南通市2015届高三上学期期末考试数学试题(含答案)
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编立体几何
江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（泰州市2015届高三上期末）若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．2、（无锡市2015届高三上期末）三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =二、解答题1、（常州市2015届高三）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC的中点，连结OM ．求证： （1）OM ∥平面PAD ； （2）OM ⊥平面PCD ．D（第16题）2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．(1) 若AB ⊥BC ，且CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ；(2) 若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．3、（南京市、盐城市2015届高三）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .4、（南通市2015届高三）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4,AC BC CC M ⊥=是棱1CC 上的一点.()1求证：BC AM ⊥；()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .A PB （第16题）BACDB 1A 1 C 1 D 1 E第16题图O5、（南通市2015届高三）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB ＝AE ，DB ＝DE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90º。
江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题(解析版)
2015年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1}．【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：利用交集的定义求解．【解析】：解：∵集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1}．故答案为：{﹣1}．【点评】：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=1（i为虚数单位），则z的模为．【考点】：复数求模．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：复数方程两边求模推出结果即可．【解析】：解：复数z满足（3+4i）z=1（i为虚数单位），可得：|（3+4i）z|=1，即|3+4i||z|=1，可得5|z|=1．∴z的模为：．故答案为：．【点评】：本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3．（5分）某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为93．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可．【解析】：解：抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为人，故答案为：93【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键．4．（5分）函数f（x）=lg（﹣x2+2x+3）的定义域为（﹣1，3）．【考点】：函数的定义域及其求法．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：要使函数有意义，则需﹣x2+2x+3＞0，解出即可得到定义域．【解析】：解：要使函数有意义，则需﹣x2+2x+3＞0，解得，﹣1＜x＜3．则定义域为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】：本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于0，考查运算能力，属于基础题．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是59．【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：根据题意，模拟程序框图的运行的过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解析】：解：模拟程序框图的运行的过程，如下；x=1，y=1，y＜50，Y；x=2×1+1=3，y=2×3+1=7，y＜50，Y；x=2×3+7=13，y=2×13+7=33，y＜50，Y；x=2×13+33=59，y=2×59+33=151，y＜50，N；输出x=59．故答案为：59．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行的过程，是基础题目．6．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为．【考点】：几何概型．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：列出表格即可得到基本事件的总数和要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到．【解析】：解：列表得：∴一共有36种情况，向上的点数之积不小于4共有31个．因此出现向上面的点数之积不小于4的概率P=．故答案为：．【点评】：正确列出满足题意的表格和古典概型的概率计算公式理解是解题的关键．7．（5分）底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为4．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知中正四棱锥底面边长为2，高为1，求出棱锥侧面的高，代入棱锥侧面积公式，可得答案．【解析】：解：正四棱锥底面边长为2，高为1，则侧面的高h==，故此正四棱锥的侧面积S=4•×2×=4．故答案为：4．【点评】：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，棱锥的结构特征，其中根据已知求出棱锥的侧面的高是解答的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过抛物线y2=4x焦点的双曲线的方程是．【考点】：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为（λ≠0），再由双曲线经过抛物线y2=4x焦点F（1，0），能求出双曲线方程．【解析】：解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为（λ≠0），∵双曲线经过抛物线y2=4x焦点F（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：．故答案为：．【点评】：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记曲线y=2x﹣．（m∈R，m≠﹣2）在x=1处的切线为直线l，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则m的值为﹣3或﹣4．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】：由题意求导y′=2+，从而求出切线方程，从而求出截距而得到﹣2m+=12，从而解得．【解析】：解：∵y=2x﹣，∴y′=2+；故当x=1时，y=2﹣m，y′=2+m；故直线l的方程为y=（2+m）（x﹣1）+2﹣m；令x=0得，y=﹣（2+m）+2﹣m=﹣2m；令y=0得，x=+1=；故﹣2m+=12，解得，m=﹣3或m=﹣4．故答案为：﹣3或﹣4．【点评】：本题考查了导数的几何意义的应用及直线的方程的应用，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+）若y=f（x﹣φ）（0＜φ＜）是偶函数则φ=．【考点】：正弦函数的奇偶性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：先求得f（x﹣φ）=sin（2x﹣2φ+），由y=f（x﹣φ）是偶函数，可得﹣2φ+=k，k∈Z，即可根据φ的范围解得φ的值．【解析】：解：∵f（x）=sin（2x+）∴y=f（x﹣φ）=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x﹣2φ+）∵y=f（x﹣φ）是偶函数∴﹣2φ+=k，k∈Z从而解得：φ=﹣，k∈Z∵0＜φ＜∴可解得：φ=．故答案为：．【点评】：本题主要考查了正弦函数的奇偶性，由y=f（x﹣φ）是偶函数得到﹣2φ+=k，k∈Z是解题的关键，属于基础题．11．（5分）在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0．若a1+a2≤60，a2+a3≤100，则5a1+a5的最大值为200．【考点】：等差数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：易得2a1+d≤60，2a1+3d≤100，待定系数可得5a1+a5=（2a1+d）+（2a1+3d），由不等式的性质可得．【解析】：解：∵在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，又a1+a2≤60，a2+a3≤100，∴2a1+d≤60，2a1+3d≤100，∴5a1+a5=6a1+4d=x（2a1+d）+y（2a1+3d）=（2x+2y）a1+（x+3y）d，∴2x+2y=6，x+3y=4，解得x=，y=，∴5a1+a5=（2a1+d）+（2a1+3d）≤=200故答案为：200【点评】：本题考查等差数列的通项公式，涉及不等式的性质和整体的思想，属中档题．12．（5分）已知函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a ﹣1）+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解析】：解：∵函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3=a+b，a＞1，b＞0．∴（a﹣1）+b=2．∴+===，当且仅当a﹣1=2b=时取等号．故答案为：．【点评】：本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．13．