河北省邯郸市届高三第一次模拟考试

河北省邯郸市2016届高三第一次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若iiz -=1，则=z z （） A ．i 2121+-B ．i 2121+C ．22D ．21 2.已知集合{}23<<-=x x A ，{}13>=x x B ，则=)(B C A R I （） A ．]1,3(-B ．)2,1(C ．]0,3(-D ．)2,1[3.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆1222=+y x 的焦点和顶点，则该双曲线方程为（） A ．122=-y x B ．1222=-y x C ．1222=-y x D ．12322=-y x 4.现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有2个黑球的取法种数是（） A ．90B ．115C ．210D ．3855.某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表： 单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （件）908483807568根据上表可得回归直线方程∧∧∧+=a x b y ，其中x b y a b ∧∧∧-=-=,20，那么单价定为3.8元时，可预测销售的件数为（）A ．82B ．84C ．86D ．886.定义在R 上的偶函数)(x f 满足：)1()1(-=+x f x f ，若)(x f 在区间]1,0[内单调递增，则)23(-f 、)1(f 、)34(f 的大小关系为（）A.)34()1()23(f f f <<-B ．)34()23()1(f f f <-<C ．)1()34()23(f f f <<-D ．)23()1()34(-<<f f f7.在等比数列{}n a 中，公比1≠q ，且654321,,a a a a a a +++成等差数列.若1321=++a a a ，则=+⋅⋅⋅++2102221a a a （）A ．1B ．10C ．32D ．1008.执行如图所示的程序框图，则输出结果a 的值为（） A ．2B ．32C ．21D ．1-9.已知函数)0)(6(sin 2)(2>+=ωπωx x f 在区间]32,6[ππ内单调递增，则ω的最大值是（） A ．43B ．53C ．21D ．4110.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A ．)321(2++B ．)3221(2++C ．624+D ．)21(4+11.已知函数)0()(≥=x e x f x，当0<x 时，)(4)(x f x f =-.若函数)0()()(>--=a a ax x f x g 有唯一零点，则a 的取值范围是（） A ．)1,0(B ．),1(e e C ．),41(e D ．)1,41(12.在公差不为0的等差数列{}n a 中，q p a a a a +=+42，记qp 91+的最小值为m .若数列{}n b 满足12,112111=⋅-=++n n n b b b m b ，则=+⋅⋅⋅+++21002322110032b b b b （） A ．10097B ．10099C ．101100D ．101102第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,的夹角为ο120AC AB AP AC AB λ+===,25，若BC AP ⊥，则=λ____.14.若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥--04304201y x y x y x ，则22y x z +=的最小值为_______.15.已知三棱锥ABC P -内接于球O ，2===PC PB PA ，当三棱锥ABC P -的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为______.16.已知直线x y 11=与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 相交于B A 、两点，若椭圆上存在点P ，使得ABP ∆是等边三角形，则椭圆C 的离心率=e _____.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，满足C c A b B a cos 2cos cos =+. （1）求C ；（2）若ABC ∆的面积为32，6=+b a ，求ACB ∠的角平分线CD 的长度. 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABD ∆是边长为32的正三角形，ο30=∠=∠CDB CBD ，E 为棱PA 的中点.（1）求证:PBC DE 平面∥;（2）若平面⊥PAB 平面ABCD ，2==PB PA ，求二面角E BC P --的余弦值.19.（本小题满分12分）（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于9.0的水平，且该人待工而闲的概率小于6.0.试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由. 20.（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线C 于B A ,两点，且以AB 为直径的圆M 与直线1-=y 相切于点N .（1）求C 的方程； （2）若圆M 与直线23-=x 相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程. 21.（本小题满分12分）设函数b x a x x f ++=ln )()(，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为02=-+y x . （1）求)(x f y =的解析式； （2）证明：11)(<--xe x xf .请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点E D B A ,,,在圆O 上，ED 、AB 的延长线交于点C ，BE AD ,交于点F ，BC EB AE ==. （1）证明：弧=DE 弧BD ；（2）若8,4==AD DE ，求DF 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线θθρcos 2sin :2=C ，过点)1,2(-P 的直线)(12:为参数t ty tx l ⎩⎨⎧+-=+=与曲线C 交于M 、N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求22PN PM +的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数12)(---=x a x x f .