解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等章节综合考点检测练习(四)带答案人教版高中数学考点大全家教辅导

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 的值为 .3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内． 评卷人得分三、解答题4．已知椭圆22221x y a b += ()0a b >>的右焦点为1(20)F ，，离心率为e .（1）若22e =，求椭圆的方程； （2）设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k ，若3k ≥，求e 的取值范围． 关键字：求椭圆方程；证明点在定圆上；求点的轨迹方程；5．定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan 4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标；（2）当3arctan 4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.6．平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1（0，－c ），F 2（0，c ），A （3c ，0）三点，其中c ＞0．（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；（2）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ，⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．7．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除，再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在12,l l 之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为22(2)1x y ±+=，求椭圆段的方程；(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程； (Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，求PM PN的取值范围.分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a ，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M 点的坐标，易得直线方程；关注PM PN 的实质，涉及分类讨论. 解答：(Ⅰ）由题意：22222,21(22)14c a ==++=，则2222b a c =-=；则椭圆段的方程：221(22)42x y x +=-≤≤； (Ⅱ）由题意：1||1NF =，则1||2MF =，设00(,)M x y ，则0(22)2e x +=，00x ∴=，则(0,2)M ±，则直线l 的方程是：(2)y x =±+； (Ⅲ）211111111111()()P M P NP F F M P FF N P F P FF NP FF M=++=+++（1）P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，则N 必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则11||1,||1PF F N ==， 11110PF F N PF FM ==， 所以：11111||PM PN F M F NF M =+=-，设00(,)M x y P(1）0[2,2]x ∈-时，M 在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则102||2[1,3]2F M x =+∈ 则11||[2,0]PM PN FM =-∈-； (2）0[2,21]x ∈+时，M 在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分， 则2200(2)1x y -+=，且1||F M =22000(2)142[3,122]x y x ++=+∈+则11||[22,2]PM PN FM =-∈--； 综上可知：PM PN 的取值范围是11||[22,0]PM PN FM =-∈-. 说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8．已知：“过圆222:C x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程是200x x y y r +=.”(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程（不要求证明）；(Ⅱ）过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B两点，求过,A B 两点的直线方程；(Ⅲ）若过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，且AB 恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M 在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：(Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b '+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程是00221x x y ya b +=；(Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .由（Ⅰ）可知：过点11(,)A x y 的椭圆的切线1l 的方程是：11221x x y ya b +=； 过点22(,)B x y 的椭圆的切线2l 的方程是：22221x x y ya b+=； 因为12,l l 都过点00(,)M x y ，则10102210102211x x y y abx x y y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+= (Ⅲ）由（Ⅱ）知过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+=， 由题意：(,0)F c -在直线AB 上，则02()1x c a -=，则20a x c =- ∴点00(,)M x y 在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．DD【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。

