ABD可得∵ABC =∵DBN；（3）由AM∵BN可得∵APB=∵PBN，再由BD为角平分线即可解答.【详解】解：（1）∵AM∵BN，∵∵ABN=180°﹣∵A=120°，又∵BC，BD分别平分∵ABP和∵PBN，∵∵CBD=∵CBP+∵DBP=12（∵ABP+∵PBN）=12∵ABN=60°，故答案为60°．（2）∵AM∵BN，∵∵ACB=∵CBN，又∵∵ACB=∵ABD，∵∵CBN=∵ABD，∵∵ABC=∵ABD﹣∵CBD=∵CBN﹣∵CBD=∵DBN，∵∵ABC=∵CBP=∵DBP=∵DBN，∵∵ABC=12∵ABN=30°，故答案为30°．（3）不变．理由如下：∵AM∵BN，∵∵APB=∵PBN，∵ADB=∵DBN，又∵BD平分∵PBN，∵∵ADB=∵DBN=12∵PBN=12∵APB，即∵APB：∵ADB=2：1．【点睛】本题考查了平行线的性质.18．问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∥EFG＝90°，∥EGF＝60°)”为主题开展数学活动．操作发现(1)如图(1)，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∥2＝2∥1，求∥1的度数；(2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∥AEF与∥FGC之间的数量关系；结论应用(3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∥AEG ＝α，则∥CFG等于______(用含α的式子表示)．【答案】(1)∵1＝40°；(2)∵AEF+∵GFC＝90°；(3)60°﹣α．【分析】（1）依据AB∵CD，可得∵1=∵EGD，再根据∵2=2∵1，∵FGE=60°，即可得出∵EGD1 3 =（180°﹣60°）=40°，进而得到∵1=40°；（2）根据AB∵CD，可得∵AEG+∵CGE=180°，再根据∵FEG+∵EGF=90°，即可得到∵AEF+∵GFC=90°；（3）根据AB∵CD，可得∵AEF+∵CFE=180°，再根据∵GFE=90°，∵GEF=30°，∵AEG=α，即可得到∵GFC=180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．【详解】（1）如图1．∵AB∵CD，∵∵1=∵EGD．又∵∵2=2∵1，∵∵2=2∵EGD．又∵∵FGE=60°，∵∵EGD13=（180°﹣60°）=40°，∵∵1=40°；（2）如图2．∵AB∵CD，∵∵AEG+∵CGE=180°，即∵AEF+∵FEG+∵EGF+∵FGC=180°．又∵∵FEG+∵EGF=90°，∵∵AEF+∵GFC=90°；（3）如图3．∵AB∵CD，∵∵AEF+∵CFE=180°，即∵AEG+∵FEG+∵EFG+∵GFC=180°．又∵∵GFE=90°，∵GEF=30°，∵AEG=α，∵∵GFC=180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．故答案为60°﹣α．【点睛】本题考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．试卷第21页，总21页。
相交线与平行线专项训练及解析答案
相交线与平行线专项训练及解析答案一、选择题1．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①符合对顶角的性质，故本小题正确；②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；③符合平行线的判定定理，故本小题正确；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．故选B．2．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360°C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180°【答案】D【解析】试题解析：如图，作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°，∵EF∥CD，∴∠γ=∠DEF，而∠AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+∠β=180°+∠γ，即∠α+∠β-∠γ=180°．故选：D ．3．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，故①正确；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B ，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．4．如图，已知正五边形ABCDE ，AF ∥CD ，交DB 的延长线于点F ，则∠DFA 的度数是（ ）A ．28°B ．30°C ．38°D ．36°【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到∠DFA=∠CDB ，根据三角形的内角和求出∠CDB 的度数从而得到∠DFA 的度数.【详解】 解：∠C=(52)1801085︒-⨯=，且CD=CB ， ∴∠CDB=∠CBD ∵由三角形的内角和∠C+∠CDB+∠CBD=180°∴∠CDB+∠CBD=180°-∠C =180°-108°=72°∴∠CDB==∠CBD=72362︒︒= 又∵AF ∥CD∴∠DFA=∠CDB=36°（两直线平行，内错角相等）故选D【点睛】本题主要考查多边形的基本概念和三角形的基本概念，正n 边形的内角读数为(2)180n n-⨯.5．下列结论中：①若a=b a b ；②在同一平面内，若a ⊥b ，b//c ，则a ⊥c ；③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；33( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：①若a=b 0≥a b②在同一平面内，若a ⊥b,b//c ，则a ⊥c ，正确③直线外一点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离 33正确的个数有②④两个6．如图，下列推理错误的是( )A．因为∠1＝∠2，所以c∥d B．因为∠3＝∠4，所以c∥dC．因为∠1＝∠3，所以a∥b D．因为∠1＝∠4，所以a∥b【答案】C【解析】分析：由平行线的判定方法得出A、B、C正确，D错误；即可得出结论．详解：根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠2，所以c∥d，故正确；根据同位角相等，两直线平行，可知因为∠3＝∠4，所以c∥d，故正确；因为∠1和∠3的位置不符合平行线的判定，故不正确；根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠4，所以a∥b，故正确.故选：C.点睛：本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．7．如图所示，b∥c，a⊥b，∠1=130°，则∠2=（）．A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】【分析】证明∠3=90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．【详解】如图，反向延长射线a交c于点M，∵b∥c，a⊥b，∴∠3=90°，∵∠1=90°+∠4，∴130°=90°+∠4，∴∠4=40°，∴∠2=∠4=40°，故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识8．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．9．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．对顶角互补C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等D ．如果点P 的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P 在直线y x =-的图像上．【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质定理对A 、C 进行判断；利用对顶角的性质对B 进行判断；根据直角坐标系下点坐标特点对D 进行判断．【详解】A ．两直线平行，同位角相等，故A 是假命题；B ．对顶角相等，故B 是假命题；C ．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故C 是假命题；D ．如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P 在直线y x =-的图像上，故D 是真命题故选：D【点睛】本题考查了真命题与假命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点．10．如图，11,,33AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒【答案】B【解析】【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．【详解】延长BC 、EF 交于点G∵//AB EF∴180ABG BGE +=︒∠∠∵60FCD ∠=︒∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠2236012033ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803=︒-⨯︒ 80=︒故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．11．下列图形中线段PQ 的长度表示点P 到直线a 的距离的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据点到直线的距离的定义，可得答案．【详解】由题意得PQ ⊥a ，P 到a 的距离是PQ 垂线段的长，故选C ．【点睛】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是解题关键．