吉林省东北师范大学附属中学高中数学1.2.4充要条件学案理新人教A版选修21
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.1.2集合间的基本关系学案 新人教A版必修1
吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 1.1.2集合间的基本关系学案新人教A版必修1一．本节知识点1．子集的概念如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B 的子集．记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．2．集合相等与真子集的概念(1)集合相等：如果A⊆B且B⊆A，就说集合A与B相等；(2)真子集：如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为：A B或B A，读作：“A真包含于B”或“B真包含A”．3．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．4．补集与全集的概念设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记作∁S A(读作“A 在S中的补集”)，即∁S A＝{x|x∈S，且x A}．如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集，全集通常记作U.5．补集与全集的性质(1)∁U U＝∅；(2)∁U∅＝U；(3)∁U(∁U A)＝A.二、针对练习：1．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为________．2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M＝______.3．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是________．4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M＝________.5．已知A⊆{－1,0,1}，则集合A＝________.6．下列结论中正确的个数为________．①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.7．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．8．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是________．9．满足条件M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．10．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．12.已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．13.已知A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b，都有A⊆B？若存在，求出相应的a，若不存在，说明理由；(2)若A⊆B成立，求出相应的实数对(a，b)．。
吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学人教A版必修一课时教案：1.1.1.1集合的含义与表示
教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔．．．称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
(新课程)高中数学《1.2.2 充要条件》导学案 新人教A版选修21
2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.1112复习1：什么是充分条件和必要条件?复习2：p ：一个四边形是矩形q ：四边形的对角线相等.p 是q 的什么条件?二、新课导学※ 学习探究探究任务一：充要条件概念问题：已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p 是q 的什么条件?q又是p 的什么条件?新知：如果p q ⇔,那么p 与q 互为试试：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p 是q 的什么条件？（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行；（2）若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直.反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.※ 典型例题例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >(3) p : a b > ， q :a c b c +>+变式：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >(3) p : a b > ， q :a c b c +>+小结：判断是否充要条件两种方法（1）p q ⇒且q p ⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题；(3) 用逆否命题转化.练习：在下列各题中, p 是q 的充要条件?(1) p :234x x =+ , q :x (2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --=(3) p : 240(0)b ac a -≥≠ ,q :20(0)ax bx c a ++=≠(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根q :0a b c ++=例2 已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.变式：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，证明:(1)若d r =，则直线l 与O 相切.(2)若直线l 与O 相切,则d r =小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.※ 动手试试练1. 下列各题中p 是q 的什么条件？（1）p ：1x =，q ：1x -=（2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ；（3）p ：2x =，q ：3x -；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.练2. 求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件.三、总结提升※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设A 、B 为两个集合，集合A B =是指x A x B ∈⇔∈，则“x A ∈”与“x B ∈”互为）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题为真命题的是（ ）.A.a b >是22a b >的充分条件B.||||a b >是22a b >的充要条件C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<< C.132x -<< D.16x -<< 5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.(1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的1. 证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.2.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.。
名校新学案高中数学人教A版选修2-1课后作业1.2.2充要条件习题课(含答案详析)
第一章 1.2 第2课时一、选择题1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x －y ＋m ＝0距离d ＝|3＋m |2＝3得，m ＝3或－33，故选A.3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 因为A ∪B ＝C ，故“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 4．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ， 但a <b ，故由“a ＋c >b ＋d ”⇒/ “a >b 且c >d ”， 由不等式的性质可知，若a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ，∴“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．5．设命题甲为：0<x <5，命题乙为：|x －2|<3，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解不等式|x －2|<3得－1<x <5， ∵0<x <5⇒－1<x <5但－1<x <5⇒/ 0<x <5， ∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.6．(2014·南昌市高二期中)设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的________条件． [答案] 必要不充分[解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角．