（5分）如图，⊙O内接△ABC中，M是BC的中点，AC=3．若•=4，则AB=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：首先，根据O是△ABC的外心，得到O在AB、AC边的射影分别是AB、AC的中点，得到=，同理，得到，因为，从而得到，求解即可．【解析】：解：因为O 是△ABC的外心，∴O在AB、AC边的射影分别是AB、AC的中点，=，同理，得到，∵，∴=，∴||=．故答案为：．【点评】：本题重点考查了平面向量的基本运算性质、平面向量的数量积运算等知识，属于中档题．14．（5分）已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2015）上零点的个数为11．【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．【解析】：解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，而y=在x=时也有y=1；当x∈[2，22）时，f（x）=f（），在x=3处函数f（x）取得最大值，而y=在x=3时也有y=；当x∈[22，23）时，f（x）=f（），在x=6处函数f（x）取得最大值，而y=在x=6时也有y=；…，当x∈[210，211）时，f（x）=f（），在x=1536处函数f（x）取得最大值，而y=在x=1536时也有y=；综合以上分析，将区间（1，2015）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．故答案为：11．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题．二、解答题15．（16分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2acosA．（1）求角A的大小；（2）若•=，求△ABC的面积．【考点】：正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式，即可求角A的大小；（2）若•=，根据向量的数量积，求出AB•AC的大小即可，求△ABC的面积【解析】：解：（1）由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，即sin（B+C）=2sinAcosA，则sinA=2sinAcosA，在三角形中，sinA≠0，∴cosA=，即A=；（2）若•=，则AB•ACcosA=AB•AC=，即AB•AC=2，则△ABC的面积S=AB•ACsinA==．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，以及三角形面积的计算，利用向量数量积的公式是解决本题的关键．16．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1=4，M是棱CC1上的一点．（1）求证：BC⊥AM；（2）若N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长．【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）由线面垂直得BC⊥C1C，又BC⊥AC，从而BC⊥平面ACC1A1，由此能证明BC⊥AM．（2）取AB1的中点P，连接MP，NP，由三角形中位线定理得NP∥BB1，从而得到PNCM 是平行四边形，由此能求出CM的长．【解析】：（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴C1C⊥平面ABC，∴BC⊥C1C，又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵AM在平面ACC1A1上，∴BC⊥AM．（2）解：取AB1的中点P，连接MP，NP，∵P为AB1中点，N为AB中点，∴NP为△ABB1的中位线，∴NP∥BB1，又∵C1C，B1B都是直三棱柱的棱，∴C1C∥B1B，∴MC∥B1B，∴NP∥CM，∴NPCM共面，又∵CN∥平面AB 1M，∴CN MP，∴PNCM是平行四边形，∴CM=NP=BB1=CC1=．【点评】：本小题线线平行、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），且△BF1F2是边长为2的等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，C两点，记△ABF2，△BCF2的面积分别为S1，S2．若S1=2S2，求直线l的斜率．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）根据△BF1F2是边长为2的等边三角形，求出a，b，即可求椭圆的方程；（2）根据面积关系，求出C点坐标，即可求出直线斜率．【解析】：解：（1）∵△BF1F2是边长为2的等边三角形，∴a=2c=2，则c=1，b==3，则椭圆的方程为．（2）设B到直线AC的距离为h，由S1=2S2，则，即AF2=2F2C，∴，设A（x1，y1），C（x2，y2），∵F2（1，0），∴（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2），即，由，解得，∴直线l的斜率为k=．【点评】：本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用，考查学生的运算能力．综合性较强．18．（12分）在长为20m，宽为16m的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点C），展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B点处安装监控摄像头，使点B与圆C在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内（如图阴影所示）．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平视角的正切值；（2）过监控摄像头最大水平视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角．）【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：（1）过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，则CE⊥BE，⊥CA⊥AB，可得监控摄像头水平视角为∠ABE时，水平视角最小；（2）当∠ABE=60°时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大．【解析】：解：（1）过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，则CE⊥BE，⊥CA⊥AB∴监控摄像头水平视角为∠ABE时，水平视角最小．在直角三角形ABC中，AB=10，AC=8，tan∠ABC=，在直角三角形BCE中，CE=2，BE==12，tan∠CBE=，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+，∴监控摄像头最小水平视角的正切值为1+；（2）当∠ABE=60°时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大．在平面ABC内，以B为坐标原点，BA为x轴建立平面直角坐标系，则直线BE方程为y=x，∴CE==5﹣4，∴圆C的半径最大为5﹣4（m）．【点评】：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（14分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值．【专题】：计算题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】：（1）当a=0时，化简函数f（x）=3xlnx﹣1并求定义域，再求导数f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），从而由导数确定函数的极值；（2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）=3（ax2+lnx+1），再令g（x）=ax2+lnx+1，再求导g′（x）=2ax+=，从而由导数的正负性分类讨论以确定函数是否有极值点及极值点的个数．【解析】：解：（1）当a=0时，f（x）=3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），故f（x）=3xlnx﹣1在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；故f（x）在x=时取得极小值f（）=﹣3﹣1；（2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），f′（x）=3（ax2+lnx+1），令g（x）=ax2+lnx+1，则g′（x）=2ax+=，当a＞0时，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，故f′（x）=3（ax2+lnx+1）在（0，+∞）上是增函数，而f′（）=3[a（）2+ln+1]=3a（）2＞0，故当x∈（，e）时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在区间（，e）上单调递增，故f（x）在区间（，e）上没有极值点；当a=0时，由（1）知，f（x）在区间（，e）上没有极值点；当a＜0时，令=0解得，x=；故g（x）=ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，①当g（e）•g（）＜0，即﹣＜a＜0时，g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令g（）=0得=0，不可能；③令g（e）=0得a=﹣，所以∈（，e），而g（）=g（）=+ln＞0，又g（）＜0，所以g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，0）．【点评】：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，化简比较困难，属于难题．20．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n．若≤2（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”（1）若数列{a n}的前n项和S n=（n2+3n）（n∈N*），证明：{a n}是“紧密数列”；（2）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．【考点】：数列递推式；等比数列的性质．【专题】：新定义；等差数列与等比数列．【分析】：（1）由数列的a n与S n的关系式求出a n，代入化简后由n的取值求出的范围，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（2）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简和，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．【解析】：证明：（1）由S n=（n2+3n）（n∈N*）得，S n﹣1=[（n﹣1）2+3（n﹣1）]（n≥2），两式相减得，a n=（n2+3n﹣n2+2n﹣1﹣3n+3）=（2n+2）=（n+1），当n=1时，a1=S1=（1+3）=1，也适合上式，所以a n=（n+1），则==1+＞1，所以显然成立，因为=1+随着n的增大而减小，所以当n=1时取到最大值，则≤1+=＜2，则≤2成立，所以数列{a n}是“紧密数列”；解：（2）由题意得，等比数列{a n}的公比q当q≠1时，所以，，则==q，==，因为数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，所以，解得，当q=1时，a n=a1，S n=na1，则，=1+，则，满足“紧密数列”的条件，故q的取值范围是[，1]【点评】：本题是新定义题，考查数列的a n与S n的关系式，等比数列的通项公式、前n项和公式，解题的关键是正确理解新定义并会应用．。
