专题研究排列组合的综合应用习题和答案详解
【排列组合(10)】排列与组合综合应用(二)
排列与组合综合应用(二）一、选择题1.某班上午有五节课，分別安排语文，数学．英语．物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻．且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是()A. 16B. 24C. 8D. 122.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A. 50B. 80C. 120D. 1403.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 60B. 72C. 84D. 964.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A. 72B. 96C. 120D. 1565.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有()A. 36个B. 42个C. 48个D. 120个6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()种．A. 27B. 30C. 33D. 367.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有()A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种8.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是()A. 12B. 310C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．10.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是______(用数字作答)．11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．12.某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．14.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙不相邻；(3)甲、乙之间恰有两人；(4)甲不站在左端，乙不站在右端．15.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．16.4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何两名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？17.6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．18.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？19.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(Ⅰ)选其中5人排成一排；(Ⅱ)排成前后两排，前排3人，后排4人；(Ⅲ)全体排成一排，女生必须站在一起；(Ⅳ)全体排成一排，男生互不相邻；(Ⅴ)全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾。
排列组合综合应用问题
⑤分为三组，每组4人。
练习1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的 分法种数。
答案
①C125.C74.C33
② C125.C74.C33
③ C125.C74.C33.A33
④C124.C84.C44
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
⑥C122.
C105.C55 A22
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出
01
平均分配。这样分配问题就解决了。 结论：给出组名(非平均中未指明 各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是
02
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
×××× a;
说明：在解题过程中，有时用“排一排”会使思路更清楚。 “具体排”是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思 维方法
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列， 有A77.A22种 “捆绑法”
②把6男2女8人全排列，扣去 2 女“ 相邻”就是2女“ 不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”
② 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
02
直接法：先组： 分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种； 第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲又有乙。有C52种。
03
引例（曾经作过的题）： 4名运动员出组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？
排列组合的综合应用专题讲座及同步训练(有详细解答)
排列组合的综合应用专题讲座及同步训练（有详细解答）一、明确复习目标1.加深对排列、组合意义理解;2.掌握有关排列、组合综合题的一些常用解法;3.学会分类讨论的思想,提高分析问题和解决问题的能力.二．建构知识网络解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,透过问题的表面现象,看出问题的数学本质.然后,要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1.优限法:优先解决带限制条件的元素或位置，或说是“先解决特殊元素或特殊位置”.2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.如：5人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有141423444433A A A A A A +- =156种排法。
3.排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4.捆绑法:某些元素必相邻的排列.可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列，然后再再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列.可以先排其它元素然,再让不相邻的元素插空;6.插板法：n 个 相同元素,分成m(m ≤n)组,每组至步一个的分组问题——把n 个元素排成一的排,从n-1个空中选m-1个空,各插一个隔板,有11--m n C .例如:n 个相同的小球分给m 个人,每人至少一个小球的分法有11--m n C 种分法.如果没有“每人至少一个”的限制,则需设想“每人先献出一个小球”,再对n+m 个小球用“插板法”,有1n m n m C +-+种.7.分组、分配法：分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别。
一般地平均分成n 堆（组），必须除以n !, 如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 例如：6本不同的书分成三组，分别是1本、2本、3本，共有123653C C C =60种分法； 6本不同的书分成三组，每组2本，共有522642C C C ÷3！=15种分法；6本不同的书分成三组，分别是1本、1本、4本，共有114654C C C ÷2！=15种分法； 分配问题(有序分组):逐个分给.例如:7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本，有322742C C C =210种分法。
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析1.形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．【答案】16【解析】试题分析:此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154．四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16．【考点】排列组合的综合应用．2.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）【答案】96【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96.【考点】排列组合的应用.3.从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有A．5种B．6种C．7种D．8种【答案】B【解析】甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的方式有种【考点】分类乘法的计数原理4. 3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（）A．5040种B．840种C．720种D．432种【答案】D【解析】第一类：3位数学家相邻在前排有；第二类：三位数学家相邻在后排，先从4位物理学家中选3为排在前排有，将3位数学家合一，与剩下的一名物理学家在后排排列有，3位数学家再排有，此类共有，综上共有种，故选择D.【考点】排列中的相邻问题.5. 7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【答案】360.【解析】由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．故应填入：360．【考点】计数原理．6.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【答案】B.【解析】由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.【考点】排列与组合7.设m∈N*，且m＜15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵m∈N*，且m＜15，∴（15﹣m）（16﹣m）…（20﹣m）=（15﹣m）（16﹣m）（17﹣m）（18﹣m）（19﹣m）（20﹣m）=．故选：C．【考点】排列及排列数公式．8.三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为（）A．36B．40C．44D．48【答案】B【解析】分两类：第一类写有数字０与２的卡片在百位：有个三位数；第二类写有数字０与２的卡片不在百位：有个三位数；由分类记数原理可知符合题目的三位数共有：8+32=40个,故选B.【考点】排列组合.9.沈阳市的造化街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（）A．8种B．10种C．12种D．32种【答案】B【解析】由图可知为使路程最短，从A到B都必须向上走两格向左走3格.先考虑横着走，然后竖着走两格共有4种；若先考虑横着走，然后竖着走1个再横着走，共有3+2+1=6种.即共有4+6=10种.【考点】列举法解决实际问题.10.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个【答案】C【解析】先在1,2,3中选一个数作为重复用的数有3种不同选法，再将其与两个数排成一排有，因要求重复使用的数不相邻，故用插空法，在排成一排的两个数形成的三个空挡中任取两个空挡将重复使用的两个数放进去有种不同的的方法，根据分步计数原理，共有不同排法为3=18，一种排法对应一个满足条件的四位数，故这样的四位数由18个，故选C.【考点】计数原理；排列组合知识11.将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有种（用数字作答）；【答案】12【解析】首先对第一列进行全排列有种，然后对第二列进行排列仅有2种，根据分步计数原理知，其不同的排列方法共有种.【考点】排列与组合；分步计数原理.12.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152B．126C．90D．54【答案】B【解析】根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：种；由分类原理可得18+36+72＝126．【考点】排列，组合的综合应用．13.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机地取出3个，用X表示取出的球的最大号码，则{X＝6}表示的试验结果是________．【答案】从6个球中取出3个，其中一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意两个．【解析】X＝6表示取出的3个球的最大号码是6，其余的是1,2,3,4,5号球中的任意两个．14.从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，则不同的分派方法有________种．【答案】2 400【解析】“从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生”的情况为：2男2女、3男1女，则有种；“分别到四个不同的工厂调查”，再在选出的代表中进行排列，则有(C52·C42＋C53·C41)A44＝2400(种)．15.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【答案】（1）816 （2）8568 （3）6936 （4）14656【解析】解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C183＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C185＝8568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C21C184＋C183＝6936(种)；(4)法一(直接法)至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C121C84＋C122C83＋C123C82＋C124C81＝14656(种)．