触类旁通 何乐不为——追及问题在钟面上的运用

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触类旁通
何乐不为
吴彩 玉
速 度 的 １ 倍 。换 句 话 讲 ， ２ 分针 走 １ 格 ， 针 走 大 时
１
了１ 格 的 一 。 此 ， “ ／ ” 单 位 ， 大 因 将 格 分 作 两针 的
１ ２
２ ２ｒ ｒＸ ４
圆 面积 的 比为 — 体 积 的
丌
＂ 即长 方 体 的 体 积 是 圆柱 体 Ｉ Ｔ，
Ａ
，所 以 长 方 体 木 料 的 体 积 为 ３ １ Ｘ ４
丌
＝Ｏ ４
（ 方 分米 ） 立 。
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曰
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图６
图７
图７ 图８
分 析 与 解 ： 常 规 思 路 要 求长 方形 Ｄ Ｅ 按 Ｂ Ｏ的 面积 必
１
追 及 问 题 在 钟 面 上 的 运 用
江 苏丹 阳市运 河 中心校 （１３ ２ 张 荣平 ２２５）
速 度 差 为 每 分 （一 １ ） ， 是 一 周为３０ ，所以一个小格是６ ， ６度 度 一 个 大 格 为 ３ 度 。 面 ， 们 就 用 这 些 知识 采 解 决 ０ 下 我
数 学 ２０ ０６・ ９
六 、 常规 退 到 极 端 从 有 一 些 求 面积 的 题 目 ，按 常 规 方 法 思 考 似 乎 缺 少 条 件 。这 时 ， 应 该 变 换 思 考 角度 ， 妨 把 题 中 的 一 些 就 不 条 件 推 向极 端 ， 样 就 能 使 隐 蔽 的 数量 关 系 明 朗 化 ， 这 从 而达 到 峰 回 路 转 、 暗 花 明 的解 题 效 果 。 柳 例 ６ 如 图８ 已知Ａ ＝ 厘 米 ， 阴影 部 分 的 面 积 。 ， Ｂ ８ 求 分 析 与 解 ： 中 阴 影 部 分 是 一 个环 形 ， 求环 形 面 图 要 积 必 须 先 求 出 内 圆和 外 圆 的 半 径 ，但 从 题 中 的条 件可 以看 出无 法 直 接 求 出这 两 个 量 。显 然 此 路 不 通 ， 另辟 需 蹊 径 。不 妨 把 内 圆 和 外 圆 同 时 缩 小 ，当 内 圆缩 成 一 点 时，曰 Ａ 就成 为外 圆 的直 径 。 么 ， 可 以 用直 径 是 ８ 米 那 就 厘 圆 的 面 积 代 替 环 形 的 面 积 ， 所 以 阴 影 部 分 的 面 积 是
走 ２ — ＝ ５／ 格 ）即是 分 针 追及 的路 程 差 。 ０ ５ １ （＼ ， Ｊ
四、 从部 分 退 到 整 体 有 些 数 学 问题 从 局 部 入 手 进 行 分 析 ，会使 问题 复 杂 化 。若 能 从部 分 回到 整 体 ， 从整 体 上分 析 数 量关 系 ， 就 能找 到数 量 间 的特 殊 联系 ， 而 使 解题 思路 顺 畅 、 捷 。 从 简 例 ４ 如 图６ ，在 直 角 三 角 形ＡＢ Ｃ中 ， Ｄ ８ 米 ， Ａ ＝ 分 Ｅ ＝ 分 米。 求 长 方 形Ｄ 的 面 积 。 Ｃ３ ＢＤ
时 时针 与 分 针 所成 的 角度 问题 。 我 们 知 道 钟 面 上 共 有 １ 大 格 和６ ／格 ， 针 走 １ ２ ｏＪ ＼ 时 大 格 ， 针 就 走 １ 大格 。 由 此可 知 ， 针 走 的速 度 是 时 针 分 ２ 分
