排列组合经典题型及解析

合集下载

排列组合经典题型及解法

排列组合是组合数学中的一个重要概念，涉及到对一组对象进行排列或组合的方式。

下面列举几个经典的排列组合题型及解法：
1. 排列问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种排列方式？
-解法：使用排列数的公式P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n 的阶乘。

2. 组合问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种组合方式？
-解法：使用组合数的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。

3. 重复排列问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行排列，允许元素重复，有多少种排列方式？
-解法：使用重复排列数的公式P'(n, m) = n^m，其中^n表示n的m次方。

4. 重复组合问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行组合，允许元素重复，有多少种组合方式？
-解法：使用重复组合数的公式C'(n, m) = C(n+m-1, m)，其中C(n, m)表示组合数。

5. 圆排列问题：
-题型：将n个不同的物体围成一个圆圈，有多少种不同的排列方式？
-解法：使用圆排列数的公式P(n) = (n-1)!。

以上是一些常见的排列组合题型及其解法。

在实际问题中，可能会出现更加复杂和变化的情况，需要根据具体问题进行分析和推导解法。

排列组合的21种经典题型及解法

排列组合的21种经典题型及解法1. 单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。

解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。

2. 多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。

解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。

3. 判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。

4. 填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。

5. 问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。

6. 排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。

7. 计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。

8. 简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。

9. 完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。

解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。

10. 阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。

解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。

11. 词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。

解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。

(完整版)经典排列组合问题100题配超详细解析

1．n N ∈且55n <，则乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A ．5569nn A --B ．1555n A -C ．1569n A -D ．1469n A -【答案】C【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55—n ，那么可知下标的值为69—n ，共有69—n-（55—n ）+1=15个数，因此选择C2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ) A. 24种 B. 36种 C 。

38种 D 。

108种【答案】B【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑,分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B3．n ∈N ＊，则（20-n ）(21—n ）……(100-n)等于（ )A ．80100n A - B ．nn A --20100 C ．81100n A -D ．8120n A -【答案】C【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N ＊，则（20-n ）（21—n)……（100—n)等于81100n A -,选C4．从0,4,6中选两个数字，从3.5。

7中选两个数字,组成无重复数字的四位数。

其中偶数的个数为 ( ） A 。

56 B. 96 C. 36 D 。

360 【答案】B【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解,第一种,末尾是0，那么其余的有A 35=60，第二种情况是末尾是4,或者6，首位从4个人选一个,其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 ( ）A. 280种B. 240种 C 。

13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢

13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢高考数学中有一部分知识叫做排列组合概率及统计学，大概占17分左右，但是这部分知识又不是很难，所以这17分一分都不能丢！类型一、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素；若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑顺序，但是首位末位有优先需求，所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1，3,5这个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0，在排除一个奇数，只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可以。

类型二、相邻/相间元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。

审题时一定要注意关键字眼。

类型三、不相邻问题插空策略先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。

所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。

“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定。

类型四、定序问题倍缩空位插入策略顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。

类型五、重排问题求幂策略分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略，解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。

排列组合典型题大全含答案

排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、3C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？ 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

(完整版)排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

排列组合12种题型归纳(解析版)

第30讲排列组合12类【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，22423245C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。

