机械能连接体
机械能守恒定律-连接体问题)
（mA+mB ） v 2 + mAg（H−h）= 2 mAgh = mB =
所以：
1 2 1 2
√
2H 4H B． 5 C． 5 1H DFra bibliotek3vh
mA v
2 5
2
mA
H
h =
机械能守恒定律应用
机械能守恒定律的表达形式：
1、E1=E2 （ E1、E2初末态机械能）
2、ΔEP减=ΔEK增 （减少等于增加量）
3、ΔEA减=ΔEB增（A机械能减少等于B增量）
例1 在光滑的水平桌面上有一质量为 M的小车，小车与绳的一端相连，绳子 的另一端通过光滑滑轮与一个质量为m 的砝码相连，砝码到地面的高度为h， 由静止释放砝码，则当其着地前的一 瞬间（小车未离开桌子）小车的速度 为多大？
L · 2
=
gL 2
1 2
mv 2
L 2
v
∴ v=
√
例3 一粗细均匀的U形管内装有同种液 体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部 分气体，左管口开口，两液面高度差为 h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板， 液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时， 右侧液面下降的速度大小为多少？A
h
解：根据机械能守恒定律得:
Mgh−mgh = 1 （M+m）v2 2
解得：
v=
1 2
√
2(M−m)gh M+m
（2）M触地，m做竖直上抛运动，机械能守恒：
mv2 = mgh´
∴ m上升的总高度： H = h+h´ = 2Mh M+m
练习：固定的三角形木块，倾角θ=30°， 一细线两端分别与物块A和B连接，A的质 量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地 面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而 B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿 斜面下滑S距离后，细线突然断了。求物块 B上升的最大高度H。
高一物理机械能守恒定律应用连接体问题
=
1 2
Mv2
设液体密度为ρ有:
m
=
h 2
S ·ρ
M = 4h S ·ρ
所以:
√v= gh 8
3、如图光滑圆柱被固定在水平平台上， 质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质 量为m2的小球乙相连，开始时让小球甲 放在平台上，两边绳竖直，两球均从静 止开始运动，当甲上升到圆柱最高点时 绳子突然断了，发现甲球恰能做平抛运 动，求甲、乙两球的质量关系
态时的机械能） 2、ΔEP减=ΔEK增 （系统势能的减少量
等于系统动能的增加量）
3、ΔEA减=ΔEB增（系统由两个物体构成时，
A机械能的减少量等于B机械能的增量）
例1：如图，在光滑的水平桌面上有一 质量为M的小车，小车与绳的一端相连，
绳子的另一端通过光滑滑轮与一个质 量为m的砝码相连，砝码到地面的高度
其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直， 顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑 轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量 为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面 上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B 上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜 面下滑S距离后，细线突然断了。
求物块B上升 A
的最大高度H。
mgh
=
1 2
mv2
物块B上升的最大高度: H=h+L
三式连立解得 H=1.2L
例3、长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬 挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动 一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬 间,求绳子的速度？
解：由机械能守恒定律得： （绳子减少的势能=绳子增加的动能）
1 2
·mg · L
高一物理机械能守恒定律应用连接体问题
一、如何选取系统
新高考物理机械能5-5 “机械能守恒定律中的连接体问题”面面观
[针对训练]
1．(多选)如图所示，有质量为 2m、m 的小滑块 P、Q，P 套在固定竖
直杆上，Q 放在水平地面上。P、Q 间通过铰链用长为 L 的刚性轻
杆连接，一轻弹簧左端与 Q 相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水
平，α＝30°时，弹簧处于原长。当 α＝30°时，P 由静止释放，下降到最低点时 α
变为 60°，整个运动过程中，P、Q 始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，
(1)求小球 m2 沿斜面上升的最大距离 s； (2)若已知细绳断开后小球 m1 沿碗的内侧上升的最大高度为R2，求mm12。(结 果保留两位有效数字) [解析] (1)设小球 m1 到达最低点 B 时，m1、m2 速度大小分别为 v1、v2 如图所示，由运动的合成与分解得 v1＝ 2v2
对 m1、m2 组成的系统由机械能守恒定律得 m1gR－m2gh＝12m1v12＋12m2v22
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 三点 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化关系。 提醒 (3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳
连接的系统，机械能则可能守恒。
[针对训练]
1.如图所示，物体 A 的质量为 M，圆环 B 的质量为 m，由绳子通过定滑轮
2．(多选)如图所示，水平地面上固定一足够长的光滑斜面，斜面顶
端有一光滑定滑轮，一轻绳跨过滑轮，绳两端分别连接小物块 A
和 B。已知斜面倾角 θ＝30°，小物块 A 的质量为 m，小物块 B 的质量为 0.8m，
小物块 B 距离地面的高度为 h，小物块 A 距离定滑轮足够远。开始时，小物块 A
和小物块 B 位于同一水平面上，用手按住小物块 A，然后松手。则下列说法正
用机械能守恒定律解决连接体问题
用机械能守恒定律解决连接体问题1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE 1＝－ΔE 2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．例1 如图1所示，左侧为一个半径为R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 1和m 2，且m 1＞m 2.开始时m 1恰在碗口水平直径右端A 处，m 2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．图1(1)求小球m 2沿斜面上升的最大距离s ；(2)若已知细绳断开后小球m 1沿碗的内侧上升的最大高度为R 2，求m 1m 2.(结果保留两位有效数字) 当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开．答案 (1)2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)1.9 解析 (1)设重力加速度为g ，小球m 1到达最低点B 时，m 1、m 2速度大小分别为v 1、v 2 如图所示，由运动的合成与分解得v 1＝2v 2对m 1、m 2组成的系统由机械能守恒定律得m 1gR －m 2gh ＝12m 1v 12＋12m 2v 22 h ＝2R sin 30°联立以上三式得v 1＝ 22m 1－2m 22m 1＋m 2gR ，v 2＝ 2m 1－2m 22m 1＋m 2gR 设细绳断开后m 2沿斜面上升的距离为s ′，对m 2由机械能守恒定律得m 2gs ′sin 30°＝12m 2v 22 小球m 2沿斜面上升的最大距离s ＝2R ＋s ′ 联立以上两式并代入v 2得s ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋2m 1－2m 22m 1＋m 2R ＝2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)对m 1由机械能守恒定律得： 12m 1v 12＝m 1g R 2代入v 1得m 1m 2＝22＋12≈1.9.。
机械能守恒定律在轻绳连接体中的应用
机械能守恒定律在轻绳连接体中的应用一、连接体物体系统的机械能守恒两个或两个以上的物体通过细绳或轻杆或弹簧联系在一起，系统仅在重力作用下运动，对系统中某一个物体来说机械能不守恒，但整个系统与外界无能量交换，机械能仅在系统内物体间转移或转化，所以系统机械能守恒。
二、系统机械能守恒的常用表达式三、绳连接的物体系统机械能守恒如图所示的两物体组成的系统，释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等。
但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。
【题型1】如图所示，质量分别为3kg和5kg的物体A、B，用足够长的轻绳连接跨在一个光滑轻质定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8m，不计空气阻力，求：(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；(2)B物体着地后(不反弹)A物体还能上升多高.(g取10m/s2)【题型2】一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小．【题型3】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A 和B ，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h ＝0.2 m ，开始时让连着A 的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B ，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A 的速度为多大？在以后的运动过程中，A 所获得的最大速度为多大？(设B 不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g ＝10 m/s 2)针对训练1.有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A 、B 分别套在水平杆与竖直杆上，A 、B 用一根不可伸长的轻细绳相连，A 、B 质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A 、B 静止。
机械能守恒定律——连接体问题PPT课件 人教课标版
方向竖直向上。
小结:
45
V垂
V V
VM
Vm
Vm
1、这类问题通常利用系统减少的重力势能等 于系统增加的动能列式比较简洁 2 、不可伸长是重要的隐含条件，任何绷紧 的绳相连的两物体沿绳方向速度大小相等
（三）连续媒质的流动问题
例3．一条长为L的均匀链条，放在 光滑水平桌面上，链条的一半垂于 桌边，如图所示 现由静止开始使 链条自由滑落，当它全部脱离桌面 时的速度为多大?
