圆锥曲线高考选择填空压轴题专练

圆锥曲线高考选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．过抛物线C ： 24y x =上一点()00,P x y 作两条直线分别与抛物线相交于A ， B 两点，连接AB ，若直线AB 的斜率为1，且直线PA ， PB 与坐标轴都不垂直，直线PA ，PB 的斜率倒数之和为3，则0y =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，因为点()00,P x y 在抛物线24y x =上，所以200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线PA 的方程为20014y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，代入抛物线方程得220011440y y y y k k -+-= ，其解为0y 和014y k - ，则()201021144,4y k A y k k ⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭ ，同理可得()202022244,4y k B y k k ⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭，则由题意，得()()001222010222124414444y y k k y k y k k k ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=--- ，化简，得01211214y k k ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭, 故选D. 2．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b-=>>：，抛物线224C y x =：， 1C 与2C 有公共的焦点F ， 1C 与2C 在第一象限的公共点为M ，直线MF 的倾斜角为θ，且12cos 32aaθ-=-，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A. 仅有两个不同的离心率12,e e 且()()121,2,4,6e e ∈∈B. 仅有两个不同的离心率12,e e 且()()122,3,4,6e e ∈∈ C. 仅有一个离心率e 且()2,3e ∈ D. 仅有一个离心率e 且()3,4e ∈ 【答案】C 【解析】24y x = 的焦点为()1,0 ， ∴ 双曲线交点为()1,0，即1c = ，设M 横坐标为x ，则0000011,1,121p a x ex a x x a x a a++=-+=-=- ，001111112cos 1132111a x aa a x a aθ+----===++-+- ， 可化为2520a a -+= ， ()22112510,2510g e e e a a ⎛⎫⨯-⨯+==-+= ⎪⎝⎭，()()()()200,10,20,30,1,2510g g g g e e e >∴-+= 只有一个根在()2,3 内，故选C.3．已知点1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若2ABF 为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ()1 B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎛⎝⎭D. )1,1【答案】D【解析】由于2ABF 为锐角三角形，则2212145,tan 12b AF F AF F ac∠<∠=<， 22b ac < ， 2222,210a c ac e e -+-，1e <或1e >，又01e <<，11e << ，选D .4．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =,则该双曲线的离心率为A.B. C. D. 2【答案】A【解析】由()2,0F c 到渐近线by x a=的距离为d b == ，即有2AF b = ，则23BF b = ，在2AF O ∆ 中， 22,,,bOA a OF c tan F OA a==∠=224tan 1bb a AOB a b a ⨯∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得222a b = ，即有222232c a b a =+= ，即有62c e a == ，故选A. 5．焦点为F 的抛物线C ： 28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A. 2y x =+或2y x =--B. 2y x =+C. 22y x =+或22y x =-+D. 22y x =-+ 【答案】A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF===∠∠，则当MA MF取得最大值时， MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．6．设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点， (),0F c 是右焦点，若抛物线224a y x c=-的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠=，则双曲线的离心率的范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]1,2C. (]1,3D. [)3,+∞ 【答案】A【解析】抛物线的准线方程为2a x c =,正好是双曲的右准线.由于AF= c a -,所以AF弦,圆心)2a c O c a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭,半径R c a =-圆上任取一点P, 30APF ∠=,现在转化为圆与准线相交问题.所以()22a c a c a c+-≤-,解得2e ≥.填A. 7．中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上， A 为该椭圆右顶点， P 为椭圆上一点，090OPA ∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 （ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 1,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D. 0,2⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，设P(x,y)，点P 在以OA 为直径的圆上。

