北师大版高一数学函数的表示法
北师大版必修一数学2.2函数的表示法导学案
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：2013.9
集体备课
个人空间
一、课题：2.2函数的表示法
二、学习目标
（1）掌握函数的表示方法；
（2）通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理解.
三、教学过程
【温故知新】
问题1、从集合的观点给出函数的定义？
1.信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,信函质量超过20g,但不超过40g付邮资160分,依此类推;
2.信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过200g付邮资(A+200)分,(A为质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A+400)分,依此类推.
练2：用图像法做练1
3.解析法：用来表达函数y=f（x）（x A）中的f（x），这种表达函数的方法叫解析法。
跟踪练4：用解析法练1
4.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着，这样的函数通常叫做。
【巩固提升】
1、作出函数y= 的图像
【检测反馈】
1、y=2x＋1,Байду номын сангаас∈Z且 的图象
2、国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:
设一封x g(0<x≤200)的信函应付的邮资为y(单位:分),试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象.
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
反
思
栏
问题2．什么叫定义域，值域？函数的三要素是什么？
【导学释疑】
北师大版高中数学必修一课件函数的表示法
图象的是( B )
y
y
y
y
o
o xo x
xo x
A
B
C
D
集合x 1 x 2或3 x 5用区间表示为:
1,2 3,5
2.2 函数的表示法
某天一昼夜温度变化情况:
时间 0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 24:00
温度 -2
-5
4
9 8.5 3.5 -1
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2 函数的表示法
萍乡二中 邢江海
函数的概念
设A,B是非空的数集，如果按照某种 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意 一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f (x)
和它对应，则对应关系 f 叫做定义在集合A 上的函数.
记作： f : A B 或 y f (x), x A
T (x) 25 0.6x 25 3 x.
100
500
函数的定义域为[0，7500]，值域为[-20，25].
2.2 函数的表示法
P32练习4 如图,△ABC是一个等腰直角三角形, AB=AC=1,EF∥BC,当E从A移向B时,写出线段EF的
长度 l 与它到点A的距离h之间的函数关系式,并作出
优 点
不必通过计算就能 知道两个变量之间 的对应关系，比较 直观
可 数 进 整的以 而 体局直 可 趋部观 以 势变地 预化表 测规示 它律函 的，能算性较等质便手利段地研通究过函计数
缺
只能表示有限个元 有些函数的图像 一些实际问题难以
点
素的函数关系
难以精确作出
找到它的解析式
思考：
已知：y
北师大版高中数学必修一函数的表示方法学案
函数的表示法【要点导学】1、函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.2、分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数. 3、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）方程法 ；（4）配凑法等.4、作函数图象的一般步骤：（1）确定函数定义域；（2）化简或变形函数表达式（一般来说可化简成常见函数或其复合函数）；（3）利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有：平移变换、对称变换和翻折变换等.【范例精析】例1 （1）已知)(x f 是一次函数, 且14))((-=x x f f ,求)(x f 的解析式 ； （ 2）已知x x x f 2)1(+=+,求)(x f ； （3）已知)(x f 满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f 思路剖析 根据题设条件的特点，灵活采用相应的方法求解. 解题示范 （1）（待定系数法）设0,)(≠+=k b kx x f ， 则 14)(-=++x b b kx k ，即14)1(2-=++x b k x k .比较系数，得⎩⎨⎧-=+=1)1(42b k k ，解得，⎪⎩⎪⎨⎧-==312b k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k .∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f .（2）法1（换元法）：令t =1+x （ t ≥1），则2)1(-=t x ,∴1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴1)(2-=x x f （x ≥1）法2（配凑法）：∵1)1(2)1(2-+=+=+x x x x f ，又 ∵1+x ≥1， ∴1)(2-=x x f (x ≥1).