R O
M
m
根据运动效果，将VM沿绳方向 和垂直于绳的方向分解，则有：
45
VM cos45 Vm
0
V垂
VM
Vm
由机械能守恒定律得：
Vm
1 1 2 2 MgR 2mgR MV M mV m 2 2
解两式得：
4 gR(M 2m ) vM 2M m
方向水平向左
2 gR(M 2m ) vm 2M m
V0
R
O
解析：当列车进入轨道后，动能逐渐 向势能转化，车速逐渐减小，当车厢 占满环时的速度最小。
设运行过程中列车的最小速度为V， 列车质量为m m 则轨道上的那部分车的质量为： 2R
由机械能守恒定律得：
1 1 2 2Rm 2 mv 0 mv gR ………….(1) 2 2 L
L
由圆周运动规律可知，列车的最小速率为：
v gR
………….(2)
解①②得：
4gR v0 gR L
2
小结：此类问题特别要注意势能
和动能表达式中的质量是否相等
97年高考. 质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接， 弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0， 如图所示。一物块从钢板正上方距离为 3x0的A处自由 落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不 粘连。它们到达最低点后又向上运动。 A 已知物块质量也为m时，它们恰能回到 3x0 O x0 O点。若物块质量为2m，仍从A处自由 m 落下，则物块与钢板回到O点时，还具 有向上的速度。求物块向上运动到达 的最高点与O点的距离。
连接体机械能守恒问题的分析技巧
连接体机械能守恒问题的分析技巧1．对连接体，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒．2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3．列机械能守恒方程时，可选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式．例题1.如图1，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )图1A ．2RB.5R 3C.4R 3D.2R 3答案 C解析 设A 球刚落地时两球速度大小为v ，根据机械能守恒定律2mgR －mgR ＝12(2m ＋m )v 2得v 2＝23gR ，B 球继续上升的高度h ＝v 22g ＝R 3，B 球上升的最大高度为h ＋R ＝43R . 2．(多选)如图2，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上．a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g .则( )图2A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功B ．a 落地时速度大小为2ghC ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于gD ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg答案 BD解析 滑块b 的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b 先做正功，后做负功，选项A 错误；以滑块a 、b 及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a 刚落地时，b 的速度为零，则mgh ＝12m v a 2＋0，即v a ＝2gh ，选项B 正确；a 、b 的先后受力分析如图甲、乙所示．由a 的受力情况可知，a 下落过程中，其加速度大小先小于g 后大于g ，选项C 错误；当a 落地前b 的加速度为零(即轻杆对b 的作用力为零)时，b 的机械能最大，a 的机械能最小，这时b 受重力、支持力，且F N b ＝mg ，由牛顿第三定律可知，b 对地面的压力大小为mg ，选项D 正确．。
高中物理学习细节(人教版)之机械能守恒定律：机械能守恒定律的应用之连接体问题(含解析)
一、机械能守恒定律在连接体问题中的应用机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：1．系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接。
这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系。
2．系统内两个物体通过轻绳连接。
如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒。
解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等。
3．系统内两个物体通过轻杆连接。
轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体的角速度相等。
【典例1】如图所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连．斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦．开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。
现将手撤去。
(1) 求A 物体将要落地时的速度为多大？(2) A 物体落地后，B 物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B 物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？(2)A 物体落地后，B 物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B 物体而言，只有重力做功，故机械能守恒，设其到达的最高点离地高度为H ，由机械能守恒定律得12mv 2＝ mg (H －h sin θ) 解得H ＝h＋sin θ2.【答案】 (1)gh－sin θ(2)h＋sin θ2【典例2】 如图所示，质量分别为2m 和m 的可视为质点的小球A 、B ，用质量不计且不可伸长的细线相连，跨在固定的底面半径为R 的光滑圆柱体两侧。
开始时A 球和B 球均与圆柱体轴心O 等高，然后释放两球，则B 球到达圆柱体最高点时的速度为多大？【审题指导】解答本题时应注意以下两点：（1）运动过程中，A 球和 B 球均受到细线的拉力作用，细线的拉力做功，A 球和B 球的机械能都不守恒。
（2）若选取A 球和B 球及细线组成的系统为研究对象，则运动过程中只有重力做功，系统的机械能守恒。
用机械能守恒定律解连接体问题
用机械能守恒定律解连接体问题在用机械能守恒定律解连接体问题时,一定要注意下面几个问题一、何选取系统应用机械能守恒定律必须准确的选择系统.系统选择得当,机械能守恒；系统选择不得当,机械能不守恒。
对机械能不守恒的系统应用机械能守恒定律必然得出错误的结果。
