【初三数学】武汉市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习卷及答案

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测试卷（有答案）一、单选题（共10题；共30分）
1.在中，∠°，若cosB= ，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
2.在中，∠°, ∠°，AB=5，则BC的长为( )
A. 5tan40°
B. 5cos40°
C. 5sin40°
D.
°
3.sin60°的值等于（）
A. B. C. D.
4.已知在R t △ABC中，∠C = 90°，∠A =，AB = 2，那么BC的长等于
A. B. C. D.
5.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）
A. 45°
B. 1
C.
D. 无法确定
6.在Rt△ABC中，如果∠C=90°，AB=10，BC=8，那么cosB的值是（）
A. B. C. D.
7.sin30°+tan45°﹣cos60°的值等于（）
A. B. 0 C. 1 D. -
8.如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若sin∠AOC= ，OA=5，则点B
的坐标为（）
A. （4，3）
B. （3，4）
C. （9，3）
D. （8，4）
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦
值是（）
A. B. C. D.
10.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B
以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）
A. 18cm2
B. 12cm2
C. 9cm2
D. 3cm2
二、填空题（共10题；共30分）
11.在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________．
12.如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，，则AC=________.
13.计算：2cos60°﹣tan45°=________．
14.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c•sinB，
②a=c•cosB，③a=c•tanB，④a= ，必定成立的是________．
15.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为________．
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，CD是AB上的高，则tan∠BCD的值是
________．
17.如图，正方形ABCD的边长为12，点O为对角线AC、BD的交点，点E在CD上，tan∠CBE= ，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，将△OCF绕着点O逆时针旋转90°得到△ODG，
连接FG、FD，则△DFG的面积是________．
18.如图，在8×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点都在图
中相应的格点上，则tan∠ACB=________ .
19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC
绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG 的长为________．
20.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2．则cos∠MCN=________．
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
22.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)
23.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？
说明理由．（≈1.732）
24.我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．
25.如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,
求两海岛间的距离AB.
26.放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后
结果精确到1米）．
27.目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．
（参考数据：=1.41，=1.73）
28.如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速行驶驶离岗口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向，求乙船的航行速度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】0
14.【答案】②
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】
三、解答题
21.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC=27，
∴，
∴AH=6，
∵AB=10，
∴BH= = =8，
∴tanB= = = ．
22.【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．
x2+（2x）2=AB2，
x2+（2x）2=（4）2，
x=4．
答：河床面的宽减少了4米．
23.【答案】解：过A作AD⊥CF于D，
由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，
∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD= ，
则AD=AC•sin∠ACD=250 ≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．
24.【答案】解：过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，
设AB=x米，则AN=x+（17﹣1）=x+16（米），
在Rt△AEN中，∠AEN=45°，
∴EN=AN=x+16，
在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=17，
∴tan∠BCN= =0.75，
∴= ，
解得：x=1 ≈1.3．
经检验：x=1 是原分式方程的解
25.【答案】.解:过点A 作AE ⊥CD 于点E,过点B 作BF ⊥CD,交CD 的延长线于点F,
则四边形ABFE 为矩形,所以AB=EF,AE=BF, 由题意可知AE=BF=1 100-200=900(米
人教版九年级数学下册单元测试卷：第28章 锐角三角函数 含答案
一、填空题(每小题3分，共48分)
1．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，则cos A 的值为________． 2．一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时． 3．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，过点C 作CD 1⊥AB 于D 1，过点D 1作D 1D 2⊥BC 于D 2，过点D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，则D 2D 3＝________，这样继续作下去，线段D n D n ＋1＝____________．
4. 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A ，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m 后到达点C ，测得点A 在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为________米．