法二(间接法)由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C205－(C125＋C85)＝14656(种)．16.求20Cn+55＝4(n＋4)Cn+3n-1＋15An+32中n的值．【答案】n＝2【解析】解：20×＝4(n＋4)×＋15(n＋3)(n＋2)即：＝＋15(n＋3)(n＋2)∴(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)·n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90，∴n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7，∵n≥1且n∈Z，∴n＝2.17.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．【答案】（1）60 （2）120 （3）99【解析】解：(1)C52·C42＝60.(2)C51·C43＋C52·C42＋C53·C41＝120.(3)120－＝99.18. 2位男生和3位女生站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________．【答案】48【解析】依题意，先排3位女生，有A33种．再把男生甲插到3位女生中间有A21种．把相邻的两位女生捆绑，剩下一个男生插空，有A41种，所以不同排法种数为A33·A21·A41＝48.19.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．【答案】24【解析】甲、乙排在一起，用“捆绑”排列，丙丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A22·A32＝24(种)．20.用4种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，要求相邻的区域涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．【答案】72【解析】D有4种可能，C有3种可能，A有3种可能，B有2种可能，所以共有4×3×3×2＝72(种)可能．21.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．【答案】1359【解析】千位数字是1，百位数字是2的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)，千位数字是1，百位数字是3的“渐升数”有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)，进而确定千位数字是1，百位数字是3，十位数字是4的“渐升数”有5个．千位数字是1，百位数字是3，十位数字是5的“渐升数”有4个，故第30个“渐升数”是1359.22.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【答案】72(种)【解析】解：给区域标记号A、B、C、D、E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)．(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．23.年第届全国运动会将在沈阳举行,某校名大学生申请当三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务比赛项目,则不同的安排方案共有A．种B．种C．种D．种【答案】B【解析】根据题意，由于某校名大学生申请当三个比赛项目的志愿者, 每个比赛项目至少分配一人，则可知所有的情况4=1+1+2，说明有个项目需要两个人，其余的为一个项目一个人，由于甲要求不去服务比赛项目，那么可以考虑两个项目中有没有甲来分为两种情况来说明，,故可知为B【考点】排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题。
高三数学排列组合综合应用试题答案及解析
高三数学排列组合综合应用试题答案及解析1.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【答案】B【解析】先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种数为-1，再将这3组分给3节课有种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有(-1)=30，故选B.【考点】分步计数原理，排列组合知识2.在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为()A．24B．36C．48D．60【答案】D【解析】先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有＝72(种)，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有＝12(种)，∴满足条件的出场顺序有72－12＝60(种)排法，选D．3.暑假期间，华光中学安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有()A．10种B．12种C．18种D．36种【答案】C【解析】这五天可分成三组，共三种情况：(1,2)，(3,4)，5；1，(2,3)，(4,5)；(1,2)，3，(4,5)，因此不同的安排方法3＝18种．4.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C．【解析】由已知可得不同的选法共有，故选C．【考点】排列组合．5. [2014·南京模拟]用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)【答案】14【解析】分类讨论：若2出现一次，则四位数有C14个；若2出现二次，则四位数有C24个；若2出现3次，则四位数有C34个，所以共有C14＋＋＝14个．6.（2011•湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________种，（结果用数值表示）【答案】21；43【解析】由题意知当n=1时，有2种，当n=2时，有3种，当n=3时，有2+3=5种，当n=4时，有3+5=8种，当n=5时，有5+8=13种，当n=6时，有8+13=21种，当n=6时，黑色和白色的小正方形共有26种涂法，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种结果，∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64﹣21=43种结果，故答案为：21；437.某学校位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得分，答错得分；选乙题答对得分，答错得分.若位同学的总分为，则这位同学不同得分情况的种数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分以下两种情况讨论：（1）两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有种；（2）四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有种情况；（3）一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有种情况；（4）一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有种情况；综上所述，共有种不同的情况.故选D.【考点】排列组合8.某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）【答案】24【解析】此问题相当于将4个公司全排列，因为，则此问题的不同分配方法共有24种。
小学数学《排列组合的综合应用》练习题(含答案)
小学数学《排列组合的综合应用》练习题（含答案）例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15＋10＋ 6＝31种.注运用两个基本原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置.解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法.第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法.由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答：可组成4536个无重复数字的四位数.解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数（称为排除法）.此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个（0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个）∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种？要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？分析首先，构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题，另外考虑特殊点的情况：如三点在一条直线上，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解：组合总数为C311，其中三点共线不能构成的三角形有7C33，四点共线不能构成的三角形有2C34，∴C311-（7C33+2C34）=165-（7+8）=150个.例5 7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（请注意，球无区别，盒是有区别的，且不允许空盒）分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20（种）答：共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.例6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？分析首先介绍正四面体（模型）.正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）.先看简单情况，如取定四种颜色涂于四个面上，有两种方法；如取定一种颜色涂于四个面上，只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色，涂于四个面上有六种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄三色）如果取定两种颜色如红、橙二色，涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里，每次取出四种颜色，有C47种取法，每次取出三种颜色有C37种取法，每次取出两种颜色有C27种取法，每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2C47+6C37+3C27+C17=350种.习题六1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.习题六解答1.若投一封信看作一个步骤，则完成投信的任务可分三步，每封信4个邮筒都可投，即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理：共有不同的投法4×4×4=64种.2.甲（或乙）胜就写一个甲（或乙）字，画树形图：由图可见共有14种可能.甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.3.现有4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号，第1、3、5、7号位是女同学，第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的排列可分两步：第一步：从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法.第二步：从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位，有P35种排法.因此，由乘法原理排出不同队形数为P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.4.图示：分两类：第一类：十万位上是3或5之一的六位偶数有P12·P14·P45个.第二类：十万位上是4或6之一的六位偶数有P12·P13·P45个.∴P12P14P45+P12P13P45=1680.5.五点共线有4组，四点共线的有9组，三点共线的有8组，利用排除法：C320-4C35-9C34-8C33=1140-4×10-9×4-8=1056.6.因为任一张人民币的币值都大于所有币值比它小的人民币的币值的和，例如1角的大于1分、2分、5分的和，因此不论取多少张，它们组成的币值都不重复，所以组成的币值与组合总数一致，有C110+C210+……+C1010=210-1=1023种.因为由这些人民币能组成的最小的币值是1分，最大的币值是十张币值的和，即1888分，而1023＜1888，可见从1分到1888分中间有一些币值不能组成.。
排列组合 例题 含解析
排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选 B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选 C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选 A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选 C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26·C24A22·A44＝1 080种．13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选 B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222AA A 种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A AA 种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72（B ）96（C ）108（D ）144解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