例1、如图1所示，长为2L 的轻杆OB ，O 端装有转轴，B 端固定一个质量为m 的小球B ，OB 中点A 固定一个质量为m 的小球A ，若OB 杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求（1）A 、B 球摆到最低点的速度大小各是多少？（2）轻杆对A 、B 球各做功多少？（3）轻杆对A 、B 球所做的总功为多少？析与解：有学生分别选A 、B 球及地球为一系统，有机械能守恒定律得到：221A mv mgl = 2212B mv l mg = 由上两式得：gl v gl v B A 4,2==上述解法其实是不对的，错在何处呢？是系统选择错误。
事实上，小球A （B ）与地球单独组成的系统机械能并不守恒，这是因为轻杆往下摆的过程中，轻杆分别对A 、B 球做了功（注意轻杆可以产生切向力，不象轻绳，只能产生法向力）。
对机械能不守恒的系统应用守恒定律求解，当然出错。
那么，应该选择什么系统呢？应选A 、B 球及地球所组成的系统，机械能是守恒的。
（1） 选A 、B 及地球为一系统，此系统中只有动能和重力势能发生转化，系统机械能守恒，有：l mg mgl mv mv B A 221212,2,+=+ ① A B v v 2= ② 由①②式可得：gl v gl v B A 8.4,2.1,,== （2）由上不难得到：A A v v <, B B v v >,即A 、B 间的轻杆对B 球做正功，对A 球做负功。
轻杆对A 球做功为：mgl mv mv W A A A 4.0212122,-=-= 同理可得，轻杆对B 球做功为：mgl W B 4.0=（3）轻杆对A 、B 所做总功为0。
(完整版)机械能守恒的三类连接体模型
(2)A球获得的最大速度vm。
4.(2017·福建质检)如图所示，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块A和B，B的下面通过轻绳连接物块C，A锁定在地面上。已知B和C的质量均为m，A的质量为 m，B和C之间的轻绳长度为L，初始时C离地面的高度也为L。现解除对A的锁定，物块开始运动。设物块可视为质点，落地后不反弹。重力加速度大小为g。求：
2．列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
1.(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑轻直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是()
A．M和m组成的系统机械能守恒
B．当M的速度最大时，m与地面间的作用力为零
C．若M恰好能到达挡板处，则此时m的速度为零
D．若M恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m的机械能增加量之和
3.如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
(1)A刚上升时的加速度大小a；
(2)A上升过程中的最大速度大小vm；
巧用机械能守恒定律求解连接体问题
高中生·高考指导文"汪志杰若干个物体通过一定的方式连接在一起，就构成了连接体，其连接方式一般是通过细绳、轻杆或轻弹簧等物体来实现的．连接体问题涉及多个物体，具有较强的综合性，是力学中能力考查的重要内容，在高考中也经常出现．连接体问题的解题关键是寻找连接体之间的内在联系．解决连接体问题的有效方法，除常用的整体法与隔离法外，还可利用机械能守恒定律求解．一、轻绳连接模型解答此类问题应注意：连接体运动过程中，与绳子连接的物体沿着绳子方向的速度大小一定相等；轻绳内部张力处处相等，且与运动状态无关．因此，此类模型中的单个物体机械能一般不守恒，但系统机械能守恒．例１如图１所示，质量分别为ｍ和Ｍ的物块Ａ和Ｂ用不可伸长的细绳连接，Ａ放在倾角为α的固定斜面上，Ｂ能沿杆在竖直方向上自由滑动．杆到滑轮中心的距离为Ｌ，开始时将Ｂ抬高到使细绳水平．求当Ｂ由静止开始下落ｈ时的速度．（滑轮和绳的质量及各种摩擦均不计）解析设Ｂ下降ｈ时速度为ｖ１，此时Ａ上升的速度为ｖ２，沿斜面上升的距离为ｓ．选Ａ、Ｂ和地球组成的系统为研究对象，由于系统在运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，其重力势能的减少量等于其动能的增加量，即有Ｍｇｈ－ｍｇｓ·ｓｉｎα＝１２Ｍｖ２１＋１２ｍｖ２２．①由于Ｂ下落，使杆与滑轮之间的一段绳子既沿其自身方向运动，又绕滑轮转动，故ｖ１可分解为图２所示的两个分速度．由图２知ｖ２＝ｖ１ｃｏｓθ＝ｖ１·ｈＬ２＋ｈ２!．②由几何关系知ｓ＝Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ．③联立①、②、③三式可解得ｖ１＝２（Ｌ２＋ｈ２）［Ｍｇｈ－ｍｇｓｉｎα（Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ）］ＭＬ２＋（Ｍ＋ｍ）ｈ２!．小结若系统内的物体通过不可伸长的轻绳相连接，则系统的机械能守恒．本题还需结合相关物体的速度关系式才能求解．例２如图３所示，质量均为ｍ的小球Ａ、Ｂ、Ｃ，用两条长均为Ｌ的细线相连，置于高为ｈ的光滑水平桌面上．Ｌ＞ｈ，Ａ球由静止状态从桌面边缘落下．若Ａ球、Ｂ球下落着地后均不再反弹，则Ｃ球离开桌面边缘时的速度大小是多少？（不计摩擦）解析本题的物理过程如下：Ａ球下落带动Ｂ球和Ｃ球运动．Ａ球着地前瞬间，Ａ、Ｂ、Ｃ三球速率相等，且Ｂ、Ｃ两球均在桌面上．因Ａ球着地后不反弹，故Ａ、Ｂ两球间细线松弛，Ｂ球继续运动并下落，带动小球Ｃ，在Ｂ球着地前瞬间，Ｂ、Ｃ两球速率相等．故本题的物理过程应划分为两个阶段：第一个阶段，从Ａ球开始下落到Ａ球着地瞬间；第二个阶段，从Ａ球着地后到Ｂ球着地瞬间．在第一个阶段，选三个球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×３ｍ×ｖ２１．①在第二个阶段，选Ｂ、Ｃ两球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×２ｍ×ｖ２２－１２×２ｍ×ｖ２１．②由①、②解得ｖ２＝１５ｇｈ!３．小结要重视对物体运动过程的分析，明确运动过程中有无机械能和其他形式能量之间的转换，对有能量形式转换的部分不能应用机械能守恒定律．二、轻杆连接模型由于轻杆不可伸长和压缩，所以沿杆方向速度相同．若轻杆一端固定，则杆转动时，杆上各点具有相同的角速度．求解此类问题需注意重力势能为零的位置的选择及重力势能的变化．例３如图４所示，一轻杆上有质量均为ｍ的小球ａ和ｂ，轻杆可绕Ｏ点在竖直平面内自由转动，Ｏａ＝ａｂ＝Ｌ．将杆拉成水平后，由静止开始释放，求轻杆转动到竖直方向时ａ、ｂ两球的速度．◎高考题库◎巧用机械能守恒定律求解连接体问题５１高中生·高考指导解析设杆转到竖直方向时，ａ、ｂ的速度大小分别为ｖａ、ｖｂ，规定ｂ球到达的最低点所在的水平面为零势面，由机械能守恒定律得ｍｇＬ＋ｍｇ·２Ｌ＝１２ｍｖ２ａ＋１２ｍｖ２ｂ．又ｖｂ＝２ｖａ，由此可得ｖａ＝３０ｇＬ!５，ｖｂ＝２５３０ｇＬ!．小结此题易误认为ａ、ｂ两小球在下摆过程中各自机械能守恒，而事实上重力和轻杆对ａ、ｂ均做功，并使其机械能不守恒，但是ａ、ｂ组成的系统与外界没有能量交换，系统机械能还是守恒的．例４如图５所示，长为ｌ的轻质杆两端有质量均为ｍ的两个相同的小球Ａ和Ｂ，Ａ靠在竖直墙壁上，Ｂ与地面接触，两处均不计摩擦．开始时杆与水平面成６０°角，放手后Ａ下滑、Ｂ右滑．当杆与水平夹角θ为多大时，Ａ刚好脱离墙壁？此时Ｂ球速度为多大？解析设Ａ刚好脱离墙壁时Ａ、Ｂ的速度分别为ｖＡ、ｖＢ，Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，系统机械能守恒，有ｍｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．