【K12教育学习资料】高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课件
1
2
3
【做一做3-1】 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
解析:由=(1,1),=(-4,2),=(3,-3),
于是 ·=1×3-1×3=0,
即 ⊥ ,
(3)向量的夹角的余弦公式:已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量
a,b 的夹角的余弦为 cos<a,b>=
1 1 +2 2
2
2
21 +22 1 +2
.
归纳总结 1.由向量的长度公式可以发现,引入向量的直角坐标,
建立了向量与解析几何的联系.
2.由两个向量的夹角的余弦的表达式可以发现向量的数量积与
2.向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上
鉴别,垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实
设 与的夹角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
16
4
= 20 = 5,
4
∴矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为5.
反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量,然后
把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运
算即可,最后再回归到原始几何图形中进行说明.
解析:由|a|2=9+x2=25,解得x=±4.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A
又| | =
| | =
32 + 32 = 3 2,
(-1)2 + 62 = 37,
∴cos∠BAC=
·
15
5 74
=
=
.
3
2×
37
74
||||
反思已知三角形各顶点(dǐngdiǎn)坐标求其内角时,可转化为求向量的
1 2+1 2
21+21
22 +22
直接求出cos θ 的值;
(4)在 0≤θ≤π 内,由 cos θ 的值求角 θ.
第十七页，共22页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】若向量 a=(1,2),b=(1,-1),求 2a+b 与 a-b 的夹角.
解:∵a=(1,2),b=(1,-1),∴2a+b=(3,3),
解析:∵a⊥(a-b),
∴a·(a-b)=0,
∴a2-a·b=5-(x-4)=0,解得x=9.
答案:A
反思有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量积为0来解决.本题
(běntí)也可先求出a-b的坐标,再代入a·(a-b)=0,解得x.
第十二页，共22页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 2】 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足(a+c)
①
又 c⊥(a+b),且 a+b=(3,-1),
②
∴3x-y=0.
7
9
7
3
由 ①②,得 x=− , = − .
∴c=
高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修
答案：2
平面向量数量积的坐标运算
[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋
b)·a＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
(2)(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是
平行四边形， AB＝(1，－2)， AD＝(2,1)，则 AD·AC ＝ ( )
[解析] (1)由ab⊥∥cc， ⇒22xy＋－44＝＝00， ⇒xy＝＝－2，2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)． ∴|a＋b|＝ 10. (2)由题意可设 AB＝λa(λ＞0)， ∴ AB＝(2λ，3λ)．又| AB|＝2 13， ∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2 13)2，解得 λ＝2 或－2(舍去)． ∴ AB＝(4,6)．又 A(1，－2)，∴B(5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)
[活学活用] 已知平面向量 a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12. ∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3， ∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设 m，n 的夹角为 θ，
向量的夹角和垂直问题
[典例] (1)已知 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数 λ ＝________.
(2)已知 a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c 与 d 的夹角为π4，则实数 k 的值为________．
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积知识导航学案 新人教B版必修4
2.3 平面向量的数量积知识梳理1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b (如图2-3-1所示)，作=a ，=b ，则∠AOB 称为a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉.图2-3-1(2)范围：［0,π］，并且〈a ，b 〉=〈b ，a 〉.(3)当〈a ，b 〉=2π时，称向量a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .规定零向量与任一向量垂直. (4)当〈a ，b 〉=0时，a 与b 同向；当〈a ，b 〉=π时，a 与b 反向.2.向量在轴上的正射影(1)已知向量a 和轴l(如图2-3-2所示)，作OA=a ，过点O 、A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1、A 1，则向量O 1A 1在轴l 上的坐标叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影).a 在轴l 上的正射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量，记作a l ，a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则有a l =|a |cos θ.图2-3-2(2)当θ为锐角时，a l ＞0；当θ为钝角时，a l ＜0；当θ=0时，a l =|a |；当θ=π时，a l =-|a |.3.向量的数量积(内积)(1)定义：|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ.(2)理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数.(3)几何意义：向量a 与向量b 的数量积等于a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cos θ的乘积，或b 的长度｜b ｜与a 在b 方向上的射影|a |cos θ的乘积.