【数学】江苏省南通市高级中学2015届高三一模
南通市高级中学2014-2015年高三数学一模试卷、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合U =幺，3, 5 9}, A =tl, 3, 9} , B = tl, 9}，则C u (AU B)=2 •若z z =9(其中z表示复数z的共轭复数)，则复数z的模为 __________________ •f(X)=旦“3 •已知函数x在xi处的导数为-2，则实数a的值是 __________________ •2 *4已知函数y=a n x ( a.式0, n^N )的图象在x = 1处的切线斜率为2a nJ+1(n >2,n^N*),且当n =1时，其图象经过(2,8 )，贝V a? = _____________________ .y = sin 2x —5 •要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数3的图象向右至少平移__________ 个单位.6•在平面直角坐标系xOy中，直线y =x b,b• R与曲线^~y2相切”的充要条件是a ??7•如图，Ni表示第i个学生的学号,的成绩依次为401、392、385、359、组数据是____________ •在厶ABC中，若tan A：tan B: tan C 2:3，则A =Gi表示第i个学生的成绩，已知学号在1~10的学生372、327、354、361、345、337,则打印出的第5正实数，则h的最大值是27其中（0,）为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为8二、解答题：本大题共6小题，共90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本题满分14分）f （x） =sin2x +2^3sin xcosx +sin（x + n）sin（x-兀）,R已知函数 4 4，.（1 ）求f（x）的最小正周期和值域；（0< X0<」）彳 / \ • c9.已知y=f（x）是R上的奇函数，且x 0时,2f（x）/,则不等式f（x -x）：：：f（0）集为10 •设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为11.已知平面向量a, b, c满足n二1, b =2 , a , b 的夹角等于3，且(a -c) (b —c) =0 ,则c的取值范围是12.在平面直角坐标系xOy中，过点0）、2 AX , 0）分别作x轴的垂线与抛物线X =2y分别交于点A1、A2，直线A A2与x轴交于点A（X3,0），这样就称为、X2确定了X3 .同样, 可由X2、X3确定X4 ,...若卄为=2 X2 =3 则X5 二13•定义：min{x, y}为实数X, y中较小的数.h = min 7a , 2b2已知a- 4b}，其中a, b均为14 •在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆2X2ay2=1 (a 1)上，则实数a的值为（2）若x =x°2为f（x）的一个零点，求sin2x0的值.16. (本题满分14分)如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为C，且CC =a( 0：：： a .；：•叮3).a _ —(1 )若"T，求二面角C—BD-L的大小;(2 )当a变化时，线段CC •上是否总存在一点E,使得A C //平面BED?请说明理由.17. (本题满分15分)22 _y_在平面直角坐标系xOy中，设A、B是双曲线X __2 "上的两点，M(1,2)是线段AB 的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点.(1)求直线AB与CD的方程；(2)判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由.18. (本题满分15分)某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷.根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成.(假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同)(1)如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？(2)由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作 4.5天完成，在按(1 )分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？(天数精确到小数点后第3位)8076.782 95 : 6.786 絮：3.343 ^c^5：3.367(参考数据：119, 14 , 99,30119. (本题满分16分)已知函数f(x)的导函数f °)是二次函数，且f(x)=0的两根为二1 .若f(x)的极大值与极小值之和为0,f(—2)=2.(1)求函数f (x)的解析式；(2)若函数在开区间(山一9,9一m)上存在最大值与最小值，求实数m的取值范围.(3)设函数f(x)二xg(x)，正实数a, b, c满足ag(b^bg(c) =cg(a) 0，证明：a 二b=c.20. (本题满分16分)4-0 -pfTn = 3其中p为常数•(1 )求p的值；(2)求证：数列3 '为等比数列；(3)证明：数列a n , ^3n 1, 2a n 2成等差数列，其中X、、均为整数”的充要条件是’x =1,且y二2设首项为1的正项数列4昇的前n项和为S n，数列‘為’的前n项和为T n，且试题n （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 答•若多做，则按作答的前两题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. （几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点 D , CD=2, DE 丄AB,垂足 为E ,且E 是0B 的中点，求BC 的长.（第21-A 题）B. （矩阵与变换）1 2已知矩阵-2 a的属于特征值b的一个特征向量为C. （极坐标与参数方程）x =2pt 2,在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，-2）在曲线y =2p t（ t 为参数，p 为正常数），求p的值.D. （不等式选讲）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分•请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .已知函数 伦）=2（15n （1+x ）-x 2-2x , x “P ）,求 f （x ）的最大值.11，求实数a、b 的值.设A, a 2,比均为正数，且a1 a2 a3 =1，求证: a 1 a 2 a 323. (1)已知 k 、n w N *，且 k < n ，求证： © = n C<7证明：对任意的正整数 n , P(x)二a °C 0(1—x)n+a i C n x(1—x)2+a 2d x 2(1—x)n，+ …+a n C ：x n是 关于x 的一次式.(2)设数列a。
江苏省南通市通州区2015届高三上学期重点热点专项检测数学试题 含解析
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分。
1。
已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A B等于 ▲ ．【答案】{}1,2 【解析】 试题分析：{0}{1012}{12}AB x x =>-=，，，，考点：集合运算2。
已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ▲ ． 【答案】5【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则由216i z z -=+得2()()16i a bi a bi +--=+，即316i,a bi +=+1,2,||5a b z ==考点：复数运算3.抛物线22y x =的准线方程为 ▲ ．【答案】81-=y【解析】 试题分析：22122y xx y=⇒=,所以其准线方程为81-=y考点：抛物线准线方程4。
函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为 ▲ ． 【答案】(2,)+∞ 【解析】 试题分析：2()1,(0f x x x'=->）,所以由2()10f x x'=->得2x >，即单调递增区间为(2,)+∞考点：函数单调区间5。
某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ,10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的标准差是 ▲ ． 【答案】1 【解析】试题分析：因为平均数为9,所以8,x =标准差1=考点：标准差6。
已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行,则它们之间的距离是 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意得6,834m m ==，即681403470x y x y ++=⇒++=，所以它们之间的距离是2=考点:两直线平行，两平行直线间距离7.角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ▲ ． 【答案】【解析】试题分析:由三角函数定义得:sinα所以sin(π)sin αα-==考点：三角函数定义,诱导公式8。
江苏省南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案
6．已知 为等比数列， ，则 ．
答案：
7．已知函数 ，则 的极大值为.