①又Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，两小球沿杆方向的速度相同，即ｖＡｓｉｎθ＝ｖＢｃｏｓθ．②由①、②两式解得ｖＢ＝２ｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）ｓｉｎ２θ!．③令ａ＝２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ，ｂ＝ｓｉｎθ，ｃ＝ｓｉｎθ，则ａ＋ｂ＋ｃ＝３!．因为ａ＋ｂ＋ｃ３≥ａｂｃ３!，所以当ａ＝ｂ＝ｃ时，ａｂｃ有最大值，此时ｖＢ＝ｇｌａｂｃ!有最大值．由２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ解得ｓｉｎθ＝３!３，则θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３．将ｓｉｎθ＝３!３代入③式得ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．此时Ａ受墙壁的水平作用力减小到零，刚好脱离竖直墙壁．故当θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３时，Ａ刚好脱离竖直墙壁，此时ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．小结运用机械能守恒定律，应注意研究对象的选取和定律守恒的条件．本题中Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，整个系统机械能守恒，但是系统的某一部分的机械能并不守恒．意识到Ａ、Ｂ组成的系统机械能守恒并找出Ａ、Ｂ之间的速度关系是解本题的关键．三、轻弹簧连接模型求解此类问题的关键在于分析物体的运动过程，认清弹簧的状态及不同能量之间的转化关系．由两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统，应注意弹簧伸长或压缩到最大程度时弹簧两端连接的物体具有相同的速度，弹簧处于自然长度时弹性势能最小（为零）等隐含条件．例５如图６所示，质量为ｍ１的物体Ａ经一轻质弹簧与其正下方地面上的质量为ｍ２的物体Ｂ相连，弹簧的劲度系数为ｋ，Ａ、Ｂ都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体Ａ，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，Ａ上方的一段绳沿竖直方向．在挂钩上挂一质量为ｍ３的物体Ｃ并从静止状态释放，已知它恰好能使Ｂ离开地面但不继续上升．若将Ｃ换成另一个质量为（ｍ１＋ｍ３）的物体Ｄ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次Ｂ刚离地面时Ｄ的速度的大小是多少？（重力加速度为ｇ）解析开始时，Ａ、Ｂ静止，设弹簧压缩量为ｘ１，有ｋｘ１＝ｍ１ｇ．①挂上Ｃ并释放后，Ｃ向下运动，Ａ向上运动．设Ｂ刚要离地时弹簧伸长量为ｘ２，有ｋｘ２＝ｍ２ｇ．②Ｂ不再上升，表示此时Ａ和Ｃ的速度为零，Ｃ已降到最低点．根据机械能守恒定律，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为$Ｅ＝ｍ３ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．③Ｃ换成Ｄ后，当Ｂ刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得１２（ｍ１＋ｍ３）ｖ２＋１２ｍ１ｖ２＝（ｍ１＋ｍ３）ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）－$Ｅ．④由③、④两式得１２（２ｍ１＋ｍ３）ｖ２＝ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．⑤由①、②、⑤三式得ｖ＝２ｍ１（ｍ１＋ｍ２）ｇ２（２ｍ１＋ｍ３）ｋ!．小结此题考查的知识点有胡克定律、共点力作用下物体的平衡、机械能守恒定律及其应用，其难点是系统弹性势能的增加量的计算和隐含条件（两种情况下弹簧弹性势能的增加量相等）的挖掘．四、轻盘连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间角速度和线速度的关系．例６如图７所示，半径为ｒ、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，◎高考题库◎５２圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴Ｏ，在盘的最右边固定一个质量为ｍ的小球Ａ，在Ｏ点的正下方离Ｏ点ｒ２处固定一个质量也为ｍ的小球Ｂ．放开盘，让其自由转动，求：（１）Ａ转到最低点时的线速度是多少？（２）在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度是多少？解析（１）该系统在自由转动过程中，只有重力做功，机械能守恒．设Ａ球转到最低点时的线速度为ｖＡ，此时Ｂ球的线速度为ｖＢ，则根据机械能守恒定律可得ｍｇｒ－ｍｇ·１２ｒ＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．由圆周运动的知识可知ｖＡ＝２ｖＢ．由上述两式可求得ｖＡ＝２５５ｇｒ!．设在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度为θ（如图８所示），则由机械能守恒定律可得３２ｍｇｒ＝ｍｇｒ（１－ｃｏｓθ）＋ｍｇｒ（１＋１２ｓｉｎθ），易求得θ＝ａｒｃｓｉｎ３５．五、轻支架连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系和重力势能为零的位置的选择．例７如图９所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在Ａ处固定质量为２ｍ的小球，Ｂ处固定质量为ｍ的小球，支架悬挂在Ｏ点，可绕过Ｏ点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时ＯＢ与水平面垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是Ａ．Ａ球到达最低点时速度为零Ｂ．Ａ球机械能减少量等于Ｂ球机械能增加量Ｃ．Ｂ球向左摆动所能达到的最高位置应高于Ａ球开始运动时的高度Ｄ．当支架从左向右回摆时，Ａ球一定能回到起始高度解析对三角支架和Ａ、Ｂ球组成的系统，在支架摆动过程中只有重力做功，遵守机械能守恒定律．支架向左摆动时，Ａ球的机械能减少，Ｂ球的机械能增加．根据机械能守恒定律可知Ｂ、Ｄ正确．设三角支架的边长为ｌ，当Ａ球摆到最低点时，Ｂ球向左到达Ａ球开始运动时的高度．因摆动中Ａ、Ｂ两球角速度ω相同，由ｖ＝ωｒ可知，Ａ、Ｂ两球的线速度大小也相同，设为ｖ．由机械能守恒定律得２ｍｇｌｃｏｓ６０°－ｍｇｌｃｏｓ６０°＝１２×２ｍ×ｖ２＋１２ｍｖ２，解得ｖ＝ｇｌ３!≠０．由于Ｂ球到达Ａ球开始运动时的高度时，Ａ、Ｂ两球都有一定的速度ｖ，两球还要继续向左摆动，使Ｂ球所能达到的最高位置高于Ａ球开始运动时的高度，所以选项Ａ错，选项Ｃ对．选Ｂ、Ｃ、Ｄ．小结对系统的机械能守恒，可依照题目采用适当的守恒形式．本题判断Ｂ、Ｄ选项采用的是“系统一部分机械能的减少量等于另一部分机械能的增加量”形式，即!ＥＡ＝!ＥＢ；在判断Ａ、Ｃ选项时，又采用了“系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量”形式，即!Ｅｋ＝!Ｅｐ．