(4)坐标运算：已知a =(a 1,a 2)，b =(b 1,b 2)，则a ·b =a 1b 1+a 2b 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.4.向量数量积的性质设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.(1)e ·a = a ·e =|a |cos 〈a ，e 〉；(2)a ⊥b ⇔a ·b =0；(3)当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |.特别的a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.(4)cos 〈a ，b 〉=||||b a b a ∙；(5)|a ·b |≤|a ||b |.5.向量数量积的运算律交换律：a ·b =b ·a ；结合律：(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(λ∈R )；分配律：(a +b )·c =a ·c +b ·c .6.向量垂直的坐标表示已知a =(a 1,a 2)，b =(b 1,b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2=0⇔(a 1，a 2)∥(-b 2，b 1).7.向量的长度、距离和夹角公式(度量公式)(1)向量的长度：已知a =(a 1，a 2)，则｜a ｜=2221a a +.即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.(2)两点间距离公式：如果A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|=212212)()(y y x x -+-.(3)夹角公式：已知a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则两个向量a 、b 的夹角为cos 〈a ，b 〉=222122212211b b a a b a b a +++.知识导学复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及其运算；本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.疑难突破1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？剖析:难点是对这三种运算易混淆不清.其突破的途径是主要从定义、运算的表示方法、运算的性质、运算的结果和运算的几何意义上来分析对比.(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，其符号由夹角的大小决定；向量数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.(2)从运算的表示方法上看：两个向量a 、b 的数量积称为内积，写成a ·b ；考上大学后还要学到两个向量的外积a ×b ，而a ·b 是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“· ”在向量数量积的运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量数乘的写法同单项式的写法；实数乘法的写法我们已经非常熟悉了.(3)从运算的性质上看：①在向量的数量积中，若a ·b =0，则a =0或b =0或〈a , b 〉=2π；在向量的数乘中，若λa =0，则λ=0或a =0；在实数的乘法中，若a ·b =0，则b =0.②在向量的数量积中，a ·b =b ·c ⇒b =0或a =c 或〈b ，(a -c )〉=2π.在向量的数乘中，λa =λb (λ∈R )⇒a =b 或a ≠b ；在实数的乘法中，ab =bc ⇒a =c 或b =0.③在向量的数量积中：(a ·b )c ≠a (b ·c )；在向量的数乘中，(λｍ)a =λ(ｍa )(λ∈R ,m∈R )；在实数的乘法中，有(ab )c =a (bc ).(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a ·b 的几何意义是a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上的射影|b |cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa 的几何意义就是把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小|λ|倍；在实数的乘法中，ab 的几何意义就是ab 到数轴原点的距离等于a 、b 到数轴原点距离的积.2.为什么(a ·b )c =a (b ·c )不成立？剖析:难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义表示来分析；突破路径3：利用反证法，通过向量数量积的坐标表示来分析.思路一：举反例.如图2-3-3所示，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|OA |=1，|OB |=2，|OC |=3，〈OA ，〉=3π，〈，〉=3π，则〈，〉=32π.图2-3-3∴a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉=1，b ·c =|b ||c |cos 〈a ，b 〉=3.∴(a ·b )c =c ，a (b ·c )=3a .很明显c =3a 不成立，∴(a ·b )c =a (b ·c )不成立.再例如：a =(1,2)，b =(-3,4)，c =(6,-5),则(a ·b )c =[1×(-3)+2×4](6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),a (b ·c )=(1,2)[-3×6+4×(-5)]=(-38)(1,2)=(-38,-72).∴(a ·b )c =a (b ·c )不成立. 思路二：下面用向量数量积的几何意义来分析.由于向量的数量积是实数，则设a ·b =λ，b ·c =μ.则(a ·b )c =λc ，a (b ·c )=μa .由于c ，a 是任意向量，则λc =μa 不成立.∴(a ·b )c =a (b ·c )不成立.思路三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，c =(x 3, y 3).则a ·b =x 1x 2+y 1y 2,b ·c =x 3x 2+y 3y 2.∴(a ·b )c =(x 1x 2+y 1y 2)(x 3, y 3)=(x 1x 2x 3+y 1y 2x 3,x 1x 2y 3+y 1y 2y 3)，a (b ·c )=(x 3x 2+y 3y 2)(x 1, y 1)=(x 1x 3x 2+x 1y 2 y 3, x 2x 3 y 1+y 1 y 2y 3).假设(a ·b )c =a (b ·c )成立，则有(x 1x 2x 3+y 1y 2x 3 ,x 1x 2y 3+y 1y 2y 3)=(x 1x 3x 2+x 1y 2 y 3, x 2x 3 y 1+y 1 y 2y 3)，∴x 1x 2x 3+y 1y 2x 3=x 1x 3x 2+x 1y 2 y 3，x 1x 2y 3+y 1y 2y 3=x 2x 3 y 1+y 1 y 2y 3.∴y 1y 2x 3=x 1y 2 y 3，x 1x 2y 3=x 2x 3 y 1.∴ y 2(y 1x 3-x 1 y 3)=0，x 2(x 1 y 3-x 3 y 1)=0.∵b 是任意向量，∴x 2和y 2是任意实数.∴y 1x 3-x 1y 3=0.∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即不一定共线相矛盾.∴假设不成立.∴(a ·b )c =a (b ·c )不成立.3.如何应用|a |=a a ∙来求平面内两点间的距离？剖析:难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底或坐标系，转化为进行向量的有关运算.例如：如图2-3-4所示，已知平行四边形ABCD 中，AB=3，AD=1，∠DAB=3π，求对角线AC 和BD 的长.图2-3-4解：设=a ，=b .则|a |=3，|b |=1，〈a ,b 〉=3π. ∴a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=23. 又∵=a +b ,=a -b ，∴|AC |=2)(b a +=222b b a a +∙+=13，|DB |==2)(b a -=222b b a a +∙-=7. ∴AC=13,DB=7.由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是：(1)建立平面向量基底或平面直角坐标系，将平面内两点间距离转化为向量的长度；(2)应用公式|a |=a a ∙，通过向量运算求出向量的长度；(3)把向量的长度还原成平面内两点间的距离.。
