高中数学2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法教案文新人教A版选修2_2
高中数学2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A版选修2_2
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式问题
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 分析:解答本题的关键是从基本不等式入手,利用同向不等式相 加而得证. 证明:(1)∵a
1 , ������ 3
2
求证:(1)a2+b2+c2≥3 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
*
3 3 2������������-1 ∴当 n∈N ,且 n≥2 时,bn= 2 ������(������n − 1) = 2 ·������ +3. ������-1 1 1 1 ∴bnbn-1+3bn=3bn-1.∴ ������ − ������ = 3. ������ ������-1 1 1 ∴数列 ������ 是首项为1,公差为 3 的等差数列. ������
【做一做】 命题“函数f(x)=x-xln x在区间(0,1)内是增函数”的证 明过程“对函数f(x)=x-xln x求导,得f'(x)=-ln x,当x∈(0,1)时,f'(x)=-ln x>0,故函数f(x)在区间(0,1)内是增函数”应用了 的证明 方法. 解析:本命题的证明,利用已知条件和导数与函数单调性的关系 证得了结论,应用了综合法的证明方法. 答案:综合法
第1课时 综合法
1.了解直接证明的一种基本方法——综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题.
综合法
定义 利用已知条件和某些 数学定义、 公理、 定理 等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种 证明方法叫做综合法 推证过程 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q 表示所要证明的结论) 特点 顺推证 法 或由因 导 果法
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法教学案新人教A版选修2-2
答案：综合法
7．如果 a a＋ b b＞ a b ＋b a，则正数 a， b 应满足的条件是 ________．
7 / 11
解析： ∵ a a＋ b b－ ( a b＋ b a)
＝ a( a－ b) ＋b( b－ a) ＝ ( a－ b)( a－ b)
2
＝( a－ b) ( a＋ b) ．
∴ 只要 a≠b， 就有 a a＋ b b＞ a b＋ b a.
＜ log xa＋log xb＋ log xc，
a＋b b＋ c a＋ c 只需要证明 log x 2 · 2 · 2 ＜ log x( abc) ，
a＋b b＋c a＋c
由已知 0＜ x＜ 1，只需证明
· · ＞ abc，
2
2
2
a＋ b
b＋ c
由公式 2 ≥ ab＞ 0， 2 ≥ bc＞ 0，
5 / 11
6．命题“函数 f ( x) ＝ x－ xln x 在区间 (0,1) 上是增函数”的证明过程“对函数 f ( x) ＝ x－ xln x 取导得 f ′（x) ＝－ ln x，当 x∈(0,1) 时， f ′（x) ＝－ ln x＞ 0，故函数 f ( x) 在
区间 (0,1) 上是增函数”应用了 ________的证明方法． 解析：该证明过程符合综合法的特点．
3
≥3，
a2＋ b2＋ c2
只需证
≥
a＋ b＋c
2，
3
3
只需证 3( a2＋ b2＋ c2) ≥ a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ac，
只需证 2( a2＋ b2＋ c2) ≥２ab＋ 2bc＋ 2ac，
只需证
(
a－
b)
2
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_9
人教版高中数学选修1—22.2.1直接证明--综合法与分析法教案三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：会用综合法和分析法证明问题；了解综合法和分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、问题情境：如图，四边形ABCD 是平行四边形 求证：AB=CD ，BC=DA证明： 连接AC ，因为四边形ABCD 是平行形四边形，所以 DA BC CD AB ////，.4321∠=∠∠=∠，故CAAC =因为ABC CDA ∆≅∆所以故 AB=CD,BC=DA.二、讲授新课： 1 概念直接从原命题的条件逐步推得命题成立 2 直接证明的一般形式：本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫直接证明（学生活动）证法1 对于正数a,b, 有abba abb a ab b a b a ≥+⇒≥+⇒≥-+⇒≥-220202）（证法2 要证 2b a ab +≤只要证 ba ab +≤2只要证 b ab a +-≤20 只要证 2)(0b a -≤因为最后一个不等式成立，故结论成立。
讨论上述两种证法有什么异同？相同：都是直接证明不同：证法 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止 综合法5(0,0)?2a b a b +≤>>思考：在《数学（必修）》中，我们如何证明证法 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法综合法(顺推证法、由因导果法)利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。
最新精编高中人教A版选修2-2高中数学直接证明与间接证明1(理)公开课优质课教学设计
§2.2.1 综合法和分析法(1)【学情分析】：前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理。
数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。
这是数学区别于其他学科的显著特点。
本节学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。
本部分结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。
【教学目标】：（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法、分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。
【教学过程设计】：ABC中，a,b,c，且AABC为等ABC的内A+B+C=ABC为等1. P89.1【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。
2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_2
课题：综合法与分析法
【教学目标】
1．知识与技能
（1）了解直接证明的两种基本方法之一综合法。
（2）了解综合法得思维过程和特点。
（1）通过对实例的分析，归纳与总结，增强学生的理解思维能力。
（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题，解决问题的能力。
3．情感，态度与价值观
通过本节课的学习了解直接证明的基本方法——综合法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，使学生养成言之有理，论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。
【教学重难点】
重点：综合法的思维过程及特点；
难点：综合法的应用。
【学法指导】遵循中学生的心理特征及认知规律，本节课采用高效课堂教学模式，把学生分成七个小组，通过自主探究与合作探究相结合的学习方法，让学生真正成为学习的主人，感受数学学习的成功与快乐·
【教具准备】多媒体与投影仪
【教学过程】
ABC所在平面.
