南昌二中高三数学(理)第四次月考

南昌二中2012－2013学年度上学期第四次月考高三数学（理）试卷命题人:杨小春 审题人：陶学明一、选择题（本大题10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡相应的位置） 1．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件 C2等于 A D 3A ．12B ．3C ．6D4．直线1l 的斜率为2，21//l l ，直线2l 过点)1,1(-且与y 轴交于点P ，则 A ．(3,0)B ．(3,0)-C ．(0,3)-D ．(0,3) 5．已知21,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P，则点P 的轨迹是A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线6．若2cos sin =+θθ，则)3tan(πθ+的值是B. 7．已知S n 表示等差数列}{na 的前n8．．A ．9．设1,1,,>>∈b a R y x ，若2==yxb a ， A. 3 B.23 C. 4D. 24侧视图 正视图俯视图侧视图 俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图10．如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设f 1 (x )＝f (x )，f n +1 (x )＝f [f n (x )]，n ∈N *，则函数y ＝f 4 (x )的图象为( )A ．BCD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分共25分，把正确的选项填在答题卡相应的位置）11. 在△ABC中，BC ，AC =π3A =，则B = . 12．过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是 .13．已知双曲线C ：15422=-y x 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于两点A 、B ，若5=AB ，则满足条件的l 的条数为 . 14．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F ,O 为坐标原点,点P 在椭圆上,点Q 在椭圆的右准线上,若)0,211>==λλQ F O F PQ ,则椭圆的离心率为 ．15．给出下列命题:①经过空间一点一定可作一条直线与两异面直线都垂直；②经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；③已知平面α、β，直线a 、b ，若a αβ= ，b a ⊥，则b α⊥；④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；．其中正确命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本题满分12分）已知半径为6的圆C 与x 轴相切，圆心C 在直线30x y +=上且在第二象限，直线l 过点)14,2(P ． (Ⅰ)求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点且54=AB ，求直线l 的方程．(第10题图)17．（本题满分12分）设R m ∈，))2cos(2,sin (),sin ,(cos x x m b x x a -==π，)()(x f -⋅=且()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(Ⅰ)求m 的值；（Ⅱ）设ABC ∆三内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,且c a c cb a bc a -=-+-+2222222，求)(x f 在(]B ,0上的值域．18．(本题满分12分) 如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中ABCD 为矩形，ADEF 为梯形，AF ∥DE ，AF ⊥FE ，AF ＝AD ＝2 DE ＝2，M 为AD 中点． (Ⅰ) 证明BD MF ⊥；(Ⅱ) 若二面角A －BF －D 的平面角的余弦值为13，求AB 的长．19．（本题满分12分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且263,1621,23n a b S S n n -===λ． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围.(第18题图)20．(本题满分13分) 如图，F 1，F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－12将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 在直线l 上，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q 两点． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 是否存在点M ，使以PQ 为直径的圆经过点F 2，若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x a x =-，1()()ag x a R x+=-∈. (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在区间[1,]( 2.71828......)e e =上不存在．．．0x ，使得00()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围.(第20题图)21．（本题14分）南昌二中2012－2013学年度上学期第四次月考高三数学（理）参考答案1A 2C 3C 4D 5B 6B 7A 8D 9C10D 11,4π;13,3; 14,215-; 15,① 16．解：(Ⅰ)由题意，设圆心00(,3)C x x -)0(0<x 圆C 的半径6r =，又圆C 和x 轴相切，则06|3|r x ==-，即02x =±.所以20-=x ,所以圆C 的方程为22(2)(6)36x y ++-=.（Ⅱ）设l 方程为)2(14-=-x k y ，由434)52(6184222=⇒=-=+-=k k k d ， 又l 方程为2=x 时也符合题意，故所求直线l 方程为2=x 或05043=+-y x17．解：(Ⅰ)x x m x x x x m x f 2cos 2sin 2sin cos cos sin )(22-=+-=32)0()3(=⇒=-m f f π（Ⅱ）由余弦定理知：ca cC b B c C ab B ac c b a b c a -===-+-+2cos cos cos 2cos 2222222 即C b B c B a cos cos cos 2=-，又由正弦定理知：()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+=即21cos =B ,所以3π=B 当⎥⎦⎤⎝⎛∈3,0πx 时，⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-2,662πππx ， )62sin(22cos 2sin 3)(π-=-=x x x x f ， ()(]2,1-∈x f故)(x f 在(]B ,0上的值域为(]2,1-18．