答案：
8．已知 的一个内角为 ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 的面积为_________．
答案：
9．已知向量 中任意两个都不共线,且 与 共线, 与 共线,则向量 =．
答案：
10．设函数 （ ），将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于．
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）证明：C1E⊥平面BDE．
证明（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．
因为F为C1B的中点，所以FG C1C．
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A C1C，且E为A1A的中点，
所以FG EA．
13．等差数列 的公差为d，关于x的不等式 ＋ ＋c≥0的解集为[0，22]，则使数列 的前n项和 最大的正整数n的值是．
14．已知数列 满足 （q为常数），若 ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（3）比较 与 的大小，并说明理由．
参考答案
1．已知全集 ，集合 则 ．
2．命题：“ ”的否定是．
答案：
3．若复数z1=a﹣i，z2=1+i（i为虚数单位），且z1 z2为纯虚数，则实数a的值为．
答案：﹣1
4．已知角 终边经过点 ，则 ．
答案：
5．“ ”是“ 对 恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．
答案：11
14．已知数列 满足 （q为常数），若 ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则 ．
江苏省南通市海安2015-2016上学期高三数学(理)期末试题带答案
【答案】 π 3 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分． 15．已知 θ ∈ 3π ，5π ， sin θ − π = 5 ． 4 5 4 4 （1）求 sin θ 的值； （2）求 cos 2θ + 2 π 的值． 3 【解】 （1）设 α = θ − π ，因为 θ ∈ 3π ，5π ，所以 α ∈ π ，π ，且 θ = α + π ．……… 2 分 2 4 4 4 4 因为 sin α = sin θ − π = 5 ，所以 cos α = − 1 − sin 2 α = − 2 5 ． ………… 4 分 5 4 5
(
)
(
)
．
7． 正四棱锥的底面边长为 2 cm，侧面与底面所成二面角的大小为 60°，则该四棱锥的侧面积为 ▲
cm2．
【答案】8 8. 将函数 f ( x) = sin ( 2 x + ϕ ) ( 0 < ϕ < π ) 的图象向右平移 2 个单位后得到的函数图象关于原点对 称，则实数 ϕ 的值为 【答案】 4 − π 9. 二次函数 y = f ( x) = ax 2 + bx + c( x ∈ R ) 的部分对应值如下表： ▲ ．
⎤ 【答案】 ⎡ ⎣ 2 ，3 2 ⎦ （或 QH
▲ ．
{
2 ≤ QH ≤ 3 2 ，或 2 ≤ QH ≤ 3 2 ）
}
14．在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 y = 3 + 2 x − x 2 − 3 ( x ∈ [0 ，2]) 的图象绕坐标原点 O 按逆 时针方向旋转角 θ ，若 ∀θ ∈ [ 0 ，α ] ，旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则 α 的最大值 为 ▲ ．
高三数学参考答案及评分建议
【VIP专享】2015届南通市高三一模考试试卷和答案
数学参考答案及评分建议 第 1 页 （共 16 页）
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
2015届江苏省南通大市高三数学二模试卷
（第4题）南通市2015届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑． 锥体的体积13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．2． 设1i i 1i a b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．3． 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则A B =I ▲ ． 4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．5． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．6． 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．ABDC（第12题）A BCDMNQ（第15题）AA 1 B不CB 1不C 1不D 1不D不（第8题）8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3．9． 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．10．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ． 11．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r3=，则线段AC 的长为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则 tan CAD ∠的值为 ▲ ．13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z z x y+的最小值为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =， 则半径r 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中 任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件； ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2). 设向量=+x a (1cos θ-)b ， k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，b =0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切.（第18题）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得 数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论．南通市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．P（第21 - A 题）（第22题）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287a b c ++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上． （1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线 的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且A I B =∅，A U B ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ， B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a ．（第4题）南通市2015届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2． 设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03． 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则A B =I ▲ ． 【答案】{}1 3-，4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026． 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ．【答案】π27． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3．【答案】19． 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ．AA 1 CB 1不C 1不D 1不D不BDC（第12题）AA DMNQ若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】710．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅u u u r u u u r u uu r u u u r3=，则线段AC 的长为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ． 【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =， 则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ；（2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ， …… 2分又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． …… 6分（2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ，又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． …… 8分因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD I 平面CAD AD =， 且MN ⊂平面ABD ， 所以MN ⊥平面ACD ． …… 11分又MN ⊂平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件； ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中” 为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分由已知，有121923()()5050P A P A ==，． (4)分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． (6)分（2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． (9)分② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，． 故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． (14)分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ， k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，(12=，x ，=y (44-，)， (2)分则⋅=x y (1(4)244⨯-+⨯=- (6)分（方法2）依题意，0⋅=a b ， …… 2分则⋅=x y (()(22142421⎡⎤+⋅-+=-+⨯-⎢⎥⎣⎦a b a b a b(42144=-+⨯⨯=-． …… 6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ=--，整理得，()1sin cos 1k θθ=-， (9)分令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-22cos cos 1θθ=--()()2cos 1cos 1θθ=+-. …… 11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=.列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=，此时实数k取最大值 (14)分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，b =0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切.