板书设计
一．导入新课五.应用举例
二．提出问题六.反馈练习
三．概念形成七.课堂小结
四．概念深化八.巩固提升。
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综合法和分析法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B为锐角，且tan tan tan A B A B +=60A B +=. （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2.讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，即证：2cos C C -≥cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_1
合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明.
一.综合法
1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出
课题
综合法和分析法
课型
新ห้องสมุดไป่ตู้课
教学目标
知识与技能：了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析；
过程与方法：通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力；
重点
难点
教学重点：
综合法和分析法的思维过程及特点
教学难点：
综合法和分析法的应用
教具
准备
多媒体
课时
安排
1
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
（一）创设情境、引入新课
证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．
3.框图表示：
（三）深度剖题
法1：已知 ，求证：
证明：∵ , ,
∴ .又∵ , ,
∴ ∴
象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法.(又称顺推证法)
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_16
《教学设计之综合法和分析法》设计背景：基于学生在学习的过程当中也不同程度接触学习了证明题。
一、复习梳理推理的几种形式（归纳、类比、三段论）和提及证明的几种方法。
设计意图：为了让学生形成知识的体系，道出推理的不足，从而引出证明的必要性，并且让他们明了常用的有几种证明方法。
二、直接证明的概念设计意图：直接给出直接证明的概念是因为本节课的重点不是直接证明，而是直接证明的细化：综合法和分析法，因此化简处理。
三、探究综合法首先来一条实例，再综合法的相关内容，最后紧跟着例题和练习题设计意图：实例是为让学生养成在学习的过程要善于观察，勤于思考和懂得总结，也让概念性的新知有一个实例的背景支撑着。
简易化、图示化及幽默化综合法的相关内容，只是让学生不会觉得新知的烦琐与无味。
例题多是为了加强学习对于概念的理解，不断地强化这种证明方法在证明中的运用，并有深刻地体会。
再给一道几何证明练习，我们知道几何证明是高考的必考内容，我们目前所学的内容都是为了那时做好铺垫的，所以现在拿来练习也是不错的。
四、探究分析法首先一道实例，再分析法的相关内容，最后一道例题和一道练习题。
设计背景：实例的目的是让学生由具体到抽象，再到后面具体的习题。
在分析法的相关内容中重点注意分析法的证明格式。
减少例题的数目是因为在证明的过程中用得比较多的证明方法是综合法，而分析法是分析问题的重要方法，它能够锻炼学生分析问题，解决问题的能力，可以为综合法服务。
五：区别综合法和分析法设计意图：既然学习了两种方法，那么就需要区别它们的相同点和不同点，不能混淆。
如果混淆那么那么这节课的学习将会失去了意义，还不如不学。
六：跟踪练习设计意图：强化所学的内容，遵循人的记忆的遗失规律。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_26
综合法和分析法证明不等式教学目标： 1.理解综合法证明不等式的思路，会用综合法证明简单不等式。
2.理解分析法证明不等式的思路，会用分析法证明简单不等式。
3.能综合应用综合法和分析法证明不等式。
教学重点：用综合法和分析法证明不等式教学难点：根据问题的特点，选择适当方式证明不等式。
教学过程：一．引入课题用祖国风景秀丽的山水图片激发学生去探求的兴趣。
并及时提出关于旅行安全的问题：“如果在野外迷路了，你会怎么办？”抽学生回答，将学生的回答归结为两种方式：外面你的位置而这种思路既可以用于野外自救，也可以用于解决数学的证明题。
从而引入课题。
二．回顾复习1.不等式的性质2.基本不等式及推广式（在复习时强调式子的结构特征和成立条件）三．讲授新课（让学生分析和说出证明的方法，强调观察式子的结构特征，不等号的方向，系数等并说明解决这个题的思路是用已知的重要不等式经过推理，论证得到所证的结论，这种 证明不等式的方式叫综合法。
）1.综合法从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.数学符号表示：与引入中的从外面去找寻你的位置类比，又可以概括为：由因导果。
通过前例对比说明用综合法证明不等式的关键：观察式子的结构，不等号的方向，系数等都能帮助我们找寻证明的突破口。
目标性：将不等式左端的结构化为右边的结构，或右边化左边。
将已知的结构化向所证的结构，或者将所证的结构化向已知的结构。
abcb ac a c b c b a c b a 6)()()(,,0,, 1222222>+++++>求证且不全相等已知例abc c b a a bc c b 2)(,0,2 :2222≥+∴>≥+ 证明abc a c b b ac a c 2)(,0,2 2222≥+∴>≥+ abc b a c c ab b a 2)(,0,2 2222≥+∴>≥+ abc b a c a c b c b a c b a 6)()()(,,,,222222>+++++把它们相加得取等号少有一个不所以上述三个式子中至不全相等由于)( )(21结论顺推已知BB B B A n ⇒⇒⇒⇒⇒探究与练习：法1.法2.2)1()1)(1,1,,...,,.1212121n n n n a a a a a a R a a a ≥+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅∈+求证（且已知nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a R a a a 2)1()1)((1 12)1()1)((1 021 021 021 ,21212121221121≥+++∴=≥+++∴>≥+>≥+>≥+∴∈+又解：目标：左边化向已知条件结构 nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a R a a a 2)1()1)((1 1 2)1()1)((1 2110 2110 2110 ,21212121221121≥+++∴=+++≤∴+≤⋅<+≤⋅<+≤⋅<∴∈+ 又，解：目标：已知条件结构化向所证式子 abc c bc ac ab b a ab R c b a 16))(1,,.22≥++++++∈+，证明（已知()()即原不等式成立。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_19