（3）（方程法）∵x xf x f 3)1()(2=+ ---①，将①中x 换成x1，得 x x f x f 3)()1(2=+---②，①×2-②，得 xx x f 36)(3-=，∴xx x f 12)(-=.回顾反思 求函数解析式的方法：（1）待定系数法：适用于已知函数的类型，求函数的解析式；（2）换元法或配凑法：适用于已知复合函数))((x g f 的表达式，求)(x f 的解析式，但运用时要注意正确确定中间变量)(x g t =的取值范围；（3）方程法：只已知关于)(x f 及)1(xf 的一个条件要求)(x f ，可通过条件再寻找关于)(x f 及)1(x f 的另一个方程，利用解方程组求出)(x f .请思考：若本题中把x1换成x -，你能求)(x f 的解析式吗？（4）由实际问题求函数解析式时， 常根据实际意义（如面积、距离等）确定函数解析式，并注明符合实际问题的定义域.例2 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A .设x 表示P 点的行程，y 表示P A 的长，求y 关于x 的函数关系式.思路剖析 视P 点所处的正方形边的位置分别计算PA 的长.解题示范 如图 ，当P 在AB 边上运动，即10≤≤x 时, P A =x ； 当P 在BC 边上运动，即21≤<x 时， P A =2)1(1-+x ＝222+-x x ；当P 在CD 边上运动，即32≤<x 时，P A =2)3(1x -+＝1062+-x x ；当P 在DA 边上运动，即43≤<x 时， P A =4-x .DA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+-=x x x x x x y 41062222 )43()32()21()10(≤<≤<≤<≤≤x x x x 回顾反思 由于y 表示的是线段PA 的长度，而x 表示的是P 点从A 点出发后所走的路程，从而计算PA 长度的方式应随着P 点所在正方形边的位置的变化而改变，因此计算PA 时需对P 点的位置进行分类讨论， 故y 不可能用关于x 的一个表达式来表示，应用分段函数来表示.例3 作出函数（1）y =|122--x x |；（2）y =|x |2-2|x |-1的图象.思路剖析 找出所作图象的函数与常见函数间的联系，利用函数的图象变换作图.解题示范 （1） 当122--x x ≥0时， y =122--x x当122--x x <0时，y =-（122--x x ) 作图步骤：①作出函数y =122--x x 的图象②将上述图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方（原在x 轴上方的部分保留不变），即得y =|x 2-2x -1|的图象（如图）. （2）当x ≥0时 y =122--x x 当x <0时 y =122-+x x即 y =(-x )2-2(-x )-1 作图步骤：①作出y =122--x x 的图象；②保留所得图象在y 轴右方的部分，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分的图象翻折到y 轴的左方（翻折过程中保留y 轴右方的图象），即得y =|x |2-2|x |-1的图象 （如图）.回顾反思 1、常见的图象变换有：（1）平移变换：用于研究函数)(x f y =的图象与b a x f y ++=)(的图象之间的联系： ①将函数)(x f y =的图象向左（或向右）平移|k |个单位（k >0向左,k <0向右）得)(k x f y +=图象；P②将函数)(x f y =的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）得k x f y +=)(图象.（2）对称变换： 用于研究函数的图象)(x f y =与)(x f y -=、)(x f y -=及)(x f y --=的图象之间的联系：①函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于x 轴对称； ②函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于y 轴对称； ③函数)(x f y =的图象与)(x f y --=的图象关于原点对称.（3）翻折变换：用于研究函数)(x f y =的图象与|)(|x f y =与|)(|x f y =的图象之间的联系：①将)(x f y =的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分以x 轴为对称轴向上翻折即得|)(|x f y =的图象；②将)(x f y =的图象在y 轴右方的部分保留不变，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分向左翻折即得|)(|x f y =的图象.2、并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x )=⎩⎨⎧.x 0x 1是无理数，是有理数，，,我们就作不出它的图象.例4 对于任意的实数x ，规定y 取4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值. （1）求y 与x 的函数关系式，并画出此函数的图象. （2）x 为何值时，y 最大？最大值是多少？思路剖析 所谓y 是4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值，是对于同一个x 值而言的，从图象上反映应是三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象中处于最下方的那一个.解题示范 （1）在同一坐标系中作出三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象.