二、选择题(每小题3分，共48分)
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2
，那么下列结论正确的是( )
A ．csinA ＝a
B ．bcosB ＝c
C ．atanA ＝b
D ．ctanB ＝b 6．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝3
5
，则tan B 的值为( )
A.43
B.45
C.54
D.34
7．如图，，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道(点A ，B 在同一水平面上)．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A ，B 两地之间的距离为( )
A ．800sin α米
B ．800tan α米 C. 800sin α米 D. 800cos α米
第7题图 第12题图
8．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值( ) A ．扩大为原来的3倍 B ．缩小为原来的1
3 C ．没有变化 D ．不能确定
9．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A
2的值是( )
A.35
B.45
C.34 D .54
10．已知0°＜α＜90°，且2sin(α－10°)＝3，则α等于( ) A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°
11．如图，在湖边高出水面50 m 的山顶A 处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P 处的仰角为45°，又观察到其在湖中的像P ′的俯角为60°，则飞艇距离湖面的高度为( )
A ．(25 ＋75)m
B ．(50 ＋50)m
C ．(75 ＋75)m
D ．(50 ＋100)m 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC
的值为( )
A.35
B.34
C.105
D ．1 13．如图，在△ABC 中，cosB ＝，sinC ＝，AC ＝5，则△ABC 的面积是( ) A. 13 B ．12 C ．14 D ．21 14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝12，tan B ＝
3
3
.以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于1
2MN 的长为半径画弧，两
弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则△ACD 的周长为( ) A ．12 B ．12 3 C ．6＋6 3 D ．6＋9 3 15．在△ABC 中，若tan A ＝1，sin B ＝
，你认为最确切的判断是( )
A ． △ABC 是等腰三角形
B ． △AB
C 是等腰直角三角形 C ． △ABC 是直角三角形
D ． △ABC 是一般锐角三角形
16．如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80 m 的P 和Q 两点分别测定对岸一棵树R 的位置，R 在Q 的正南方向，在P 东偏南36°的方向，则河宽( ) A ． 80tan 36° B ． 80tan 54° C ．
D ． 80tan 54°
17.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sin A ＝；②cos B ＝0.5；③tan A
＝
；④tan B ＝
，其中正确的有( )
A ． ①②③
B ． ①②④
C ． ①③④
D ． ②③④ 18．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且cos A ＝
，sin B ＝0.5，则△ABC 是( )
A ． 直角三角形
B ． 钝角三角形
C ． 锐角三角形
D ． 不能确定
19．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果AB ＝5，BC ＝8，sin B ＝45，那么tan ∠CDE
的值为( )
A.12
B.33
C.2
2
D.2－1 20．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x 的图象恰好经过斜边A ′B
的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8
三、解答题(本大题有7个小题，共68分．) 21．(8分)计算：
(1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)sin60°－1
tan60°－2tan45°－3cos30°＋2sin45°.
22．(9分)根据下列条件解直角三角形：
(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝36，b ＝9 2.
23．(9分)某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A ，B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在位置C 的深度(结果精确到0.1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，3≈1.7)．
24．(9分)已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪
⎪⎪
⎪sin B －
32＝0. (1)试判断△ABC 的形状；
(2)求(1＋sin A )2－2cos B －(3＋tan C )0的值．
25．(10分)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝4
5，BC ＝8，D 是AB 中点，过点B 作直
线CD 的垂线，垂足为点E .
(1)求线段CD的长；
(2)求cos∠ABE的值．
26．(11分)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK ＝80°)，身体前倾成125°，脚与洗漱台距离GC＝15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．
(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？
(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)?
27．(12分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?
参考答案
1.35
2.40＋4033
3.338 ⎝⎛⎭
⎫32n ＋1 解析：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则CD 1＝32；进而在△CD 1D 2中，有D 1D 2＝32CD 1＝⎝⎛⎭⎫322，同理可得D 2D 3＝⎝⎛⎭⎫323
＝338，…，则线段D n D n ＋1＝⎝⎛⎭
⎫32n ＋1
. 4．20
5．A 6.A 7. D 8.C 9.B 10.C 11.D 12.B 13． A 14.C 15.B 16.A 17.D 18.A
19．A 解析：在△ABE 中，AE ⊥BC ，AB ＝5，sin B ＝4
5，∴AE ＝4，∴BE ＝AB 2－AE 2
＝3，∴EC ＝BC －BE ＝8－3＝5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝5，∴△CED 为等腰三角形，∴∠CDE ＝∠CED .∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠AEB ＝90°，∠ADE ＝∠CED ，∴∠CDE ＝∠ADE .在Rt △ADE 中，∵AE ＝4，AD ＝BC ＝8，∴tan ∠CDE ＝tan ∠ADE ＝48＝12
.