第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2． 3．③ 评卷人得分三、解答题4．（1）由22e =，c=2，得a=22，b =2． 所求椭圆方程为22184x y +=．…………………………………………………………4分（2）设00()A x y ，，则00()B x y -，-， 故00222x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，0222x y N -⎛⎫- ⎪⎝⎭，．………………………………………………6分① 由题意，得0OM ON ⋅=uuu r uuu r．化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． …………8分② 设00()A x y ，，则00220022220014y kx x y a b x y =⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩⇒22200222220014x k x ab x k x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩⇒222211(1)4k k a b +=+． 将2c e a a ==，222244b a c e=-=-，代入上式整理，得 2242(21)21k e e e -=-+． …………………………………………………………10分因为42210e e -+>，k 2>0，所以 2210e ->，22e >．…………………………12分 所以 422221321e e k e -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥ 解之，得21<4232e -≤，2<312e -≤. 故离心率的取值范围是2312⎛⎤- ⎥ ⎝⎦，. ………………………………………………14分 (说明：不讨论2210e ->，得031≤e <-的扣2分)5．（理）解：（1）设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），由椭圆定义知焦距2222c c =⇒=，即222a b -=…①.又由条件得224a b +=…②，故由①、②可解得23a =，21b =.即椭圆C 的标准方程为2213x y +=.且椭圆C 两个焦点的坐标分别为()12,0F -和()12,0F .对于变换T ：cos sin ,sin cos x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩，当3arctan 4θ=时，可得43,5534,55x y x x y y ⎧'+=⎪⎪⎨⎪'-=⎪⎩设()111,F x y '和()222,F x y '分别是由()12,0F -和()12,0F 的坐标由变换公式T 变换得到.于是，114342(2)0,5553432(2)0555x y ⎧=⋅-+⋅=-⎪⎪⎨⎪=⋅--⋅=-⎪⎩，即1F '的坐标为4232,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭； 又22434220,555343220555x y ⎧=⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪=⋅-⋅=⎪⎩即2F '的坐标为4232,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （2）设(,)P x y 是椭圆C 在变换T 下的不动点，则当3arctan4θ=时， 有43553455x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒3x y =，由点(,)P x y C ∈，即(3,)P y y C ∈，得：22(3)13y y += ⇒123y x y⎧=±⎪⎨⎪=⎩，因而椭圆C 的不动点共有两个，分别为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭和31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(3) 设(,)P x y 是双曲线在变换T 下的不动点，则由cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ⋅+⋅=⎧⎨⋅-⋅=⎩()()sin 1cos ,sin 1cos ,y x x y θθθθ⋅=-⋅⎧⎪⇒⎨⋅=+⋅⎪⎩ 因为2k πθ≠，k Z ∈，故1cos sin tan sin 1cos 2y x θθθθθ-===+. 不妨设双曲线方程为221x y m n +=（0mn <），由tan 2y x θ=代入得则有2222tan tan 2211x n m x x m n mnθθ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭+=⇔=, 因为0mn <，故当2tan 02n m θ+=时，方程22tan 21n m x mnθ+=无解；当2tan 02n m θ+≠时，要使不动点存在，则需220tan2mnx n m θ=>+，因为0mn <，故当2tan 02n m θ+<时，双曲线在变换T 下一定有2个不动点，否则不存在不动点. 进一步分类可知：（i ）当0n <，0m >时，即双曲线的焦点在x 轴上时，22tan 0tan 22nn m mθθ⇒+<⇒<-； 此时双曲线在变换T 下一定有2个不动点；（ii ）当0n >，0m <时，即双曲线的焦点在y 轴上时，22tan 0tan 022nn m mθθ⇒+<⇒>->. 此时双曲线在变换T 下一定有2个不动点. 6．（1）设⊙M 的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则由题设，得2220,0,330.c Ec F c Ec F c Dc F ⎧-+=⎪++=⎨⎪++=⎩解得223,30,.D c E F c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩………………………3分 ⊙M 的方程为0332222=--+c cx y x ， ⊙M 的标准方程为22234)33(c y c x =+-． …………………………………5分 （2）⊙M 与x 轴的两个交点(3,0)A c ，)0,33(c C -，又)0,(b B ，)0,(b D -，由题设3,3,3c b c b ⎧>⎪⎨->-⎪⎩ 即3,3.3c b c b ⎧>⎪⎨<⎪⎩ 所以2222223,1.3c a c c a c ⎧>-⎪⎨<-⎪⎩………………………7分 解得2321<<a c ，即 2321<<e ． 所以椭圆离心率的取值范围为)23,21(．………………………………………10分 （3）由（1），得)0,33(c M ．由题设，得c c b b c 33333=-=-． ∴233b c =，23(,0)3D c -． ∴直线MF 1的方程为133xy c c -=， ① 直线DF 2的方程为1233xy cc -+=． ②…………………………………13分 由①②，得直线MF 1与直线DF 2的交点)3,334(c c Q ，易知433=OQ k 为定值， ∴直线MF 1与直线DF 2的交点Q 在定直线x y 433=上．…………………15分 7．。