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律课件新人教B版必修4
解析: ∵������������ + ������������=2������������,且|������������|+|������������ |=2, ∴(������������ + ������������)· ������������ =2������������ ·������������ =-2|������������||������������ | =-2|������������|(2-|������������|)=2|������������|2-4|������������|=2(|������������|-1)2-2. ∴当|������������|=1 时,(������������ + ������������ )· ������������ 有最小值-
易错辨析
对本例变形:已知 e1,e2 是两个单位向量,且(2e1-e2)· (-3e1+2e2)=- , 求<e1,e2>.
解: 设<e1,e2>=θ,
2 2 则(2e1-e2)· (-3e1+2e2)=-6������1 +7e1· e2-2������2 =-6+7× cos θ-2=- .
将|a| =|b| =1,代入有
2 2
2
2
1 a· b= , 3
2
而(3a+b) =9|a| +6a· b+|b| 所以|3a+b|=2√3.
1 =9+6× +1=12, 3
探究一
探究二
探究三
易错辨析
求向量的模 【例2】 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=3,求|3a+b|的值. 分析:通过数量积a· b来探求已知条件|3a-2b|=3与目标式|3a+b| 之间的关系. 解:因为|a|=|b|=1,所以|a|2=|b|2=1. 又因为|3a-2b|=3,所以(3a-2b)2=9, 所以9|a|2-12a· b+4|b|2=9,
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理优化练
平面向量基本定理[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( ) A ．e 1和e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1 C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2和e 1－e 2解析：∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，故不能作为基底． 其余三组均不共线． 答案：C2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( ) A ．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对C ．若有实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2不一定存在解析：选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1，e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1，λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确． 答案：C3．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12bB.a2－b C ．b ＋a2D ．b －12a解析：AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选 D.答案：D4．若P 为△OAB 的边AB 上一点，且△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，则有( ) A.OP →＝OA →＋2OB →B.OP →＝2 OA →＋OB →C.OP →＝23OA →＋13OB →D.OP →＝13OA →＋23OB →解析：因为△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，所以AP →＝13AB →，所以OP →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OP →＝23OA →＋13OB →.答案：C5．已知|OA →|＝2，|OB →|＝3，∠AOB ＝120°，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A.32B. 3C.233D.32解析：如图，过点C 作CM ∥OB ，∥OA ， 则OC →＝OM →＋ON →，设|ON →|＝x ，则|OM →|＝2x ， OC →＝2x ·OA →|OA →|＋x ·OB→|OB →|＝xOA →＋33xOB →，所以m ＝x ，n ＝3x 3，所以m n ＝x3x3＝ 3. 答案：B6．若|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与b 的夹角为________． 解析：如图，OA →＝a ，OB →＝b ，BA →＝a －b ， 因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以OA ＝OB ＝AB ， 所以a 与b 的夹角为∠AOB ＝60°. 答案：60°7.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，得a ＝23(2 AF →－AE →)，b ＝23(2 AE →－AF →)，又因为AC →＝a ＋b ，所以AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，所以λ＋μ＝43.答案：438．如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________.解析：AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b.答案：34a ＋34b9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点， 且BM →＝13BC →，→＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝→－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解析：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.[B 组 能力提升]1．