一般在初、末态总机械能不易简单写出，而机械能的增加或减少部分又较明显时，利用!ＥＡ＝!ＥＢ或!Ｅｋ＝!Ｅｐ求解会更简便些．从上面各例可以看出，在用机械能守恒定律解连接体问题时，要注意下面几个问题：１．准确地选取系统．应用机械能守恒定律必须准确地选择系统．系统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，机械能不守恒．当研究一个问题涉及到的不是一个物体而是两个或两个以上的物体时，应具有整体意识，将不同的物体组成系统，这样往往会化繁为简、化难为易．２．选取具体的物理过程．在运用机械能守恒定律解题时必须选取具体的物理过程，确定初、末状态．选取物理过程必须遵循两个基本原则：一要符合求解要求，二要尽量使求解过程简化．有时可选全过程，而有时则必须将全过程分解成几个阶段，然后再分别应用机械能守恒定律求解．同时，要重视对物体运动过程的分析，把握守恒条件，明确哪些运动过程中系统机械能守恒．３．灵活选取机械能守恒定律的不同表达式来解题．在运用机械能守恒定律Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２时，必须选取零势面，而且在分析同一问题时只能选取同一零势面．在某些机械能守恒的问题中，运用Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２求解不太方便，而运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０则较为简单．运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０求解的一个特点是不必选取零势面，只要弄清楚过程中物体重力势能的变化即可．４．对相互关联的多个物体构成的连接体问题一定要搞清各物体速度之间的关系．（责任编校/冯宪ｘｙｘ１２１２１＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ）◎高考题库◎５３高中生·高考指导。
高中物理专题：机械能守恒定律的应用 处理连接体
机械能守恒定律综合应用机械能守恒处理链条问题【例题1】如图8—53所示，光滑的水平桌面离地面高度为2L，在桌的边缘，一根长L的匀质软绳，一半搁在水平桌面上，另一半自然悬挂在桌面上，放手后，绳子开始下落，试问，当绳子下端刚触地时，绳子的速度是多大? 【变式1】如图5-5-9所示,总长L的光滑匀质铁链跨过一个光滑轻小滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，其一端下落，刚铁链刚脱离滑轮的瞬间速度为多少？图5-5-9【变式2】如图5所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大。
机械能守恒定律处理连接体问题【例题1】如图5－3－6所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中 ( )．A．M、m各自的机械能分别守恒B．M减少的机械能等于m增加的机械能C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能D．M和m组成的系统机械能守恒【变式2】如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为( )A．hB．1.5hC．2hD．2.5h【变式3】如图 4－4－5 所示，质量为 m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边定滑轮与质量为 M 的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降 h(h 小于桌面的高度)的距离，木块仍在桌面上，则砝码的速度大小为多少？图5-5-15【变式4】如图5-5-15所示，一轻绳的两端各系一小球（可视为质点），质量分别为M和m（M>m），跨放在一个光滑的半圆柱体上.两球由水平直径AB的两端由静止释放，当m刚好到达圆柱体的最高点C时，恰好脱离圆柱体.则两小球的质量之比为多少？（2）杆模型：①同一根杆上，转动的角速度w 相等，杆连接的物体没有外力作用时，物体与绳组成的系统机械能守恒，即动能和势能之和不变。
机械能守恒连接体问题
机械能守恒连接体问题
机械能守恒连接体是一种受力学原理控制的机械系统，它可以提供传动功率、减少摩擦和
消耗更少的能量。
机械能守恒连接体一般由两个活动分支和一条连接轴组成，它具有很强
的钢筋混凝土构件，便于受力分析和施工操作。
机械能守恒连接体有助于实现机械能的守恒，控制机械动力的流动，有效的减少损耗。
机
械能守恒连接体的拓扑结构具有优化力学分析的能力，其定向应用与传动系统有关，它可
以减少摩擦力、减小结构抗力，使结构受力分布更加均匀化，消除结构过度向外射电现象，使结构更为安全紧凑。
此外，机械能守恒连接体还具有有效地抑制动态传动系统中出现的振动、噪声及局部热源
的能力，有效地减少因转矩流动而造成的失稳现象，具有较低的摩擦损失。
总的来说，机械能守恒连接体具备了优异的受力特性，具有高效的传动能力，能够有效地抑制摩擦及噪声，减少结构受力的不均匀性，极大的满足了机械系统的受力要求。
它的发
展前景非常广阔，可以有效地改善机械系统的效率及耐久性。
专题三圆周运动_机械能守恒中的连接体问题
机械能守恒中的连接体问题【解题步骤】1.准确选择研究对象2.判定机械能是否守恒3.应用机械能守恒处理连接体问题例1：如图，在光滑的水平桌面上有一质量为M 的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通过光滑滑轮与一个质量为m 的砝码相连，砝码到地面的高度为h ，由静止释放砝码，则当其着地前的一瞬间（小车未离开桌子）小车的速度为多大？练习1、一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M 和m 的长方形物块，且M>m ,开始时用手握住M ，使系统处于如图示状态。
求（1）当M 由静止释放下落h 高时的速度（2）如果M 下降h 刚好触地，那么m 上升的总高度是多少？2、如图所示，一固定的三角形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。
一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A 和B 连接，A 的质量为4m ，B 的质量为m 。
开始时将B 按在地面上不动，然后放开手，让A 沿斜面下滑而B 上升。
物块A 与斜面间无摩擦。
设当A 沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。
求物块B 上升的最大高度H 。
3、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m 1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m 2的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，求当甲上升到圆柱最高点时甲的速度。