主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。

出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：容斥原理()n A B ⋃=()()()n A n B n A B +-⋂【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A ．30 B ．36 C ．60 D ．72【答案】C【分析】记事件:A 2位男生连着出场，事件:B 女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦，再利用排列组合可求出答案．【详解】记事件:A 2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A 的排法种数为()242448n A A A ==，记事件:B 女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B 的排法种数为()4424n B A ==，事件:A B ⋂女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形成三个元素，所以，事件A B 的排法种数为232312A A =种，因此，出场顺序的排法种数()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦()12048241260=-+-=种，故选C ．2.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．48【答案】B【分析】先求出只有3个歌舞类节目不相邻的方法，然后求出3个歌舞类节目不相邻且2个小品类节目相邻的排法，相减可得．【详解】先考虑只有3个歌舞类节目不相邻，排法有3334144A A=种，再考虑3个歌舞类节目不相邻，2个小品类节目相邻的排法有：22322324A A A=，因此同类节目不相邻的排法种数是14424120-=．故选：B．3.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【答案】B【分析】由题意，对高校甲排在第二或第三个进行分类讨论，接着考虑乙和丙的排法，最后考虑其他两所高校的排法，综合利用分类和分步计数原理进行分析即可.【详解】根据题意：分成以下两种情况进行分类讨论高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有132312C A=种排法，当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有22224A A=种排法，所以高校甲排在第二个时共有16种排法；高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有1112 222216C C C A=种排法；综上：共有32种排法满足题意.故选：B.【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7 答案：D55315232553555351235125122404==4207;(2)4----+++2A C C A C C C C C ----⨯⨯涂色法：（1）用了几种颜色；（2）尽量先图相邻多的“三角形”：本题先把ABE 作为“三角形”1、用了5色：A 、用了4色：(1)先涂ABE:A 用第色：（3）D 用第4种：（相同）3、用了3色：同先涂ABE:A 结束。

排列组合经典例题(含解析)

排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选 B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选 C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选 A.8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选 C.10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26·C24A22·A44＝1 080种．13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选 B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有4414222AA A 种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A AA 种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72（B ）96（C ）108（D ）144w_w_w.k*s 5*u.co*m解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法w_w_w.k*s 5*u.co*m①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

cxy排列组合经典例题解析

排列组合问题经典题型与通用方法解析版1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B.（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

排列组合常考问题及讲解

“排列、组合”常考问题[题型分析·高考展望] 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用.常考题型精析题型一排列问题例1 (1)(2015·)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答).(2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________.点评求解排列问题的常用方法：(1)特殊元素(特殊位置)优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻问题插空法；(4)定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法.变式训练1 (1)(2014·)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24(2)(2015·)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个题型二组合问题例2 在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法.(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员.点评(1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题.(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准.(3)判断是否为“分组”问题，避免重复.变式训练2 (1)(2014·)在8奖券中有一、二、三等奖各1，其余5无奖.将这8奖券分配给4个人，每人2，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)(2)从3名骨科、4名脑外科和5名科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和科医生都至少有1人的选派方法种数是____________.(用数字作答)题型三排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？点评(1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解.变式训练3 (1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)(2)(2014·)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130高考题型精练1.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.2792.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b 的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.203.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!4.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种5.(2015·模拟)现有16不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4，从中任取3，要求这3卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1，不同取法的种数为( )A.232B.252C.472D.4846.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )A.96B.84C.60D.487.