第五节 直接证明与间接证明1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法.(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫作分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)． 2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．提醒： 辨明两个易误点(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程． ( )(4)证明不等式2＋7＜3＋6最合适的方法是分析法．( )(5)用反证法证明结论“a ＞b ”时，应假设“a ＜b ”．( ) (6)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×2．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．3．命题“对于任意角θ，cos 4 θ－sin 4 θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4 θ－sin 4 θ＝(cos 2 θ－sin 2 θ)(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确． 4．(教材习题改编)要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C ．(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60° C ．三个内角至多有一个大于60° D ．三个内角至多有两个大于60°解析：选B 因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”．分析法的应用 [明技法]分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．[提能力]【典例】 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立． [刷好题]已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．综合法的应用 [明技法]综合法证题的思路[提能力]【典例】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若∠C ＝2π3，求证：5a ＝3b .证明：(1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2 B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列． (2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以5a ＝3b . [刷好题](2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )．(1)解：f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x ＞－1)．则h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.所以h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．故h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．反证法的应用 [明技法]用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾． (3)否定反设，得出原命题结论成立． [提能力]【典例】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． (1)解：当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)， 则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*)又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证． [刷好题]已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 均小于1， 即a <1，b <1，c <1， 则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2(x －12)2＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_23
教学过程：学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。
若要证明下列问题：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明:因为222,0b c bc a +≥>, 所以22()2a b c abc +≥, 因为222,0c a ac b +≥>, 所以22()2b c a abc +≥.因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论1. 综合法 综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a , b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac =．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A,B,C 为△ABC 的内角，所以A + B + C=π． ⑧由①② ，得B=3π. 由a, b ，c 成等比数列，有2b ac =. 由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-. 再由④，得22a c ac ac +-=. 2()0a c -=, 因此a c =. 从而A=C. 由②③⑤，得A=B=C=3π.所以△ABC 为等边三角形．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_25
在(*)式中分别取n＝1,2,3,4，得
A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，
从而有
由②③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0，即d1－ d＝0，b1－d1－a＋ d＝0，cd1＝0.