圆的方程： 22222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简为220x ax y -+=，2222220{1(0)x ax y x y a b a b-+=+=>>可得()2223220b a x a x a b -+-=。

则22,0,ab x x a c =<<所双220,ab a c<<1e <<，选B. 8．正三角形ABC 的两个顶点,A B 在抛物线22(0)x py p =>上，另一个顶点C 是此抛物线焦点，则满足条件的三角形ABC 的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】由题可知其焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭作倾斜角为60︒与倾斜角为120︒的直线，分别与抛物线22(0)x py p =>相交天两点,,,A B C D ．如图，则,AFC BFD 均为正三角形．故本题答案选C ．9．设F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，曲线(0)ky k x=>与C 相交于点A ，直线FA 恰与曲线(0)ky k x =>相切于点A ， FA 交C 的准线于点B ，则FA BA等于（ ）A.14 B. 13 C. 23 D. 34【答案】B【解析】由22{y px k y x==解得332{2x pk y pk ==，又对k y x =， 2'k y x =-，所以3232232224FA pkkk pk p k ==-，化简得242k =，所以342px pk==， 124342F AA Bp pFA x x p p AB x x --===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选B ． 10．已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆()221412x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭上，则PQ 的最小值为（ ）A.1B. 1C. 1D. 1 【答案】A【解析】设抛物线上点的坐标为()2,(0)P m m m >圆心1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线上的点的距离的平方：()222242114281624d m m m m m ⎛⎫=++-=+-+ ⎪⎝⎭令()4212816(0)4f m m m m m =+-+> ， 则()()()2'412f m m m m =-++ ，由导函数与原函数的关系可得函数在区间()0,1 上单调递减，在区间()1,+∞ 上单调递增，函数的最小值为()11114f = ， 由几何关系可得： PQ1=12-. 本题选择A 选项.11．已知椭圆M ： 22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点为()1,0F，离心率为2，过点F 的动直线交M 于A ， B 两点，若x 轴上的点(),0P t 使得APO BPO ∠=∠总成立（O 为坐标原点），则t =（ ） A. 2- B. 2C.D.【答案】B【解析】在椭圆中1c =，c e a ==得a =，故1b =，故椭圆的方程为2212x y +=， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，由题意可知，当直线斜率不存在时， t 可以为任意实数，当直线斜率存在时，可设直线方程为()1y k x =-，联立方程组()221{12y k x x y =-+=，得()2222124220kx k x k +-+-=，∴2122412k x x k +=+， 21222212k x x k-⋅=+，使得APO BPO ∠=∠总成立，即使得PF 为APB ∠的平分线， 即有直线PA 和PB 的斜率之和为0，即有12120y yx t x t+=--，由111y k x =-（）， ()221y k x =-，即有()()12122120x x t x x t -+++=，代入韦达定理，可得()22224441201212k k t t k k --++=++，化简可得2t =，故选B. 二、填空题12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于Q 点， P 是l 上一点（不与Q 重合），若以线段PQ 为直径的圆恰好经过F ，则PF 的最小值是__________．【答案】2【解析】根据抛物线的对称性设(,Q m，则QF k =，所以直线PF 的方程为)1y x =-，由24y x =，取y =，y '=，所以直线l的方程是)y x m -=-，联立))1{y x y x m =--=-，解得点P 的横坐标1x =-，所以点P 在抛物线的准线上运动，当点P 的坐标是()1,0-时， PF 最小，最小值是2.13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，点P 在双曲线C 的左支上，若直线FP 与圆222:39c b E x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点M 且2PM MF =，则双曲线C 的离心率值为__________．【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，由圆心,03cE ⎛⎫ ⎪⎝⎭可知， 12F E EF =，又2PM MF =，可知1//EM PF ，且13PF EM b ==，由双曲线的定义得2PF a b=+，1PF PF⊥，1F PFRt中，()()22222211222cF F F P FP c b a b b a e a=+⇒=++⇒=⇒==14．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过抛物线上点()02,P y 的切线为l ，过点P 作平行于x 轴的直线m ，过F 作平行于l 的直线交m 于M ，若5PM =，则p 的值为__________． 【答案】6【解析】设(2,P，由y =，得'y = ，则当2x = 时，'y =，所以过F 且与l 平行的直线方程为2p y x ⎫=-⎪⎝⎭，代入(M ，得742p-= ，解得6p =,故答案为6 . B 组一、选择题 1．