(Ⅰ).由已知ADF ∆为正三角形，MF AD MF ⊥⇒⊥(Ⅱ) 方法一：设AB ＝x ．取AF 的中点G ．由题意得DG ⊥因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，A B ⊥AD ，所以AB ⊥平面所以AB ⊥DG ．所以DG ⊥平面ABF ．过G 作GH ⊥BF 连结DH ，则DH ⊥BF ，(第18题图)所以∠DHG 为二面角A －BF －D 的平面角．在直角△AGD 中，AD ＝2，AG ＝1，得DG在直角△BAF 中，由AB BF ＝sin ∠AFB ＝GH FG ，得GHx，所以GH．在直角△DGH 中，DGGH，得DH＝因为cos ∠DHG ＝GH DH ＝13，得xAB方法二：设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系Fxyz ．则F (0，0，0)，A (－2，0，0)，E0，0)，D (－10)，B (－2，0，x )，所以DF ＝(10)，BF＝(2，0，－x )．因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n＝设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，可取2n ＝1)．因为cos<1n ，2n >12得x ，所以AB ． 方法三：以M 为原点，MA ，MF 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系Fxyz ．略19．(Ⅰ) 因为332S =，62116S =，所以,1≠q ()231131=--q q a ，()16211161=--q q a ， 得3718q +=，所以21-=q ， 21=a ．所以1212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n a ， （Ⅱ）因为2n a b n n -=λ，所以21212n b n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-λ，(第18题图)由题意可知对任意*n ∈N ，数列}{n b 单调递减，所以n n b b <+1，即()<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212n nλ21212n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛--λ，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 恒成立，当n 是奇数时，(21)26n n λ+>-，当1n =时，(21)26nn +-取得最大值－１，所以1λ>-；当n 是偶数时，(21)26n n λ+< ，当2n =时，(21)26nn +取得最小值103，所以λ310<． 综上可知，1013λ-<<，即实数λ的取值范围是10(1,)3-． 20．(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，则1212c c -+＝13，所以c ＝1．因为离心率e2，所以a所以椭圆C 的方程为2212x y +=． (Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12， 此时P(2-，0)、Q(2,0) ，221F P F Q ⋅=-．不合；当直线AB 不垂直于x 轴时，设存在点M (－12，m ) (m ≠0)，直线AB 的斜率为k ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由 221122221,21,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)1212y y x x -⋅-＝0，则 －1＋4mk ＝0，故k ＝14m．此时，直线PQ 斜率为m k 41-=，PQ 的直线方程为)21(4+-=-x m m y ．即 m mx y --=4．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12422y x mmx y 消去y ，整理得 2222(321)16220m x m x m +++-=．所以212216321m x x m +=-+，212222321m x x m -=+．由题意=⋅F F 220，于是 =⋅F F 22(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2)4)(4(1)(212121m mx m mx x x x x +++++-= 22122121))(14()161(m x x m x x m +++-++=2222222(116)(22)(41)(16)1321321m m m m mm m +---=+++++22191321m m -=+=0．1919±=∴m 因为M 在椭圆内，872<∴m 1919±=∴m 符合条件； 综上，存在两点M 符合条件，坐标为)1919,21(±-M ． 21．解：(Ⅰ)1()ln ()01x f x x x f x x x-'=-⇒=>⇒> ∴()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增 ∴()f x 的极小值为(1)1f = (Ⅱ)1()ln a h x x a x x +=-+∴2(1)[(1)]()x x a h x x +-+'=①当1a≤-时，()0h x '>，∴()h x 在(0,)+∞上递增②当1a>-时，()0h x '>⇒1x a >+，∴()h x 在(0,1)a +上递减，在(1,)a ++∞上递增(Ⅲ)先解区间[]1,e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立()()()0h x f x g x ⇔=-<在[1,]e 上有解⇔当[1,]x e ∈时，min ()0h x <由(Ⅱ)知①当1a ≤-时，()h x 在[1,]e 上递增，∴min (1)202h h a a ==+<⇒<- ∴2a <-②当1a>-时，()h x 在(0,1)a +上递减，在(1,)a ++∞上递增（ⅰ）当10a -<≤时， ()h x 在[1,]e 上递增 ∴min (1)202h h a a ==+<⇒<-，∴a 无解 （ⅱ）当1a e ≥-时， ()h x 在[1,]e 上递减∴2min 11()01a e h h e e a a e e ++==-+<⇒>- ∴211e a e +>- （ⅲ）当01a e <<-时， ()h x 在[1,1]a +上递减，在(1,]a e +上递增∴min(1)2ln(1)h h a a a a =+=+-+令2ln(1)2()1ln(1)a a a F a a a a +-+==+-+，则221()01F a a a'=--<+ ∴()F a 在(0,1)e -递减 ∴2()(1)01F a F e e >-=>- ∴()0F a <无解 即min 2ln(1)0h a a a =+-+<无解综上可得：存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，实数a 的取值范围为：2a <-或211e a e +>-.所以不存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，实数a 的取值范围为2121e a e +-≤≤-。