2017年春季新版北师大版八年级数学下学期5.4、分式方程教案13

《分式方程》第1课时教学目标1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想．2．经历探索分式方程概念，分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系．教学重难点教学重点：分式方程解法的过程，检验根的合理性．教学难点：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想． 教学过程1．创设情景，探索交流情景一：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中的所有等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那第二块试验田每公顷的产量是_______kg ． 根据题意，可行方程_____________________．答案：等量关系包括：第一块试验田每公顷的产量+3000kg =第二块试验田每公顷的产量．土地面积总产量每公顷的产量= 第一块试验田的面积=第二块试验田的面积；第二块试验田每公顷的产量是（x +3000）kg ． 方程为3000150009000+=x x ． 情景二：从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km 的普通公路，另一条是全长480km 的高速公路．某客车在高速公路上的行驶的平均速度比在普通公路上快45km /h ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间．这一问题中有哪些等量关系？如果设客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间为xh ，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为___________h ．根据题意，可得方程_____________________．答案：等量关系包括：600km =客车在普通公路上行驶的平均速度×客车由普通公路从甲地到乙地的时间． 480km =客车在高速公路上行驶的平均速度×客车由高速公路从甲地到乙地的时间． 客车在高速公路上行驶的平均速度-客车在普通公路上行驶的平均速度=45km /h ． 由高速公路从甲地到乙地所需的时间=1/2×由普通公路从甲地到乙地所需的时间．4526004802=-xx x ； 通过几个实际问题，让学生经历从实际问题抽象、概括分式这一“数学化”的过程．在教学过程中，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力．2．深入探讨，概括概念做一做：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐灾．已知第一次捐款的总额为4800元，第二次捐款的总额为5000元，第二次捐款的人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额刚好相等．如果设第一次捐款的人数为x 人，那么x 满足怎样的方程？ （注意让学生努力寻找等量关系，加强学生的思维能力．） 答案：等量关系为2050004800+=x x ． 议一议：上面所得到的方程有什么共同的特点？（鼓励学生认真观察、独立思考，并用自己的语言描述，然后再与同拌讨论、交流自己的结果．通过这一过程加强学生的观察能力、语言概括能力．）分母中含有未知数的方程叫做分式方程．3．巩固应用，拓展研究练习1：甲6小时完成的工作改由甲、乙合作4小时可以完成，问乙单独做多少小时可以完成？设乙单独做x 小时可以完成，那么x 应满足怎样的方程？练习2：王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x 人，那么每人平均分摊 元．人数增加到原定人数的2倍，每个平均分摊 元．根据题意，可行方程． ． 等量关系包括：人数总费用每人分摊的费用=． 实际参加培训的人数=2×原定参加培训的人数．原计划每人平均分摊的费用-实际每人平均分摊的费用=4元； 方程为：42480-300=xx ． 4．回顾联系，形成结构什么是分式方程？怎样列分式方程？（通过问题的提出，总结本节课的相关知识，让学生再次体会“实际问题——分式方程模型”的过程，嘉庆学生的建模意识．）第2课时教学目标1．经历探索分式方程概念，分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系．2．经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程，发展学生分析问题的能力，培养学生的应用意识．教学重难点教学重点：分式方程解法的过程，检验根的合理性．教学难点：掌握“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程． 教学过程1．创设情景，引出问题 解方程：1733+=x x ．你能设法求出上节课中的分式方程的解吗？ 2．探索交流，发现规律回顾： 解方程1733+=x x 时，我们一般是先去分母，两边同时乘以最小的公分母3×7，得1737373373⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯x x ，即7x =9x +21，这种形式相对就容易计算．通过移项，合并同类项求得x =-10.5．联系： 对于分式方程300150009000+=x x ，如果两边同时乘以分母最小的公因式，是不是也能像上面的方程一样的解决呢？请你试试看！（通过一元一次方程的解法的展示后让学生探索交流，发现解分式方程的一般步骤．） 解：方程的两边都乘以x （x +3000），得9000（x +3000）=15000x解这个方程，得x =0.5思考：如何检验x =0.5是方程的解？检验：将x =0.5代入原方程，如果得到的左边的值等于右边的值，则它就是原方程的解． 请你检验一下x =0.5是不是方程的解？（同过检验，体验方程解的意义，同时为分式方程的增根的研究作好准备．）3．例题讲解，加深印象例1：解方程：xx 321=-． 解：方法一：方程两边都乘以2x ，得960-600=90x解这个方程，得x =4检验：将x =4代入原方程，得左边=45=右边，所以，x =4是原方程的根．