20．C 解析：设点C 的坐标为(x ，y )，作CD ⊥BO ′交边BO ′于点D .∵tan ∠BAO ＝2，∴BO AO ＝2.∵S △ABO ＝12·AO ·BO ＝4，∴AO ＝2，BO ＝4.由旋转得A ′O ′＝AO ＝2，BO ′＝BO ＝4.∵点C 为斜边A ′B 的中点，CD ⊥BO ′，∴CD ＝12A ′O ′＝1，BD ＝1
2BO ′＝2，∴y ＝BO －CD ＝4－
1＝3，x ＝BD ＝2，∴k ＝xy ＝2×3＝6.
21.解：(1)原式＝3×33＋⎝⎛⎭⎫222－2×32＝1
2
.(4分)
(2)原式＝32－13－2×1－3×32＋2×2
2＝0.(8分)
22．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(4分)
(2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6 6.(9分)
23．解：如图，作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .(1分)设CD ＝x 米．在Rt △ADC 中，∠DAC ＝25°，∴tan25°＝
CD AD ，∴AD ＝CD tan25°≈x
0.5
＝2x 米．(4分)在Rt △BDC 中，∠DBC ＝60°，由tan60°＝x 2x －4＝3，解得x ＝43
23－1
≈2.8.(8分)
答：生命迹象所在位置C 的深度约为2.8米．(9分)
24．解：(1)∵(1－tan A )2＋⎪
⎪⎪
⎪sin B －
32 人教版九年级数学下册同步练习：第二十八章质量评估试卷
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．tan45°的值为( B ) A.12
B ．1 C.2
2 D. 2
2．[2017·兰州]如图1，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( C ) A.513 B.1213 C.512 D.1312
【解析】 在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长度为120 m ，正切值为对边比邻边，故斜坡与水平地面夹角的正切值等于50120＝5
12.故选C.
图1 图2
3．[2018·益阳]如图2，小刚从山脚A 出发，沿坡角为α的山坡向上走了300 m 到达B 点，则小刚上升了( A ) A ．300sin α m
B ．300cos α m
C ．300tan α m D.300tan α m
【解析】 ∵sin α＝BC
AB ，∴BC ＝AB sin α＝300sin α(m)，故选A.
4．如图3，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D ) A ．26 m B ．28 m C ．30 m
D ．46 m
图3
【解析】 ∵坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5， ∴AE ＝1.5BE ＝18(m)． 又∵BC ＝10 m ，
∴AD ＝2AE ＋BC ＝2×18＋10＝46(m)．故选D.
5．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( B ) A ．15° B ．30° C ．45°
D ．60°
【解析】 根据题意，得Δ＝b 2－4ac ＝2－4sin α＝0，解得sin α＝1
2，∴α＝30°.故选B.
6．如图4，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( C ) A ．60° B ．45° C ．15°
D ．30°
【解析】 ∵在Rt △ABC 中，sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝2
2，∴∠CAB ＝45°.
∵在Rt △AB ′C ′中，sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝3
2， ∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠C ′AC ＝60°－45°＝15°.故选C.
图4 图5
7．如图5，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( B )
A ．2 3 m
B ．2 6 m
C ．(23－2)m
D ．(26－2)m
【解析】 ∵在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD
AB ， ∴AD ＝4sin60°＝23(m)，
∵在Rt △ACD 中，sin ∠ACD ＝AD AC ， ∴AC ＝23
sin45°＝26(m)．故选B.
8．如图6，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( C ) A.13
B ．2 2
C.24
D.223
图6 第8题答图
【解析】 如答图，作直径CD ， ∵在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，
∴OD ＝CD 2－OC 2＝42，tan ∠CDO ＝OC OD ＝2
4， 由圆周角定理，得∠OBC ＝∠CDO ， 则tan ∠OBC ＝2
4.故选C.
9．[2018·凉山州]如图7，无人机在A 处测得正前方河流两岸B ，C 的俯角分别为α＝70°，β＝40°，此时无人机的高度是h ，则河流的宽度BC 为( A ) A ．h (tan50°－tan20°) B ．h (tan50°＋tan20°) C ．h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
tan70°
－1tan40° D ．h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
tan70°
＋1tan40°
图7 第9题答图
【解析】如答图，过A作AD⊥BC交CB延长线于点D，
则Rt△ACD中，∠CAD＝50°，AD＝h，
∴CD＝AD tan50°＝h tan50°.