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解析】【分析】已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD＝36°，∴∠EDC＝72°﹣36°＝36°，∴∠DEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠A＝∠ABD，∠DBE＝∠BDE，∠DEC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠ABC＝∠C，∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是解题的关键．13．如图，∠BCD ＝95°，AB ∥DE ，则∠α与∠β满足（ ）A ．∠α+∠β＝95°B ．∠β﹣∠α＝95°C ．∠α+∠β＝85°D ．∠β﹣∠α＝85°【答案】D【解析】【分析】 过点C 作CF ∥AB ，然后利用两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补进行推理证明即可.【详解】解：过点C 作CF ∥AB∵AB ∥DE ，CF ∥AB∴AB ∥DE ∥CF∴∠BCF=∠α∠DCF+∠β=180°∴∠BCD ＝∠BCF +∠DCF∴∠α+180°-∠β=95°∴∠β﹣∠α＝85°故选：D【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是本题的解题关键.14．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（ ）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【解析】【分析】 先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.15．如图，1B ∠=∠，2C ∠=∠，则下列结论正确的个数有（ ）①//AD BC ；②B D ∠=∠；③//AB CD ；④2180B ∠+∠=︒A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】A【解析】【分析】根据∠1=∠B可判断AD∥BC，再结合∠2=∠C可判断AB∥CD，其余选项也可判断.【详解】∵∠1=∠B∴AD∥BC，①正确；∴∠2+∠B=180°，④正确；∵∠2=∠C∴∠C+∠B=180°∴AB∥CD，③正确∴∠1=∠D，∴∠D=∠B，②正确故选：A【点睛】本题考查平行的证明和性质，解题关键是利用AD∥BC推导出∠B+∠2=180°，为证AB∥DC 作准备.16．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°，再根据角平分线的定义可得答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠1=∠ABC=70°，∵BE平分∠ABC，∴1352CBE ABC∠=∠=︒，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．17．下列说法中错误的个数是( )(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(3)不相交的两条直线叫做平行线；(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】（1）应强调过直线外一点，故错误；（2）正确；（3）不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；（4）有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，角平分线的两个角也满足，但可以不是,故错误.错误的有3个，故选C.18．如图，小慧从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需要将方向调整到与出发时一致，则方向的调整应为（）A．左转80°B．右转80°C．左转100°D．右转100°【答案】B【解析】【分析】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，由题意可得∠A=60°，∠1=20°，根据平行线的性质可得∠A=∠2，∠3=∠1+∠2，进而可得答案.【详解】如图，延长AB到D，过C作CE//AD，∵此时需要将方向调整到与出发时一致，∴此时沿CE方向行走，∵从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，∴∠A=60°，∠1=20°，AM∥BN，CE∥AB，∴∠A=∠2=60°，∠1+∠2=∠3∴∠3=∠1+∠2=20°+60°=80°，∴应右转80°.故选B.【点睛】本题考查了方向角有关的知识及平行线的性质，解答时要注意以北方为参照方向，进行角度调整.19．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）A ．110°B ．120°C ．140°D ．150° 【答案】B【解析】【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°， 图b 中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B ．20．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】 根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••， 即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯， 解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=； 故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.。
相交线与平行线常考题目及答案(绝对经典)
相交线与平行线一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．如图所示，同位角共有（）A．6对 B．8对 C．10对D．12对二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是．三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．（直接写结论）19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF=．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴∥（）（3）∵∠ADF+ =180°（已知）∴AD∥BF（）27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．29．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以∥（）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=°．所以∠EAB=∠FBG（）．所以∥（同位角相等，两直线平行）．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）所以∠1=∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3=180°（已知）∠3=∠6（）所以∠2+∠6=180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．（1）在图1 中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．38．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？40．已知直线AB∥CD，（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是．（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．41．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF 的度数．42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）又∠1=∠2，从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣．（等式的性质）即∠3=．∴DF∥AE．（）．43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：（1）AB∥EF．（2）AB∥ND．45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB．46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC=．（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC=．（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是．47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F的度数．48．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．50．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？参考答案及解析一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行．【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，∴l2⊥l8．∵l1⊥l2，∴l1∥l8．故选A【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
相交线与平行线经典测试题附答案
17．如图，直线 被直线 所截， ，则 的大小是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据对顶角相等得到 ，再根据平行线的判定得到a∥b，再根据平行线的性质得到 即可得到答案.
∴∠1=180°-∠3=50°，
∵∠2-∠1=15°，
∴∠2=15°+∠1=65°；
故答案为D.