(完整版)排列组合习题_[含详细答案解析]
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圆梦教育中心排列组合专项训练1.题1 (方法对比，二星) 题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：2133C C +(种) (法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)同类题一 题面：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 答案：69C 详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成9个空隙。
在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
同类题二题面：求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
答案：36. 详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z之值, 故解的个数为C 92=36（个）。
2.题2 (插空法，三星)题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48同类题一题面：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？答案：A 66·A 47种.详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．同类题二 题面：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 24＝72种排法，故选C.3．题3 (插空法，三星)题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．1]没有坐人的7个位子先摆好，[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：58A =6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好：55A ；[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，共有：3216662C C C ++种，综上：有55A (3216662C C C ++)=6720种.同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 答案：30。
【思维拓展】数学四年级思维拓展之排列组合的综合应用(附答案)
四年级奥数：排列组合的综合应用1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.有两个小盒子，第一个盒子中有标有数字1，2，3，…，10的十张卡片，第二个盒子中有标有11，12，13，…，20的十张卡片.若从两个盒子中各拿出一张卡片相加，一共可列出多少种不同的加法式子？6.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？7.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.8．从19，20，21，…，97，98，99这81个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？9.现有五元人民币2张，十元人民币8张，一百元人民币3张，用这些人民币可以组成多少种不同的币值？参考答案1.若投一封信看作一个步骤，则完成投信的任务可分三步，每封信4个邮筒都可投，即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理：共有不同的投法4×4×4=64种.2.甲（或乙）胜就写一个甲（或乙）字，画树形图：由图可见共有14种可能.甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.3.现有4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号，第1、3、5、7号位是女同学，第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的排列可分两步：第一步：从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法.第二步：从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位，有P35种排法.因此，由乘法原理排出不同队形数为P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.4.图示：分两类：第一类：十万位上是3或5之一的六位偶数有P12·P14·P45个.第二类：十万位上是4或6之一的六位偶数有P12·P13·P45个.∴P12P14P45+P12P13P45=1680.5.200种第一个盒子中的每一张卡片都可以与第二个盒子中的十张卡片组成20种加法式子（包括被加数与加数交换位置，例如将1＋11与11＋1看成为两个加法式子），而第一个盒子中共有十张卡片，则由乘法原理，共10×20＝200种不同的加法式子。
专题研究排列组合的综合应用习题和答案详解
1．(2019·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案 C解析 分两步：先从8，9，10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1，2，3，4，5，6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．(2019·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种 D ．5 040种 答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．4．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种 答案 C解析 可先分组再排列，所以有12C 42A 33＝18(种)放法．5．(2019·西安五校)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 答案 D解析有二类情况：(1)其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C53A33＝60(种)；(2)其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C51×C422×A33＝90(种)．∴共有150种．故选D.6．(2019·山西大同一模)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C102A84B．C91A95C．C81A95D．C81A85答案 C解析先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C81种方法，再排剩余的瓶子，有A95种方法，故不同的放法共有C81A95种，故选C项．7．(2019·安徽毛坦厂中学阶段测试)6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有()A．40种B．48种C．60种D．68种答案 B解析4，2分法：A22(C64－1)＝14×2＝28，3，3分法：C63C33＝20，∴共有48种．8．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为()A．C62C52C82B．C62＋C52＋C82C．A62A52A82D．C192答案 B解析依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，高三比赛有C82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C62＋C52＋C82，选B.9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C42A33－A33＝30种分法．故选C.10．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( ) A ．144 B ．72 C ．36 D ．48答案 C解析 分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有C 42C 21C 11A 22种；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 42C 21C 11A 22×A 33＝36(种)．11．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( ) A ．24 B ．36 C ．40 D ．44答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24(种)；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 21C 42＝12(种)情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4(种)情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4(种)情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44(种)不同的情况．故选D.12．(2019·河南郑州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( ) A ．51个 B ．54个 C ．12个 D ．45个 答案 A解析 分三类：第一类，没有2，3，由其他3个数字组成三位数，有A 33＝6(个)； 第二类，只有2或3，需从1，4，5中选2个数字，可组成2C 32A 33＝36(个)；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选1个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 31A 33＝9(个)．故这样的三位数共有51个，故选A.13．(2019·安徽马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )A ．5 400B ．3 000C ．150D ．1 500答案 D解析 分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 53种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 53种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 52C 32A 22种情况．故选择情况数为C 53(C 53＋C 52C 32A 22)A 33＝1 500(种)． 14.(2019·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( ) A ．C 419 B ．C 389 C ．C 409 D ．C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台像排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399.15．(2019·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60种．16．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________． 答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋C 42C 22A 22)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.17．(2019·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案84解析方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C73种．故共有C71＋A72＋C73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C96＝84(种)抽调方法．。
高中数学选择性必修三 6 2 3 排列组合的综合运用(精练)(含答案)