例2.长为L 质量分布均匀的绳子,对称地悬挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬间,求绳子的速度？练习1、如图所示，一粗细均匀的U 形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A 密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h ，U 形管中液柱总长为4h ，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？2.如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，已知小车的质量为M ，小桶与沙子的总质量为m ，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h 的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法中正确的是 A ．绳拉车的力始终为mgB ．当M 远远大于m 时，才可以认为绳拉车的力为mgC ．小车获得的动能为mghD ．小车获得的动能为例题3.如图所示，质量分别为2m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴.AO 、BO 的长分别为2L和L .开始时直角尺的A O 部分处于水平位置而B 在O 的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；h匀速圆周运动一、物理量之间的转换例1、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：，，A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A、B、C三点的线速度之比为__________，角速度之比为__________，周期之比为__________。
高一物理机械能守恒定律应用连接体问题
m2
.两质量分别为m和2m的小球a、b用一 根长L轻杆连接，杆可绕中心O的水平
轴无摩擦转动，让杆由水平位置无初速 释放，在转至竖直的过程中( )
A.a球机械能增大 B.b球重力势能减小，
动能增加，机械能守恒
C.a球和b球总机械能守恒 D.a球和b球总机械能不守恒
AC
知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——《论语·雍也》 曾经痛苦，才知道真正的痛苦；曾经执著，才能放下执著。 别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！ 我不去想是否能够成功，既然选了远方，便只顾风雨兼程。 知道自己目的地的人，才是旅行得最远的人。 为了照亮夜空，星星才站在天空的高处。 活在忙与闲的两种境界里，才能够俯仰自得，享受生活的乐趣，成就人生的意义。 生命力的意义在于拚搏，因为世界本身就是一个竞技场。 要使整个人生都过得舒适愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能够应付逆境的态度。——卢梭 一个常常看别人缺点的人，自己本身就不够好，因为他没有时间检讨他自己。 人只要不失去方向，就不会失去自己。 发光并非太阳的专利，你也可以发光，真的。
其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直， 顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑 轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量 为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面 上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B 上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜 面下滑S距离后，细线突然断了。
求物块B上升 A
的最大高度H。
mgh
=
1 2
mv2
物块B上升的最大高度: H=h+L
三式连立解得 H=1.2L
例3、长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬 挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动 一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬 间,求绳子的速度？
机械能的应用3-连接体
10.如图，在质量不计，长为L、不能弯曲的直杆一端和中点分 别固定两个质量都是m的小球A和B，杆的一端固定在水平轴O 处，杆可以在竖直面内无摩擦地转动，让杆处于水平状态，然 后从静止释放，当杆转到竖直位置时，两球的速度vA、vB各是 多大？ 解析：两个小球组成的系统机械能守恒.
L 1 1 2 2 mgL mg mv A mv B 2 2 2
a L1 O L2 b
9、一很长、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，两端各系一 小球a和b. a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住， 高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a获得的最 大速度是多少？能够达到的最大高度为多高
提示：b球重力势能减少3mgh ， a球重力势能增大mgh
解：在 b 球落地前，a、b 球组成的系统机械能守恒，且 va=vb，由机械能守恒定律 1 3mgh－mgh＝ (m＋3m)v2， 2 得 v＝ gh， b 球落地时，a 球高度为 h，之后 a 球向上做上抛运动 v2 h 1 2 机械能守恒， mv ＝mgΔh，Δh＝ ＝ ， 2 2g 2 所以 a 球可能达到的最大高度为 1.5h，
小演练（抄到笔记本）
2、质量为m，边长为l的正方体 静止在地面上, 现用手缓慢翻转 45，求对正方体做功
1、质量为m，长度为l的均匀 直杆静止在地面上, 现用手缓 慢立起，求对杆做功
l 2 mg l 重力势能增加△Ep 2 mgl 人对直杆做功w 2 解：△h
2l l 2 2 ( 2 1)mgl 重力势能增加△Ep 2 解：△h
解得：
v A 2v B
2 vA 15 gL 5
1 vB 15 gL 5
11.两质量分别为m和2m的小球a、b用一根长L轻杆连接， 杆可绕中心O的水平轴无摩擦转动，让杆由水平位置无 初速释放，在转至竖直的过程中( ) A.a球机械能增大 B.b球重力势能减小， 动能增加，机械能守恒 C.a球和b球总机械能守恒 D.a球和b球总机械能不守恒
连接体机械能守恒问题的分析技巧
连接体机械能守恒问题的分析技巧
1.对连接体，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒.
2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.
3.列机械能守恒方程时，可选用血=一临的形式.
例题
1.如图1,可视为质点的小球B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固左在地而上、半径
为R的光滑圆柱，/的质量为B的两倍•当2位于地面时，.4恰与圆柱轴心等髙.将zl由
静止释放，E上升的最大髙度是（
A・2R
“2R
D T
答案C
解析设川球刚落地时两球速度大小为V,根据机械能守恒定律2nigR—ingR=|（2w+n^v2
2 v2 R 4
得沪=〒g& B球继续上升的高度/?=—=j, B球上升的最大高度为h+R=^R.