两条抛物线21111:T y a x b x c =++，()222221212:0,0,T y a x b x c a a a a =++≠≠≠，联立方程消去2x 项，得直线211221122121:a b a b a c a cl y x a a a a --=+--，称直线l 为两条抛物线1T 和2T 的根轴，若直线:m x t =分别与抛物线222y x x =-++， ()21542y x x =-+及其根轴交于三点12,,P P P ，则12PP PP =（ ）A. 2B. 12C. 2tD. 12t 【答案】A【解析】抛物线222y x x =-++， ()21542y x x =-+的根轴为2y x =-+，所以12PP PP =()()()()222222232113254222tt t t tt t t t t-++--+-+==-+--+-+，故选A ．2．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（） A.12B.2 C. 1 D.【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴常为12121222{2PF PF a a PF PF a +=⇒-=1PF ⇒=()()()()22212,2121212121242cos 4a a PF a a c a a a a a a a a π+=-⇒=++--+-⇒((22211221112224224c a a e e e e -=+⇒=+≥=⇒122e e ≥,故选B. 3．设点12,F F 分别为双曲线： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点P ，满足112PF F F =，点1F 到直线2PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. 43C. 54D. 53【答案】D【解析】由题意知212PF F F =，可知12PF F 是等腰三角形， 1F 在直线2PF 的投影是中点，可得24P F b ==，由双曲线定义可得422b c a -=，则2a cb +=，又222c a b =+，知225230a ac c +-=，可得23250e e --=，解得()513e =或舍去．故本题答案选D ．4．已知椭圆M ： 22221x y a b+=（0a b >>）的一个焦点为()1,0F过点F 的动直线交M 于A ， B 两点，若x 轴上的点(),0P t 使得APO BPO ∠=∠总成立（O 为坐标原点），则t =（ ） A. 2B.C. D. 2-【答案】A【解析】由题意可得椭圆方程为2212x y +=，很显然AB 斜率不存在时，t 可以为任意实数，当直线的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-其中()()1122,,,A x y B x y ,联立直线与椭圆的方程可得： ()2222124220k x k x k +-+-=，则： 22121222422,,1212k k x x x x k k -+==++ 由APO BPO ∠=∠知直线PA 与PB 的斜率之和为0，则： 12120y yx t x t+=--， 整理得： ()()12122120x x t x x t -+++=,故： ()22224144201212k t k t k k+--+=++, 解得： 2t =. 本题选择A 选项.5．已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足1AM =， 0PM AM ⋅=，则PM 的最小值是（ ）A.2 B.3 C. 22 D. 3【答案】C【解析】0PM AM PM AM ⋅=∴⊥ ，2222211PM AP AMAM PM AP ∴=-=∴=-，1AM =∴点M 的轨迹为以为以点A 为圆心，1为半径的圆，221PM AP =-， AP 越小， PM 越小，结合图形知，当P 点为椭圆的右顶点时， AP取最小值633a c -=-=， PM ∴23122-=故选：C ．6．如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>和()()22221x y ma mb +=（0a b >>， 1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、BD 的斜率之积恒为1625-，则椭圆的离心率为（ ）A.35 B. 34 C. 45D. 74【答案】A【解析】由题意知，外层椭圆方程为()()22221x y ma mb += ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =-代入内层椭圆消去y 得:()2222232242211120k a b x mk a x m k a a b +-+-=由0∆=化简得221221,1b k a m =⋅-同理得()222221,b k m a =⋅-所以44222124443,.1(),555b b c b k k e a a a a ⎛⎫=====-= ⎪⎝⎭选A.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -，离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c +=在y 轴右侧交于点P ，若P 在抛物线22y cx =上，则2e =A.5 B.512C. 51D. 2【答案】D【解析】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为by x a=± ，据题意，可设直线PF 的斜率为b a ，则直线PF 的方程为： ()by x c a =+ ，解方程组()222{x y c by x c a +==+ 得{0x c y =-= 或 22{2a b x c ab y c-==．则 P 点的坐标为 222,a b ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又点P 在抛物线22y cx =上，得22222ab a b c c c -⎛⎫=⋅⎪⎝⎭．可化为 442a c =，可知22e =．