所以AB⊥平面B1BCC1，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝ AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．
所以C1F∥EG.
侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E－ABC的体积．
图11 3 1
【解】(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以cosx1cosx2＞0，sin(x1＋x2)＞0,1＋cos(x1＋x2)＞0，
故只需证明1＋cos(x1＋x2)＞2cosx1cosx2，
即证1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2＞2cosx1cosx2.
即证：cos(x1－x2)＜1.
由x1，x2∈ ，x1≠x2知上式显然成立，
因此， [f(x1)＋f(x2)]＞f 成立．
(2)归谬——把“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_29
高中数学新课标人教A版选修1-22.2.1直接证明——综合法和分析法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；2、过程与方法: 通过学生分组自己讲练，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.二、教学重点、难点：重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点，书写证明格式规范；难点：分析法和综合法的思考过程、特点.三、教学方法：启发式教学法，分组讨论法四、教学准备与设想：抓住分析法和综合法的思考过程、特点，联系生活，渗透思想. “变形”是解题的关键，是最重一步，在教学引导时要多启发，因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.五、教学过程：（一）创设情景，引出课题逻辑结构编织着中学数学，这种潜移默化的逻辑结构的熏陶是中学数学的“灵魂”，今天，让我们共同步入“直接证明”的逻辑之旅吧！（板书直接证明）1、请看图片：主角——葫芦，“瞎子摘葫芦”，打一歇后语.(生答).“顺藤摸瓜”，蕴含一种顺序思维，为综合法引入加深印象.2、第二幅图片：白云山九龙瀑布，诗句：问渠哪得清如许，为有源头活水来，蕴含一种溯源（逆推）思维，为分析法做好铺垫.(板书副标题：综合法与分析法)（二）抽象思维，形成概念1、观察以下不等式证明讲解思维过程，师生共同分析.问题1 已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥法一：证明:因为222,0b c bc a +≥>,所以22()2a b c abc +≥,因为222,0c a ac b +≥>,所以22()2b c a abc +≥.因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.法二：要证：2222()()4≥a b c b c a abc +++ 只要证：2222()2,()2≥≥a b c abc b c a abc ++ ∵0,0a b >>∴只要证：22222,2≥≥b c bc c a ac ++ 又∵0,0,0a b c >>>，∴22222,2≥≥b c bc c a ac ++∴得证. 2、对比得出概念及特点（1）综合法定义：象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法.(又称顺推证法)用综合法证明不等式的逻辑流程图是：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法（2） 分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法. (又称倒推证法)用分析法证明不等式的逻辑框图是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐ 分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有……这只需要证明命题2B 为真，从而又有…………这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真3、进步设疑，理解新知问题2:在《数学5(必修)(0,0)?2a b a b +>>指出其中的证明方法的特点.证法1:对于正数a,b, 有2002≥≥≥a b a b a b a b -∴+-∴++∴（只要证b a ab +≤2 只要证ab b a 20-+≤ 只要证()20b a -≤ 因为最后一个不等式成立，故结论成立.总结：综合法，表达简洁；分析法，目的性强，易于探索.（三）初步应用，巩固概念1、讲一讲在△ABC 中,设求证：,,==ABC S ∆ 请同学们前后四人一组分组讨论，合作交流，引导试图找出两种证法.并请代表上台.2、练一练2）求证：请同桌交流，两人合作分工把两个题的步骤给顺出来，并请代表演板.3、说一说请对综合法与分析法进行比较，说说它们各自特点，回顾以往数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识.综合法的特点:由因导果;分析法的特点：执果索因.教师展示一副对联，说一说二者比较：由因导果，顺藤摸瓜；执果索因，逆推破案；横批——直接证明.（门心为“蜡烛迷宫”）5273<+成等比数列,求证△ ABC 为等边三角形. ,,a b c ,,a b c 1）在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为 ,且A,B,C 成等差数列, 证法2:要证2a b+(四)深入探究，感受方法1、研一研（1）△ABC 三边长 的倒数成等差数列，求证： （综合法）分析：因为a,b,c 为△ABC 三边 ，所以 a + c > b 所以 cosB>0 因此 .11,1,1.2<++<<abb a b a 求证：若 （分析法）证明：要证 只需证明 只需证明只需证明所以原命题成立. 2、思考小结（1）综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!),,a b c ︒<∠90B ac b ac 222-≥acb 212-=)(12c a b b +-=ac b c a B 2222cos -+=01>+-ca b ︒<∠90B 11<++abb a 112<⎪⎭⎫⎝⎛++ab b a ()22)1(ab b a +<+0)1)(1(22>--b a 11<<b a 1122<<∴b a ()()01,0122<-<-∴b a 0)1)(1(22>--b a 因此其格式为: 由因导果(已知)1n A B B B ⇒⇒⇒⇒(结论)（2）分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 其格式为: 不断转化 (结论)B ⇐1n B B ⇐⇐A ⇐(已知) 注:分析法被认为是解数学题的“绝招”,因为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉.当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出分析的成果作为证明.3、教师点拨从概念，特点和二者关系上进一步点拨.六、作业布置：1、P44 A 组 T1，2;2、进一步“研一研”专题的两个题目，下节展讲.七、板书设计：2.2.1 直接证明——综合法和分析法教师板书区 学生展讲区 学生练习区。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_14