（1）当2=a 时，求03)(≥+x f 的解集；（2）当]3,1[∈x 时，3)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围.2016届高三一模理科数学参考答案及评分标准一、选择题1----5：DCABB6-----10：CBACB11-----12：DC11题解：由题1(0)()4(0)xx e x f x e x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，函数a ax x f x g --=)()()0(>a 有唯一零点⇔()y f x =与y ax a =+)0(>a 有唯一交点.由图可得12a a a <<，由题可知，114a =， 因为()(0)xf x e x '=≥，设切点横坐标为m ， 所以切线斜率2()mk f m e a '===，切线方程为()m my e e x m -=-，且过点(1,0)- 所以解得0m =，所以021a e == 所以114a <<12题解：在等差数列{}n a 中，由246p q a a a a p q +=+⇒+=， 因为2,4p q ==时，19p q +取最小值411，所以411m =，112b = 又由1121n n n b b b ++-⋅=可归纳出1n nb n =+，所以21(1)n b n n n =+ 所以31002122210023100101b b b b ++++=L二、填空题：由题设直线OP 方程为11x =，所以22222222222222221111,1111x a b a b y x a b a b b x a y a b ⎧=⎪⇒==⎨+++=⎪⎩ 所以222221211a b OP a b =+所以222222221112333111211OPa b e e a b e OA+-==⇒=⇒=+-三、解答题 17.解：（Ⅰ）由正弦定理，C c A b B a cos 2cos cos =+， 可得C C A B B A cos sin 2cos sin cos sin =+， 所以sin()2sin cos A B C C +=， 所以sin 2sin cos C C C =， 因为π<<C 0，所以1cos 2C =，故3π=C ；……………………………………5分（Ⅱ）解法一：由已知1sin 24S ab C ab === 所以8ab =，又6=+b a ，解得⎩⎨⎧==42b a ，或⎩⎨⎧==24b a当⎩⎨⎧==42b a 时，由余弦定理可知21416224122c =+-⨯⨯⨯=，所以32=c .所以222c a b +=,ABC ∆为直角三角形，2π=∠B .因为CD 平分ACB ∠，所以6π=∠BCD在BCD Rt ∆中，3346cos2==πCD .………………………………9分 当⎩⎨⎧==24b a 时，同理可得3346cos 2==πCD 所以ACB ∠的角平分线为CD长为3……………………………………12分（Ⅱ）解法二：在ABC ∆中，因为CD 平分ACB ∠，所以6π=∠=∠BCD ACD因为BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，所以6sin 216sin 213sin 21πππ⋅⋅+⋅⋅=⋅CD a CD b ab ，由已知1sin 2S ab C ===8ab =， 又6=+b a ，解得334=CD .…………………………………….12分 18解：（Ⅰ）证明：取AB 中点F ，连接EF 、DF ，………1分 ∴//EF PB ,∵30CBD FDB ∠=∠=o∴//DF BC∵EF 、DF ⊂平面DEF ，PB 、BC ⊂平面PBC ∴平面//DEF 平面PBC ,…………4分 ∵DE ⊂平面DEF∴//DE 平面PBC .……………………6分（Ⅱ）解：2==Q PA PB∴⊥PF ABQ 平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为ABPF ∴⊥平面ABCD ，且1PF =连接DF ,分别取,,FB FD FP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，z y xPEAFBDC如图所示.……7分则点(A，B，2,0)C ,(0,3,0)D ,(0,0,1)P,1)2E ………………………………………………8分设平面BCP的法向量为(,m x y =u r则(0,2,0),(BC BP ==u u u r u u u r0,0m BC m BP ∴⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r0,1y x ==即m =u r………………10分 设平面BCE的法向量为(,n a b =r1)2BE =u u u r 1,03a b ∴==1(3n ∴=r ………………………………11分cos ,||||m n m n m n •∴〈〉==•u r ru r r u r r因此所求二面角的余弦值为14.…………………………12分 19解：（Ⅰ）用X 表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X 服从二项分布：kkk C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==444341)(，4,3,2,1,0=k ，于是1414)(=⨯=X E .………………….4分 （Ⅱ）设X 表示n 台机器在同一时刻需用人操控的台数. ①当1=n 时，X 服从两点分布：此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为30.604>.…………………6分 ②当2=n 时，2213()44kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,1,0=k .即X 的分布列为：此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为116，故一人操控的2台机器正常运行的概率为11510.93750.91616-==>.工作人员待工而闲的概率为230.56250.604⎛⎫=< ⎪⎝⎭.………………….8分 ③当3=n 时，3313()44k k kP X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3,2,1,0=k .