设函数y ＝)5(21x -的图象分别与函数 ABy ＝x +1，y ＝4-x 的图象交于A 、B 两点，由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1)5(21x y x y 解得A (1, 2)； 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y －4)5(21解得B (3, 1). ∴y 与x 的函数关系式是⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤+=3431)5(2111x xx x x x y ，其图象为实线部分.（2）由图象可知，当x = 1时, y 最大，其最大值为m ax y = 2 .回顾反思 求解此题的数学思想方法称为数形结合思想. 数形结合思想是数学中的重要思想方法之一，它在求解数学问题时有着广泛的应用，它在解题中的独到之处在于以形助数，利用形的直观性寻找到解题的突破口.例5 已知函数 3222)(a b x a ax x f -++= .（1） 当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负，求a , b 的值及f (x )的表达式； （2） 设)16(2)1(4)(4)(-+++-=k x k x f kx F ，k 为何值时，函数F (x )的值恒为负值？思路剖析 利用不等式与方程的关系以及数形结合的思想求解. 解题示范 （1）显然0≠a .当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负,∴-2,6是方程02322＝a b x a ax -++的两个根，∴ ⎩⎨⎧=-++=-+-0263602243232a b a a a b a a 解得 a = - 4 ，b = - 8 ∴48164)(2++-=x x x f（2） 24)16(2)1(4)48164(4)(22-+=-+++++--=x kx k x k x x kx F 欲使函数F (x )的值恒为负值，显然0≠k,故 ⎩⎨⎧<+=∆<08160k k ，解得 k < - 2∴当k < - 2时，函数F (x )的值恒为负值.回顾反思 1、 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系： 设)(x f =c bx ax ++2(0≠a )，则（1）方程c bx ax ++2＝0的两根即为)(x f =c bx ax ++2的图象与x 轴两交点的横坐标；（2）不等式c bx ax ++2>0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴上方部分的横坐标x 的取值范围 ；不等式c bx ax ++2<0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴下方部分的横坐标x 的取值范围 ；（3）若不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或，则21,x x 是方程c bx ax ++2＝0的两个根；若21,x x ）（21x x < 是方程c bx ax ++2＝0的两个根，则不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或.2、 设)(x f =c bx ax ++2(0≠a ),由二次函数的图象可直观地得到：当⎩⎨⎧<->0402ac b a 时，0)(>x f 恒成立；当⎩⎨⎧<-<0402ac b a 时，0)(<x f 恒成立，反之也成立. 【能力训练】一、 选择题1、已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 （ ）A 、11+xB 、x x +1C 、1+x xD 、x +12、在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %),0,(b a b a ≠>， 则x 与y 的函数关系式是 （ ） A 、x b c a c y --= B 、x c b ac y --= C 、x c b c a y --= D 、x ac cb y --=3、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离d ，横轴表示出发后的时间t ，则下列四个图形中较符合该生走法的是 （ ）A 、B 、C 、D 、4、函数2)1(+=x y -2的图象可由函数2x y =的图象经过（ ）得到.A 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位5、函数1)1(2-+-=x y 的图象与函数1)1(2+-=x y 的图象关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、以上都不对二、填空题6、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，则_______)]}1([{=-f f f .7、已知f (x )=x x 22+，则f (2x +1)= .8、已知x x x f 2)1(+=-，则___________)(=x f .9、将长为a 的铁丝折成矩形，设矩形的长为x ，则面积y 关于x 的函数关系式是 _______ ，其定义域是 ______.10、已知f (x )=⎩⎨⎧>-≤+)0(2)0(12x x x x ,若f (x )=10，则x = .三、解答题11、（1）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )；（2）设二次函数f (x )满足f (x +2)= f (2-x )，且方程f (x )=0的两实根的平方和为10，)(x f 的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式.12、已知[]221)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x ≠0)， 求)21(f .13、(1) 已知12)(3)(+=-+x x f x f ，求)(x f .