6.2.3 排列组合的综合运用（精练）【题组一全排列】1．（2020·中山大学附属中学高二期中）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( )A．4 B．44C．24 D．48【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为44=432124A⨯⨯⨯=. 故选：C2．（2020·全国高二单元测试）3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【答案】64【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有4种选择，则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为：64.3．（2020·上海高二专题练习）若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，∴可能出现的错误的种数是60159-=，故答案为：59．4．（2021·浙江衢州市）将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.【答案】18【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有（1,2,6），（1,3,5），（2,3,4）三种情况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有336A=种情况，所以不同的分配方法共有1863=⨯种.故答案为：185．（2020·天津河西区·高二期中）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有44A=24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有336A=种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有222A=种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.6．（2020·河南）2020年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、B、C、D，前往四个国家E、F、G、H进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到H国家，那么此时B医疗队被派遣到E国的概率是______.【答案】241 3【解析】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为4424A=，由于A医疗队被派遣到H国家，则B医疗队可派遣到其它3个国家，因此，B医疗队被派遣到E国的概率是13.故答案为：24；13.【题组二相邻问题】1．（2020·沙坪坝区·重庆八中）小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A⋅=故选：B2．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末）将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A．112B．15C．115D．215【答案】C【解析】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C 3．（2020·陕西彬州市·高二月考）5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为 A ．480B ．720C ．960D ．1440【答案】C【解析】两个女生必须相邻，捆绑222A =，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，2520A =，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，4424A =，所以不同的排法种数为：22425422024960A A A ⋅⋅=⨯⨯=．4．（2020·广东广州市）2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（ ） A ．60 B ．120 C ．144 D ．240【答案】D【解析】由题意，因为1号与6号相邻降落，可1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排， 将则不同的安排方法有2525240A A =种.故选：D.5．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（ ） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【解析】根据题意男生一起有336A =排法，女生一起有336A =排法，一共有3333272A A =种排法，故选：C .．6．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ） A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，故选：B.【题组三 不相邻问题】1．（2020·全国）六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法， 此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C.2．（2020·全国）将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ） A ．42 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连， 故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有336A =种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有33636A =种.综上所述，不同的放法种数为64362+=种.故选：A.3．（2020·全国）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．72种B．48种C．36种D．24种【答案】C【解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有336A=种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有236A=种排法，则后六场开场诗词的排法有6636⨯=种，故选：C.4．（2020·防城港市防城中学高二期中）5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A．72B．48C．24D．60【答案】C【解析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为22222324A A A=种.故选：C.5.．（2020·北京丰台区·高二期末）某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为_________．（用数字作答）【答案】12【解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列：4424A=；再求出甲、乙两名同学相邻的排列：2 412A=然后，4244241212A A-=-=故答案为：126．（2020·上海）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A=种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A=种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种；故答案为：727．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A 与C 不相邻，则不同的排法共有__种. 【答案】36【解析】依题意，可分三步，先排D ，E ，有22A 种方法，产生3个空位，将,A B 捆绑有22A 种方法，将,A B 捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有13A 种方法，这时AB 、D 、E 产生四个空位，最后将C 插入与A 不相邻的三个空位之一，有13A 种方法，根据分步乘法计数原理得：共有2211223336A A A A ⨯⨯⨯=种，故答案为：36.8．（2020·博兴县第三中学高二月考）某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________ 【答案】24【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况， ②将这个整体与英语全排列，有222A =种顺序，排好后，有3个空位， ③数学与物理不相邻，有3个空位可选，有236A =种情况，则不同排课法的种数是22624⨯⨯=种；故答案为：24. 【题组四 分组分配】1．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法． 【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有16C 种选法；再从余下的5本中选2本，有25C 种选法；最后余下3本全选，有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.2．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答) 【答案】1560【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有31163213320lC C C C A = (种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有22116421222245C C C C A A ⋅= (种)． 所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有44651560A ⨯= (种)．故答案为：1560.3（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案) 【答案】90【解析】把5人按人数2,2,1分成三组，然后再安排到三个景点浏览，总方法为2235332290C C A A ⨯=． 故答案为：90．4．（2020·全国）把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________． 【答案】240．【解析】将这5张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有2111532133C C C C A 种分组办法，再分给4人的不同分法有211145321433240C C C C A A ⋅=种．故答案为：240． 5．（2020·全国）从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________. 【答案】180【解析】112654C C C 180=.故答案为：180.6．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种. 【答案】150【解析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式； 故答案为：150．7．（2020·全国）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）． 【答案】900【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有1135432210C C C A ⋅⋅=种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有2215312215C C C A ⋅⋅=种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有33(1015)150A +⨯=种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有336A =种不同情况.所以所有的不同分派方案有1506900⨯=种. 故答案为：900. 【题组五 几何问题】1．（2021·全国）直线x m =，y x =将圆面224x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（ ） A ．20 B ．60 C ．120 D ．240【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面224x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420⨯=种，当2m -<≤2m ≤<时，圆面224x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种，当m <时，圆面224x y +≤被分成4块，此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D2．（2021·安徽省）224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ） A ．286 B ．281 C ．256 D ．176【答案】C【解析】由题意可得224x y +≤表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为33313351022861020256C C C --=--=个．故选C ．3．（2020·全国高二单元测试）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( ) A ．70 B ．64 C ．58 D ．52【答案】C【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C 84=70个，不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个， ∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70−12=58个.故答案为C. 【题组六 方程不等式问题】1．（2021·太原市）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.2．（2021·湖北）若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为 A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】A【解析】方程12348x x x x +++=，其中22x =，则1346x x x ++=将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组， 第一组小球数目为1x 第二组小球数目为3x 第三组小球数目为4x共有2510C =种方法故方程的正整数解的个数为10 故选A【题组七 数字问题】1．已知集合{}A a b c d =，，，，从集合A 中任取2个元素组成集合B ，则集合B 中含有元素b 的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ，则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======，共6个，其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个，故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选：C 2．