2.（多选）如图2,滑块小b的质量均为加，a套在固立竖直杆上，与光滑水平地面相距力,
b放在地而上.a、b通过饺链用刚性轻杆连接，由静止开始运动.不计摩擦，e b可视为
质点，重力加速度大小为$则（）
A. a落地前,
B.a落地时速度大小为厕
C.a下落过程中，英加速度大小始终不大于g
D・a落地前，当a的机械能最小时，b对地而的压力大小为加g
答案BD
解析滑块b的初速皮为零，末速厦也为寒，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A
错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，b的速皮为零，
则加g力=务切,+0,即％=辰^ 选项B正确：a、b的先后受力分析如图甲、乙所示.
落地前b的加速度为零（即轻杆对b的作用力为零）时，b的机械能最大，a的机械能就小,
这时b受重力、支持力.且Fz=mg,由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg, 选项D正确.。
机械能守恒定律在连接体问题中的应用
H = h+h´ = 2Mh M+m
m M
机械能守恒定律及其应用
例思考 2. 1：M下降的高度和m上升的高度是否相等？
•如图，两物体的质量分别为M和m（M>m），用细绳 连接后跨接在半径为 R的固定光滑半圆柱上（离地面有 思考2： m对圆柱体顶端的压力为零条件是什 足够高的距离），两物体刚好位于其水平直径的两端 么？ ，释放后它们由静止开始运动， 思考 3：若v满足上问条件，且m在最高点时绳 （ 1） m在最高点时的速度大小？ 子刚好断裂，则 m运动情况如何？ （2）当 m和M的比值为多大时， m对圆柱体顶端的压力为零？ 思考4：若m在最高点时绳子刚好断裂，且m的速 度不足以使m做平抛运动，则m运动情况如何？
机械能守恒定律及其应用
机械能
动能和势能统称为机械能
机械能守恒条件
在只有 重力 或 弹力 做 功的物体系统内， 动能 与 势能 可 以相互转化，而 总的机械能 保持不变
弹力
重力
机械能守恒定律及其应用
热身训练1：
• 如图所示，刚性小球从高处下落到竖直放置的轻弹 簧上。在将弹簧压缩到最短的整个过程中， 下列关 C ） 于能量的叙述中正确的是（CD D A．重力势能和动能之和总保持不变 B．重力势能和弹性势能之和总保持不变 C．动能和弹性势能之和不断增加 D．重力势能、弹性势能和动能之和总保 持不变
2013届高三一轮复习
机械能守恒定律 在连接体问题中的运用
机械能守恒定律及其应用
【高考要求】
内容 要求 说明 机械能守恒定 机械能守恒定律的应用常综合牛顿运动 Ⅱ 律及其应用 定律、曲线运动知识等，题目综合性强
【学习目标】 1. 2. 掌握机械能守恒定律在解决连接体问题中巩固 机械能解题的规范和一般方法 的运用，学会选择研究对象，分析研究过程
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【例 1】如图所示，竖直平面内放一直角杆 AOB，杆的水平部分粗糙，动摩 擦因数μ＝0.2， 杆的竖直部分光滑.两部分各套有质量均为 1 kg 的小球 A 和 B， A、B 球间用细绳相连.此时 A、B 均处于静止状态，已知：OA＝3 m，OB＝4
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m.若 A 球在水平拉力 F 的作用下向右缓慢地移动 1 m(取 g＝10 m/s2)，那么 (1)该过程中拉力 F 做功多少？ (2)若用 20 N 的恒力拉 A 球向右移动 1 m 时，A 的速度达到了 2 m/s，则此过程中产生 的内能为多少？ 【解析】(1)用力 F 缓慢拉 A 球时，分析可知 F 的大小发生变化，把 A、B 看做整体， 由平衡条件知，A 受杆的支持力 FN＝mg＋mg＝2mg 不做功，摩擦力 Ff＝μ·2mg 为恒力.对 于 A 和 B 组成的系统，由动能定理可得 WF－2μmgl－mghB＝0 ① 因绳长 L＝5 m 保持不变， 当 A 移动的距离 l＝1 m 时， 设 B 升高了 hB. 由几何关系可知：(3＋1)2＋(4－hB)2＝52 所以 hB＝l＝1 m 代入①式，可得 WF＝2μmgl＋mgl＝mgl(2μ＋1)＝1×10×1×(2×0.2＋1) J ＝14 J ② (2)如右图所示， 若以 F＝20 N 的恒力拉 A 球， AB 绳所受拉力及 A 所受摩擦力均为变力. 在 A 移动 1 m 的过程中，对于 A 和 B 球组成的系统，由动能定理得 1 1 2 Fl－Wf－mghB＝ m 2 ③ A v＋ mv B －0 2 2 注意到内能 Q＝Wf ④ 且在同一时刻，A、B 两球沿绳方向的分速度相等.即 vAcos∠OA′B′＝vBcos∠OB′A′ OA′ OB′ 则 vA· ＝vB· ⑤ A′B′ A′B′ 4 由⑤式得 vB＝ vA，代入③式得 Q＝4.4 J 3
gL 2
（2） W
1 mgL 2
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例 2、 如图所示， 均匀铁链长为 L ， 平放在距离地面高为 2 L 的光滑水平面上， 其长度的 垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？
1 悬 5
课堂练习
1、(12 年上海)16．如图，可视为质点的小球 A、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在 地面上、半径为 R 的光滑圆柱，A 的质量为 B 的两倍。当 B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等 高。将 A 由静止释放，B 上升的最大高度是 （ ） （A）2R （B）5R/3 （C）4R/3 （D）2R/3
A B
1、.如图所示，长 L 的轻杆两端分别固定有质量为 m 的小铁球，杆的三等分点 O 处有光 滑的水平转动轴。用手将该装置固定在杆恰好水平的位置，然后由静止释放。当杆到达 竖直位置时，求：小球 1、2 的速度各多大
2 1
O
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2、连接体与速度分解
例 1、如图所示，在竖直平面内有一半径为 R 的半圆形圆柱截面，用轻质不可伸长的细绳连 接的 A、B 两球(A、B 均可视为质点)，悬挂在圆柱截面边缘的同侧，A 球质量为 B 球质量的 2 倍，现将 A 球从圆柱边缘处由静止释放，已知 A 球始终不离开球面，且细绳足够长，圆柱 固定。若不计一切摩擦。求：A 球沿圆柱截面滑至最低点时速度的大小。 答案： v A 2
课堂练习 4、(衡阳市八中高三第二次月考)如图，长为 L 的轻绳一端系于固定点 O，另一端系质量为 m 的小球。将小球从 O 点以一定初速水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，以后小球将以 O 为支点在竖直平面内摆动。已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成 60°角。求： （1）小球水平抛出时的初速 v0 （2）小球摆到最低点时，绳所受的拉力 T 答案（1） V0
2 gR 2 gR 5
R
A
B
1、 （12 年三模）20.如图所示，水平台面光滑，穿过两光滑轻质定滑轮的轻绳两端分别连接 着物体 A 和 B,A、 B 的质量分别为 M 和 m， 滑轮到台面高为 h,用手按住 A 此时 A 端绳与台面 的夹角 a=30°,然后放手，使它们运动，已知 A 始终没有离开台面，则 A 的最大速度为 A. B.