(2)设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )].14、作出下列函数的图象：(1)⎩⎨⎧---=14)(22x x x f )20()02(≤<≤≤-x x ； (2)322-+=x x y ；(3)xx x y -+=||)21(015、讨论函数273++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系. 【素质提高】16、已知函数f (x )满足f (a b )= f (a )+ f (b )且f (2)=p ，f (3)= q ，则f (36)= .17、讨论关于x 的方程)(|34|2R a a x x ∈=+-的实数解的个数.18、设函数f (x )=x 2-4x -4的定义域为[t -2, t -1]，对任意t ∈R ，求函数f (x )的最小值ϕ(t )的解析式，并画出)(t ϕ的图象.2.2 函数的表示法1、C2、B3、D4、C5、C6、1+π7、3842++x x 8、)1(342-≥++x x x 9、y = 221x ax -,定义域是(0, 2a ) 10、－3 11、（1）f (x )=2x +7； （2）f (x )=x 2-4x +312、15 13、(1)41)(+-=x x f (2) f [g (x )]=296246-+-x x x 14、略 15、273++=x x y 的图象可由xy 1=的图象先向左平移两个单位，再向上平移三个单位得到 16、2(p +q ) 17、当)0,(-∞∈a 时，没有解；当0=a 或),1(+∞∈a 时，两解；当1=a 时，三解；当)1,0(∈a 时，四解18、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤-<+-=)4(88)43(8)3(16)(22t t t t t t t t ϕ ，图略。
北师大版数学必修一第二章 2.2 函数的表示法
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(3)消元法：将函数中的自变量 x 适当地置换为别的自变量，得到一个新的函数方程， 从两个函数方程组成的方程组中通过消元，得到所求函数解析式． (4)特殊值法：所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入， 或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数解析式．至于取什么特 殊值，须根据题目特征而定．
答案：－ 6或 4
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探究一 求函数的解析式 [典例 1] 根据下列条件，求函数的解析式． (1)已知 f(x)为一次函数，且 f[f(x)]＝9x＋4，求 f(x)． (2)已知 f(x)为二次函数，且 f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求 f(x)． (3)已知 f(2x－1)＝4x2－2x，求 f(x)． 1 (4)已知 f(x)－2f( )＝3x＋2，求 f(x)． x
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[双基自测] 1．如图中，可表示函数图像的是( )
A．只有① C．①③④
B．②③④ D．②
解析：②中一个自变量对应两个函数值．
答案：C
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x－1， x>0 2．已知 f(x)＝0， x＝0， x＋1， x<0， 1 A. 2 3 C. 2
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4．设函数
2 x ＋2， x≤2， f(x)＝ 2x， x>2，
若 f(x0)＝8，则 x0＝________.
解析：若 x0≤2，则 f(x0)＝x2 0＋2＝8，得 x0＝± 6. ∵x0≤2，∴x0＝－ 6. 若 x0>2，则 f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4. 综上可知 x0＝－ 6或 x0＝4.
2015-2016学年高中数学必修一(北师大版)函数的表示法课件(22张)
探究点1
函数三种表示法的优缺点
问题4：函数三种表示法各有什么优缺点？ 提示：
典例精讲：题型一：函数的三种表示法的应用
[例1]某手机每台售价为1000元，现一经销商购进5部手机，试求出 售出台数与收款数之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析 法表示出来. [解析] 这个函数的定义域是数集 {1,2,3,4,5} ．用解析法可将函数 y＝
第二章
函数
§2 对函数的进一步认识
2.2 函数的表示法
高中数学必修1· 精品课件
学习目标
[目标要求] 1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法． 2．会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．
[重点难点]
1．用解析法和图象法表示函数．(重点)
2．求函数的解析式，画函数的图象．(难点、易错点)
x→f(x)=2x1，其意义也可以表示为： f(□)=2□1，其中“”可以 是常量，也可以是变量 . 因此第 (1) 问只需将 x2 整体代换 x 即可，对 于第(2)问可用换元法或凑配法.