将序号分别为1,2,3,4,5的5参观券全部分给4人，每人至少1，如果分给同一人的2参观券连号，那么不同的分法种数是________.8.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有______种.9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的5个热点.小王想在2015年国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________.10.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个，11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.11.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种.12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？答案精析专题8 概率与统计第35练“排列、组合”常考问题常考题型精析例1 (1)1 560 (2)480解析(1)依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言.(2)方法一(位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A44种站法.由分步乘法计数原理，知共有A25A44＝480(种)不同的站法.方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A55种站法.由分步乘法计数原理，知共有A14A55＝480(种)不同的站法.方法三(反面求解法)6人没有限制的排队有A66种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A55种站法，因此符合条件的不同站法共有A66－2A55＝480(种).变式训练1 (1)D (2)B解析(1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.(2)由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34个＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.例2 解(1)方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：①有2名外籍队员，共有C37·C24种组队方法；②有3名外籍队员，共有C27·C34种组队方法；③有4名外籍队员，共有C17·C44种组队方法.根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C37·C24＋C27·C34＋C17·C44＝301(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：①只有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种组队方法；②没有外籍搜救队队员，共有C57C04种组队方法.所以至少有2名外籍搜救队队员共有C511－C47C14－C57C04＝301(种)不同的组队方法.(2)方法一(直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：①有3名外籍搜救队队员，共有C27C34种方法；②有2名外籍搜救队队员，共有C37C24种方法；③有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种方法；④没有外籍搜救队队员，共有C57种方法.由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C27C34＋C37C24＋C47C14＋C57＝455(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C17C44种组队方法，所以至少有3名外籍搜救队队员共有C511－C17C44＝455(种)不同组队方法.变式训练2 (1)60 (2)590解析(1)把8奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.(2)分三类：①选1名骨科医生，则有C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＝360(种).②选2名骨科医生，则有C23(C14C25＋C24C15)＝210(种)；③选3名骨科医生，则有C33C14C15＝20(种).∴骨科、脑外科和科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.例3 解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13A22＝144(种).(2)“恰有1个盒有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法.故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种).变式训练3 (1)480 (2)D解析 (1)分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.所以共有：2(A 22·A 33＋C 13A 33·A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480.(2)在x 1，x 2，x 3，x 4，x 5这五个数中，因为x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C 15×2种；②两个1(或－1)，三个0，有C 25×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A 25种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有C 25C 13×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C 35×2种.故共有C 15×2＋C 25×2＋A 25＋C 25C 13×2＋C 35×2＝130(种)，故选D. 高考题型精练1.B [无重复的三位数有：A 39＋A 12A 29＝648个. 则有重复数字的三位数有：900－648＝252个.]2.C [由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C.] 3.C [把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种.] 4.D [满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C 45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).]5.C [分两类：第一类，含有1红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有 264＋208＝472(种).]6.B [可依次种A 、B 、C 、D 四块，当C 与A 种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C 与A 所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类加法计数原理知不同的种法总数为36＋48＝84.]7.96解析将5参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A44种分法，∴不同的分法种数共有4A44＝96.8.60解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A35＝60(种).9.72解析先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法.在调查时，“雾霾治理”的安排顺序有A13种可能情况，其余3个热点的安排顺序有A33种，故不同调查顺序的种数为C34A13A33＝72.10.(1)90 (2)9×10n解析从左右对称入手考虑.(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有C19＝9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个.(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n＋1(n∈N*)位回文数有9×10n个.11.48解析①只有1名老队员的排法有C12·C23·A33＝36种；②有2名老队员的排法有C22·C13·C12·A22＝12种.所以共48种.12.解如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知.有5×4×4＝80(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法.。