解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+, (3)（第18题）分又2200195x y +=，所以204990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分（2）当00x =时,220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， …… 8分所以210e e +-=，解得e =． (10)分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即2200()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). (13)分所以PF =0c a x a=-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-， 所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. (16)分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． …… 4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥．当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； (6)分当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数， 当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤； 当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在；当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a =----，=，≥，解得92a ≥，所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． (10)分（3）设[]()()F x f f x a =+， 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >， 第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得1t =2t =；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3t =第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <，① 若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；② 若2x x a t -=，其中2204a t <<， 由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根；当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<， …… 14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，， 若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根； 当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分（注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论． 解：（1）证明：依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+- ()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，又211(1)0c c d b q --=-≠，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， …… 7分且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，，…… 7分消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． (10)分② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ，p c ，r c 成等差数列， 则2m p l c c c =+，因为0l c >，所以2m p c c >， ① 若1p m >+，则2p m +≥，结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥， 化简得，8203m m -<-<， ②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾， 所以只能1p m =+， 同理，1r p =+，所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A． (16)分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）南通市2015届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP BC AC CP⋅=⋅．证明：因为PC为圆O的切线，所以PCA CBP∠=∠，3分又CPA CPB∠=∠，故△CAP∽△BCP， (7)分所以AC APBC PC=，即AP BC AC CP⋅=⋅． (10)分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M的一个特征向量，求实数a的值．解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，P（第21 - A题）则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 5分故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=， (10)分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, …… 4分联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=， 解得112x =，22x =，所以AB 中点的横坐标为12524x x +=，…… 8分化为极坐标为()5π 23，． …… 10分（方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，， …… 2分消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， …… 6分所以线段AB 中点的极坐标为()12π 23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分（注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， …… 6分因为234a b c ++=，故22287a b c ++≥， (8)分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． (10)分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上． （1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标．解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， …… 2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． …… 4分（2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为2433y x =-+，联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， …… 6分所以113k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， (8)分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()823-，．…… 10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且A I B =∅，A U B ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ， B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a ．解：（1）当n =3时，A U B ={1，2，3}，且A I B =∅，若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种，所以a 3=01C 11+ C 2=；…… 2分当n =4时，A U B ={1，2，3，4}，且A I B =∅， 若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种；若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与A I B =∅矛盾； 若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种，所以a 4=02C 22+ C 2=．…… 4分（2）当n 为偶数时，A U B ={1，2，3，…，n }，且A I B =∅，若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种； 若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共222C n n --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与A I B =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种，所以a n =02C n -+12Cn -+…+222Cn n --+22Cn n -+…+122222C2Cn n n n n -----=-； (8)分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=， 综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 …… 10分。
江苏省南通市2015届高三第一次调研考试数学试卷
南通市2015届高三第一次调研测试数学I一、填空题1. 已知集合{2,1},{1,2,3}A B =--=-，则A B = .2. 已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 .3. 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 .4. 函数2()lg(23)f x x x =-++的定义域为 .5. 有图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 .6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为 .7. 底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物线24y x =焦点的双曲线的方程是9. 在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(,2)m y x x R m x=-∈≠-1x =处的切线为直线l .若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 .10. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若()(0)2y f x πϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= .11. 在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >.若122360,100a a a a +≤+≤，则155a a +的最大值为 .12. 已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .13. 如上图，圆O 内接∆ABC 中，M 是BC 的中点，3AC =.若4AO AM ⋅=，则AB = .14. 已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且1|23|,12(),11(),222 x x f x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则函数2()3y xf x =-在区间 ()12015，上的零点个数为 . 二、解答题15. 在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知cos cos 2cos .b C c B a A +=()1求角A 的大小；()2若3,AB AC ⋅=，求∆ABC 的面积.16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4,AC BC CC M ⊥=是棱1CC 上的一点. ()1求证：BC AM ⊥；()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.()1求椭圆的方程；()2过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积分别为12,S S .若122S S =，求直线l 的斜率.18. 在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点)C ，展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示).()1若圆盘半径为，求监控摄像头最小水平视角的正切值；()2过监控摄像头最大水平视角为60，求圆盘半径的最大值.(注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角.)19.若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈ ()1当0a =时，求()f x 的极值；()2若()f x 在区间1(,)e e 上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .若()*1122n na n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. ()1若数列{}n a 的前n 项和为()()2*134n S n n n N =+∈，证明：{}n a 是“紧密数列”； ()2设数列{}n a 是公比为q 的等比数列.若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求.q 的取值范围.数学Ⅱ附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