8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5； ③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10. 三、解答题9．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？[解析] 由题意知⎩⎨⎧(2m ＋3)2－4m (1－m )>0，1－mm <0.∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立． 于是a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)， ∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．一、选择题11．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．12．(2013·安徽理)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C. 13．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．14．设a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案] C[解析]对选项A如图①所示，由图可知a∥b，故排除A；对选项B如图②所示，由图可知a∥b，故排除B；对选项D如图③所示，其中a∥l，b∥l，由图可知a∥b，故排除D.二、填空题15．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析]只有当(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M，(2)存在x0∈I，使f(x0)＝M，同时成立时，M才是f(x)的最大值，故p⇒/ q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．16．f(x)＝|x|·(x－b)在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案]b≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b ) x ≥0，－x (x －b ) x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0， ∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b2≥2，∴b ≥4.三、解答题17．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎨⎧1a>0－2a<0Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．18．已知p ：x ＋210－x ≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m的取值范围．[解析] 由x ＋210－x ≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]．[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎨⎧1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.。
吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 1.1.1集合学案 新人教A版必修1
吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 1.1.1集合学案新人教A版必修1一、记要点1．集合与元素的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素的特性集合元素的特性有：确定性、互异性、无序性．3．常用数集及表示符号非负整数集(自然数集)：N，正整数集：N*或N＋，整数集：Z，有理数集：Q，实数集：R. 4．元素a与集合A的关系如果a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．5．集合相等的概念如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．二、针对练习：1．下列各项中，不可以组成集合的是________．①所有的正数②等于2的数③接近于0的数④不等于0的偶数2．集合A中只含有元素a，则下列各式正确的是________．①0∈A②a∉A③a∈A④a＝A3.实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含元素的个数为________．4．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．5．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．6．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)某校的年轻教师．8．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是下面给出的________．①锐角三角形 ②直角三角形③钝角三角形 ④等腰三角形9．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 等于________．10．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.11.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．。
2014-2015学年吉林省东北师范大学附属中学高二数学教案1.1.2《命题及其关系》(二)(人教A版选修1-1)
教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系.教学难点：四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：（1）矩形的对角线互相垂直且平分；（2）函数232y x x =-+有两个零点.二、讲授新课：1. 教学四种命题的概念：原命题 逆命题 否命题 逆否命题若p ，则q 若q ，则p 若⌝p ，则⌝q 若⌝q ，则⌝p ①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（学生自练→个别回答→教师点评）③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例 2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.（1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+；（3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形；（5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.2.4数学归纳法教案 理 新人教A版选修2-2
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.2.4数学归纳法教案 理新人教A 版选修2-2一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程：【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。
（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。
【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-能被9整除。
法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。
例2：数列{a n }中，1n n a a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++=（1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +,(1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式；（2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.1.1合情推理教案 理 新人教A版选修2-2
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.1.1合情推理教案 理 新人教A 版选修2-2掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●教学重点：归纳推理及方法的总结。
●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时●教学过程：一.问题情境(1)原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.2.1函数的概念学案 新人教A版必修1
吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 1.2.1函数的概念学案新人教A版必修1一、知识点记要1．函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．2．求函数定义域的基本方法求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围．已知函数y＝f(x)：(1)若f(x)为整式，则定义域为R；(2)若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；(3)若f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)若f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．二、针对练习：1．下列对应：①M＝R，N＝N*，对应法则f：“对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应”；②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝{三角形}，N＝{x|x>0}，对应法则f：“对M中的三角形求面积与N中元素对应”．是集合M到集合N上的函数的有________个．2．设f：x→ax－1为从集合A到B的函数，若f(2)＝3，则f(3)＝________.3．在对应法则：x →y ，y ＝|x |＋b ，x ∈R ，y ∈R 中，若2→5，则－2→________，________→6.4．下列各组函数中，表示同一函数的有________个．①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1； ②f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2；③f (x )＝x 2x 和g (x )＝x x 2.5．下列关于符号y ＝f (x )表示的意义解释正确的是______．(填序号)①y 等于f 与x 的积；②y 是x 的函数；③对于同一个x ，y 的取值可能不同；④f (1)表示当x ＝1时，y ＝1.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的公共点有________个．7．判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数．(1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |；(2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2；(3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ；(4)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0.8．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，不可作为函数y ＝f (x )的图象的是________．9．下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是________．①f(x)＝|x|；②f(x)＝x－|x|；③f(x)＝x＋1；④f(x)＝－x.10.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f[f(－1)]＝－1，那么a的值是________．11．已知函数f(x)＝6x－1－x＋4.(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；(2)求f(－1)，f(12)的值．12.已知函数f(x)＝3－x＋1x＋2的定义域为集合A，B＝{x|x<a}．(1)求集合A；(2)若A⊆B，求a的取值范围；(3)若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求∁U A及A∩(∁U B)．13.如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为 2 m，渠深为 1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)。
吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学人教A版选修2-1课时教案：2-1.1.3.1-2简单的逻辑联结词
(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）掌握逻辑联结词“或、且”的含义（２）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题（３）掌握真值表并会应用真值表解决问题2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．(二)教学重点与难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。
难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．（三）教学过程学生探究过程：1、引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）2、思考、分析问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学人教A版选修2-1课时教案：2-1.1.4.3含有一个量词的命题的
(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．过程与方法目标 ：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（三）教学过程学生探究过程：1．回顾我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系？2．思考、分析判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x ∈R, x 2－2x ＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6） x ∈R, x 2＋1＜0。
3．推理、判断你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？（让学生自己表述）前三个命题都是全称命题，即具有形式“,()x M p x ∀∈”。
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题（3）的否定是“并非x ∈R, x 2－2x ＋1≥0”，也就是说，x ∈R, x 2－2x ＋1＜0；后三个命题都是特称命题，即具有形式“,()x M p x ∃∈”。
2019-2020学年高中数学《充要条件》学案 新人教版选修2-1.doc
2019-2020学年高中数学《充要条件》学案新人教版选修2-1【课标要求】理解必要条件、充分条件与充要条件的意义【学习目标】1．正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；2．能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；【自主学习】1、各种条件的概念（1）.一般地，“若p，则q”为________,是指由p通过推理得出q,这时,我们就说_______,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件，q是p的＿＿.（2）.如果既有 p⇒q,又有q⇒p,则p是q的_________条件;（3）.如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的必要不充分条件.（4）、如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的________条件.（5）、如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的________条件.2、如何理解充分条件和必要条件及其之间的联系？3、若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗?4、如何理解充要条件的概念？怎样证明？【典型例题】例１：下列“若p ，则q ”形式的命题中，那些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若x ＝1，则2430x x -+=；（2）若f(x)＝ x ，则f(x)为增函数；（3）若x 为无理数，则x 2为无理数．222a b r +=例2．下列“若p,则q ”形式的命题中，那些命题中的q 是p 的必要条件?（1） 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（2） 若a ＞b,则ac ＞bc ．（3） 若p:方程x 2+x-m=0有实数根,则q:m ＞0;（4） 若p:x ＞2,则q:x 2-x-2＞0;例3．下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？(1)p:b ＝0,q:函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数；(2)p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c ；(3)p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10(4)p: a ＞ b ,q: a 2 ＞ b 2例4、证明： ABC 是等边三角形的充要条件是222+b +c =++a ab ac bc这里a,b,c 是ABC 的三条边。
高中数学人教版(新教材)第一册：1.4.2 充要条件(2)学案 导学案
