高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形

2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一 点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数 的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也 可直接写出角α的值.
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
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函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
1.若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在
()
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
解C.析第：二令或k第＝四0,象1，限知α在一、三象D限.第. 三或第四象限
答案：A
2.已知cosθ·tanθ＜0，那么角θ是
()
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
解C.析第：三∵或c第os四θ·象tan限θ角＝sinθ＜0，cDo.s第θ≠一0或. 第四象限角
任意角可按旋转方向分为正角 、负角 零、角
.
2.象限角 第一象限角的集合 {α|2kπ＜α＜2kπ＋
，k∈Z}
第二象限角的集合 {α|2kπ＋ ＜α＜2kπ＋π，k∈Z}
第三象限角的集合 {α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋ ，k∈Z}
第四象限角的集合 {α|2kπ＋ ＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}
终边相同的角相等吗？ 提示：相等的角终边一定相同，终边相同的角 不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相 差360°的整数倍.
[解析] 当
时，cos2α＝cos
；而当α＝
－
时，cos2α＝cos
这说明当cos2α＝ 时，
α除 还可以取其他的值.所以“α＝
是“cos2α＝
的充分而不必要条件. [答案] A
在解决该题时，若p⇒q，而q ⇒ p，则p是q的充分而不必要 条件.同学们想一想，α＝2kπ＋ (k∈Z)、α＝kπ＋
(2)∵θ＝
＋2kπ(k∈Z)，
依题意，依次令k＝0,1,2得
答案：（1）D（2）
涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角度和弧 度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单易记好用.弧长 和扇形面积的核心公式是圆周长公式C＝2πr和圆面积公式 S＝πr2，当用圆心角的弧度数x代替2π时，即可得到一般 弧长和扇形面积公式l＝|α|r，S＝
1.以三角函数的化简与
倍角公式 弦、余弦、正切公式，了解
求值为载体，考查二
和半角公 它们的内在联系.
倍角的正弦、余弦、
式、积化 2.能运用上述公式进行简单的
正切公式的应用.
和差与和 恒等变换(包括导出积化和
2.简单的三角恒等变换
差化积
差、和差化积、半角公式，
是高考的必考内容.
但对这三组公式不要求记忆).
式
±α的正弦、余弦、正切
的诱导公式.
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1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y
＝
tanx的图象. 2.理解正弦函数、余弦函数在 三角函数
[0,2π]上的性质(如单调性、 的图象与
最 性质
大值和最小值，图象与x轴交
三角函数的图象与 性质是历年高考的 重点.
点
等)，理解正切函数在
(
①代入②得r2－5r＋4＝0， 解之得r1＝1，r2＝4. 当r＝1 cm时，l＝8(cm)， 此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去； 当r＝4 cm时，l＝2(cm)， 此时，
(2)设扇形弧长为l，
∵72°＝72×
∴l＝αR＝ ×20＝8π(cm)，
∴S＝
×8π×20＝80π(cm2).
1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的 距离r，然后用三角函数的定义求解.
则l＝
；S扇形＝
＝
.
三、任意角的三角函数
三角函数 正弦
余弦
正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么
定义
y 叫做α的正 x 叫做α的余弦， 叫做α的正
弦，记作sinα 记作cosα
切，记作tanα
三角函数
Ⅰ 各Ⅱ 象 限Ⅲ 符Ⅳ 号
口诀
正弦 正 正 负 负
余弦 正 负 负 正
本题求α的三角函数值.依据三角函数的定义， 可在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 求出r，由定义得出结论.
【解】 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t.
当t 0时,sin
当t 0时, r 5t,sin
【解】 (1)因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，
所以sinθ·cosθ<0,2cosθ<0，
即
， 所以θ为第二象限角.即角θ在第二象限.
(2)∵2kπ＋ <θ<2kπ＋π(k∈Z)，
∴－1<cosθ<0，
4kπ＋π<2θ<4kπ＋2π，－1≤sin2θ<0.
∴sin(cosθ)<0，cos(sin2θ)>0，
∴tanθ＝－ ，又tanθ＝－x，
∴x2＝1，∴x＝±1.
当x＝1时，sinθ=
，cosθ=
当x＝－1时，sinθ= ，cosθ= .
本节内容在高考中要求较低，单独命题的可能性不 大，多与其他知识结合命题.2009年北京卷考查了三角函 数与充要条件的结合问题.
(2009·北京高考)“α＝ ”是“cos2α＝ ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
余弦、正切的定义.
运算为载体，考查角
的关系.
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1.理解同角三角函数的基
考查同角三角函数间的基
同角三角 本关系式sin2x＋cos2x＝1，
本关系式、诱导公式在三
函数的基
＝tanx
角函数求值问题和三角恒
本关系式 2.能利用单位圆中的三角.
等变换中的应用.