排列组合专题复习与经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解1.学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略:（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略.3.难点综合运用解题策略解决问题.4.学习过程:(1)知识梳理1. 分类计数原理（加法原理）: 完成一件事, 有几类办法, 在第一类办法中有种不同的方法, 在第2类办法中有种不同的方法……在第n类型办法中有种不同的方法, 那么完成这件事共有种不同的方法.2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事, 需要分成n个步骤, 做第1步有种不同的方法, 做第2步有种不同的方法……, 做第n步有种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法．特别提醒:分类计数原理与“分类”有关, 要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关, 要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性, 应用这两个原理进行正确地分类、分步, 做到不重复、不遗漏.3. 排列：从n个不同元素中, 任取m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列, 时叫做选排列, 时叫做全排列.4．排列数: 从n个不同元素中, 取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 用符号表示.5. 排列数公式：排列数具有的性质:特别提醒:规定0!=16. 组合: 从n个不同的元素中, 任取m(m≤n)个不同元素, 组成一组, 叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.7．组合数: 从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号表示.8. 组合数公式：组合数的两个性质: ①；②特别提醒: 排列与组合的联系与区别.联系: 都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”, 后者是“并成一组”, 前者有顺序关系, 后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排, 分别有多少种不同的站法（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端, 乙不站右端.【解析】: (1)方法一: 要使甲不站在两端, 可先让甲在中间4个位置上任选1个, 有种站法, 然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法, 根据分步乘法计数原理, 共有站法:方法二: 由于甲不站两端, 这两个位置只能从其余5个人中选2个人站, 有种站法, 然后中间4人有种站法, 根据分步乘法计数原理, 共有站法:方法三: 若对甲没有限制条件共有种站法, 甲在两端共有种站法, 从总数中减去这两种情况的排列数, 即共有站法:（2）方法一: 先把甲、乙作为一个“整体”, 看作一个人, 和其余4人进行全排列有种站法, 再把甲、乙进行全排列, 有种站法, 根据分步乘法计数原理, 共有方法二: 先把甲、乙以外的4个人作全排列, 有种站法, 再在5个空档中选出一个供甲、乙放入, 有种方法, 最后让甲、乙全排列, 有种方法, 共有（3）因为甲、乙不相邻, 中间有隔档, 可用“插空法”, 第一步先让甲、乙以外的4个人站队, 有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中, 有种站法, 故共有站法为此外, 也可用“间接法”, 6个人全排列有种站法, 由（2）知甲、乙相邻有种站法, 所以不相邻的站法有.（4）方法一: 先将甲、乙以外的4个人作全排列, 有种, 然后将甲、乙按条件插入站队, 有种, 故共有站法.方法二: 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上, 有种, 然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法, 最后对甲、乙进行排列, 有种方法, 故共有站法.（5）方法一: 首先考虑特殊元素, 甲、乙先站两端, 有种, 再让其他4人在中间位置作全排列, 有种, 根据分步乘法计数原理, 共有站法.方法二: 首先考虑两端两个特殊位置, 甲、乙去站有种站法, 然后考虑中间4个位置, 由剩下的4人去站, 有种站法, 由分步乘法计数原理共有站法.（6）方法一: 甲在左端的站法有种, 乙在右端的站法有种, 甲在左端而且乙在右端的站法有种, 故甲不站左端、乙不站右端共有-2 + =504（种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有种站法, ②甲在中间4个位置之一, 而乙又不在右端有种, 故共有 + =504（种）站法.考点二:组合问题例2.男运动员6名, 女运动员4名, 其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法（1）男运动员3名, 女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长, 又要有女运动员.【解析】: （1）选法为 .（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男, 2女3男, 3女2男, 4女1男.由分类计数原理可得总选法数为（种）2461644263436244614=+++C C C C C C C C .方法二: 因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”, 故可用间接法求解. 从10人中任选5人有种选法, 其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有1名女运动员”的选法（种）24656510=-C C .（3）方法一: 可分类求解:“只有男队长”的选法为48C ；“只有女队长”的选法为48C ；“男、女队长都入选”的选法为38C ；所以共有248C +38C =196（种）选法.方法二: 间接法: 从10人中任选5人有种选法.其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长”的选法为510C -58C =196种.（4）当有女队长时, 其他人任意选, 共有种选法；不选女队长时, 必选男队长, 共有种选法, 而且其中不含女运动员的选法有种, 所以不选女队长时的选法共有种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有191)(454849=-+C C C 种.