【点睛】
本题考查角的运算，邻补角的性质，比较简单.
2．如图，直线 ， ，如果 ， ， ，那么点 到直线 的距离为（）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离是指垂线段的长度，根据AB⊥AC，得出点C到直线AB的距离为AC．
【详解】
解：由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，结合CE是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF，再由EC∥BF可得∠ACE=∠F=∠G，则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得，∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC，共有5个与∠ECB相等的角，
【详解】
解： 标记为如下图所示，
∵ 是对顶角，
∴ （对顶角相等），
又∵ ，
∴ ，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ ，
故A为答案.
【点睛】
本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）、直线平行的判定（同旁内角互补，两直线平行）、直线平行的性质（两直线平行，内错角相等），能灵活运用所学知识是解题的关键..
平行线与相交线经典题
平行线与相交线经典题一、经典题示例1. 已知直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，若∠1 = 50°，求∠2的度数。
这题很简单啦，因为两直线平行，同位角相等嘛。
可这里没说a和b平行哦，所以∠2的度数是不能确定的呢。
2. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1 = 72°，求∠2的度数。
首先我们知道AB∥CD，所以∠1+∠BEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
因为∠1 = 72°，所以∠BEF = 180° - 72° = 108°。
又因为EG平分∠BEF，所以∠BEG = 1/2∠BEF = 54°。
而∠2 = ∠BEG（两直线平行，内错角相等），所以∠2 = 54°。
二、较难题型1. 有两条直线l1和l2，l1上有A、B两点，l2上有C、D两点，连接AC、BD，若∠CAB和∠ABD的平分线相交于点E，∠CAB = 100°，∠ABD = 120°，求∠AEB的度数。
这题有点绕呢。
我们可以先根据三角形内角和定理来做。
因为AE平分∠CAB，所以∠EAB = 1/2∠CAB = 50°。
同理，∠EBA = 1/2∠ABD = 60°。
在△AEB中，根据三角形内角和为180°，可得∠AEB = 180° - 50° - 60° = 70°。
2. 已知直线a∥b，直线c与a、b相交，点A在直线a上，点B在直线b上，点M在直线c上，且AM⊥c，BM与c的夹角为30°，求∠AMB的度数。
这题要分情况讨论哦。
当点M在a、b之间时，∠AMB = 90°+30° = 120°；当点M不在a、b之间时，∠AMB = 90° - 30° = 60°。
相交线与平行线常考题目及答案(绝对经典)
相交线与平行线一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．如图所示，同位角共有（）A．6对 B．8对 C．10对D．12对二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是．三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．（直接写结论）19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF=．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴∥（）（3）∵∠ADF+ =180°（已知）∴AD∥BF（）27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．29．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以∥（）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=°．所以∠EAB=∠FBG（）．所以∥（同位角相等，两直线平行）．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）所以∠1=∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3=180°（已知）∠3=∠6（）所以∠2+∠6=180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．（1）在图1 中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．38．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？40．已知直线AB∥CD，（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是．（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．41．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF 的度数．42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）又∠1=∠2，从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣．（等式的性质）即∠3=．∴DF∥AE．（）．43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：（1）AB∥EF．（2）AB∥ND．45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB．46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC=．（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC=．（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是．47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F的度数．48．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．50．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？参考答案及解析一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行．【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，∴l2⊥l8．∵l1⊥l2，∴l1∥l8．故选A【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
相交线与平行线常考题目及答案(绝对经典)
相交线与平行线一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l 3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个3．如图所示，同位角共有（）A．6对B．8对C．10对D．12对二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3= ．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是．三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．（直接写结论）19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF= ．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴∥（）（3）∵∠ADF+ =180°（已知）∴AD∥BF（）27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．29．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF 平行吗？解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以∥（）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2= °．所以∠EAB=∠FBG（）．所以∥（同位角相等，两直线平行）．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）所以∠1=∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3=180°（已知）∠3=∠6（）所以∠2+∠6=180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．（1）在图1 中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．.37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．38．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？40．已知直线AB∥CD，（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是．..（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD 和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．41．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数．42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）又∠1=∠2，从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣．（等式的性质）即∠3= ．∴DF∥AE．（）．43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．..（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：（1）AB∥EF．（2）AB∥ND．45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB．46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC= ．（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC= ．（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是．