典例精讲：题型二：函数解析式的求解
[解析] (1)(代入法)f(x2)2x21；
(2)方法1：换元法 令t 1 (t≥1)， 则 t1 ，
典例精讲：题型二：函数解析式的求解
[解析] (1)设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0). ∵f(1)＝1，f(－1)＝－3， ∴，解得
∴f(x)＝2x－1.
典例精讲：题型二：函数解析式的求解
(2)由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ∵f(0)＝0，∴c＝0. ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x, 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴ 即2ax＋a＋b＝2x，
(3)若已知f(x)与x轴两交点横坐标为x1、x2，常设两根式
北师大版高中数学必修一课件2-1、2-2函数的表示法74张
[解析] (1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直 线 y＝1－x 上，∵x∈Z，∴y∈Z，这些点称为整点，其图像 如图 1.
(2)∵0≤x<3，∴这个函数的图像是抛物线 y＝2x2－4x－3
介于 0≤x<3 之间的部分，其图像如图 2.
(3)所给函数可写成分段函数 y＝x1－－1x
且由于进价为 30 元，从而函数的定义域为
[30,54]，于是 y＝162－3x(x∈[30,54])．
[方法总结] 这是一个综合了函数三种表示方法(列表 法、图像法以及解析法)的问题．由表格可看到每一个销售单 价与相应日销售量的关系，但却无法明确后面单价与日销售 量的确切关系，在图像法中，看到日销售量的发展趋势，而 解析法则能让我们明确其最终趋势，知道定什么样的价便有 怎样的日销售量，不仅知道单价为 35 元时的日销售量，还能 知道 36 元时的日销售量，通过此题能让我们充分认识到函数 三种表示法的优点．
(2)画函数图像的基本方法有两种： ①描点法； ②图像变换法：以已知的常见函数的图像为基础，以平 移、伸缩、对称等变换的意义为依据，经过对函数解析式的 适当等价变形，得到所要的图像．
作出下列各函数的图像： (1)y＝1－x，x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3； (3)y＝|x－1|；(4)y＝1x 0<x<1，
(2)图像法：
9 27000
10 30000
(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}.
求函数解析式 [例 3] 求下列函数的解析式： (1)已知 f(x)＝x2＋2x，求 f(2x＋1)； (2)已知 f( x－1)＝x＋2 x，求 f(x)； (3)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，求 f(x)； (4)已知 f(x)－2f1x＝3x＋2，求 f(x)． [分析] 根据题中所给条件，可用拼凑法、换元法、待定 系数法、解方程组的方法求解．
新教材高中数学2函数2-2函数的表示法第1课时函数的表示法课件北师大版必修第一册
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],故
f(x)的值域是[-1,3].
x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.
变式训练3
作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=
2
,x∈[2,+∞).
解(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[1,5].
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.( × )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示.( × )
2.若 f
1
x
=x+1,则 f(2)=(
1
B.
2
A.2
)
C.3
答案 D
解析
1
令 =2,则
1
1
3
x= ,∴f(2)= +1= .故选
2
2
2
D.
3
D.
2
3.某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵
(方法二)令√+1=t,则 x=(t-1)2,且 t≥1,
函数 f(√+1)=x+2√可化为 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
故所求函数的解析式为 f(x)=x2-1,x∈[1,+∞).