即X 的分布列为：此时，一人操控3台机器，出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为23131311033444646464⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故一人操控的3台机器正常运行的概率为105410.840.96464-=≈<.工作人员待工而闲的概率为33270.4218750.60464⎛⎫==< ⎪⎝⎭. …………10分综上所述，一个工作人员操控2台机器符合要求.………………….12分 20.解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12||AB y y p =++，…………2分又∵以AB 为直径的圆M 与直线1y =-相切，∴12||2AB y y =++，故2p =，…………4分∴抛物线C 的方程为24x y =；…………5分（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，代入24x y =中，化简整理得2440x kx --=，∴12124,4x x k x x +==-，∴21212()242y y k x x k +=++=+，∴圆心1212(,)22x x y y M ++的坐标为2(2,21)M k k +，…………8分∵圆M 与直线32x =-相切于点Q ， ∴||||MQ MN =， ∴23|2||22|2k k +=+，解得12k =，…………10分 此时直线l 的方程为112y x =+，即220x y -+=， 圆心3(1,)2M ，半径52r =， 圆M 的方程为22235(1)()()22x y -+-=.…………12分 21解：（Ⅰ）因为'()ln x a f x x x+=+，所以'(1)11f a =+=-，所以2a =- 又点(1,(1))f 在切线20x y +-=上，所以120b +-=，所以1b =所以()y f x =的解析式为()(2)ln 1f x x x =-+.………………….4分（Ⅱ令)0()(>-=x e x x g x因为'()1x g x e =-所以当0x >时，'()0g x <所以()g x 在区间(0,)+∞内单调递减，所以()(0)10g x g <=-< 所以()11()f xg x -<等价于()1()f x g x ->.………………….6分 我们如果能够证明()11f x ->-，即()0f x >即可证明目标成立.下面证明：对任意(0,)x ∈+∞，()0f x >.由（1）知'2()ln x f x x x -=+，令)0(2ln )(>-+=x x x x x h 则021)(2>+='xx x h ，所以)(x h 在(0,)+∞内单调递增， 又01)1(<-=h ，02ln )2(>=h ，所以存在0(1,2)x ∈使得0)(0=x h .当00x x <<时，0)(<x h 即'()0f x <，此时)(x f 单调递减；当0x x >时，0)(>x h 即'()0f x >，此时)(x f 单调递增；所以000()()(2)ln 1f x f x x x ≥=-+.由'0()0f x =得002ln 1x x =- 所以000000024()()(2)ln 1(2)(1)15()f x f x x x x x x x ≥=-+=--+=-+. 令4()(12)r x x x x =+<<，则'224(2)(2)()10x x r x x x +-=-=< 所以()r x 在区间(1,2)内单调递减，所以()(1)5r x r <= 所以4()5()550f x x x >-+>-=.综上，对任意(0,)x ∈+∞，()11()f xg x -<.………………….12分 22.（Ⅰ）证明：∵EB BC =∴C BEC ∠=∠∵BED BAD ∠=∠∴C BED BAD ∠=∠=∠……………………2分∵2EBA C BEC C ∠=∠+∠=∠,AE EB =∴2EAB EBA C ∠=∠=∠,又C BAD ∠=∠∴EAD C ∠=∠∴BAD EAD ∠=∠…………………………4分∴»»DE DB =.………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EAD C FED ∠=∠=∠,又EDA EDA ∠=∠∴EAD FED ∆∆:………………8分 ∴DE AD DF DE= 又∵4DE =，8AD =，∴2DF =.……………………………………10分23.（Ⅰ）由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=， 因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以22y x =； 根据21x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，消去t 得，30x y --=， 故曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是22y x =，30x y --=.……….5分（Ⅱ）将直线l的参数方程化为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)代入22y x =中，整理得260t --=.设t 1，t 2是该方程的两根，则12126t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 由参数的几何意义，可知22222121212()244PM PN t t t t t t +=+=+-=.……….10分24.（Ⅰ）当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-， ①1,22213x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-≥-⎩或②12,22213x x x ⎧≤<⎪⎨⎪--+≥-⎩或③2,2213x x x ≥⎧⎨--+≥-⎩ 解①得142x -≤<；解②得122x ≤<；解③得2x =. 综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤.………..……….5分（Ⅱ）若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立， 即32122x a x x -≤+-=+.故2222x x a x --≤-≤+，即322x a x --≤-≤+， ∴232x a x --≤≤+对[]1,3x ∈时成立.[3,5]a ∴∈-.………………..……….10分。