与诱导公 函数线推导出π±α，
∴
∴
的符号是负号.
1.(1)已知α为第三象限的角，则 所在的象限是( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
(2)若角θ的终边与 的终边相同，则在[0,2π)内终边与
角的终边相同的是
.
解析：(1)α为第三象限角，因而2kπ＋π<α<2k＋ ，所以
k∈Z；当k为偶数时在第二象限，k为奇数时在第四象限.
已知扇形的周长为4 cm，当它的半径和圆心角各取 什么值时，扇形面积最大？并求出这个最大面积.
利用扇形的弧长和面积公式，可以把扇形的面 积表示成圆心角的三角函数，或表示成半径的 函数，进而求解.
【解】 法一：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径 为r，面积为S，弧长为l，则有l＝αr. 由题意有：αr＋2r＝4，得
此时α＝
＝2(弧度).
故当半径为1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大，其最
大值为1 cm2.
2.解答下列各题： (1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心
角 的弧度数； (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形
的 面积；
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半 径为r， 依题意有
限，试判断角θ所在的象限.
(2)若θ是第二象限角，则
的符号是什么？
(1)由点P所在的象限，知道sinθ·cosθ，2cosθ 的符号，从而可求sinθ与cosθ的符号. (2)由θ是第二象限角，可求cosθ，sin2θ的范围， 进而把cosθ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表 示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cosθ) ，cos(sin2θ)的符号可定.
3.(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x， )，且 cosα＝ ，求sinα与tanα的值； (2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝ －x，求sinθ，cosθ.
解：(1)∵r＝
从而
， 解得x=0
∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝
故
(2)∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，
导出两角差的正弦、正切公 忆与理解，同时考查
和角公式 式.
灵活运用公式的能力.
3.能利用两角差的余弦公式推 2.对这部分内容的考查
导出两角和的正弦、余弦、 题型灵活，选择题、
正切公式，了解它们的内在 填空题、解答题均有
联系.
可能出现.
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1.能利用两角和的正弦、余弦
和正切公式导出二倍角的正
正切 正 负 正 负
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数 正弦
余弦
终边相同
的角的三 角函数值 (k∈Z)
sin(α＋k·2π) cos(α＋
＝ sinα
k·2cπos)＝α
(公式一）
正切
tan(α＋k·2π) ＝ tanα
三角函数 正弦
余弦
正切
三角函数 线
有向线段 MP 有向线段 OM
为正弦线
3.主要以选择、填空的 2.了解三角函数是描述周期变
形式出现，若出现 化现象的重要函数模型，会
解 用三角函数解决一些简单的
答题，将会是低、中 实际问题.
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1.会用向量知识或三角函数
考情上线 1.以三角化简、求值为
线推导出两角差的余弦公式. 载体考查两角和与差
2.能利用两角差的余弦公式推 的三角函数公式的记
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能够运用正弦定理、
弦定理，
解三角形问题往往与其他知识
余弦定理等知识和
余弦定
(如立体几何、解析几何、向量
方法解决一些与测
理的应
等)和实际问题相联系，考查考
量和几何计算有关
用举例
生的数学应用意识是高考的热点.
的实际问题.
第三章 第一节 任意角和弧度制及任 意的三角函数
1.角的分类
60
答案：10sin t
60
1.熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键. 2.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. 3.对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据
三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所 在象限.
(1)如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象
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1.高考命题中常以选择题或填空题的形 掌握正弦定理、 式考查利用正、余弦定理及三角变换 正弦定 余弦定理，并能 公式进行恒等变形及度量问题. 理和余 解决一些简单的 2.常考知识点有：(1)判断三角形形 弦定理 三角形度量问题. 状； (2)求三角形的边、角、面积
的大小； (3)三角形中的三角变换等.
二、弧度制 1.弧度制
长度等于半径 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 以弧度 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
2.角度与弧度之间的换算 360°＝ rad,180°＝ rad,1°＝ rad,1 rad＝( )°.
3.弧长、扇形面积公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(弧度)，半径为r，
(k∈Z)又是cos2α＝ 的什么条件？
第三章 三角函数 解三角形
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考情上线 1.以选择题或填空题的
形式考查任意角的三
1.了解任意角的概念.
任意角的
角函数的定义、三角
2.了解弧度制的概念，
概念与弧
函数值在各象限内的
能进行弧度与角度
度制、任
符号、终边相同的角
的互化.
意角的三
及象限角等.
3.理解任意角的正弦、
角函数
2.以集合的交、并、补
∴θ为第三、四象限角.
答案：C
3.若点P在2 的终边上，且OP＝2，则点P的坐标为( )
3
解析：设P点的坐标为(x，y)，根据三角函数的定义可知，
x
2cos 2 2 ( 1 ) 1, y sin 2 2
3
2
3
所以P点的坐标为
答案：D
4.若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为