考点三:综合问题例个不同的球, 4个不同的盒子, 把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球, 共有几种放法（2）恰有1个盒内有2个球, 共有几种放法（3）恰有2个盒不放球, 共有几种放法【解析】: （1）为保证“恰有1个盒不放球”, 先从4个盒子中任意取出去一个, 问题转化为“4个球, 3个盒子, 每个盒子都要放入球, 共有几种放法”即把4个球分成2, 1, 1的三组, 然后再从3个盒子中选1个放2个球, 其余2个球放在另外2个盒子内, 由分步乘法计数原理, 共有；（2）“恰有1个盒内有2个球”, 即另外3个盒子放2个球, 每个盒子至多放1个球, 也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒, 因此, “恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事, 所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有种方法；4个球放进2个盒子可分成（3, 1）、（2, 2）两类：第一类有序不均匀分组有8221134=P C C 种方法；第二类有序均匀分组有622222224=⨯P P C C 种方法. 故共有842222222422113424=⨯+）（P P C C P C C C 种. 当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队, 要求其中男、女医生都有, 则不同的组队方案共有（）种种种种【解析】: 分为2男1女, 和1男2女两大类, 共有种.解题策略: 合理分类与准确分步的策略.年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作, 若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作, 则不同的选派方案共有（）种种种种【解析】: 合理分类, 通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选, 先从两人中选1人, 然后把这个人在前两项工作中安排一个, 最后剩余的三人进行全排列有种选法. （2）小张和小赵都入选, 首先安排这两个人做前两项工作有种方法, 然后在剩余的3人中选2人做后两项工作, 有种方法. 故共有种选法.解题策略: ①.特殊元素优先安排的策略.②.合理分类与准确分步的策略.③.排列、组合混合问题先选后排的策略.3.从0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数, 组成没有重复数字的四位数的个数为（）【解析】: 分为两大类: （1）含有0, 分步: ①从另外两个偶数中选一个, 有种方法, ②.从3个奇数中选两个, 有种方法；③.给0安排一个位置, 只能在个、十、百位上选, 有种方法；④.其他的3个数字进行全排列, 有种排法, 根据乘法原理共有种方法. （2）不含0, 分步: ①偶数必然是2和4 ；②奇数有种不同的选法, ③然后把4个元素全排列, 共种排法, 不含0 的排法有种. 根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个4.甲组有5名男同学, 3名女同学；乙组有6名男同学, 2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学, 则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）种种种种【解析】: 4人中恰有1名女同学的情况分为两种, 即这1名女同学或来自甲组, 或来自乙组, 则所有不同的选法共有种选法.解题策略: 合理分类与准确分步的策略.5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门, 则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）【解析】: 法一: 甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类:⑴. 甲、乙所选的课程中2门均不相同, 甲先从4门中任选2门, 乙选取剩下的2门, 有种.⑵. 甲、乙所选的课程中有且只有1门相同, 分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程, 有种选法, ②甲从剩余的3门中任选1门, 乙从最后剩余的2门中任选1门, 有种选法, 由分步计数原理此时共有种.最后由分类计数原理, 甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选C．法二: 可以先让甲、乙任意选择两门, 有种方法, 然后再把两个人全相同的情况去掉, 两个人全相同, 可以将甲与乙看成为同一个人, 从4门中任选两门有种选法, 所以至少有一门不相同的选法为种不同的选法.解题策略: 正难则反, 等价转化的策略.6.用0 到9 这10 个数字, 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）【解析】：第一类个位是0, 共种不同的排法；第二类个位不是0, 共种不同的解法．故共有+ =328（个）．解题策略: 合理分类与准确分步的策略.7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理, 则甲、乙至少有1人入选, 而丙没有入选的不同选法的总数为（）【解析】: 合理分类, 甲、乙全被选中, 有种选法, 甲、乙有一个被选中, 有种不同的选法, 共+ =49种不同的选法.解题策略: （1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班, 每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班, 则不同分法的总数为（）【解析】: 将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组, 则共有种不同的分法, 然后三组进行全排列共种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉, 共种不同的排法. 所以总的排法为- =30种.注意:这里有一个分组的问题, 即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题．解题策略:⑴.正难则反、等价转化的策略⑵.相邻问题捆绑处理的策略⑶.排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点:仔细审题, 判断是排列还是组合问题, 要按元素的性质分类, 按事件发生的过程进行分步. 深入分析, 严密周详, 注意分清是乘还是加, 要防止重复和遗漏, 辩证思维, 多角度分析, 全面考虑.对限制条件较复杂的排列组合问题, 要周密分析, 设计出合理的方案, 把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决.由于排列组合问题的答案一般数目较大, 不易直接验证, 因此在检查结果时, 应着重检查所设计的解决方案是否完备, 有无重复和遗漏, 也可采用不同的方法求解．看看结果是否相同, 在对排列组合问题分类时, 分类标准应统一, 否则易出现遗漏和重复．。