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ，μ的值分别是( ) A.16，13 B.13，16 C.12，13D.14，16解析：AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)，因为AH ⊥BC ，∠ABC ＝60°， 所以BH ＝1，所以BH ＝13BC ，故AM →＝12AB →＋12BH →＝12AB →＋16BC →＝12AB →＋16(AC →－AB →)＝13AB →＋16AC →， 故λ＝13，μ＝16.答案：B2．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋bD.11＋λa ＋λ1＋λb 解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →，所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λB.答案：D3．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°解析：∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c ， ∴如图所示就是符合题设条件的向量， 易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形． ∴a 与b 的夹角为120°. 答案：B4．已知e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，且AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，如果A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．解析：BD →＝CD →－CB →＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.答案：－85．如图所示，PQ 过△AOB 的重心G ，设OA →＝a ， OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b.求证：1m ＋1n＝3.解析：连接OG 并延长，交AB 于M (图略)， 则M 是AB 的中点，由G 为△OAB 的重心得：OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， QG →＝OG →－OQ →＝13(a ＋b )－n b ，＝13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n b. ∵P ，G ，Q 三点共线， ∴PG →＝λQG →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n λb.∵a ，b 不共线，∴由平面向量基本定理得： ⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝λ3，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n λ⇒m ＋n ＝3mn ，∴1m ＋1n＝3.6．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及线段AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动， 且OP →＝xOA →＋yOB →. (1)求x 的取值X 围；(2)当x ＝－12时，求y 的取值X 围．解析：(1)因为OP →＝xOA →＋yOB →，以OB 和OA 的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP 为此平行四边形的对角线，当OP 长度增大且靠近OM 时，x 趋向负无穷大，所以x 的取值X 围是(－∞，0)．(2)如图所示，当x ＝－12时，在OA 的反向延长线取点C ，使OC ＝12OA ，过C 作CE ∥OB ，分别交OM 和AB 的延长线于点D ，E ，则CD ＝12OB ，CE ＝32OB ，要使P 点落在指定区域内，则P 点应落在DE 上， 当点P 在点D 处时OP →＝－12OA →＋12OB →，当点P 在点E 处时OP →＝－12OA →＋32OB →，所以y 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.。
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律课件新人教B版必修4
题型一 题型二
反思求平面向量的数量积时,常用到以下结论: (1)a2=|a|2; (2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中 x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则; (3)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c. 本题还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是 利用已知条件.
化简得 h·(b-a)=0.
∴������������ ⊥ ������������. ∴AH 与 AD 重合,即 AD,BE,CF 相交于一点.
反思向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用,几何 问题转化为向量是关键一步,同时注意向量的数量积及向量的运算 律的运用;在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区 别,如向量的夹角与直线的夹角就不相同.
(2)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2=6×16+5×4×5cos 60°6×25=-4.
-5-
1.向量数量积的运算不满足结合律 剖析向量数量积的运算不满足结合律,即等式(a·b)c=a(b·c)不一 定成立,可从以下两种思路分析: 思路一:否定一个等式,只需举一个反例即可; 思路二:利用数量积的几何意义表示来证明. 以下分别给出证明: 思路一:举反例.
解析:设m与n的夹角为θ,则由m⊥(m-n),知m·(m-n)=0,即m2-
m·n=0,
∴m·n=m2=|m|2=1.
∴cos
θ=|������������|·|������������|ຫໍສະໝຸດ =1 1×2=
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面
探究一 平面向量数量积的坐标运算 [典例 1] (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)． (2)已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： ①向量 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求(a·c)b. [解析] (1)解法一 ∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
垂直关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于相应坐标乘积的 和，即 a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0
4k＋2＝0，k＝－12.
3．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________.
解析：因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
所以 cos θ＝
3×－ 32＋12
3－＋1×321＋12＝－12，
又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°.
答案：120°
所以 2a－b＝(4,8)．所以|2a－b|＝4 5，故选 D.