又∵Rt△ABD中，∠BAD＝20°，可得BD＝AD·tan20°＝h tan20°，
∴CB＝CD－BD＝h tan50°－h tan20°＝h(tan50°－tan20°)．故选A.
10．[2018春·沙坪坝区校级月考改编]如图8，某地有一处岩画，其高度从石岩F 处开始一直竖直到山顶E处，为了测量岩画的高度，小明从山脚A处，沿坡度i ＝0.75的斜坡上行65 m到达C处，在C处测得山顶E处仰角为26.5°，再往正前方水平走15 m到达D处，在D处测得岩画底端F处的俯角为42°，岩画底端F处距离山脚B处的距离是12 m．A，B，C，D，E，F在同一平面内，A，B在同一水平线上，EB⊥AB，根据小明的测量数据，则岩画的高度EF为(精确到0.1 m，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.9，tan26.5°≈0.5，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9)(A)
A．49.5 m B．68.7 m
C．69.7 m D．70.2 m
图8 第10题答图
【解析】如答图，作CN⊥AB于N，延长CD交BE于M.
在Rt△ACN中，AC＝65 m，CN∶AN＝0.75，∴CN＝39 m，AN＝52 m，
∵四边形CNBM是矩形，∴CN＝BM＝39 m，∵BF＝12 m，∴FM＝27 m，
在Rt△DMF中，tan42°＝FM
DM，
∴DM＝30 m，
在Rt△CEM中，∵CM＝CD＋DM＝45 m，
∴EM＝CM·tan26.5°＝22.5 m，
∴EF＝EM＋FM＝22.5＋27＝49.5 m，故选A.
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为2．
图9
【解析】∵AB＝2BC，∴AC＝（2BC）2－BC2＝3BC，
∴sin B＝AC
AB＝
3BC
2BC＝
3
2.
12．[2018·德州]如图10，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格
点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是
5．
【解析】∵AC＝25，BC＝5，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠BAC＝BC
AB＝
5
5.
图10 图11
13．[2017·黄石]如图11所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°；随后沿直线BC向前走了100 m后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为__137__m．(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
【解析】设AB＝x m，则BC＝x m．在Rt△ABD中，tan∠ADB＝AB
BD＝
x
x＋100
＝
3
3，解得x≈137.
14．[2017·天门]为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图12，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12 m，背水坡面CD＝12 3 m，
∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝3
133，则CE的长为
__8__m.
图12 第14题答图
【解析】分别过A，D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，如答图所示．∵在Rt△ABF中，AB＝12 m，∠B＝60°，
∴sin B＝AF
AB，∴AF＝12×
3
2＝6 3，
∴DG＝6 3.
∵在Rt△DGC中，CD＝12 3，DG＝6 3 m，
∴GC ＝CD 2－DG 2＝18.
∵在Rt △DEG 中，tan E ＝3133，∴63GE ＝3133，
解得GE ＝26，∴CE ＝GE －CG ＝26－18＝8，
即CE 的长为8 m.
15．如图13，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝__34__．
图13
16．[2018·苏州]如图14，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝25，BC ＝ 5.将△ABC
绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB ′C ′，连接B ′C ，则sin ∠ACB ′＝__45__．
图14 第16题答图
【解析】 如答图，过点B ′作B ′D ⊥AC 于D ，
由旋转可知：∠B ′AB ＝90°，AB ′＝AB ＝25，
∴∠AB ′D ＋∠B ′AD ＝∠B ′AD ＋∠CAB ＝90°，
∴∠AB ′D ＝∠CAB ，
∵AB ＝25，BC ＝5，∴AC ＝5，
∴AD ＝AB ′sin ∠AB ′D ＝AB ′sin ∠CAB ＝25×55＝2，
∴CD ＝5－2＝3，∴B ′D ＝（25）2－22＝4，
∴B ′C ＝5，∴sin ∠ACB ′＝B ′D B ′C ＝45.
三、解答题(共66分)
17．(8分)计算：
(1)
人教版九年级数学下册同步练习：第二十八章 本章复习课_
人教版初中数学九年级下册第28章锐角三角函数本章复习课
类型之一 锐角三角函数的定义
1. [2018·柳州]如图28－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，则sin B ＝( A )
图28－1
A.35
B.45
C.37
D.34
【解析】 由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5.根据正弦的定义，得
sin B ＝AC AB ＝35.
