船有触礁的危险吗？

用计算器求三角函数值要用到sin,cos和tan键 用计算器求三角函数值要用到sin,cos和tan键,如求 sin,cos sin16˚,cos42 ,tan85 sin72˚38 25“的按键顺序如下 38‘25 的按键顺序如下： sin16 ,cos42˚,tan85 和sin72 38 25 的按键顺序如下： ,cos42 ,tan85˚和
如图，工件上有一个 形槽 测得它的上口宽20mm，深 形槽， 如图，工件上有一个V形槽，测得它的上口宽 ， 19.2mm，求V形角（∠ACB）的大小（结果精确到 °） 形角（ ， 形角 ）的大小（结果精确到1°
解：在Rt△ACD中 Rt△ACD中
AD 10 ∵ tan ACD = = ≈ 0.5208, CD 19.2
30°
120米
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A
如图所示，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 20海里 5、如图所示，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 16小时的航行到达 小时的航行到达， 处运往正西方向的 B 处 ， 经 16 小时的航行到达 ， 到达后必须立即 卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速 卸货.此时， 接到气象部门通知， 一台风中心正以40海里/ 40海里 度由A 向北偏西60 方向移动， 距台风中心200 60° 200海里的圆形区域 度由 A 向北偏西 60° 方向移动 ， 距台风中心 200 海里的圆形区域 包括边界)均会受到影响. (包括边界)均会受到影响. 处是否会受到台风的影响?请说明理由. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响 该船应在多少小时内卸完货物? 为避免受到台风的影响， (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (1)B处是否会受到台风的影响 只要求出点B AC的最短距 处是否会受到台风的影响， 解：(1)B处是否会受到台风的影响，只要求出点B到AC的最短距 离与台风中心半径相比较即可。故应过B BD⊥AM于 离与台风中心半径相比较即可。故应过B作BD⊥AM于D. AB=20×16=320， 在Rt△ABD中， AB=20×16=320， M △ 中 北 MAB=30°,BD=160＜ ∴B处受台风中心影响 处受台风中心影响. ∠MAB=30°,BD=160＜200 ∴B处受台风中心影响. D (2)台风对 处若有影响， 台风对B (2)台风对B处若有影响，则B处到台风中心 E 3 的距离不大于200海里， BE=200， 200海里 的距离不大于200海里，设BE=200，则 60° DE=120， .要在台风到来之前卸 DE=120，AD=160 .要在台风到来之前卸 船 B A 完货物， 完货物，必须在160 3 −120 时 卸 = 3.9小 内 完 40
已知元素 两条直角边a 两条直角边a，b 两边 一条直角边a 一条直角边a和 斜边c 斜边c 一条直角边a 一边 一条直角边a和 锐角A 和一 锐角A 锐角 斜边c和锐角A 斜边c和锐角A
c = a 2 + b 2 , 用 tan A =
c b a ┌ C
解法
a 求∠A，∠B = 90° − ∠A b a b = c 2 − a 2 , 用sin A = 求∠A，∠B = 90° − ∠A c
同角三角函数之间的关系
1、sin A+cos A= 1 、 1 1 {tanA= 或 tanA•cotA= 1 } 2、cotA= 、 cot A tan A
2 2
sin A 3、tanA= 、 cos A
cos A 3、cotA= 、 sin A
互余两角的正弦、余弦及正切、 互余两角的正弦、余弦及正切、余切间的关系 sinA=cosB, cosA=sinB tanA=cotB， tanA=cotB， cotA=tanB
∴∠ACD≈27.50 . ∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.50 =550. ∴V型角的大小约550. 型角的大小约55
如图所示： 1.如图所示：有东西相距 2
两个小岛， 3 km 的A、B两个小岛，从
灯塔C看去， 岛在西南方向， 岛在东南方向， AB之间距 灯塔C看去，A岛在西南方向，B岛在东南方向，问AB之间距 的暗礁在灯塔C的什么方位上？ A岛为 ( 3 − 1)km 的暗礁在灯塔C的什么方位上？
条件： 条件：∠A+∠B=900 ∠
特殊角三角函数值
三角函数
角度 逐渐 增大
角 度
0°
0 1 0
不存在
3 0° 45 ° 6 0° 9 0°
1 2
3 2 3 3 2 2 2 2 3 2
sinα cosα tanα cotα
1 0
不存在
1 2
1 1
3
3 3
3
0
之间，正弦、余弦及正切、余切随角度变化而变化的规律是: 在00—900之间，正弦、余弦及正切、余切随角度变化而变化的规律是 当角度在0 间变化时，正弦值、正切值都随着角度的增大而增大。 当角度在 0—900间变化时，正弦值、正切值都随着角度的增大而增大。 当角度在0 间变化时，余弦值、余切值都随着角度的增大而减小。 当角度在 0—900间变化时，余弦值、余切值都随着角度的增大而减小。