度角 时 ， 两针 相 差 ５Ｘｌ ５／ 格 ） 因此 ， 针 须 Ｉ Ｈ 针 多 ＝ （＼ 。 Ｊ 分 ： ， ＢＩ
追及 的路 程 和 两 者 的速 度 差 ， 后根 据 公 式 （ 及 时 间 ＝ 然 追
（ 什 么时 刻 两针 成３ 度 角？ １ ） （ １ （ 什 么 时刻 两针 成 ６ 度 角？ ２ ） （ ） （ 什 么 时刻 两针 成 ９ 度 角？ ３ ） ０
（ 什 么时 刻 两针 重 叠？ ４ ）
Ａ Ａ Ｆ Ｈ
宽 、 ， 题 中的条 件可 以看出无法直 接求 出这些量 。 高 从 但 是 如果 考 虑 到 长 方 体 加 工 成 圆柱 体 后 高 不变 ，那 么 这个 长方 体 与 圆 柱 体 的 体 积 比等 于 长 方 体 底 面 正 方 形
与 圆 的面 积 比 ， 样 就 可 以 面 积 关系 代 替 体 积 关系 。假 这 设 圆 柱 底 面 圆 的 半 径 为 如 图 ７ ， 这 个 正 方 形 面 积 与 ）则
一
些 实 际 问题 。
我们 知道 ： 个 物体 同向运动 ， 两 一快 一 慢 ， 者 在 快
例１ ４ 时至５ 时之 间 ， 时针 与 分 针 ：
后 ， 者在前 ， 者追慢 者 ， 过一段 时间后追上慢者 ， 慢 快 经 这就 是追 及 问题 。 解 答 此 类 问题 的关 键 是 找 出 快 者 要
须 先 求 出 它 的 长 和 宽 ，从 题 中 的 条 件 可 以看 出无 法 直 接 求 出 这 两 个 量 。我 们 不 妨先 “ 一 步 ”在 原 图 上 拼 一 退 ， 个 与 三 角 形Ａ Ｃ 小 、 Ｂ 大 形状 相 同 的 三 角 形 ， 图 形 的 面 使 积增 加一倍 （ 图７ ，那 么Ｓ ５ ㈣ ，△ ５ ｍ ， 如 ） △ △ Ｓ △ ５ ｌ 。 ＝ ＝５ 由此 可 推 得 ， 方 形Ｄ Ｅ 的 面 积 与 长 方 形 长 ＢＯ Ｏ Ｈ 的 面 积 相 等 ， 且 Ａ ＝ Ｆ Ｅ ＝ Ｇ，所 以 长 方 形 Ｇ Ｆ Ｄ Ｏ ，Ｃ Ｏ Ｄ Ｅ 的 面积 是８×３ ２ （ 方分 米 ） ＢＯ ＝ ４平 。 五 、 立 体 退 到 平 面 从 有 些 求 体 积 问题 ， 由于 缺 少 求 体 积 所 必 需 的 条 件 ， 因 此 不能 直接 利 用 公 式 求解 。这 时 ， 不妨 从 体 积 关 系 退 为 面 积 关 系 ， 而 达 到 化 繁 为 简 、 难 为 易 和 优 化解 题 从 化 方 法 的 目的 。 例５ 有一个底面是正方形 的长方体 木料 ， 现在要 把 它 加 工成 一 个 最 大 的 圆柱 体 ，这 个 圆柱 体 的体 积 是 ３ 立 方分 米 长 方体 木 料 的体 积 是 多 少立 方 分 米？ １ ４ 分析 与解 ： 题 按 常 规 思 路 要 先 求 出长 方体 的 长 、 此 小 学教 吁季 考
追 及 路 程 一速 度 差 ） 行 解 答 。若 将 此 方 法 巧 用 在 钟 面 进
上 ， 解 决 时 针 与 分 针 成 一 定 角 度 的 时 刻 ， 一 定 时 刻 可 或
（ 什 么时 刻 两针 成 平 角？ ５ ） 分 析 ： １ 分 针 在 时 针 后 ５Ｘ４ ２ （＼ ）在 成 ３ ４ｔ １， ， ＝ ０／ 格 ， Ｊ Ｏ