47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F的度数．..48．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．50．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？.. ... 参考答案及解析一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l 3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行．【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，∴l2⊥l8．∵l1⊥l2，∴l1∥l8．故选A【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．..故选A ．【点评】本题解决的关键是由已知联想到可以转化为求∠1和∠AOF 的余角．3．如图所示，同位角共有（ ）A ．6对B ．8对C ．10对D ．12对【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM 、HN 后，增加了多少对同位角，求总和．【解答】解：如图，由AB 、CD 、EF 组成的“三线八角”中同位角有四对， 射线GM 和直线CD 被直线EF 所截，形成2对同位角；射线GM 和直线HN 被直线EF 所截，形成2对同位角；射线HN 和直线AB 被直线EF 所截，形成2对同位角．则总共10对．故选C ．【点评】本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成 8 块．【分析】一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成23=8块．【解答】解：长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2块，第二次在第一次的基础上增加2倍，第三次在第二次的基础上又增加2倍，故最多能被分成8块．【点评】本题考查了学生的空间想象能力，分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键．5．如图，P 点坐标为（3，3），l 1⊥l 2，l 1、l 2分别交x 轴和y 轴于A 点和B点，则四边形OAPB 的面积为 9 ．..【分析】过P 分别作x 轴和y 轴的垂线，交x 轴和y 轴与C 和D ．构造全等三角形△PDB ≌△PCA （ASA ）、正方形CODP ；所以S 四边形OAPB =S 正方形ODPC =3×3=9．【解答】解：过P 分别作x 轴和y 轴的垂线，交x 轴和y 轴于点C 和D ． ∵P 点坐标为（3，3），∴PC=PD ；又∵l 1⊥l 2，∴∠BPA=90°；又∵∠DPC=90°，∴∠DPB=∠CPA ，在△PDB 和△PCA 中∴△PDB ≌△PCA （ASA ），∴S △DPB =S △PCA ，S 四边形OAPB =S 正方形ODPC +S △PCA ﹣S △DPB ，即S 四边形OAPB =S 正方形ODPC =3×3=9．故答案是：9．【点评】本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形的面积．解答此题时，利用了“割补法”求四边形OAPB 的面积．6．如图，直线l 1∥l 2，∠1=20°，则∠2+∠3= 200° ．.. 【分析】过∠2的顶点作l 2的平行线l ，则l ∥l 1∥l 2，由平行线的性质得出∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，即可得出∠2+∠3=200°．【解答】解：过∠2的顶点作l 2的平行线l ，如图所示：则l ∥l 1∥l 2，∴∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°+20°=200°；故答案为：200°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE ∥BC ，则∠AFD 的度数是 75° ．【分析】根据平行线的性质得到∠EDC=∠E=45°，根据三角形的外角性质得到∠AFD=∠C+∠EDC ，代入即可求出答案．【解答】解：∵∠EAD=∠E=45°，∵AE ∥BC ，∴∠EDC=∠E=45°，∵∠C=30°，∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能利用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，难度适中．三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF 分别与直线AB ，CD 相交于点F ，E ，EM 平∠FED ，AB ∥CD ，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．【分析】（1）首先作MQ∥AB，根据平行线的性质，推得∠M=（∠FHP+∠HFP）；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M的度数即可．（2）①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．②首先判断出∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°﹣2∠ENQ即可．【解答】解：（1）如图1，作MQ∥AB，，∵AB∥CD，MQ∥AB，∴MQ∥CD，∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=（∠FHP+∠FED）=（∠FHP+∠HFP），∵HP⊥EF，∴∠HPF=90°，∴∠FHP+∠HFP=180°﹣90°=90°，∵∠1+∠2=∠M，∴∠M=．（2）①如图2，，∠FHE=2∠ENQ，理由如下：∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，∵NQ⊥EM，∴∠NEQ+∠ENQ=90°，∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，∵AB∥CD，∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．②如图3，，∠FHE=180°﹣2∠ENQ，理由如下：∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=（∠DEF﹣∠HEF）=∠HED，∵NQ⊥EM，∴∠NEQ+∠ENQ=90°，∴∠ENQ=（180°﹣∠HED）=∠CEH，∵AB∥CD，∴∠FHE=180°﹣∠CEH=180°﹣2∠ENQ．综上，可得当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°﹣2∠ENQ．【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2个交点；4条直线相交有1+2+3个交点；5条直线相交有1+2+3+4个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；…n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=个交点．【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交有个交点．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等得到答案；（2）设∠EOC=4x，根据邻补角的概念列出方程，解方程求出∠EOC=80°，根据角平分线的定义和对顶角相等计算即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠EOC=70°，OA平分∠EOC，∴∠AOC=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）设∠EOC=4x，则∠EOD=5x，∴5x+4x=180°，解得x=20°，则∠EOC=80°，又∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=40°，∴∠BOD=∠AOC=40°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？【分析】（1）、（2）根据平角的性质求得∠AOF，又有角平分线的性质求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD=∠FOC；∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，∠BOD=∠EOD﹣∠BOE；（3）由（1）、（2）的结果找出它们之间的倍数关系．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，∴∠AOF=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．【点评】本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．【分析】（1）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数，（2）过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，即可求出∠BED的度数，【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥PQ，∵∠CBN=100°，∠ADQ=130°，∴∠CBM=80°，∠ADP=50°，∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDP=∠ADP=25°，∵EF∥PQ，∴∠DEF=∠EDP=25°，∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN．∴∠FEB=∠EBM=40°∴∠BED=25°+40°=65°；（2）如图2，过点E作EF∥PQ，∵∠CBN=100°，∴∠CBM=80°，∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDQ=∠ADQ=n°，∵EF∥PQ，∴∠DEF=180°﹣∠EDQ=180°﹣n°，∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN，∴∠FEB=∠EBM=40°，∴∠BED=180°﹣n°+40°=220°﹣n°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，运用角平分线与平行线的性质相结合来求∠BED解题的关键．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据平角等于180°，列式计算即可得解；（2）根据三角形的外角性质求出∠4，然后根据同位角相等，两直线平行解答．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠1=26°，∴∠2=180°﹣∠1﹣∠ACB，=180°﹣90°﹣26°，=64°；（2）结论：n∥m．理由如下：∵∠3=19°，∠A=45°，∴∠4=45°+19°=64°，∵∠2=64°，∴∠2=∠4，∴n∥m．