综合法与分析法【教学目标】1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.2.了解分析法和综合法的思考过程、特点.3. 多让学生举命题的例子培养他们的辨析能力，以及培养他们的分析问题和解决问题的能力.【重点难点】教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点【课时安排】1课时【教学过程】一、复习回顾二、导入新课在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。
例1已知0,0>>b a ,求证abc a c b c b a 4)()(2222≥+++三、讲授新课1. 综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法综合法用框图表示为：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒推 理合情推理 归纳 (特殊到一般） 类比 （特殊到特殊）演绎推理三段论 （一般到特殊）综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 证明：例3.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列，c b a ,,成等比数列，求证ABC ∆为等边三角形．证明：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．分析基本不等式)0,0(2>>≥+b a ab b a 的证明？ 2. 分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法． 类似综合法，我们也可用框图来表示分析法： 21:,,,2S ABC ABC ===∆∆求证设中在例b a b a C C b a S ABC ⋅==∆cos sin 21，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-=-==∆2222222222222)(41)141cos 141sin 41b a b a b a b a b a C b a C b a S ABC （）（所以222)(21b a b a S ABC ⋅-=∆于是CA 2BC B +=∴成等差数列、、A 3 ππ=∴=++B C B A ac b c b a =∴2 成等比数列、、 ac c a B ac c a b -+=-+=22222cos 2由余弦定理得0)( 222=-=-+∴c a ac ac c a 即c a =∴是等边三角形ABC ∆∴()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐ 分析法的思维特点是：执果索因 逐步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法例1、求证5273<+证明：因为5273和+都是正数，所以为了证明5273<+只需证明22)52()73(<+展开得 2021210<+即 2521,10212<<因为2521<成立，所以22)52()73(<+成立例2:如图,SA ⊥平面ABC,AB ⊥BC,过A 作SB 的垂线,垂足为E,过E 作SC 的垂线,垂足为F,求证 AF ⊥SC四、课堂总结1.综合法的概念2.分析法的概念3.分析法的适用范围4.在证明数学问题时，通常把综合法和分析法结合起来使用.作业课本练习1、2、3.。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_21
2,2.1综合法与分析法一.教材分析《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题.本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤.本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子.二.教学目标1.知识与技能目标了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.了解分析法和综合法的思维过程和特点.2.过程与方法目标通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力.通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力.三.重点难点:重点：分析法和综合法的思维过程及特点.难点：分析法和综合法的应用.教学过程一.创设情境、引入新课提出问题h前面我们学习了两种重要的推理方法，请同学们回忆，我们学习了什么推理方法，它们各自的特点和作用各是什么？活动设计：学生思考并举手回答，教师提问.活动成果：前面己经学习了合情推理和演绎推理.合情推理是提出新问题、获得新知识的主要推理方式，特点是结论不一定可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论一定正确.提出问题2:使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法.提出问题3:我们先来看看我们己经证明过的两个问题，试找出证明过程的差异.从而引出单元标题《直接证明与间接证明》.二.探究新知理解新知1.己知a>0，b>0，求证：a(b2+c2)+b(a2+c2) ≥4abc.活动设计：学生到黑板板演.活动成果：证明:因为(b-c)2 ≥0,b2+c2 ≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2 ≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥ 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.提出问题1:再来看第一个小题，试总结证明过程的特点.活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答.活动成果：证明过程是从原因推导到结果.提出问题2:我们把这种证明方法叫做综合法，请同学们试给综合法下个较为准确的定义.活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出定义.活动成果：从原因推导到结果的思维方法叫综合法(又叫顺推法).提出问题3:如果条件用P来表示，结论用Q来表示，请同学们试把综合法的证明过程用符号语言表示出来.活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答.活动成果：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：提出问题4:你能用更简练的语言概括综合法的特点吗？活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点.活动成果：综合法的特点：由因导果.1、综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推法特点：由因导果提出问题2:求证:.证:和都是正数,若证只需证:整理得:即证:当然成立原不等式成立活动设计：先独立思考，后小组交流.活动成果：提出问题3:你得到什么启示？活动设计：请几个同学总结，教师补充.活动成果：1.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法也叫逆推法。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_11