2．[2018·衢州]如图28－2，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知BC ＝6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC 的值为( C )
图28－2
A.34
B.35
C.45
D.53
【解析】∵BC＝6，∴圆锥侧面展开扇形的弧长，即底面圆的周长为6π，
∵S
扇形＝
1
2×6πr＝15π，∴r＝5，即圆锥的母线长为5，
∵AO⊥BC，BO＝1
2BC＝3，
∴在Rt△ABO中，AO＝4，∴sin∠ABC＝AO
AB＝
4
5.
3．[2018·娄底]如图28－3，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα－cosα＝(D)
图28－3
A.5
13B．－5 13
C.7
13D．－7
13
【解析】∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即AC2＋(7＋AC)2＝132，
整理得AC2＋7AC－60＝0，
解得AC＝5，AC＝－12(舍去)，
∴BC＝AB2－AC2＝12，
∴sinα＝AC
AB＝
5
13，cosα＝
BC
AB＝
12
13，
∴sinα－cosα＝5
13－
12
13＝－
7
13.
类型之二特殊角的三角函数值
4．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝
3
2，cos B＝
1
2，则∠C＝__60°__．
【解析】∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝
3
2，cos B＝
1
2，∴∠A＝
∠B＝60°.
∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－60°＝60°.
5．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α—β)的值可以用下面的公式求得：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
sin(α—β)＝sin αcos β－cos αsin β.
例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.
类似地，可以求得sin15°的值是4．
6．[2018·天水]4＋(－3)2＋2 0180×|1－3|＋tan45°－2sin60°.
解：原式＝2＋9＋1×(3－1)＋1－2×32
＝11＋3－1＋1－3＝11.
类型之三 解直角三角形
7．[2018·常州]某数学研究性学习小组制作了如图图28－4的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 转，从图中所示的图尺可读出sin ∠AOB 的值是( D )
A.58
B.78
C.710
D.45
图28－4 第7题答图
【解析】 如答图，连接AD ，由题意可知OA ＝0.8，OD ＝1，
∵∠ODA ＋∠DOA ＝∠DOA ＋∠BOA ＝90°，
∴∠ODA ＝∠AOB ，
∵OD 是直径，∴∠DAO ＝90°，
∴sin∠AOB＝OA
OD＝
0.8
1＝
4
5，故选D.
类型之四仰角、俯角问题
8．[2017·邵阳]如图28－5，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°.n s后，火
箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n s中上升的高度为
图28－5
【解析】先在Rt△ALR中，根据AR＝40 km，∠ARL＝30°，求出AL＝20和LR ＝203，再在Rt△BLR中，求出BL＝LR＝203，所以火箭在这n s中上升的高度AB＝BL－AL＝(203－20)km.
9．[2018·安徽]为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置了平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图28－6所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)．在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8 m，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数，参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)
图28－6第9题答图
解：如答图，过点F作AB的垂线交AB于点H，交AE于点G，则FH∥DB，∴∠1＝45°，∠2＝∠3＝45°，∴∠FEG＝90°，
在Rt△FDE中，sin∠1＝FD
FE＝
2
2，∴FE＝2FD，
在Rt△FEG中，cos∠GFE＝FE
FG＝
2
2，
∴FG＝2FE，∴FG＝2FD＝3.6(m)，
设AH＝x m，则GH＝x m，FH＝(3.6＋x)m，
在Rt△AFH中，tan∠AFH＝AH
FH＝
x
x＋3.6
≈0.82，解得x≈16.4，
∴AB＝AH＋BH＝AH＋FD≈18(m)．
答：旗杆AB的高度约为18 m.
类型之五方位角问题
10．[2018·十堰] 如图28－7，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果取整数)
图28－7 第10题答图
解：如答图，作CD⊥AB于D.
在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，∠ACD＝90°－45°＝45°，
∴CD＝AC·cos45°＝100×
2
2＝502，
在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝30°，
∴BC＝2CD＝100 2 海里≈141海里．
答：B处距离灯塔C有141海里．
11．[2018·淮安]为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200 m，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，
如图28－8所示，求凉亭P到公路l的距离．(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
图28－8第11题答图
解：如答图，过P作PC⊥AB于C，
在Rt△ACP中，tan∠APC＝tan60°＝AC PC，
即AC＝PC tan60°＝3PC，同理可得，BC＝PC，
∵AB＝AC－BC＝3PC－PC＝200，
∴PC＝1003＋100≈273.