h
θ
（2）此过程中杆对 A 球所做的功； （3）分析杆对 A 球做功的情况。 （1） v
2 gh gL sin
（2） W
1 mgL sin 。 2
（3）当系统在斜面和水平面上运动时，A、B 的运动状态相同，杆中无作用力，杆对 A 不 做功；当 B 球从斜面进入水平面，而 A 球仍在斜面上运动时，A、B 的运动状态不同，此过 程中杆对 A 球做功。
20 3 gL 5
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3、一质量为 m 的质点，系于长为 R 的轻绳的一端，绳的另一段固定在空间的 O 点，假定 绳是不可伸长、柔软且无弹性的。今把质点从 O 点的正上方离 O 点的距离为 水平的速度 v 0
8 R 的 O1 点以 9
3 gR 抛出，试求 4
（1）轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？ （2）当质点到达 O 点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？
作业
2、如图所示,半径为 r,质量不计的圆盘与地面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固 定轴 O,在盘的最右边缘固定一个质量为 m 的小球 A,在 O 点的正下方离 O 点 r/2 处固定 一个质量也为 m 的小球 B.放开盘让其自由转动,求： （1）A 球转到最低点时的线速度是多少？ （2）在转动过程中半径 OA 向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
如图所示，质量分别为 3m、2m、m 的三个小球 A、B、C 用两根长为 L 的轻绳相连，置于 倾角为 30°、高为 L 的固定光滑斜面上，A 球恰能从斜面顶端外竖直落下，弧形挡板使小 球只能竖直向下运动，碰撞过程中没有动能损失，小球落地后均不再反弹.由静止开始释放 它们，不计所有摩擦， 求： （1）A 球刚要落地时的速度大小 （2）C 球刚要落地时的速度大小. （3）在 B 球运动过程中，两绳对 B 球做的总功为多少 答案（1） v1
课堂练习
例 3、 （2003 上海卷）7．一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为 m 和 2m 的小球 A 和 B。支架的两直角边长度分别为 2l 和 l，支架可绕固定轴 O 在竖直平面内摩擦转动，如图所 示。开始时 OA 边处于水平位置，由静止释放，则 A．A 球的最大速度为 2 gl B．A 球速度最大时，两小球的总重力势能最小 C．A 球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为 45° D．A、B 两球的最大速度之比 v A : v B 2 : 1 （ ）
例 3、如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮 O1、O2 和质量 mB=m 的小球连接， 另一端与套在光滑直杆上质量 mA=m 的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一 竖直平面内，与水平面的夹角θ=60°，直杆上 C 点与两定滑轮均在同一高度，C 点到定滑轮 O1 的距离为 L，重力加速度为 g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现 将小物块从 C 点由静止释放，试求： （1）小球下降到最低点时，小物块的机械能（取 C 点所在的水平面为参考平面） ； （2）小物块能下滑的最大距离； （3）小物块在下滑距离为 L 时的速度大小． 答案 （1） （2） E1 mB g ( L L sin ) mgL(1 3 / 2) sm 4(1 3) L（3） v
15．如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为 m 的小球 A 和 B，两球之间用一 根长为 L 的轻杆相连，下面的小球 B 离斜面底端的高度为 h。两球从静止开始下滑，不计球 与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求： （1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小； A B
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一、轻绳
例 1、 （08 年全国卷 2）18． 如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两 端各系一小球 a 和 b．a 球质量为 m，静置于地面；b 球质量为 3m， 用手托住，高度为 h， 此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放 b 后，a 可能达到的最大高度为 A．h B．1.5h C．2h D．2.5h
(3m1 m2 ) gR 3M
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作业
3、 （ 2005 年全国卷 ）如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮 K ，一条 不可伸长的轻绳绕过 K 分别与物块 A 、B 相连 A 、B 的质量分别为 mA、mB。开始时系 统处于静止状态， 现用一水平恒力 F 拉物块 A ， 使物块 B 上升， 已知当 B 上升距离为 h 时．B 的速度为 v， 求此过程中物块 A 克服摩擦力所做的功。 （重力加速度为 g）
C.
D.
例 2、有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块 A、B 分别套在水平杆与竖直杆上，A、 B 用一不可伸长的轻细绳相连，A、B 质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水 平伸直，A、B 静止．由静止释放 B 后，已知当细绳与竖直方向的夹角为 60°时，滑块 B 沿 着竖直杆下滑的速度为 v，则连接 A、B 的绳长为 ( A. 4v2 g B. 3v2 g C. 3v2 4g ) D. 4v2 3g
3、质量均为 m 的物体 A 和 B 分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为
30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体 B 拉到斜面底端，这 时物体 A 离地面的高度为 0.8 m，如图 10 所示.若摩擦力均不 计，从静止开始放手让它们运动.求： (1)物体 A 着地时的速度； (2)物体 A 着地后物体 B 沿斜面上滑的最大距离.
2、如图所示，半径为 R 的光滑半圆上有两个小球 A、B ，质量分别为 m和M ，M>m，由 细线挂着，今由静止开始自由释放，求 （1）小球 A 升至最高点 C 时 A、B 两球的速度？ （2）绳的张力对物体 B 所做的功。
例 3、有一光滑水平板，板的中央有一小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量 为 M 的小球，轻线的下端系着质量分别为 m1 和 m2 的两个物体，当小球在光滑水平板上沿 半径为 R 的轨道做匀速圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（如下图） ．若将 两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速圆周运动？ 答案： v