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ） A ．12 B ．44 C ．58 D ．76【答案】B【解析】分类讨论：尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共1222312C A ⋅⋅=,还可能为234,有336A =种；尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共122228C A ⋅⋅=,还可能为124,有336A =种；尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共122228C A ⋅⋅=；尾数为7：则前三位的数字可能为012,共12224C A ⋅=.综上所述,共有126868444+++++=种.故选：B3．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.【答案】34【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有3735C =，乘积为奇数只有1,3,5一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种.故答案为：34【点睛】本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.4．已知{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是_______ . 【答案】12【解析】因为{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，所以(),m n 的可能情况有：2520P =种， 又因为方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以m n >，所以满足要求的有：2510C =种， 所以概率为：101202P ==.故答案为：12. 5．（2021·宁波市）有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位数的个数为_________.【答案】204【解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2.当含有0对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为4424A =个；当含有1对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为221434144C C A =个；当含有2对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为224436C C =个.综上，可以组成不同的四位数的个数为2414436204++=个.故答案为：204.6．（2020·江西省信丰中学）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】1 6【解析】十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝．。
微专题：排列组合问题的综合应用经典题型(含解析)
【学生版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
【典例】题型1、特殊元素（位置）问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、相邻、相间问题例2、（1）某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种【答案】【解析】；（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168【答案】【解析】；题型3、分组、分配问题例3、（1）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A．36 B．9 C．18 D．15（2）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法．题型4、涂色问题例4、（1）如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【说明】解决涂色问题，关键还是阅读理解与用好两个计数原理；【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素；第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列；第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果；均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数；【即时练习】1、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C210P48B．C19P59C．C18P59D．C18P583、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A．12种B．24种C．48种D．96种4、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种5、在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【教师版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
排列、组合综合应用(学生版)
排列组合综合应用一、例题讲解题型一先选后排问题例1有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种.题型二配对问题例2 设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），⑴则恰有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？⑵则恰有一个小球和盒子编号相同的放法有多少种？练习1：从5双不同的袜子中任取4只，则恰有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？题型三相同元素问题例3现准备将7台型号相同的电脑分配给5所小学，每个学校至少1台，则不同的分配方案共有（）A．13种B．15种C．20种D．30种练习2：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有________种分配方案.练习3：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________．练习4：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程自然数解的组数为________．例4 马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有() A．60种B．20种C．10种D．8种练习5：某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有（）A．36种B．24种C．18种D．9种题型四古典概型与排列组合例5（2021全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8二、课后巩固1．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．262.（2020新高考I 卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种3.（2021全国甲卷理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A ．13B ．25C ．23D ．45 4.（2019全国乙卷）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A ．516B ．1132C ．2132D ．1116 5.（2022新高考II 卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．受疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．120种C ．188种D ．156种7．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．311C 种B ．38A 种C ．39C 种 D ．38C 种8．为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A ，B ，C 三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（ ）A．49B．2027C．1627D．14279．将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（）A．18B．16C．112D．12410.（多选）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4、A5是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，现在甲需要从道路网M出发，随机选择一条沿街的最短路径走到N处为止，下列说法正确的是（）A．如果甲需要经过A5，那么从M到N的线路有4条；B．如果甲需要经过A2，那么从M到N的线路有16条；C．如果甲需要经过A3，那么从M到N的线路有36条；D．甲从M到N的线路一共有70条；11．（2020新高考II卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.12.（2023新高考Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．13．某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有种分配方法.14. （教材28页）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有________种不同情况．15．某微信群中五人同时抢4个红包，每人最多抢一个且红包全部被抢完，已知4个红包中有两个2元，一个3元，一个5元（红包中金额相同视为相同的红包），则有种不同的情况.16．（浙江卷）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．17.有10本相同的画册要分给6个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数有__________种．18．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数有种.。
排列组合练习题及问题详解
排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（ ）A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加n 个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 （ ）A.12个B.13个C.14个D.15个答案：1、2936C = 2、2972A = 3、选 B. 设男生n 人，则有2138390n n C C A -=。
4、2258m nm A A +-= 选C.二、相邻问题：1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？2. 有8本不同的书， 其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案：1.242448A A = (2) 选B 3253251440A A A = 三、不相邻问题：1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？ 3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）A.2880B.1152C.48D.1444.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？5.8椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？7. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是 （ ）A.28种B.84种C.180种D.360种答案：1.43451440A A = （2）3434144A A = （3）选B 444421152A A = （4）3424A = （5）4245480A A =（6）333424A C = （7）3334144A A = （8）选A 6828C = 四、定序问题：1. 有4名男生，3名女生。
四年级下册数学试题-奥数专题练习：第六讲 排列组合的综合应用(含答案)全国通用
第六讲：排列组合的综合应用基础班1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.有两个小盒子，第一个盒子中有标有数字1，2，3，…，10的十张卡片，第二个盒子中有标有11，12，13，…，20的十张卡片.若从两个盒子中各拿出一张卡片相加，一共可列出多少种不同的加法式子？6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？解答1.若投一封信看作一个步骤，则完成投信的任务可分三步，每封信4个邮筒都可投，即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理：共有不同的投法4×4×4=64种.2.甲（或乙）胜就写一个甲（或乙）字，画树形图：由图可见共有14种可能.甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.3.现有4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号，第1、3、5、7号位是女同学，第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的排列可分两步：第一步：从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法.第二步：从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位，有P35种排法.因此，由乘法原理排出不同队形数为P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.4.图示：分两类：第一类：十万位上是3或5之一的六位偶数有P12·P14·P45个.第二类：十万位上是4或6之一的六位偶数有P12·P13·P45个.∴P12P14P45+P12P13P45=1680.5. 200种第一个盒子中的每一张卡片都可以与第二个盒子中的十张卡片组成 20种加法式子（包括被加数与加数交换位置，例如将 1＋11与11＋1看成为两个加法式子），而第一个盒子中共有十张卡片，则由乘法原理，共10×20＝200种不同的加法式子。