答：凉亭P到公路l的距离约为273 m.
类型之六坡度问题
12．[2018·重庆A卷]如图28－9，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底面E处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7 m，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2 m，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1 m，则旗杆AB的高度为(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)(B)
A．12.
九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测卷
时间120分钟分数120分
一、选择题（每小题3分计30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D )
A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的1 5
C．扩大为原来的10倍 D．不变
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( A )
A.34
B.43
C.35
D.45
3.计算2cos60°的结果为( A )
A ．1 B. 3 C. 2 D.12
4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35
，则斜边上的高等于(B ) A.6425 B.4825 C.165 D.125
5．如图K －17－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23
，则BC 的长为( A )
图K －17－3
A ．4
B ．2 5 C.181313 D.121313
6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )
A ．csinA ＝a
B ．bcosB ＝c
C ．atanA ＝b
D ．ctanB ＝b
7.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为( B )
A ．3.5sin29°
B ．3.5cos29°
C ．3.5tan29°
D ． 3.5cos29°
8.如图K －22－4，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A )
图K－22－4
A．20(3＋1)米/秒 B．20(3－1)米/秒
C．200米/秒 D．300米/秒
9.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( B )
A．29.1米 B．31.9米 C.45.9米 D．95.9米
10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( A )
图K－20－3
A.
1
1－sinα
米 B.
1
1＋sinα
米
C.
1
1－cosα
米 D.
1
1＋cosα
米
二、填空题（每小题3分计18分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sinB＝________．
[答案] 3 4
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．
[答案] 3 7
13.若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3 3x＋3＝0的一个根，则锐角α＝
________．
[答案] 30°
14．如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE ＝1.5 m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)
图K－21－5
[答案] 15.3
15.一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．
[答案]43－4
16.如图K－22－7，小华站在河岸上的点G处看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为__________米(结果保留根号).
图K－22－7
[答案] (8 3－5.5)
三、解答题（17题10分；18题10分；19题12分；20题12分；21题14分；22题14分；计72分）
17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，求sinA和sinB的值．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝12＋22＝5(cm)，
∴sinA＝BC
AB
＝
2
5
＝
2 5
5
，
sinB＝AC
AB
＝
1
5
＝
5
5
.
即sinA＝25
5
，sinB＝
5
5
.
18.如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.
(1)求sin∠BAC的值；
(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；
(3)求tan∠ADC的值.
图K－17－12
解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵AB＝5，BC＝3，
∴sin∠BAC＝BC
AB
＝
3
5
.
(2)∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心，∴E是AC的中点，
∴OE＝1
2
BC＝
3
2
.
(3)∵AC＝AB2－BC2＝4，
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝AC
BC
＝
4
3
.
19.某太阳能热水器的横截面示意图如图K－18－4所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.
(1)求支架CD的长；
(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)
图K－18－4
解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，
∴cos30°＝CD
80
＝
3
2
，
解得CD＝40 3(cm)．
即支架CD的长为40 3 cm.
(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，
∴tan30°＝
OC
165
＝
3
3
，
解得OC＝55 3(cm)，
∴OA＝2OC＝110 3 cm，OB＝OD＝OC－CD＝55 3－40 3＝15 3(cm)，AB＝OA－OB＝110 3－15 3＝95 3(cm)．
即真空热水管AB的长为95 3 cm.
20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．
(1)b＝10，∠A＝60°；
(2)a＝25，b＝2 15
解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∵cosA＝b
c
，∴c＝
b
cosA
＝
10
cos60°
＝
10
1
2
＝20，
∴a＝c2－b2＝202－102＝10 3.
(2)c＝a2＋b2＝（2 5）2＋（215）2＝4 5.
∵tanA＝a
b
＝
2 5
215
＝
3
3
，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
21. 甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的
方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里
/时，那么
下午1时两艘轮船相距多少海里？
解：如图所示，设下午1时，甲轮船到达B，乙轮船到达C，根据题意知∠BAE ＝23°，∠CAE＝67°，所以∠BAC＝∠CAE＋∠BAE＝90°.又因为AB＝24×5＝120，AC＝32×5＝160，由勾股定理得BC2＝1202＋1602＝40000，所以BC＝200，答：下午1时两艘轮船相距200海里．。