学情分析
学生在学习综合法和分析法这一概念时的知识储备比较丰富，逻辑思维能力的训练也比较充分。但是教师在教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。
教法、学法
本节课主要采用启发式教学法，并通过讨论的形式让学生直接参与到教学过程中，学会观察、概括、归纳、总结、类比联想等方法。
教具
小黑板
课时安排
1课时
教学步骤及内容
一、复习导入：
1.合情推理的主要作用和思维过程是什么？
作用：提出猜想，发现结论；
过程：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想.
2.演绎推理的一般模式是“三段论”，三段论的基本含义如何？
大前提：已知的一般原理；
小前提：所研究的特殊情况；
结论：根据一般原理，对特殊情况做出判断.
（三）、精讲精练：
练习已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，
求证：
（五）、小结：1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立.
⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!)
由因导果:(已知) (结论)
⑵分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!)
执果索因:(结论) (已知)
（六）、作业：教材P42练习：1，2，3
三、板书设计：
综合法和分析法
分析实例，给出定义例题分析习题巩固知识小结作业
教案
授课教师
时间
课题
2.2.1《综合法和分析法》
教学目标
1.使学生正确理解综合法和分析法的概念，并能在判断、论证中正确运用。
2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，渗透辩证思想，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_9
2.2.1 直接证明：综合法与分析法（第1课时）一、教学目标（1）知识目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.（2）情感目标：分析法与综合法是数学直接证明的主要方式，通过例题的讲解让学生认识到分析法与综合法在数学证明中的重要作用，养成善于分析、善于综合、严谨思考的良好数学品质．（3）能力目标：使学生能更熟练地利用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，通过例题讲解着重培养学生的分析、综合能力．二、教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.三、教学难点: 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.四、教学过程1、请同学们写出下列两个基本不等式10. 如果,a b R∈, 那么 a2+b2当且仅当 a b时, 等号成立.20. 如果,a b R+∈, 那么.2ba+当且仅当a b时, 等号成立.30. ㏒a b㏒b a例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc2、思考本例题 是如何证明出结论，用了哪些知识并看课本p 85回答综合法定义 框图表示： 探究1、例2：a 、b 、c 为不全相等的正数求证:a a cb -++b bc a -++cc b a -+﹥3探究2、在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a 、b 、c ，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．探究3、求证：课堂练习1下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A ．x y 2sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．xx y -+=)1ln(拓展：设f(x)=ax 2+bx+c(a 不等于0），若函数f(x+1)与f(x)的图像关于y 轴对称，求证：f(21+x )为偶函数 5321232log 19log 19log 19++<证明：f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c 因函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称则f(-x)=f(x+1)=>ax²-bx+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c=>(2a+2b)x+a+b=0故a+b=0f(x+1/2)=a(x+1/2)²+b(x+1/2)+c=ax²+(a+b)x+a/4+b/2+c（因a+b=0）=ax²-a/4+c故f(x+1/2)为偶函数五、板书设计：六、教后反思：直接证明：综合法与分析法（第1课时）教学设计。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》优质课教案_7
直接证明的的基本方法－分析法教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解分析法的思考过程、特点；2、能运用分析法证明数学命题。
德育目标：通过学生的参与学习，培养他们的分析问题和解决问题的能力，学会凡事从多角度去看问题，懂得换位思考，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点；能运用分析法证明数学命题。
教学难点：对分析法的思考过程、特点的概括。
教学过程一、知识的回顾1、综合法：也叫“由因导果”法或“顺推证法”，即从已知条件或某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理导出结论的一种证明方法。
2、综合法的可概括为下面形式：（P是已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论。