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2．（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；过P作直线PQ∥l1∥l2，则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，∴∠3=∠2﹣∠1．（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1∥l2；同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，即可得出结论；（2）由（1）的结论代入计算即可．【解答】解：（1）∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°；理由如下：延长NP交BC于M，如图所示：∵AB∥PN∥CD，∴∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，∵∠PCD=∠BCD﹣∠BCP=∠ABC﹣∠BCP，∴∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°．（2）由（1）得：∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°，则∠BCP=∠ABC+∠CPN﹣180°=155°+42°﹣180°=17°．【点评】本题考查了平行线的性质；熟记平行线的性质是解决问题的关键．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质和等量关系可得∠EAD+∠D=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；（2）根据平行线的性质可得∠AEB=∠C，根据三角形内角和定理和等量关系即可得到∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠EAD=∠C，∴∠EAD+∠D=180°，∴AE∥CD；（2）∵AE∥CD，∴∠AEB=∠C，∵∠FEC=∠BAE，∴∠B=∠EFC=50°．【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是证明AE∥CD．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．【分析】（1）首先作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，据此分别判断出∠B=∠1，∠D=∠2，即可判断出∠B+∠D=∠E，据此解答即可．（2）首先作EF∥AB，即可判断出∠B=∠1；然后根据∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，可得∠D=∠2，据此判断出EF∥CD，再根据EF∥AB，可得AB∥CD，据此判断即可．（3）首先过E作EF∥AB，即可判断出∠BEF+∠B=180°，然后根据EF∥CD，可得∠D+∠DEF=180°，据此判断出∠E+∠B+∠D=360°即可．（4）首先根据AB∥CD，可得∠B=∠BFD；然后根据∠D+∠E=∠BFD，可得∠D+∠E=∠B，据此解答即可．（5）首先作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，根据AB∥CD，可得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，所以∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；然后根据∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，可得∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，据此判断即可．【解答】解：（1）如图1，作EF∥AB，，∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠D=∠2，∴∠B+∠D=∠1+∠2，又∵∠1+∠2=∠E，∴∠B+∠D=∠E．（2）如图2，作EF∥AB，，∵EF∥AB，∴∠B=∠1，∵∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，∴∠D=∠2，∴EF∥CD，又∵EF∥AB，∴AB∥CD．（3）如图3，过E作EF∥AB，，∵EF∥AB，∴∠BEF+∠B=180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF=180°，∵∠BEF+∠DEF=∠E，∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°．（4）如图4，，∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∵∠D+∠E=∠BFD，∴∠D+∠E=∠B．（5）如图5，作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，，又∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；∵∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为∠P+n∠Q=360°．（直接写结论）【分析】（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可．（2）首先由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF=，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°．（3）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+3∠Q=360°．（4）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+n∠Q=360°．【解答】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，又∵∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，，由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）==，∴∠EPF+2∠EQF=360°．（3）如图3，，由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=×（360°﹣∠P），∴∠P+3∠Q=360°．（4）由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=×（360°﹣∠P），∴∠P+n∠Q=360°．故答案为：∠P+n∠Q=360°．【点评】此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．【分析】设∠1=x，根据题意表示出∠2，再表示出∠3，然后根据邻补角的和等于180°列式求出x，再根据对顶角相等求出∠4即可．【解答】解：设∠1=x，则∠2=x，∠3=8x，依题意有x+x+8x=180°，解得x=18°，则∠4=18°+18°=36°．故∠4的度数是36°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角的定义，准确识图，设出未知数并列出方程是解题的关键．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【分析】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．【解答】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【点评】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF= ．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．【分析】（1）由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由角平分线的定义可知∠BOE=∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB求解即可；（2）①先证明∠AOE=∠COE=x，然后由角平分线的定义可知∠FOE=；②∠BOE=∠FOE﹣∠FOB可知∠BOE=x﹣15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而可求得∠AOC的度数．【解答】解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF﹣∠BOD，∴∠FOB=90°﹣70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠BOD=×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°，（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE=x，故答案为：；②∵∠BOE=∠FOE﹣∠FOB，∴∠BOE=x﹣15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴x﹣15°+x=180°，解得：x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°﹣130°）=100°．【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．【分析】（1）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，设∠BOE=2x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）根据角平分线的定义求出∠AOF的度数即可．【解答】解：（1）设∠BOE=2x，则∠EOD=3x，∠BOD=∠AOC=75°，∴2x+3x=75°，解得，x=15°，则2x=30°，3x=45°，∴∠BOE=30°；（2）∵∠BOE=30°，∴∠AOE=150°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=75°，∴∠COF=∠AOC，∴OA是∠COF的角平分线．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．【分析】（1）设∠BOE=x，根据题意列出方程，解方程即可；（2）分射线OF在∠AOD的内部和射线OF在∠BOC的内部两种情况，根据垂直的定义计算即可．【解答】解：（1）∵∠AOC=72°，∴∠BOD=72°，∠AOD=108°，设∠BOE=x，则∠DOE=2x，由题意得，x+2x=72°，解得，x=24°，∴∠BOE=24°，∠DOE=48°，∴∠AOE=156°；（2）若射线OF在∠BOC的内部，∠DOF=90°+48°=138°，若射线OF在∠AOD的内部，∠DOF=90°﹣48°=42°，∴∠DOF的度数是138°或42°．【点评】本题考查的是对顶角和邻补角的概念和性质以及垂直的定义，掌握对顶角相等、邻补角的和是180°是解题的关键．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．