微专题：排列组合问题的综合应用经典题型(含解析)

【学生版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。

【典例】题型1、特殊元素（位置）问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、相邻、相间问题例2、（1）某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种【答案】【解析】；（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168【答案】【解析】；题型3、分组、分配问题例3、（1）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A．36 B．9 C．18 D．15（2）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法．题型4、涂色问题例4、（1）如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【说明】解决涂色问题，关键还是阅读理解与用好两个计数原理；【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素；第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列；第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果；均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数；【即时练习】1、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C210P48B．C19P59C．C18P59D．C18P583、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A．12种B．24种C．48种D．96种4、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种5、在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【教师版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。

微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析(11大题型)-【高频考点解密】2024年高考数学二轮卷

微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析（11大题型）题型一：特殊元素与特殊位置优待法解题思路：对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

【精选例题】【例1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种【例2】7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A．672B．864C．936D．1056【例3】将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）【题型专练】1．某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．2．某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有种．3．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A．288B．336C．368D．4124．某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有种.题型二：分类讨论思想解题思路：遇到情况比较复杂，我们可以通过分类讨论，分出几种情况，再用分类加法原理进行计算【精选例题】【例1】（2023全国卷乙卷真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A．120B．60C．30D．20【例2】（2023全国卷甲卷真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【例3】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况数（）A．60B．40C．30D．80【题型专练】1.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A．20种B．16种C．12种D．8种2．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有___种．题型三：插空法（不相邻问题）解题思路：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可【例1】黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b 两段，使得长线段a 与原线段a b +的比等于短线段b 与长线段a 的比，即()::a a b b a +=，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）A ．180B ．210C ．240D ．360【例2】把5件不同产品A ，B ，C ，D ，E 摆成一排，则（） A ．A 与B 相邻有48种摆法B ．A 与C 相邻有48种摆法C ．A ，B 相邻又A ，C 相邻，有12种摆法D ．A 与B 相邻，且A 与C 不相邻有24种摆法【例3】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A ．12B ．48C ．72D ．96【题型专练】1．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（）A ．120种B ．32种C ．24种D ．16种2．某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为 .（用数字作答）3．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作答）题型四：捆绑法（相邻问题）解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。

(完整版)排列组合问题经典题型解析含答案.doc

排列组合问题经典题型与通用方法1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .例 1.A,B,C, D, E五人并排站成一排，如果A, B必须相邻且 B 在 A 的右边，则不同的排法有（）A 、 60 种B 、 48 种 C、 36 种D、 24 种2. 相离问题插空排 : 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A 、 1440 种B 、 3600 种C 、 4820 种D 、 4800 种3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法 .例 3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B可以不相邻）那么不同的排法有（）A 、 24 种B 、 60 种C 、 90 种 D、 120 种4. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成 .例 4. 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1， 2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A 、 6 种 B 、 9 种 C 、 11 种 D 、 23 种5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法 . 例 5. （ 1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A 、 1260 种 B 、 2025 种 C、 2520 种 D、 5040 种（ 2） 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有（）A 、 C 124C 84C 44 种B 、 3C 124C 84 C 44 种 C 、 C 124C 84 A 33 种 DC 124 C 84C 44、A 33种6. 全员分配问题分组法 :例 6. （ 1）4 名优秀学生全部保送到3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（ 2）5 本不同的书，全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、 480 种B、 240 种C、120 种D、 96 种第 1 页共 9 页7.名分配隔板法 :例 7： 10 个三好学生名分到7 个班，每个班至少一个名，有多少种不同分配方案？8. 限制条件的分配分法:例8. 某高校从某系的 10 名秀生中 4 人分到西部四城市参加中国西部开建，其中甲同学不到川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元分法：元素多，取出的情况也多种，可按果要求分成不相容的几情况分数再相加。

小学奥数思维训练-排列组合(经典透析)(通用,含答案)

保密★启用前小学奥数思维训练排列组合（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观．从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种．问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2．某公园有两个园门，一个东门，一个西门．若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门．另外，从东门有一条道路通向游乐场．从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园．从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门．问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3．由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？①可组成多少个没有重复数字的三位数？4．如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5．4名同学到照相馆照相。

他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？①有多少个不同的乘法算式？7．如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？①下右图中，共有多少个角？8．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9．国家举行足球赛，共15个队参加．比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队．各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）．然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军．问：①共需比赛多少场？①如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？参考答案：1．98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据．很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理．我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，同样的道理，从天津到上海的走法计算也应该用加法原理．【详解】解：从北京到天津走法有：4+3=7种，从天津到上海走法有：3+5+4+2=14（种）．从北京到上海的走法有：7×14=98（种）．答：小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法．2．10种【解析】【详解】解法一：这个题的已知条件比较复杂．我们可将已知条件稍加“梳理”：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线．而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线．由乘法原理，这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法．再看从东门入园后到游乐场的路线．从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线．最后由加法原理计算．从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种．解法二：“枚举法”解题．如图，图中A 表示东门，B 表示西门，C 表示龙凤亭，D 表示园中园，E 表示游乐场，F 表示水上世界，G 表示小山亭，线表示道路．不同的走法有10种．1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答：不走重复路线，共有10种不同走法．【点睛】本题主要考察加法乘法原理．先分类利用加法原理，再对每一类进行分步利用乘法原理．建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法，因为枚举法比较容易重复和遗漏．3．①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型解析含答案排列组合问题经典题型解析排列组合问题是高中数学中常见且重要的数学问题类型之一。