船有触礁的危险吗
在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，它们所对的边分 △ 中 为直角， 、 为锐角， 为直角 为锐角 别为c 其中除直角c 其余的5个元素之间有以下关系： 别为 、a、b ，其中除直角 外，其余的5个元素之间有以下关系： 直角三角形三边的关系: 勾股定理 直角三角形三边的关系: 三边的关系 a2+b2=c2 ∠A+∠B=900 B c a A b ┌ C
直角三角形两锐角的关系: 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 两锐角的关系
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 直角三角形边与角之间的关系: 边与角之间的关系 ∠A的对边 的对边 a =c 正弦 sinA= 斜边 ∠A的邻边 的邻边 b =c 余弦 cosA= 斜边 ∠A的对边 的对边 a tanA= =b 正切 ∠A的邻边 的邻边 余切 ∠A的邻边 的邻边 b =a cotA= ∠A的对边 的对边
BD ∴BD=x•tan55°, ° AD ,
在Rt△ADC中,tan25°= CD △ 中 °
AD
,∴CD= x•tan25°, ∴ °
∵BD-CD=20（海里）,∴x•tan55°- x•tan25°=20, （海里） ∴ ° °
20 20 20 ≈ ≈ ≈ 20.（海里）>10（海里）. 8 海里） （海里） tan 55 0 − tan 25 0 1.4281 − 0.4663 0.9618
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为了方便行人推车过天桥，市政府在 为了方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端 高的天桥两端 修建了40m长的斜道。这条斜道的倾斜角是多少？ 长的斜道。 修建了 长的斜道 这条斜道的倾斜角是多少？ C 40m A 10m B
解：如图,在Rt△ABC中 如图, Rt△ABC中
∴x=
∴货轮船继续向东行驶途中 货轮船 不会有触礁的危险. 不会有触礁的危险.
550
250
20海里 海里
3、如图，海中有一小岛P，在距离 处8 2 海里范围内有暗 、如图，海中有一小岛 ，在距离P处 一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛 处时测得小岛P位于北偏东 礁，一轮船自西向东航行，它在 处时测得小岛 位于北偏东 60°，且A、P之间的距离为 海里，若轮船继续向东航行，请 之间的距离为16海里 ° 、 之间的距离为 海里，若轮船继续向东航行， 计算轮船有无暗礁的危险。如有危险，轮船自A处开始至少沿 计算轮船有无暗礁的危险。如有危险，轮船自 处开始至少沿 东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？ 东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？ 解：过P作PB⊥AB于B， 作 ⊥ 于 ， 在Rt△APB中， AP=16，∠PAB=30° △ 中 AP=16， PAB=30° PB=1/2×16=8＜8 2 PB=1/2×16=8＜ 60° 若轮船继续向东航行有暗礁的危险。 ∴若轮船继续向东航行有暗礁的危险。 设安全航向为AD， 设安全航向为 ，过P作PC⊥AD于C， 作 ⊥ 于 A ， 则PC=8 2 ，在Rt△APC中， AP=16 △ 中 ∴ sin∠PAC=
∠B = 90° − ∠A， c =
a a , b= sin A tan A
∠B = 90° − ∠A，a = c ⋅ sin A, b = c ⋅ cos A
如图,当登山缆车的吊箱经过点 到达点 如图 当登山缆车的吊箱经过点A到达点 时，它走过了 当登山缆车的吊箱经过点 到达点B时 它走过了200m。 。 已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为16˚， 已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为 ，缆车垂直上升 的距离是多少？ 的距离是多少？ 解：在Rt△ABC中 Rt△ABC中 BC=ABsin160 ≈200× ≈200×0.2756≈55.12 缆车垂直上升的距离是55.12m 答：缆车垂直上升的距离是55.12m
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
如图,当登山缆车继续由点 到达点 如图 当登山缆车继续由点B到达点 时，它又走过了 当登山缆车继续由点 到达点D时 它又走过了200m。 。 已知缆车由点B到点 的行驶路线与水平面的夹角为42˚， 到点D的行驶路线与水平面的夹角为 已知缆车由点 到点 的行驶路线与水平面的夹角为 ，由 此你还能计算出什么？ 此你还能计算出什么？
BC 10 1 sin A = = = . AC 40 4
那么∠ 是多少度呢? 那么∠A是多少度呢?