（2）由已知条件和对顶角相等得出∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，得出∠ONF=90°，求出∠OFM=54°，延长∠OFG=2∠OFM=108°，证出∠OFG+∠EOC=180°，即可得出结论．【解答】解：∵∠EOC：∠EOD=2：3，∴∠EOC=180°×=72°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°．（2）延长FM交AB于N，如图所示：∵∠MFH﹣∠BOD=90°，FM平分∠OFG，∴∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，∴∠ONF=126°﹣36°=90°，∴∠OFM=90°﹣36°=54°，∴∠OFG=2∠OFM=108°，∴∠OFG+∠EOC=180°，∴OE∥GH．【点评】本题考查了平行线的判定、角平分线定义、角的互余关系等知识；熟练掌握平行线的判定、角平分线定义是解决问题的关键，（2）有一定难度．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余角的概念计算即可；（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE=70°，∴∠BOC=2∠BOE=140°，∴∠AOC=180°﹣140°=40°，又∠COF=90°，∴∠AOF=90°﹣40°=50°；（2）∵∠BOD：∠BOE=1：2，OE平分∠BOC，∴∠BOD：∠BOE：∠EOC=1：2：2，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=36°，又∵∠COF=90°，∴∠AOF=90°﹣36°=54°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴CD ∥AB （内错角相等，两直线平行）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴AC ∥BD （同位角相等，两直线平行）（3）∵∠ADF+ ∠5 =180°（已知）∴AD∥BF（同旁内角互补，两直线平行）【分析】（1）由∠3=∠4根据平行线的判定推出CD∥AB；（2）由∠DBE=∠CAB，根据同位角相等，两直线平行得出答案；（3）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠3=∠4（已知），∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），（2）∵∠DBE=∠CAB（已知），∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行），（3）∵∠ADF+∠5=180°（已知），∴AD∥BF（同旁内角互补，两直线平行）．。
(完整word版)相交线与平行线常考题目及答案(绝对经典)
相交线与平行线一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．如图所示，同位角共有（）A．6对 B．8对 C．10对D．12对二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是．评卷人得分三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB 上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C 的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．（直接写结论）19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF=．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH ﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴∥（）（3）∵∠ADF+ =180°（已知）∴AD∥BF（）27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．29．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以∥（）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=°．所以∠EAB=∠FBG（）．所以∥（同位角相等，两直线平行）．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）所以∠1=∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3=180°（已知）∠3=∠6（）所以∠2+∠6=180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．（1）在图1 中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D 的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．38．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？40．已知直线AB∥CD，（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是．11（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．41．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数．42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）又∠1=∠2，从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣．（等式的性质）即∠3=．∴DF∥AE．（）．43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．试卷第12页，总15页（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：（1）AB∥EF．（2）AB∥ND．45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB．46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC=．（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC=．（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是．47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F的度数．1348．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．50．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？试卷第14页，总15页15参考答案及解析一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行．【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，∴l2⊥l8．∵l1⊥l2，∴l1∥l8．故选A【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
相交线与平行线难题汇编及答案
相交线与平行线难题汇编及答案一、选择题1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1=15°，∠3=130°．则∠2的度数是()A．37.5°B．75°C．50°D．65°【答案】D【解析】【分析】先根据条件和邻补角的性质求出∠1的度数，然后即可求出∠2的度数．【详解】）∵∠3=130°，∠1+∠3=180°，∴∠1=180°-∠3=50°，∵∠2-∠1=15°，∴∠2=15°+∠1=65°；故答案为D.【点睛】本题考查角的运算，邻补角的性质，比较简单.2．下列说法中，正确的是（）A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C．垂于同一条直线的两条直线平行D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可．【详解】A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意；C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意；D、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质和判定，平行线公理及推论，能熟记知识点的内容是解题的关键．3．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，故①正确；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B ，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．4．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，EG 平分∠AEF ，如果∠1=32°，那么∠2的度数是( )A．64°B．68°C．58°D．60°【答案】A【解析】【分析】首先根据平行线性质得出∠1=∠AEG，再进一步利用角平分线性质可得∠AEF的度数，最后再利用平行线性质进一步求解即可.【详解】∵AB∥CD，∴∠1=∠AEG．∵EG平分∠AEF，∴∠AEF=2∠AEG，∴∠AEF=2∠1=64°，∵AB∥CD，∴∠2=64°．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线性质以及平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.5．如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB交BD于点O，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠F＝∠G，则图中与∠ECB相等的角有( )A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】B【解析】【分析】由对顶角关系可得∠EOD=∠COB，则由∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，再结合CE是角平分线即可判断.【详解】解：由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，结合CE是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF，再由EC∥BF可得∠ACE=∠F=∠G，则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得，∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC，共有5个与∠ECB相等的角，故选择B.