江苏省南通市第一中学2014-2015学年高三上学期10月阶段测试(月考) 数学(理) Word版含解析(苏教版)
2014—2015学年度第一学期江苏省南通第一中学高三阶段考试数学试题注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2． 命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3．函数()f x =的定义域是 ▲ ．4． 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5． 函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6． 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝ ▲ ． 7． 已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知函数()f x =的值域是[)0+∞，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的11,1514，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，（1）求,a b 的值；( 2) 判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19．（本小题16分）已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷： 吴勇贫 审核：吴勇贫江苏省南通第一中学2015届高三阶段考试理科数学答案1. 解析 由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”． 答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4． 解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5． 解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 －1e6．答案0,1，－12；7． 解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．[][)0,19,+∞，试题分析：由题意得：函数2(3)1y mx m x =+-+的值域包含[)0,+∞， 当m ＝0时，31[0,),y x =-+∈⊃+∞R 满足题意；当0m ≠时，要满足值域包含[)0,+∞，需使得0,0.m >∆≥即9m ≥或01m <≤， 综合得：实数m 的取值范围是[][)0,19,+∞.9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3. 答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b <54，又0<b <a ⇒a b >1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案)+∞．15．解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分 ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为12(1)15la S -⋅吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为1212()(1)[1]1514l S l a S S--⋅⨯-⋅吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅ 2216()105357l l S S =-+⋅+． …………8分 当1335242()105l S =-=-时，y 有最大值，max 24387%280y =≈． …………10分 此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为910a 吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆，则有96105a x a y ⋅=⋅，所以43x y =． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1）()(),f x f x -=-112222x x x x a ab b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b ab a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩. 4分 （2）因为()11212xf x =-++，所以()y f x =是单调递减的.证明：设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的. 10分（3）()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <- 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分 （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x-<-<，11x a x x x -<<+，故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x+的最小值大于a 即可，而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<；（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； 则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++⎪⎝⎭， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )， 由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分。
江苏省南通市市直中学2015届高三上学期调考数学试卷
江苏省南通市市直中学2015届高三上学期调考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∪B=．2．（5分）若复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．4．（5分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期为．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是奇数的概率为．6．（5分）某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为．7．（5分）如图所示的算法中，输出的结果是8．（5分）已知直线y=x+a与曲线y=lnx相切，则a的值为．9．（5分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积为．10．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l过点P（3，1），则当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为．11．（5分）已知等比数列{a n]的前n项和为S n，且a1+a3=1+a2+a4，S4=2，则数列{a n]的公比q为．12．（5分）已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）在R上为增函数，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且满足x+++=10，则2x+y的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A﹣B）．（1）若B=，求A；（2）若tanA=2，求tanB的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥CD．（1）求证：直线AB∥平面PCD；（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．17．（14分）如图，海平面某区域内有A、B、C三座小岛（视小岛为点），岛C在A的北偏东70°方向，岛B在C的南偏西40°方向，岛B在A的南偏东65°方向，且A、B两岛间的距离为3n mile．求A、C两岛间的距离．18．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞）的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若P是椭圆C上任意一点，Q为圆E：x2+（y﹣2）2=1上任意一点，求PQ的最大值．19．（16分）已知无穷数列{a n]满足：a1=1，2a2=a1+a3，且对于任意n∈N*，都有a n＞0，a2n+1=a n a n+2+4．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣c，g（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．（1）若ac＜0，求证：函数y=g（x）有极值；（2）若a=b=0，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点，求证：c＞1．江苏省南通市市直中学2015届高三上学期调考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∪B={﹣2，﹣1，2，3}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据两集合并集的感念进行求解即可．解答：解：集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∪B={﹣2，﹣1，2，3}故答案为：{﹣2，﹣1，2，3}点评：本题主要考查两集合的并集的感念，注意有重复的元素要当做一个处理．2．（5分）若复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．解答：解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）点评：本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．4．（5分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期为π．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用倍角公式和两角和的余弦公式化y===，其中θ=arctan2．再利用周期性公式即可得出．解答：解：y===，其中θ=arctan2．∴最小正周期为．故答案为π．点评：熟练掌握倍角公式和两角和的余弦公式及周期公式即可得出．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是奇数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：用列举法列举总基本事件的个数和其和为奇数的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可．解答：解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，3），（3，4）共4个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为P==，故答案为：点评：本题主要考查随机事件的性质，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题．