答案：(1)2 5 4 (2)D
探究三 向量的夹角与垂直 [典例 3] 已知点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角 的余弦值． [解析] (1)因为 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，所以A→B·A→D＝ 1×(－3)＋1×3＝0，所以A→B⊥A→D，即 AB⊥AD.
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课前导引
情景导入
已知△ABC 中，a =5，b =8,∠C=60°,求·.
对此题，有位同学求解如下：
解析:如下图，∵||=a=5，||=b=8，∠C=60°,
∴BC ·CA =|BC ||CA |cosC=5×8cos60°=20.请问：这位同学的解答是否正确？如果不正确，错在何处？
思路分析：不正确.原因在于没能正确理解向量夹角的定义.由于向量BC 与向量CA 的起点不同，因此，∠C 并不是它们的夹角，而正确的应是∠C 的补角为120°,所求数量积为-20. 知识预览
1.已知两个非零向量a =（x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y
2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.
2.若a =(x,y ），则|a |2=x 2+y 2
,|a |=22y x +. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点坐标分别是（x 1,y 1),(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1)，|a |=212212)()(y y x x -+-.
3.设a =（x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则a ⊥b ⇒x 1x 2+y 1y 2=0.
4.设a 、b 都是非零向量，a =（x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，θ
是a 与b 的夹角，则cos θ=
222221212121||||y x y x y y x x b a b a +++=∙.。
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2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课堂探究
探究一向量数量积的坐标运算
已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．
【例1】已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值．
解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，所以a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(5,2)，
所以|a＋b|
(2)设向量a与b的夹角为x，
则cos ＝a b
a b
∙
．
探究二向量的模、夹角的坐标表示
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则向量a与b垂直⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．2．向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．
【例2】已知向量a＝(－2，－1)，a·b＝10，|a－b|
|b|＝( )
A
．
． C．20 D．40
解析：设b＝(x，y)，由a＝(－2，－1)，a·b＝10，可得－2x－y＝10．①a－b＝(－2－x，－1－y)，
所以|a－b|
②
由①②可得x＝－4，y＝－2．
所以b＝(－4，－2)，|b|
答案：A
反思本题是利用公式|a|
其中a＝(a1，a2))求解．
【例3】在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k 的值．
分析：要对△ABC的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．
解：当A ＝90°时，AB ·AC ＝0，
所以2×1＋3×k ＝0．所以k ＝－23
． 当B ＝90°时，AB ·BC ＝0，BC ＝AC －AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0．所以k ＝113
． 当C ＝90°时，AC ·BC ＝0，所以－1＋k (k －3)＝0，
所以k
． 因此，当k ＝－
23，或k ＝113，或k
时，△ABC 的一个内角为直角． 探究三 数量积的坐标表示在几何中的应用
用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．
【例4】 以原点O 和点A (5,2)为两个顶点作等腰直角△ABO ，B 为直角顶点，试求AB 的坐标．
解：设B (x ，y )，则OB ＝(x ，y )，AB ＝(x －5，y －2)．
因为△ABO 是等腰直角三角形，故OB ⊥AB ，且|OB |＝|AB |，
所以2222(5)(2)0,
(5)(2),x x y y x y x y -+-=⎧⎨+=-+-⎩ 解得117,232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22327.2
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以AB ＝73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或AB ＝73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【例5】 已知a ＝
－1)，b
＝12⎛ ⎝⎭
，且存在实数k 和t 使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求2
k t t
+的最小值． 解：由题意有|a |＝2，|b |＝1．
因为a ·b
12
－1×2
＝0，所以a ⊥b ．
因为x ·y ＝0，所以[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，化简得k ＝t 3－3t 4，所以2
k t t +＝14(t 2＋4t －3)＝14 (t ＋2)2－74
． 当t ＝－2时，2
k t t
+有最小值为－74． 反思 本题的关键是注意到a ⊥b ，以此来化简x ·y ＝0．
探究四 易错辨析
易错点：因a ·b <0理解不完全而致误
【例6】 设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A ． 1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ． 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ． 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b <0， 即－2λ－1<0，解得λ>－
12． 错因分析：a ·b <0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．
正解：a ·b <0⇒(－2,1)·(λ，－1)<0⇒λ>－
12． 又设b ＝t a (t <0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，
所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，
所以λ∈1,22⎛⎫-
⎪⎝⎭
∪(2，＋∞)．故选A ． 答案：A。