【点睛】本题综合考查了平行线的判定及性质.6．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p,q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】到l1距离为2的直线有2条，到l2距离为1的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（2，1）的点．【详解】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是2，1的点，即距离坐标是（2，1）的点，因而共有4个．故选：D．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：到一条已知直线距离为定值的直线有两条．7．如图，直线a∥b，直角三角开的直角顶点在直线b上，一条直角边与直线a所形成的∠1=55°，则另外一条直角边与直线b所形成的∠2的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】C【解析】如图所示：∵直线a ∥b ，∴∠3=∠1=55°，∵∠4=90°，∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2=180°-55°-90°=35°．故选C ．8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A 是72°，第二次拐弯处的角是∠B ，第三次拐弯处的∠C 是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B 等于( )A ．81°B ．99°C ．108°D ．120°【答案】B【解析】 试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=，∵153C ∠=，∴27DBC ∠=，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=故选B.9．如图，若AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（ ）A ．∠α+∠β+∠γ=180°B ．∠α+∠β﹣∠γ=360°C ．∠α﹣∠β+∠γ=180°D ．∠α+∠β﹣∠γ=180°【答案】D【解析】试题解析：如图，作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，∵EF ∥AB ，∴∠α+∠AEF=180°，∵EF ∥CD ，∴∠γ=∠DEF ，而∠AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+∠β=180°+∠γ，即∠α+∠β-∠γ=180°．故选：D ．10．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有30角的直角三角尺按如图所示的方式放置（30PNG ∠=︒），若75EMB ∠=︒，则PNM ∠的度数是（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．75︒【答案】B【解析】【分析】 根据75EMB ∠=︒，可以计算75END ∠=︒（两直线平行，同位角相等），又由75END PNM PNG ∠=∠+∠=︒，30PNG ∠=︒从而得到PNM ∠的度数.【详解】解：∵//AB CD ，∴75EMB EFD ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等），又∵30PNG ∠=︒，75END PNM PNG ∠=∠+∠=︒，∴753045PNM END PNG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为B.【点睛】本题主要考查了两直线平行的性质. 牢记知识点: 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；11．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是()A．平行B．垂直C．相交D．以上都不对【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：①当b∥d时；②当b和d相交但不垂直时；③当b和d垂直时；即可得出a与c的关系．【详解】当b∥d时a∥c；当b和d相交但不垂直时，a与c相交；当b和d垂直时，a与c垂直；a和c可能平行，也可能相交，还可能垂直．故选：D．【点睛】本题考查了直线的位置关系，掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键．12．如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则图中与∠DFM相等的角（不含它本身）的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】解：∵FM平分∠EFD，∴∠EFM=∠DFM=12∠CFE．∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=∠GEF=12∠AEF．∵EM平分∠BEF，∴∠BEM=∠FEM=12∠BEF，∴∠GEF+∠FEM=12（∠AEF+∠BEF）=90°，即∠GEM=90°，∠FEM+∠EFM=12（∠BEF+∠CFE）．∵AB∥CD，∴∠EGF=∠AEG，∠CFE=∠AEF，∴∠FEM+∠EFM=12（∠BEF+∠CFE）=12（BEF+∠AEF）=90°，∴在△EMF 中，∠EMF =90°，∴∠GEM =∠EMF ，∴EG ∥FM ，∴与∠DFM 相等的角有：∠EFM 、∠GEF 、∠EGF 、∠AEG 以及∠GEF 、∠EGF 、∠AEG 三个角的对顶角．故选C ．点睛：重点考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定定理，推导较复杂．13．如图，△ABC 中，∠C=90°，则点B 到直线AC 的距离是 ( )A ．线段ABB ．线段AC C ．线段BCD ．无法确定【答案】C【解析】【分析】直接利用点到直线的距离定义得出答案．【详解】解：如图，三角形ABC 中，∠C=90°，则点B 到直线AC 的距离是：线段BC ．故选：C ．【点睛】本题考查点到之间的距离，正确把握相关定义是解题关键．14．下列说法中不正确的是（ ）①过两点有且只有一条直线②连接两点的线段叫两点的距离③两点之间线段最短④点B 在线段AC 上，如果AB=BC ，则点B 是线段AC 的中点A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B【解析】【分析】依据直线的性质、两点间的距离、线段的性质以及中点的定义进行判断即可．【详解】①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误③两点之间线段最短，正确；④点B 在线段AC 上，如果AB=BC ，则点B 是线段AC 的中点，正确；故选B ．15．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（ ）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【解析】【分析】 先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.16．如图//,AB CD EG EH FH ，、、分别平分,,,CEF DEF EFB ∠∠∠则图中与BFH ∠相等的角（不含它本身）的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】 先根据平行线的性质得到CEF EFB ∠=∠，CEG EGB ∠=∠，再利用把角平分线的性质得到CEG FEG EFH BFH ∠=∠=∠=∠，最后对顶角相等和等量替换得到答案.【详解】解：如图，做如下标记，∵//AB CD ，∴,CEF EFB ∠=∠CEG EGB ∠=∠（两直线平行，内错角相等），又∵EG 、FH 分别平分,,CEF EFB ∠∠∴CEG FEG EFH BFH ∠=∠=∠=∠,又∵CEG NEG ∠=∠，FEG MEN ∠=∠，EGB AGP ∠=∠（对顶角相等），∴BFH ∠=CEG FEG EFH MEN NED EGF AGP ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠（等量替换）故与BFH ∠相等的角有7个，故C 为答案.【点睛】本题主要考查直线平行的性质、对顶角的性质（对顶角相等）、角平分线的性质（角平分线把角分为两个大小相等的角）还有等量替换，把所学知识灵活运用是解题的关键.17．如图，直线,AB CD 相交于点,50,O AOC OE AB ︒∠=⊥，则DOE ∠的大小是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．70︒D ．90︒【答案】A【解析】【分析】 根据对顶角的性质，把BOD ∠的度数计算出来，再结合OE AB ⊥，即可得到答案.【详解】解：∵50AOC ∠=︒，∴50BOD ∠=︒（对顶角相等），又∵OE AB ⊥，∴90EOB ∠=︒，∴905040DOE BOE DOB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故A 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等），判断,BOD AOC ∠∠是对顶角是解题的关键.18．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】D【解析】【分析】 由平行线的性质可求得∠C ，在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE 的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．19．下列说法中错误的个数是( )(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(3)不相交的两条直线叫做平行线；(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】（1）应强调过直线外一点，故错误；（2）正确；（3）不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；（4）有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，角平分线的两个角也满足，但可以不是,故错误.错误的有3个，故选C.20．如图，一副三角板按如图所示的位置摆放，其中//AB CD ，45A ∠=︒，60C ∠=°，90AEB CED ∠=∠=︒，则AEC ∠的度数为（ ）A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°【答案】C【解析】【分析】 延长CE 交AB 于点F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠C ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长CE 交AB 于点F ，∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠C＝60°，在△AEF中，由三角形的外角性质得，∠AEC＝∠A+∠AFE＝45°+60°＝105°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键．。