1．4.2 充要条件 学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．知识点 充要条件1．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．思考1 若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题．这种说法对吗？ 答案 正确．若p 是q 的充要条件，则p ⇔q ，即p 等价于q ，故此说法正确．思考2 “p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”的区别在哪里？答案 (1)p 是q 的充要条件说明p 是条件，q 是结论．(2)p 的充要条件是q 说明q 是条件，p 是结论．1．“x >1”是“x ＋2>3”的________条件．答案 充要解析 当x >1时，x ＋2>3；当x ＋2>3时，x >1，所以“x >1”是“x ＋2>3”的充要条件．2．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件．答案 必要不充分解析 设命题p ：(2x －1)x ＝0，命题q ：x ＝0，则命题p ：x ＝0或x ＝12，故p 是q 的必要不充分条件．3．△ABC 是锐角三角形是∠ABC 为锐角的________条件．答案 充分不必要4．若p 是q 的充要条件，q 是r 的充要条件，则p 是r 的________条件．答案 充要解析 因为p ⇔q ，q ⇔r ，所以p ⇔r ，所以p 是r 的充要条件．一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p ：x ＝1，q ：x －1＝x －1；(2)p ：－1≤x ≤5，q ：x ≥－1且x ≤5；(3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；(4)p ：a 是自然数；q ：a 是正数．解 (1)当x ＝1时，x －1＝x －1成立； 当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5，∴p 是q 的充要条件．(3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，又p ：x ＋2≠y ，故p 是q 的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p ⇏q ；又12是正数，但12不是自然数，故q ⇏p .故p 是q 的既不充分又不必要条件．反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p ：x 2>0，q ：x >0；(2)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；(4)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.解(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件．(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁U B⊆∁U A，∴p是q的充要条件．二、充要条件的证明例2设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.，两式相减，得x0＝b2c－a将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．∴方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.(学生)反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 求证：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0.证明 ①充分性：如果b ＝0，那么y ＝kx ，当x ＝0时，y ＝0，函数图象过原点．②必要性：因为y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，得0＝k ·0＋b ，所以b ＝0.综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0.三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在． 故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知当a <0时，设p ：3a <x <a ，q ：x <－4或x ≥－2.若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝{x |3a <x <a ，a <0}，B ＝{x |x <－4或x ≥－2}．因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，∴a ≤－4或3a ≥－2，即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0， 即实数a 的取值范围为a ≤－4或－23≤a <0.1．“x >0”是“x ≠0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件．2．“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1，则当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立，但当x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一定成立．3．“a <b ”是“a b<1”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 D4．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件． 答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0，所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．5．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．答案m＝－2解析函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，＝1，即m＝－2；则－m2反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．1．知识清单：(1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)充要条件的应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：条件和结论辨别不清．。
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课题：充要条件
学时：004
课型：新授课
学习目标
1知识与技能目标：
（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．
（２）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
2过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
3情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度学习重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题
难点：正确区分充要条件．
学习过程
1.学生思考、分析
已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.
请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
分析：
易知：
２.充要条件
注意：高考只需要会判断，不要求证明。
3.例题解析
例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；
（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；
（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10
（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2
例2：已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d ＝r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．
例3、设p 是r 的充分而不必要条件，q 是r 的充分条件，r 成立，则s 成立．s 是q 的充分条件，问（1）s 是r 的什么条件？（2）p 是q 的什么条件？
4．四种条件：
一般地，
若p ⇒q ,但q ≠> p ，则称p 是q 的充分但不必要条件；
若p ≠>q ，但q ⇒ p ，则称p 是q 的必要但不充分条件；
若p ⇔ q,则p 与 q 互为充要条件.
若p ≠>q ，且q ≠> p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．
在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若p ⇒q ,但q ≠> p ，则p 是q 的充分但不必要条件；
②若q ⇒p ，但p ≠> q ，则p 是q 的必要但不充分条件；
③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；
④若p ≠> q ，且q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
5．巩固练习：
(1).（15年安徽文科改编）设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的 条件
(2). （15年陕西文科改编）“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ A ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要
(3). 【2015高考天津，理4】设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
6．布置作业：P12：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题；p13 B组：第2题。
７．课后反思：
8.本节课的收获与疑问：。