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析1.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A．48B．36C．28D．12【答案】C【解析】解：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：①、0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况；故0被奇数夹在中间时，有2×6=12种情况；②、2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种.【考点】排列、组合的应用.2.某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【答案】108【解析】（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．【考点】排列组合的综合应用．3.个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有A．B．C．D．【答案】C【解析】本题可用插空法，先排除甲、乙两人外的其余四人应为,剩余两人插在5个空中应为,甲、乙两人不相邻的不同排法共有.【考点】排列组合的有关内容.4.现有4个男生和3个女生作为7个不同学科的科代表人选，若要求体育科代表是男生且英语科代表是女生，则不同的安排方法的种数为_________（用数字作答）．【答案】1440．【解析】由题意知，可分三步完成本件事情，第一步，选1男生为体育课代表，第二步，选1女生为英语课代表，剩下的5人进行全排列，最后根据分步计数原理得不同的安排方法的种数为．【考点】计数原理的应用．5.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有_________ 个．【答案】36【解析】当十位数字为1时有8个,当十位数字为2时有7个,…，当十位数字为8时有1个，当十位数字为9时有0个，所以共个数为8+7+…+2+1+0=36，答案为36.【考点】分步加法计数原理6.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个【答案】C【解析】完成这件事分为两步,第一步先排好1,2,3有种不同方法;第二步将第四个数(可以为1,2,3中的任一个)插到排好的3个数的4个间隔中,又同一数字不能相邻出现,所以每个数字只能放两个位置,有不同方法,这样每一个四位数都出现了两次,从而这样的四位数共有个,答案选C.【考点】记数原理与排列组合7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种【答案】C【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有种方法；然后A与戊形成三个“空”，有种方法；再将丙、丁插入空中有种方法.可知共有种不同的着舰方法.故选C【考点】简单排列组合问题；捆绑法和插空法的应用.8. 7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【答案】360.【解析】由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．故应填入：360．【考点】计数原理．9.已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】恰好抽出2件次品则有种，1件是正品种，所以任意抽3件恰好2件次品的抽法种数是。
高二数学排列组合综合应用试题
高二数学排列组合综合应用试题1.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法．（用数字作答）【答案】1260【解析】9个求排成一列，相当于排队，从9个位置选2个排红球，共有种，从剩余7个选3个排黄球，共有，剩余4个位置排白球，因此共有.【考点】排列问题2.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．【答案】(1)24;(2)48;(3)78;(4)36【解析】（1）特殊元素(位置)法:首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种共有24种;(2)捆绑法:把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种;(3)对立法:甲在排头和乙在排尾的各种,其中甲在排头且乙在排尾的有种,五个人站成一排的不同排法数是种,所以甲不在排头，并且乙不在排尾的有种;(4)插空法:先将其余3个全排列种，再将甲、乙插入4个空位种，所以，一共有种不同排法.试题解析：（1）特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种,所以共有：种把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：种；先将其余3个全排列,再将甲、乙插入4个空位，所以，一共有种不同排法.【考点】排列组合3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？【答案】（1）70种；（2）59种．【解析】（1）由题意可分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理，问题得以解决．（2）由题意可分三类，第一类，选国画和油画，第二类，选国画和水彩画，第三类，选油画和水彩画，根据分类计数原理，问题得以解决．试题解析：（1）分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理得，共有5×2×7=70种．（2）分三类，第一类，选国画和油画共有5×2=10种，第二类，选国画和水彩画共有5×7=35种，第三类，选油画和水彩画共有2×7=14种，根据分类计数原理共有10+25+14=59种．【考点】分类和分步计数原理．4.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．【答案】（1）1260（2）7560（3）1680【解析】（1）分步：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．试题解析：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有种方法；第三步：把剩下的书给丙有种方法，∴共有不同的分法有 (种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有种方法，∴共有＝7560(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得＝1680(种)．【考点】排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．5.设全集I=｛1，2，3，4，5，6｝，集合A，B都是I的子集，若A B=｛1，3，5｝，则称A，B为“理想配集”，记作（A，B），问这样的“理想配集”（A，B）共有（）A．7个 B．8个 C．27个 D．28个【答案】C【解析】由于交集是1,3,5，所以A,B集合中都必有1,3,5；分情况讨论：1）当A有3个元素，那么B有种选择；2）当A有4个元素，那么A要从1，3，5外再挑一个，有3种，这时B 有种选择，总共有种；3）当A有5个元素，那么A从1，3，5之外再挑两个，有3种，这时B有种选择，总共有种；4）当A有6个元素，B只有唯一一种可能；由分类计数原理得共有：8+12+6+1=27种；故选Ｃ．【考点】分类计数原理．6.将排成一排，要求在排列中，顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有种.【答案】【解析】将排成一排，共有排列的种数为，若按的顺序可分为六类，即（可以不相邻），而每类的排列数是一样的均为种，所以顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有种，注意等可能方法的使用.【考点】有限制条件的排列计数问题.7. A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，且B在A的左边，那么不同的排法共种.【答案】24【解析】将A，B看成一个人，和其他三人一起作全排列，又B在A的左边，故有不同的排法共有：种，故应填入：24．【考点】排列与组合．8.（12分）3名教师与4名学生排成一横排照相，求:（1）3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？（2）3名教师必须在中间（在3、4、5位置上）的不同排法有多少种？（3）3名教师不能相邻的不同排法有多少种？【答案】（1）; （2）; （3）.【解析】（1）捆绑法，将3名教师作为一整体与4名学生全排列有种，3名教师各自排列有，分步乘法原理；（2）3名教师排法有，4个学生在4个位子上全排列共有种，分步乘法原理；（3）插空法，4名学生共有种，形成5个空位由3个老师排列有种，再用分步乘法原理.解：（1）3名教师的排法有，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有种，则共有（种） 4分（2）3名教师的排法有， 4个学生在4个位子上的全排列共有种，则共有（种）---8分（3） 12分【考点】1.分步乘法原理；2.排列组合.9.用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则= 。
6.2.3 排列组合的综合运用(精讲)(解析版)
6.2.3 排列组合的综合运用（精讲）考法一全排列【例1】（2020·全国专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A 种，故选：D.【一隅三反】1．（2020·全国专题练习）2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（）A．64种B．48种C．24种D．12种【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有4424A=种方法．故选：C．2．（2020·吉林吉林市·高二期末）将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【答案】C【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有55120A=种，故选：C．3．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A．3种B．6种C．12种D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：333216A=⨯⨯=.故选：B考法二相邻问题【例2】（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A⨯=.故选：C【一隅三反】1．（2020·全国专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A．8种B．12种C．20种D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有323212A A=种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A=种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序.故选：C.2．（2020·湖北随州市·高二期末）5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（）A．24种B．36种C．48种D．72种【答案】C【解析】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有424248A A=种排列的方法.故选：C.3．（2020·重庆高二期末）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（）种排法.A．24 B．120 C．240 D．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A=种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A⋅=⨯=排法，故选：C.4.（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A．96B．240C．280D．480【答案】B【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3510C=种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A=种，所以不同的分法种数为1024240⨯=,故选：B考法三不相邻问题【例3】（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式. A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A=.故选：B.【一隅三反】1．（2020·北京高二期末）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A A +C ．4343A A D ．4345A A【答案】D【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法； 故选：D .2．