6．（5分）某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为150．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．解答：解：每个个体被抽到的概率为=，∴本科生被抽的人数是×3000=150故答案为：150．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，本题是一个基础题．7．（5分）如图所示的算法中，输出的结果是11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当x=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=3，x=2；当x=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=5，x=3；当x=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=7，x=4；当x=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=9，x=5；当x=5时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，S=11，x=6；当x=6时，不满足进行循环的条件，故输出结果为11，故答案为：11点评：本题考查的知识点是程序语句，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．（5分）已知直线y=x+a与曲线y=lnx相切，则a的值为﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx﹣1的图象上又在直线y=x+a上，即可求出b的值．解答：解：设切点坐标为（m，n）y'|x=m==1解得，m=1切点（1，n）在曲线y=lnx的图象上∴n=0，而切点（1，0）又在直线y=x+a上∴a=﹣1故答案为：﹣1．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．9．（5分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由=，利用等积法能求出三棱锥M﹣AB 1C的体积．解答：解：∵各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，∴B 1M⊥平面ACM，且B1M=，，∴三棱锥M﹣AB1C的体积：====．故答案为：．点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．10．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l过点P（3，1），则当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x﹣y﹣5=0．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：化已知圆为一般式，得到圆心C（1，2），半径r=5，利用垂径定理结合题意，即可求出直线l的方程．解答：解：圆方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心C（1，2），半径r=5，∴k CP==﹣，∴当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．故答案为：2x﹣y﹣5=0．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）已知等比数列{a n]的前n项和为S n，且a1+a3=1+a2+a4，S4=2，则数列{a n]的公比q为．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由a1+a3=1+a2+a4得（a1+a3）﹣（a2+a4）=1，再由S4=2得，S4=a1+a2+a3+a4=2（a1+a3）﹣2（a2+a4），化简后利用等比数列的通项公式求出公比q．解答：解：∵a1+a3=1+a2+a4，S4=2，∴（a1+a3）﹣（a2+a4）=1则S4=a1+a2+a3+a4=2（a1+a3）﹣2（a2+a4），即3（a2+a4）=a1+a3，3（a1q+a1q3）=a1+a1q2，解得q=，故答案为：．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及变形化简能力，属基础题．12．（5分）已知△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，D、E分别为边CA、CB上的点，且•=6，•=8，则•=﹣14．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，通过向量的坐标运算、数量积运算即可得出．解答：解：如图所示，C（0，0），A（3，0），B（0，4），设D（x，0），E（0，y）．则=（x，﹣4），=（3，0），=（﹣3，y），=（0，4）．∵•=6，•=8，∴3x=6，4y=8，解得x=2，y=2．则•=（﹣3，2）•（2，﹣4）=﹣6﹣8=﹣14．故答案为：﹣14．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算，属于基础题．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）在R上为增函数，则实数a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数在R上为增函数，得到3+a≥1+a2，解得﹣1≤a≤2，再分类讨论x＞1时，x≤1时，根据函数的函数的单调性得到a∈R，求交集得到a的范围．解答：解：∵f（x）=，若f（x）在R上为增函数，∴3+a≥1+a2，解得﹣1≤a≤2，当x＞1时，函数f（x）=3x+a为增函数，∴a∈R．当x≤1时，函数f（x）=x+a2为增函数，∴a∈R．综上所述，实数a的取值范围是故答案为：点评：本题主要考查了函数的单调性，关键是根据函数的单调性构造关于a的不等式，属于基础题．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且满足x+++=10，则2x+y的最大值为18．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质和一元二次不等式的解法即可得出．解答：解：x+++=10，变形为+=10．∵x＞0，y＞0，∴10（2x+y）=+10+≥+2=+18，当且仅当y=4x=或12时取等号．化为（2x+y﹣18）（2x+y﹣2）≤0，解得2≤2x+y≤18．∴2x+y的最大值为18．故答案为：18．点评：本题考查了用基本不等式的性质和一元二次不等式的解法，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A﹣B）．（1）若B=，求A；（2）若tanA=2，求tanB的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（1）利用已知条件通过两角和与差的三角函数，结合B=，通过三角形内角即可求A；（2）利用已知条件化简求出tanA=3tanB，通过tanA=2，即可求tanB的值．解答：解：（1）由条件sin（A+B）=2sin（A﹣B），B=，得sin（A+）=2sin（A﹣）．∴．化简，得sinA=cosA．∴tanA=．又A∈（0，π），∴A=．（2）∵sin（A+B）=2sin（A﹣B）．∴sinAcosB+cosAsinB=2（sinAcosB﹣cosAsinB）．化简，得3cos AsinB=sinAcosB．又cosAcosB≠0，∴tanA=3tanB．又tanA=2，∴tanB=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角形的解法，考查计算能力．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥CD．（1）求证：直线AB∥平面PCD；（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得AB∥CD，由此能证明AB∥面PDC．（2）由已知得CD⊥AD，PA⊥CD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．解答：（1）证明：∵ABCD为矩形，∴AB∥CD．…（2分）又DC⊂面PDC，AB不包含于面PDC，…（4分）∴AB∥面PDC．…（7分）（2）证明：∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，…（9分）又PA⊥CD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD．…（11分）又CD⊂面PDC，∴面PAD⊥面PCD．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（14分）如图，海平面某区域内有A、B、C三座小岛（视小岛为点），岛C在A的北偏东70°方向，岛B在C的南偏西40°方向，岛B在A的南偏东65°方向，且A、B两岛间的距离为3n mile．求A、C两岛间的距离．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：先求出∠ABC=105°，再在三角形ABC中，由正弦定理可得AC．解答：解：由题意可知∠CAB=45°，∠ACB=30°．…（4分）则∠ABC=105°．…（6分）在三角形ABC中，由正弦定理可得．…（8分）∴AC=6sin105°=（+）．…（12分）答：A、C两岛间的距离为（+）n mile．…（14分）点评：正确认识方向角的含义是解决本题的关键．18．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞）的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若P是椭圆C上任意一点，Q为圆E：x2+（y﹣2）2=1上任意一点，求PQ的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用e==，b2=2，a2=b2+c2．解出即可．（2）由圆E：x2+（y﹣2）2=1可得圆心为E（0，2），又点Q在圆E上，可得|PQ|≤|EP|+|EQ|=|EP|+1（当且仅当直线PQ过点E时取等号）．设P（x1，y1）是椭圆C上的任意一点，可得=6﹣．于是|EP|2=．由于，利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）∵e==，又b2=2，a2=b2+c2．解得a2=6．∴椭圆C的方程为．（2）由圆E：x2+（y﹣2）2=1可得圆心为E（0，2），又点Q在圆E上，∴|PQ|≤|EP|+|EQ|=|EP|+1（当且仅当直线PQ过点E时取等号）．设P（x1，y1）是椭圆C上的任意一点，则，即=6﹣．∴|EP|2=+=6﹣+=．∵，∴当y 1=﹣1时，|EP|2取得最大值12，即|PQ|+1．∴|PQ|的最大值为+1．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（16分）已知无穷数列{a n]满足：a1=1，2a2=a1+a3，且对于任意n∈N*，都有a n＞0，a2n+1=a n a n+2+4．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件，令n=1，得=a1a3+4，令n=2，得，由此能求出a2，a3，a4的值．（2）由=a n a n+2+4，得+4，由此推导出数列{}为常数数列从而能求出a n=2n﹣1．解答：解：（1）由条件，∀n∈N*，=a n a n+2+4，令n=1，得=a1a3+4．…（2分）又∵2a2=a1+a3，且a1=1，解得a2=3，a3=5．…（4分）再令n=2，得，解得a4=7．…（6分）（2）∵=a n a n+2+4，①∴+4，②由①﹣②得，=（a n a n+2+4）﹣（a n+1a n+3+4）=a n a n+2﹣a n+1a n+3…（8分）∴，∴a n+1（a n+1+a n+3）=a n+2（a n+a n+2），∴，∴数列{}为常数数列．…（12分）∴==2，∴a n+a n+2=2a n+1，∴数列{a n}为等差数列．…（14分）又公差d=a2﹣a1=2，∴a n=2n﹣1．…（16分）点评：本题考查数列中前4项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣c，g（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．（1）若ac＜0，求证：函数y=g（x）有极值；（2）若a=b=0，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点，求证：c＞1．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）求导数，函数g′（x）有两个零点，则可设为g′（x）=a（x﹣α）（x﹣β），利用零点存在定理，即可证明结论；（2）记h（x）=e x﹣cx﹣c，则h′（x）=e x﹣c，由函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点知函数h（x）有两互异零点，即可得出结论．解答：证明：（1）由g（x）=ax3+bx2+cx得g′（x）=ax2+bx+c，∵ac＜0，∴△＞0且a≠0．…（4分）∴函数g′（x）有两个零点，则可设为g′（x）=a（x﹣α）（x﹣β）∴若x1＜α＜x2＜β＜x3，则g′（x1）g′（x2）＜0，g′（x2）g′（x3）＜0．∴g（x）有极值．…（6分）（2）由e x﹣c=cx，得e x﹣cx﹣c=0，记h（x）=e x﹣cx﹣c，则h′（x）=e x﹣c，由函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点知函数h（x）有两互异零点…（9分）若c≤0，h（x）单调递增，则h（x）最多1个零点，矛盾．…（11分）∴c＞0．此时，令h′（x）=0，则x=lnc．列表：x （﹣∞，lnc）lnc （lnc，+∞）h′（x）﹣0 +h（x）∴h（x）min=h（lnc）=﹣clnc＜0，∴c＞1．…（16分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2015年江苏高考南通密卷(全十份带答案)(南通市数学学科基地命题)