要解决这问题,我们可以借助科学计算器. 要解决这问题,我们可以借助科学计算器.
用科学计算器求锐角A 精确到1″） 用科学计算器求锐角A（精确到1″） 1″
• 若sinA=0.3456，则∠A= 20°13′06″ sinA=0 3456， 20° • 若cosA=0.3456，则∠A= 69°46′54″ cosA=0 3456， 69° • 若tanA=0.3456，则∠A= 19°03′54″ 19° tanA=0 3456，
锐角A的正弦值、余弦值的变化范围： 锐角 的正弦值、余弦值的变化范围： 0＜ sinA＜1 0＜cosA＜1 的正弦值
B 3、解直角三角形 、 直角三角形三边的关系: 直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2 三边的关系 直角三角形两锐角的关系: 两锐角的关系 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900 A 直角三角形边与角之间的关系: 边与角之间的关系 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 1、已知两边求角 2、已知一边一角求另一边
PC 8 2 2 = = AP 16 2
P
B C D
∠PAC=45° 轮船自A处开始至少沿东偏南15° 处开始至少沿东偏南15 ∴ ∠PAC=45°故轮船自 处开始至少沿东偏南15°度方 向航行，才能安全通过这一海域。 向航行，才能安全通过这一海域。
4、拖拉机行驶时发出的噪音会影响到周围100米处，在学校 、拖拉机行驶时发出的噪音会影响到周围 米处， 米处 A的正西方向，距离学校 的正西方向， 米的B处有一辆拖拉机正沿北偏东 的正西方向 距离学校120米的 处有一辆拖拉机正沿北偏东 米的 30°的方向以每分 米的速度行驶， °的方向以每分100米的速度行驶，问学校是否会受到拖拉机 米的速度行驶 噪音的影响？如果会，请计算将影响多长时间？如果不会， 噪音的影响？如果会，请计算将影响多长时间？如果不会，请 说明理由； 说明理由； N (1)学校是否会受到拖拉机噪音的 解：(1)学校是否会受到拖拉机噪音的 M 影响，只要求出点A BN的最短距离与 影响，只要求出点A到BN的最短距离与 噪音影响范围相比较即可。故应过A 噪音影响范围相比较即可。故应过A 作AD⊥BN于D. AD⊥BN于 AB==120， 在Rt△ABD中， AB==120， △ 中 ∠ABD=60° ABD=60° AD=120×sin60°≈103.92＞ AD=120×sin60°≈103.92＞100 ∴学校不会受到拖拉机噪音的影响. 学校不会受到拖拉机噪音的影响. B D
北
C
东
A
D
E
B
解：设点D为暗礁，距点A较近，并在AB上。根据题意得： 设点D为暗礁，距点A较近，并在AB上 根据题意得： AB ∠ACB=90°,AB= ACB=90° 90
2 3km
,AD=
∠ACE=∠BCE=45° ∠ACE=∠BCE=45°,AE=BE= 45 CE=AE=
DE 3 − ( 3 −1) 3 则tan∠DCE= = = . CE 3 3 ∴∠DCE=30 30° ∴∠DCE=30°. 即暗礁D在灯塔C的南偏西30°的方向上. 即暗礁D在灯塔C的南偏西30°的方向上. 30
3,
1 AB = 3 , 2
3 −1(km )
,
北
C
东
A
D
E
B
2 、 如图所示 ： 海中有一个小岛 A ， 该岛四周 10 海里内有暗 如图所示： 海中有一个小岛A 该岛四周10 10海里内有暗 今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55 55° 礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往 东行驶20 海里后到达该岛的南偏西25 20海里后到达该岛的南偏西 25° 之后， 东行驶 20 海里后到达该岛的南偏西 25° 的 C 处 ， 之后 ， 货轮继 续向东航行。 续向东航行。
550
250
1. 你认为货轮继续向东行 驶途中会有触礁的危险吗？ 驶途中会有触礁的危险吗 ？ 你是怎样想的？ 2. 你是怎样想的 ？ 与小组 同伴进行交流。 同伴进行交流。
20海里 海里
解：货轮船不会有触礁的危险，理由如下： 货轮船不会有触礁的危险，理由如下： 如图1-15所示：设AD为x, 所示： 如图 所示 为 在Rt△ADB中,∵tan55°= △ 中∵ °