（2020·北海市教育教学研究室高二期末）若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ） A ．12种 B ．14种 C ．5种 D ．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有22A 种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有33A 种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有2323A A 种排法.故答案选A 3．（2020·四川省新津中学）五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ） A ．55552A A B ．5565A AC ．55562A AD ．5555A A【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为5565A A ．故选：B ．4．（2020·重庆市第七中学校高二月考）现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种. A ．24 B ．36 C ．72 D ．144【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有246C =种情况， ②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有4424A =种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有232312A A =种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有61272⨯=种；故选：C考法四 分组分配【例4】（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A ．60种 B ．90种 C ．150种 D ．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【一隅三反】1．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校）有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G 77从武汉出发（G 77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．81种 D ．256种【答案】B【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有24C 种分法，再分配到三个站点，有33A 种分法，所以一共有234336C A =种不同的下车方案.故选：B.2．（2020·河北）特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ） A ．24 B ．14 C ．12 D ．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有2242223=C C A 种方法， 再把2名体育教师分别放入这两组，有222A =种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有223212A ⨯⨯=种方法.故选：C.3．（2020·江西高二期末）江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．60 B ．90 C ．150 D ．240【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将五名工作人员分成3组，若分为3、1、1的三组，有3510C =种分法， 若分为2、2、1的三组，2215312215C C C A =种分法，则有101525+=种分组分法；②将分好的三组全排列，对应三个景点，有336A =种情况，则有256150⨯=种分配方法；故选：C ．4．（2020·四川达州市·高二期末）公元2020年年初，19COVID -肆虐着中国武汉，为了抗击19COVID -，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A 医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ） A ．30 B ．60 C ．90 D ．180【答案】A【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有22264233=15C C C A 种分组方法； ②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有222A =种情况，则有15230⨯=种不同的安排方法. 故选：A.5．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校高二期末）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．35【答案】B【解析】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C A A A A A ⋅=种分法； 其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C C C A C C A A A ⋅=种分法， ∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B .考向五 几何问题【例5】（2020·全国）如图，MON ∠的边OM 上有四点1A 、2A 、3A 、4A ，ON 上有三点1B 、2B 、3B ，则以O 、1A 、2A 、3A 、4A 、1B 、2B 、3B 中三点为顶点的三角形的个数为（ ）A ．30B ．42C ．54D ．56【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C --=.故选：B.【一隅三反】1．（2020·湖南高三开学考试）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个 A ．70 B ．64 C ．60 D ．58【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有701258-=个.故选：D. 2．（2020·昆明呈贡新区中学）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（ ） A ．32B ．15C ．16D ．31【答案】D【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为241C C n n ++，此题6n =，所以最多可分为31个区域.故选：D .3．（2020·北京丰台区·高二期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（ ） A ．21 B ．28 C ．42 D ．56【答案】B【解析】线段由2个端点组成，因此只需要从8个点中选取2个即可构成一条线段，所以线段条数为2828C =，故选：B.4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【解析】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.考向六 方程不等式问题【例6】（2020·全国）方程10x y z ++=的正整数解的个数__________. 【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法． 将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36【一隅三反】1．（2021·山西太原市）三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有_____. 【答案】105【解析】由,,x y z N ∈,则13,,,x y z x y z N ++=∈设1,1,1a x b y c z =+=+=+，则,,a b c N +∈且16a b c ++=，则三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数等价于16a b c ++=,,,a b c N +∈的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有21515141052C ⨯==种分法，即三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有105个， 故答案为：105.2．（2020·四川雅安市·雅安中学高二月考）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组 A ．165 B ．120C ．38D ．35【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，11 / 12故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.考向七 数字问题【例7】（2020·南通西藏民族中学）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ） A ．6种 B ．9种 C ．10种D ．15种【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=， 所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C. 【一隅三反】1．（2020·全国）在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为( ) A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】A【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有246C =种，故选：A ． 2．（2020·广东汕尾市·高二月考）从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有（ ） A ．312个 B ．1560个 C ．2160个 D ．3120个【答案】D【解析】从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：①、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有35551200C A ⋅=个；②、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有311452441920C C C A ⋅⋅⋅=个；则满足要求的偶数共有120019203120+=个. 故选：D.3．（2020·浙江高三其他模拟）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被12 / 123整除，则不同的选取方法有（ ） A ．55种 B ．61种 C ．64种 D ．70种【答案】A【解析】对三个数中有没有6进行分类：①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即28C 28=种； ②不含6时，则需要3与9．当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即133C =种；当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即()11122333C C C C 24⋅+=种． 综上所述，不同的选取方法有55种， 故选：A ．。
(含答案)《排列组合的综合运用》练习题
《排列组合的综合运用》练习题一、选择题：1.0198991299100C C C C ++⋅⋅⋅++式子等于（ ）A.5050B.16800C.57600D.8453200{}211123111111A B.1 C.2 D.2,3,4,5222x x x x C C x |x x N |x x |x --++<⎧⎫⎧⎫⎧⎫<∈≤<≤<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭2.不等式的解集为（ ）. 3.以正方体的顶点为顶点可以确定四面体的个数为（ ）A. 70B. 58C. 56D. 244.有7个身高互不相同的学生要站成一排照相，要求身高最高的在中间，且往两边身高依次递减，则不同的排法有（ ）A. 18种B. 20种C.24种D.36种5.甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有（ ）A.6种B.12种C.30种D.36种6. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8中选出两个不同的偶数和两个不同的奇数，可以组成无重复数字且能被5整除的四位数的个数为（ ）A.300B.324C.360D.2967.一小朋友将4个苹果分成两堆，每堆至少一个，不同的分法有（ ）A.7种B.14种C.24种D.48种8.一排有十个座位，现有4人就座，恰好有5个空位相连的坐法有（ ）A.480种B.360种C.240种D.120种9.将6名志愿者分成四个组，其中两组各有两人，另两组各一人，分赴世博会的四个不同场馆服务，则不同的分配方案有（ ）A.1080种B.2010种C.980种D.1260种10.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={4,5,6,7}，设f 是A 到B 的函数，若以B 为值域，且满足f(1)≤f(2)≤ f(3)≤ f(4)≤ f(5)≤f(6)的函数有（ ）A.8个B.9个C.10个D.11个11.有15盏灯，要求关掉6盏，且相邻的灯不能关掉，两端的灯不能关掉，则不同的关灯方法有（ ）A.28种B.84种C.180种D.360种12.将5个不同的小球放到四个不同的盒子内，每盒至少一个球，且甲球必须放到A 盒中，则不同的放法有（ ）A.120种B.72种C.60种D.36种二、填空题:13. 25516160___________x x x C C ---=方程的解为 14.有6张相同的JAY 演唱会的门票，现分给四个人，有________种分法（用数字作答）15.一文艺小组共有9个人，其中6人会唱歌，5人会跳舞，从中选出6人演出一个节目，要求3人唱歌，3人伴舞，则不同的选法有__________种（用数字作答）16.