）…二、探究新课1、设疑：是否所有数学命题的证明都能用综合法来证呢？（答案：不一定）2、大家来参与：证明不等式：53成立72师：用综合法能证吗？生：很难，条件不明显，很难入手。
师：作差法，行吗？生：也很难发现差与零的大小，这种方法也比较难开展。
师：能否可以考虑从结论入手呢？（理由：我们发现不等式左右两边都是正数，我们只须逐步寻找出使结论成立的充分条件，直到得到一个明显成立的条件即可。
）3、师生共同完成上述证明过程：（省略）让学生体会一种合作精神。
4、让学生讨论：上述证明方法与综合法的证明过程有什么不同？结论：与综合法的思维方向刚好相反的一种思考方法。
它是从待证结论出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件。
师：引出课题：直接证明的的基本方法－分析法5、让学生总结分析法的定义（1）、分析法：也叫执果索因法（或逆推法），即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件，定理，定义，公理﹚为止的一种证明方法。
（2）、分析法的可概括为下面形式：（P 是已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证的结论。
）三、例题分析例1．设a 、b是两个正实数，且a ≠b，求证：2233ab b a b a +>+师：你能用分析法解决这个问题吗？师：哪位同学乐意为同学们做个范例呢证明：(用分析法思路书写)要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，即需证a 2-ab+b 2＞ab 成立。
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b(c2 + a2) &#用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过 程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点 ② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 由因导果. ③ 练习：已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证 要点： 顺推证法；
1 1 4” ，试请此结 a1 a2
1 1 1 .... n2 ） a1 a2 an
2. 已知 a, b, c R ， a b c 1 ，求证：
1 1 1 9. a b c
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
教学 过程
1. 教学例题： ① 出示例 1：已知 a, b, c 是不全相等的正数，求证：a(b + c ) +
课 后 反思
（讨论 → 板演 → 分析思维特点： 从结论出发， 一步步探求结论 成立的充分条件） 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 出示例 1：求证 3 5 2 6 . 讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立 的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式） → 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法 ② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示： 要点：逆推证
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中 的隐含条件（内角和） 2. 练习： ① A, B 为 锐 角 ， 且 tan A tan B 3 tan A tan B 3 ， 求 证 ：
A B 60 . （提示：算 tan( A B) ）
② 已知 a b c, 求证：
3. 小结：分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要 的已知 P 1, P 2, ，直到所有的已知 P 都成立； 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进 行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分 析)，从“已知”推“可知” （综合） ，双管齐下，两面夹击，逐步缩 小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框 图示意） 板 书 设计
1 1
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指 横截面） 的周长相等， 那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流 量大. 提示：设截面周长为 l，则周长为 l 的圆的半径为
l ，截面积 2 l l l 为 ( )2 ， 周长为 l 的正方形边长为 ， 截面积为 ( )2 ， 2 4 4 l 2 l 2 问题只需证： ( ) > ( ) . 2 4
2.2.1 综合法与分析法
教学 目标 教学 重、 难点 教学 直尺 准备 一、复习准备： 1. 已知 “若 a1 , a2 R ，且 a1 a2 1 ，则 论推广猜想. （ 答 案 ： 若 a1 , a2 .......an R ， 且 a1 a2 .... an 1 ， 则 1、 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法： 2、 分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的 证明方法.
法；执果索因. ③ 练习：设 x > 0，y > 0，证明不等式： ( x 2 y 2 ) 2 ( x3 y 3 ) 3 . 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例 4：见教材 P48. 发，逐步反推） ⑤ 出示例 5：见教材 P49. 已知出发，逐步探求） 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出
1 1 4 . a b b c a c
3. 小结：综合法是从已知的 P 出发，得到一系列的结论 Q1 , Q2, ， 直到最后的结论是 Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、
几何、数论等相关证明问题.
1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式
ab ab (a 0, b 0) . 2
b c a a c b a b c 3. a b c
④ 出示例 2：在△ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边 三角形. 分析： 从哪些已知， 可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角 关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.