方法二：先化简得方程两边都乘以x ，得32-20=3x 解这个方程，得x =4检验：将x =4代入原方程，得左边=45=右边，所以，x =4是原方程的根．4．应用拓展，深化研究 议一议：在解方程22121--=--xx x 时，小亮的解法如下： 方程两边都乘以x -2，得1-x =-1-2（x -2）解这个方程，得x =2．你认为x =2是原方程的根吗？与同伴交流．（让学生充分进行讨论、交流，寻找增根产生的原因．）在这里，x =2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称之为原方程的增根．产生增根的原因是，我们在方程的两边同时乘了一个可能使分母为零的整式．事实上，对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了．换言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．因为解分式方程可能会出现增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤．验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得未知数的值代入分式的分母，看分母的值只否为零，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误．5．回顾联系，形成结构想一想：解分式方程一般需要经历哪几个步骤？（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）第3课时教学目标1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想．2．经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系．3．经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程，发展学生分析问题的能力，培养学生的应用意识．教学重难点教学重点：分式方程解法的过程，检验根的合理性．教学难点：掌握“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程． 教学过程1．创设情景，探索交流做一做：某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有的房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元．（1）你能找出这一情景中的等量关系吗？（2）根据这一情景你能提出哪些问题？（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？（引导学生从不同角度寻求等量关系，让学生明白解决此类问题的关键是找出等量关系．） 答案：（1）第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元；第一年出租的房屋的间数=第二年出租的房屋的间数；每间房屋的租金所有出租房屋的租金出租房屋的间数=． （2）求出租的房屋总间数；分别求出两年每间房屋的租金．（3）设第一年每间房屋的租金为x 元，则第二年每间房屋的租金为（x +500）元，根据题意，得，50010200096000+=x x 解得x =8000． 2．例题讲解，分析应用例：某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m 3，求该市今年居民用水的价格．此题的主要等量关系是什么？请大家找找看．主要的等量关系是：小丽家今年7月份的用水量-小丽家去年12月份的用水量=5m 3所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出． 解：设该市去年居民用水的价格x 元/m 3 ，则今年的水价为（1+1/3）x 元/m 3，根据题意，得51531130=-+x x ）（． 解这个方程，得x =1.5．经检验，x =1.5是所列方程的根．1.5×（1+1/3）=2（元）所以，该市今年居民用水的价格2元/m 3．（本例密切联系学生生活实际，又关注社会热点——水资源问题．让学生将实际问题转化为数学模型，并进行解答、解释解的合理性，通过本例对学生进行节约用水的教育．）3．练习巩固，促进迁移（1）为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁——昆明的直达快车，已知南宁——昆明两地相距828km ，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达昆明，求两车的平均速度？解：设普通快车的平均速度为xhm /h ，则直达快车的平均速度为1.5km /h ，依题意，得 xx x 5.18286-828=． 解得：x =46．经检验，x =46，是方程的根，且符合题意．∴x =46，1.5x =69（2）编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求：①要联系实际生活，其解符合实际；②根据题意列出的分式方程中含两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；③题目完整，题意清楚．（此题让学生去发现显示生活中的素材，可创编电费、卫生费等问题，发展学生提出、分析、解决问题的能力，增强他们的应用意识．）解：所编应用题为：甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用时间与乙做6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？解：设甲每小时做x 个，那么乙每小时做（x -2）个，根据题意，有：2610-=x x ． ∴x =5，x -2=5-2=3答：甲每小时做5个，乙每小时做3个．（3）甲、乙两地相距500千米，两车都从甲地开往乙地，大汽车早出发2小时，小汽车比大汽车晚到20分钟，已知小汽车和大汽车速度比是5：3，求两车的速度．4．回顾联系，形成结构想一想：用分式方程解应用题一般需要经历哪几个步骤？（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）。