将4名医生和8名护士分到3所不同的学校为学生体检，要求每校至少一名医生和两名护士，则不同的分配方法有_________种（用数字作答）三、解答题:17.某人射击7次，有4次命中目标.（用数字作答）（1）恰有3次连续命中目标的情况有几种？（2）刚好有两次连续两枪命中目标的情况有几种？（3）恰有一次连续两枪命中目标的情况有几种？（1）图形中共有几个正方形？（2）如图，有3个小正方形组成的图形称为L形（每旋转90度仍为L图中共有几个L形？（3）由A到B最近的路线有几条？19.有9个完全相同的小球放到编号为1,2,3的三个盒子内.（用数字作答）（1）每盒至少一个小球，共有几种放法？（2）允许有空盒，有几种放法？（3）每盒至少两个球，有几种放法？（4）每盒中球的个数不小于盒的编号数，有几种放法？20.有5名实习生被分派到3个单位去实习.（用数字作答）（1）共有几种分派方法？（2）其中只有A单位无人去实习，有几种分派方法？(3) 恰有一个单位无人去实习，有几种分派方法？（4）每个单位至少一个人，甲乙不在同一个单位且两人也不单独在一个单位，共有几种分派方法？（5）每个单位至少有一名实习生，且甲乙要在同一单位实习，共有几种分派方法？《排列组合》真题练习一、选择题：1.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（）A． 152 B. 126 C. 90 D. 54【答案】B2.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A．10 B.11 C.12 D.15【答案】B3．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法A A＝24个①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A＝12个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C4．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种5.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）（A ） 504种 （B ） 960种 （C ） 1008种（D ） 1108种 【答案】C 分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法6．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ ）（A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种【答案】C【解析】法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法即2212116454432C C C C C C -⨯+=42法二：分两类:甲、乙同组，则只能排在15日，有24C =6种排法甲、乙不同组，有112432(1)C C A +=36种排法，故共有42种方法. 7. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212=A C C ；若小张、小赵都入选，则有选法122322=A A ，共有选法36种，选A.8.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
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1. （2019湖北宜昌一中月考）从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7 的情况共有（）A. 18 种 B . 30种C. 45 种 D . 84 种答案C解析分两步：先从8, 9, 10这三个数中选取一个数作最大的数有C31种方法；再从1, 2,3, 4, 5, 6这六个数中选取两个比7小的数有C62种方法，故共有CJC62= 45种情况，应选择C.2•将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（）A. 10 B . 20C. 30 D . 40答案B解析将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C53C22X 2 = 20（种），故选B.3.（2019 •东省实验中学月考）甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1 名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有（）A . 1 260 种B . 2 025 种C . 2 520 种D. 5 040 种答案C解析先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C102A82 =2 520种不同的招聘方法.4.将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1, 2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有（）A . 12 种B. 16种C . 18 种D. 36 种答案C解析可先分组再排列，所以有|C42A 33= 18（种）放法.5 . （2019西安五校）某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A. 80 种B. 90种C . 120 种D. 150 种答案D解析有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C53A33=C260（种）；（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C51X号X A33=90（种）.•••共有150种.故选D.6.（2019 •西大同一模）从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为（）2八4 1八5A . C10 A8B . C9 A9C. C81A95 D . C81A85答案C解析先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C81种方法，再排剩余的瓶子，有A95种方法，故不同的放法共有C81A95种，故选C项.7.（2019安徽毛坦厂中学阶段测试）6名志愿者（其中4名男生，2名女生）义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有（）A. 40 种B. 48种C. 60 种 D . 68种答案B解析4, 2 分法：A22（C64- 1）= 14 X 2 = 28 , 3, 3分法：。
6光33= 20,二共有48 种. &某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为（）A . C62C52C82B . C62+ C52+ C822 2 2 2C . A6 A5 A8 D. C19答案B解析依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，高三比赛有C82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C62+ C52+ C82，选B.9.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A. 18 B . 24C . 30 D. 36答案C解析排除法.先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C42= 6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33= 6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33= 6种，所以共有C42A33- A33= 30种分法.故选C.10 .某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一答案 CA 33=36（种）.11•某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任 选一题作答，选甲题答对得30分，答错得-30分；选乙题答对得10分，答错得-10分•若 4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是 （ ）A . 24B . 36C . 40D . 44答案 D解析 分以下四种情况讨论：（1）两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学 选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有 C 42X 2 X 2= 24（种）;（2）四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有 C 21C 42= 12（种）情况；（3）—人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41= 4（种）情况；（4）一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有 C 41= 4（种）情况•综上所述，共有 24+ 12+ 4 + 4 = 44（种）不同的情况.故选 D.12. （2019河南郑州检测）从1 ,2, 3, 4, 5这五个数字中任取 3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（）A . 51 个B . 54 个C . 12 个D . 45个答案 A解析 分三类：第一类，没有 2, 3，由其他3个数字组成三位数，有 A 33= 6（个）；第二类，只有2或3,需从1, 4, 5中选2个数字，可组成2C 32A 33= 36（个）；第三类，2, 3均有，再从1, 4, 5中选1个，因为2需排在3的前面，所以可组成^C 31A 33=9（个）.故这样的三位数共有 51个，故选A.13.（2019安徽马鞍山模拟）某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训， 则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（ ）名，则不同的分配方案种数为 （）B . 72C . 36D . 48解析 分两步完成：第一步将 4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有 2 1C 4 C 2 C 1 2 - A21-种；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种.所以满足条件的分配方案有A 22B . 3 000D . 1 500答案 D解析 分两步：第一步：从 5个培训项目中选取 3个，共C 53种情况;14. （2019河北唐山一中模拟）中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了 50台完全相同的校车，准备发放给 10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有（）99A . C 41B .C 3899C . C 40D . C 39答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下 40台；将剩下的40台像排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空.对这39个空进行插空（隔 板），比如说用9个隔板隔开，就可以隔成 10部分了.所以是在 39个空里选9个空插入隔 板，所以是C 399.15 . （2019人大附中期末）在8张奖券中有一、二、三等奖各 1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 ___________ 种（用数字作答）. 答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42=36 ;另一种将3张有奖的奖券分给 4个人中的3个人，种数为A 43= 24，则获奖情况总共 有 36 +24= 60 种.16 .某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生 A 不分配到甲班的分配方案种数是 _____________ . 答案 100第二步：5位教师分成两类： ①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为 1人，1人，3_ 2_ 2人，共C 53种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为 1人，2人，2人，共■Cp2 2C . 150C 53(C 53+ CTC2^)A 33= 1 500(种).A 2种情况•故选择情况数为解析A的分配方案有2种，若A分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后2 2（C43+ ^^）A22= 14;若A分配到的班级再分配一A2分配到另外两个班级，分配方法种数是名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C41C31A22= 24；若A分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C42A22= 12.故总数为2X （14+ 24 + 12）= 100.17. （2019北京海淀区二模）某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10 辆车，并且每个车队至少抽调1 辆，那么共有___________ 种不同的抽调方法．答案84解析方法一：（分类法），在每个车队抽调1 辆车的基础上，还需抽调3 辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1 辆，另1个车队抽调2辆，有A f种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C73种•故共有C i + A 7 + C7 = 84（种）抽调方法.方法二：（隔板法），由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份.可将10 个小球排成一排，在相互之间的9 个空当中插入6 个隔板，即可将小球分成7份，故共有C96= 84（种）抽调方法.。