本文将从基本概念入手，逐步解析几个经典的排列组合问题，并附带解答。

# 1. 排列问题排列是指从给定的一组对象中选出若干个进行有序的排列。

下面以“abcd”为例，演示几个经典的排列问题。

## 1.1 无重复元素的排列问题描述：从元素集合{a, b, c, d}中，选取3个元素进行排列。

解答思路：首先来分析问题中的条件和要求。

问题中给出了四个元素{a, b, c, d}，要求选取其中的三个元素进行排列，即考虑顺序。

根据排列的定义，我们知道从n个元素中选取k个元素进行排列，共有A(n, k)种情况。

其中，A(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的排列数，计算公式为：A(n, k) = n! / (n-k)!对于本问题，选取3个元素进行排列，即A(4, 3)，计算结果为：A(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24。

因此，从元素集合{a, b, c, d}中选取3个元素进行排列，共有24种情况。

## 1.2 有重复元素的排列问题描述：从元素集合{a, b, b, c}中，选取3个元素进行排列。

解答思路：与上一个问题类似，只是在元素集合中存在重复元素。

排列问题的解法是一样的，只是在计算结果时需要考虑重复元素。

对于本问题，选取3个元素进行排列，即A(4, 3)，计算结果为：A(4, 3) = 4! / 2! = 4 * 3 * 2 * 1 / 2 * 1 = 12。

因此，从元素集合{a, b, b, c}中选取3个元素进行排列，共有12种情况。

# 2. 组合问题组合是指从给定的一组对象中选取若干个进行无序的组合。

下面以“abcd”为例，演示几个经典的组合问题。

## 2.1 无重复元素的组合问题描述：从元素集合{a, b, c, d}中，选取3个元素进行组合。

排列组合常见题型及解答

一．可重复的摆列求幂法：重复摆列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不可以重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则经过“住店法”可顺利解题，在这种问题使用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学比赛，每人限报一科，有多少种不一样的报名方法（2）有 4 名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军，有多少种不一样的结果（3）将 3 封不一样的信投入 4 个不一样的邮筒，则有多少种不一样投法【分析】：（1）（ 2）（ 3）【例 2】把6名实习生疏派到7 个车间实习共有多少种不一样方法【分析】：达成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生疏派到车间有7 种不一样方案，第二步：将第二名实习生疏派到车间也有7 种不一样方案，挨次类推，由分步计数原理知共有种不一样方案 .【例 3】 8 名同学抢夺 3 项冠军，获取冠军的可能性有（）A、B、C、D、【分析】：冠军不可以重复，但同一个学生可获取多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进随意一家“店” ，每个“客”有 8 种可能，所以共有种不一样的结果。

所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加摆列.【例 1】 A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如A,B 一定相邻且 B 在 A 的右侧，那么不一样的排法种数有【分析】：把 A,B 视为一人，且 B 固定在 A 的右侧，则此题相当于 4 人的全摆列，种【例 2】（ 2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【分析】：间接法 6位同学站成一排， 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，，此中男生甲站两头的有，切合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.【例 1】七人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样的排法种数是【分析】：除甲乙外，其余 5 个摆列数为种，再用甲乙去插 6 个空位有种，不一样的排法数是【例 2】书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的次序，有种不一样的插法（数字作答）【分析】：【例 3】高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不一样排法的种数是【分析】：不一样排法的种数为＝3600【例 4】某工程队有 6 项工程需要独自达成，此中工程乙一定在工程甲达成后才能进行，工程丙必须在工程乙达成后才能进行，有工程丁一定在工程丙达成后立刻进行。