故本题答案选D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（ ）A.B. 2C. D. 4【答案】B【解析】设()()()01122,1,,,,P x A x y B x y -,因为2xy '=，则过点,A B 的切线()()22112212,4242x x x x y x x y x x -=--=-均过点()0,1P x -，则()()22112201021,14242x x x x x x x x --=---=-，即12,x x 是方程()20142x xx x --=-的两根，则120122,4x x x x x +==-，设直线AB 的方程为y kx b =+，联立24{x y y kx b==+，得2440x kx b --=，则1244x x b =-=-，即1b =，则2AOB S ∆==≥，即AOB ∆的面积的最小值为2；故选B.9．已知双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为A 、B ，虚轴的上、下端点分别为C 、D ，若线段BC 与双曲线的渐近线的交点为E ，且11BF E CF E ∠=∠，则双曲线的离心率为 A.B.C.D. 【答案】C【解析】根据双曲线C 的性质可以得到， ()0,C b ， (),0B a ， ()1,0F c -，双曲线C 的渐近线方程b y x a =，直线BC 方程： by x b a=-+，联立{by x b ab y xa=-+=得到2{2ax b y ==，即点,22a b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以E 是线段BC 的中点，又因为11BF E CF E ∠=∠，所以11F CF B =，而1FC =， 1F B a c =+，故()222c b a c +=+，因为222a b c +=，所以22220a ac c +-=，因为ce a=，即2220e e --=，所以1e =+，故选C10．已知O 为坐标原点， 12,F F 分别是双曲线2222:1x y C a b+=的左右焦点， A 为C 的左顶点， P 为C 上一点，且1PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段1PF 交于点M ，与y 轴交于E 点.若直线2F M 与y 轴交点为N ， 2OE ON =，则C 的离心率为（ ）A. 13B. 2C. 23D. 34【答案】B【解析】由1PF x ⊥轴可令(),M c t -,得()(),0,,0A a B a -.则AE tk a c=-,可得AE 的方程为()t y x a a c =+-,令0x =,知0,ta E a c ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,又0,2t N ⎛⎫ ⎪⎝⎭且2OE ON =,可得22ta t a c =-,所以2c a =,即2ce a==.故本题答案选B . 11．过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，则p =（ ）A. 2B. 1C. 2或4D. 4 【答案】A【解析】过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 与抛物线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，可得弦长的坐标横坐标为3，圆的半径为4可得弦长为8，设直线与抛物线的交横坐标为12,x x 则12126,8x x x x p +=++=，可得2p =，故选A.二、填空题12．已知过点()2,0A -的直线与2x =相交于点C ，过点()2,0B 的直线与2x =-相交于点D ，若直线CD 与圆224x y +=相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为__________.【答案】()22104x y y +=≠【解析】设直线AC ，BD 的斜率分别为12,k k ，则直线AC ，BD 的方程分别为：()()122,2y k x y k x =+=- ，据此可得： ()()122,4,2,4C k D k -- ，则： ()12124422CD k k k k k +==+-- ，直线CD 的方程为： ()()11242y k k k x -=+- ， 整理可得： ()()121220k k x y k k +-+-= 直线与圆相切，则：2= ，据此可得： 1214k k =-， 由于： ()()122,2y k x y k x =+=-， 两式相乘可得： ()222121414y k k x x =-=-+ 即直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为()22104x y y +=≠.C 组一、选择题1．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点， AB 经过原点O ,AC 经过右焦点F ,若BF AC ⊥且2BF CF =,则该双曲线的离心率是（ ）A.53 B.3 C. 2 D. 94【答案】B【解析】做出如图因为 AB 经过原点O , AC 经过右焦点F , BF AC ⊥可得'AFBF 为矩形，设AF=a,则'=224AF BF m a FC m a =+⇒=+根据双曲线定义可知'26CF m a =+，在'Rt ACF 得()222222224''34(2)(26),''3a AC AF CF m a m a m a m AFF AF AF FF+=⇒+++=+⇒=⇒+=在中得22210429433a a c e ⎛⎫⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．已知圆C ： (()22311x y +-=和两点()0A t -，， ()0(0)B t t >，，若圆C 上存在点P ，使得·0PA PB =，则t 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C.3 D. 1【答案】D【解析】由题意可得点P 的轨迹方程是以AB 位直径的圆，当两圆外切时有：()22min min 3111t t +=+⇒=，即t 的最小值为1. 本题选择D 选项.3．已知抛物线2:(0)C y mx x =>的焦点为F ，点(0,3A -．若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且:1:2FM MD =，则点M 的纵坐标为（ ）A. 13- B. 3-C. 23- D. 23 【答案】D【解析】根据题意画图如下：由12MF MD =，可得13,3,424MN DN OA m m MD MN OF =====， 1,DAAF =所以31::::122DA AM MF =，可得42,4,3EF DF MF ===， 041,3MF x =+=得013x =，代入2y 4x =，得0233y =-。