C． （选修４－４：坐标系与参数方程） 的图象在点 处的切线平行于 轴．
3 在极坐标系中，设圆 C 经过点 P ，圆心是直线 sin( ) 与极轴的交点，求圆 C 的 （ 3， ） 3 2 6
极坐标方程．
，求证：
．
D． （选修４－５：不等式选讲） 设 a, b, c 均为正数， abc 1 ．求证：
D
C
B
23． （本小题满分 10 分） 如图，已知点 F (0, p) ，直线 l : y p(其中p为常数且p 0) ， M 为平面内的动点，过 M 作 l 的垂线，垂 uuu u r uuu r uuur uuu r 足为 N ，且 NM NF FM FN ． （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）设 Q 是 l 上的任意一点，过 Q 作轨迹 C 的切线，切点为 A 、 B ． ①求证： A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列； y ②若 Q(4, p) ， AB 20 ，求 p 的值． M
n 3 1 1 1 2 2 ， n 22． （本小题满分 10 分） 已知数列 an 满足 a1 1 ， an 1
(3n 3)an 4n 6 ,n N* ． n
是等差数列，求
（ 2） 当 C 0 时，若数列 求实数 的取值范围．
A B M
N C
第 4 题图
第 16 题 17． （ 本小题满分 14 分 ） 图 某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为 10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三 棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶
点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为 xcm ，体积为 Vcm3 ． ． （ 1）求 V 关于 x 的函数关系式； （ 2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中， V 的最大值是多少？并求此时 x 的值．
江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题及答案
江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题
数学I
一、填空题
1.
已知集合{2,1},{1,2,3}A B ，则A B . 2.
已知复数z 满足341(i z i 为虚数单位，则z 的模为 . 3.某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，
现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为
. 4.
函数2()lg(23)f x x x 的定义域为 . 5.
有图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 . 6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个
点的正方体玩具，观察向上的点数，则两个点数之积不小于
4的概率为 .
7.
底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为 . 8.
在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x 为渐近线，且经过抛物线
24y x 焦点的双曲线的方程是9.在平面直角坐标系xOy 中，记曲线
2(,2)m
y x x R m x 1x 处的切线为直线.若直线在
两坐标轴上的截距之和为
12，则m 的值为 . 10.已知函数()s i n 26f x x .若()(0)2y f x 是偶函数，则
.
11.在等差数列{}n a 中，已知首项10a ，公差0d .若122360,100a a a a ，则155a a 的最大值为 .
12.已知函数
(0)x y a b b 的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b 的最小值为 .。
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江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题
数学I
一、填空题
1.已知集合{2,1}A =--，{1,2,3}B =-，则A B = .
2.已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 .
3.某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 .
4.函数2()lg(23)f x x x =-++的定义域为 .
5.右图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 .
6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2
3，
4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个
点数之积不小于4的概率为
.
7.底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 .
8.在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物线24y x =焦点的双曲线的方程是 .
9.在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(m y x x x
=-∈R ，2)m ≠-在1x =处的切线为直线l ．若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 .
10.已知函数()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭．若()(0)2y f x π
ϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= .
11.在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >．若1260a a +≤，23100a a +≤，则155a a +的最大值为 .
12.已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则
411a b
+-的最小值为 .
13.如上图，圆O 内接ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AC =．若4AO AM ⋅=，则AB = .
（第12题） （第13题）
14.已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且1|23|,12,()11(),2,22
x x f x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 则函数2()3y xf x =-在区间(1,2015)上的零点个数为 .
二、解答题
15.在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b C c B a A +=．
（1）求角A 的大小；
（2）若3AB AC ⋅=
ABC ∆的面积．
16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．
（1）求证：BC AM ⊥；
（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长．
A C
B M N
C 1 B 1
A 1
17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，且12BF F ∆是边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，C 两点，记2ABF ∆，2BCF ∆的面积分别为1S ，2S ．若122S S =，求直线l 的斜率．
18.在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点C )，展厅入口位于长方形的长边的中间．在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示)．
（1
）若圆盘半径为，求监控摄像头最小水平视角的正切值；
（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60，求圆盘半径的最大值．
（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角．）
19.若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点．已知函数3()3ln (f x ax x x a a =+-∈R )．
（1）当0a =时，求()f x 的极值；
（2）若()f x 在区间1(,)e e 上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．
（注：e 是自然对数的底数）
20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若
1122n n a a +≤≤(n ∈N *)，则称{}n a 是“紧密数列”． （1）若数列{}n a 的前n 项和()2134
n S n n =+(n ∈N *)，证明：{}n a 是“紧密数列”； （2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列．若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围．
数学Ⅱ附加题部分
注意事项
1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题
．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答
．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1：几何证明选讲
（本小题满分10分）如图，已知AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，N为圆O上一点，AN＝AC，证明：∠MDN＝2∠OCA．
B．选修4－2：矩阵与变换
（本小题满分10分）已知矩阵
2
73
m
M
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵1
2
7
n
M
m
-
-
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
，求实数m，n．
C．选修4－4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为
2
1
,
2
1
4
x t
y t
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），曲
线与直线l：
1
2
y x
=相交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4－5：不等式选讲
（本小题满分10分）已知a，b，c均为正数．求证：
111
a b c
bc ca ab a b c
++≥++．
O
A
C
B
M
D
N
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB ＝AE ，DB ＝DE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90º．
（1）求异面直线AB 与DE 所成角的大小；
（2）求二面角B -AE -C 的余弦值．
23.设n a 是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为n (n ∈N *)，且每数位上的数字只能是1或2．
（1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；
（2）求证：51n a -(n ∈N *)是5的倍数．
B A E
D C
AS
<≤
q
12
ABE ACE。