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1.如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）A、80B、50C、30D、202.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（）A、43°B、47°C、30°D、60°3.如图，直线a∥b，那么∠x的度数是_________ ．4.如图，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。
试说明：∠BFE=∠FEC。
5.如图，已知AB∠∠∠∠∠∠图，DB∥FG∥EC，∠ACE=36°，AP平分∠BAC，∠PAG=12°，则∠ABD= _________ 度．6.已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．7.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．8.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．9.如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗说明理由．（2）AD与BC的位置关系如何为什么（3）BC平分∠DBE吗为什么10.四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，（1）分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系；（2）选择其中一个图形，证明你得出的结论．11已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系12.已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD．13.如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．14.如图AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．15.如图，∠1=∠2，∠2=∠G，试猜想∠2与∠3的关系并说明理由．16.如图，点E 、F 、M 、N 分别在线段AB 、AC 、BC 上，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，判断∠CEB 与∠NFB 是否相等请说明理由．17.如图，已知OA∥BE，OB 平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE 和CD 有怎样的位置关系为什么18.如图，DH 交BF 于点E ，CH 交BF 于点G ，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．试判断CH 和DF 的位置关系并说明理由．19.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．20如图，已知：点A 在射线BG 上，∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠EAB=∠BCD． 求证：EF∥CD．21.如图，六边形ABCDEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，CM 平分∠BCD 交AF 于M ，FN 平分∠AFE 交CD 于N ．试判断CM 与FN 的位置关系，并说明理由．22.如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，点E 、F 分别在AD 、BC 边上，连接AC 交EF 于G ，∠1=∠BAC．（1）求证：EF∥CD；（2）若∠CAF=15°，∠2=45°，∠3=20°，求∠B 和∠ACD 的度数．23.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6cm ，CD=4cm ，BC=BD=10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE ∥AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ=225S △BCD 若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化说明理由．1.如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是____度。
第1题 第2题第3题 1 A E D C B F12 32．如图，把矩形沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（ ）3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（ ）4. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o ，那么∠2的度数是（ ）5. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与∠2互余的角是 ． 第5题 第6题6．光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜 AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。
若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等于（ ）7.、把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）A 、115°B 、120°C 、145°D 、1358、如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A 、30°B 、45°C 、40°D 、50°第7题 第8题 第9题 第10题9、如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）A 、25°B 、30°C 、20°D 、35°10、如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE 等于（ ）A 、23°B 、16°C 、20°D 、26°11、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）A 、43°B 、47°C 、30°D 、60°12、如图，已知L1∥L2，MN 分别和直线l1、l2交于点A 、B ，ME 分别和直线l1、l2交于点C 、D ，点P 在MN 上（P 点与A 、B 、M 三点不重合）．（1）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由；（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）．13.如图（6），DE ⊥AB ，EF ∥AC ，∠A=35°，求∠DEF 的度数。
14．如图14，AD 是CAB ∠的角平分线，//DE AB ，//DF AC ，EF 交AD 于点O ．1 2 3 4 5 6E D B C′F C D ′A 请问：（1）DO 是EDF ∠的角平分线吗如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（2）若将结论与AD 是CAB ∠的角平分线、//DE AB 、//DF AC 中的任一条件 交换，•所得命题正确吗15.如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。
试说明：AD ∥BE 。
16.如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°，45A ∠=°，那么E ∠的大小为（ ） （A ）70° （B ）80° （C ）90° （D ）100° 17.图(二)中有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角。
关于这七个角的度数关系，下列何者正确 A ．742∠∠∠＋＝ B 。
613∠∠∠＋＝ C ．︒∠∠∠180641＝＋＋ D 。
︒∠∠∠360532＝＋＋18.如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于A .70°B .65°C .50°D .25°19．平面上有11条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现36个交点，怎样安排才能办到画出一种图形。
20.（a ）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。
（b ）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。
21．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A 落在A′处，BC 为折痕，如果BD 为∠ABE 的平分线，则∠CBD=（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．70°22．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 、CD 相交，则有（ ）A ．∠1+∠2﹣∠3=180°B ．∠1﹣∠2+∠3=180°C ．∠3+∠2﹣∠1=180°D ．∠1+∠2+∠3=180°23．如图，光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3= _________ °．24题 25题26题A DBC E F 1 23 424．如图，O是直线AB上一点，已知∠1＞∠2，那么∠2与（∠1﹣∠2）之间的关系一定是_________ ．25．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2= _________ ．27．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是_________ 度．26．将一个直角三角板和一把矩形直尺按如图放置，若∠α=54°，则∠β的度数是_________ ．27．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠AEF，过点F 作FP⊥EP，垂足为P，若∠PEF=30°，则∠PFC= _________ 度．28．如图AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，且EG平分∠AEF，∠1=34°，则∠2= _________ ．29．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= _________ 度．30．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=___ 度．31．平面上5个圆两两相交，最多有多少个不同的交点最多将平面分成多少块区域32．平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。