(3)因为对任意的 x∈R,且 x≠0 都有 f(x)+2f
2.2函数的表示方法教学设计-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
3. 函数的表格表示方法：
- 表格的概念：函数的表格是将函数的输入值和输出值列举在一个表格中，以便于观察和分析。
- 表格的编制方法：根据函数的定义，选择合适的输入值，计算对应的输出值，然后将它们放入表格中。
- 表格的作用：表格可以用来查找函数的值，分析函数的特性，以及进行函数的插值和外推等操作。
过程：
开场提问：“你们知道什么是函数的表示方法吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于函数图像的图片或视频片段，让学生初步感受函数图像的魅力或特点。
简短介绍函数的表示方法的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2. 函数表示方法基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解函数的表示方法的基本概念、组成部分和原理。
2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，生动形象地展示函数图像和性质，提高学生的直观理解能力。
3. 教学内容：从基础入手，循序渐进，注重函数表示方法的学习与实际问题的结合，提高学生的应用能力。
4. 教学评价：注重过程性评价与终结性评价相结合，全面评价学生在知识、能力、素质等方面的提升。
4. 对课程学习的影响：基于以上学情分析，本节课的教学设计需要注重以下几个方面：
a. 教学内容要从基础入手，循序渐进，让学生逐步建立起对函数表示方法的认识。
b. 教学过程中要注重引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣，提高学习积极性。
c. 针对学生的不同能力水平，设计适当难度的教学任务，让每个学生都能在课堂上找到成就感。
5. 课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对函数表示方法的认识和理解。
高中数学第二章函数第1.2节2.2函数的表示法课件北师大版必修1
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝－1，∴c＝－1. ∵f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2ax＋a＋b＝2x＋2， ∴2aa＋＝b2＝，2， 解得ab＝ ＝11， ， ∴a＝1，b＝1，c＝－1， ∴f(x)＝x2＋x－1.
(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组． (3)解方程或方程组，得到待定系数的值． (4)将所求待定系数的值代回原式． 2．换元法： 已知 f[g(x)]是关于 x 的函数，即 f[g(x)]＝F(x)，求 F(x)的解析式，通常令 g(x) ＝t，由此能解出 x＝e(t)，将 x＝e(t)代入 f[g(x)]＝F(x)中，求得 f(t)的解析式，再 用 x 替换 t，便得 F(x)的解析式．如本例(2)的法二．
[再练一题] 3．某质点在 30 s 内运动速度 v 是时间 t 的函数，它的图像如图 2-2-3，用解 析法表示出这个函数，并求出 9 s 时质点的速度．
图 2-2-3
【解】 速度是时间的函数，解析式为
10＋t，
t∈[0，5，
v(t)＝33t0，，
t∈[5，10， t∈[10，20，
【提示】 当 a≤0 时，f(a)＝－a. ∵f(a)＝4，∴－a＝4，∴a＝－4. 当 a＞0 时，f(a)＝a2. ∵f(a)＝4，∴a2＝4，∴a＝2，或 a＝－2(舍去)． 综上 a＝－4 或 2.
探究 3 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如表．
信函质量 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 80＜m≤100
2016-2017学年高中数学必修一(北师大版)函数的表示法ppt课件(30张)
1 2
1+������
B.
D.
.
41 25
4
答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练 2
(
0,������ > 0, (1)已知 f(x)= -1,������ = 0, 则 f(f(5))+f(-2)等于 2������-3 ,������ < 0,
) A.8 B.-8 C.1 D.-1 (2)(2015 江苏常州高一检测)已知实数 a ≠0,函数 2������ + ������,������ < 1, f(x)= 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为 -������-2 ������,������ ≥ 1,
.
解析 :(1)由于 x>0 时 ,f(x)=0,因此 f(5)=0. 则 f(f(5))=f(0)=-1. 又 x<0 时 ,f(x)=2x-3, 故 f(-2)=-7. ∴f(f(5))+f(-2)=-8.
探究一
探究二
探究三
思想方法
3 (舍去); 2
(2)①当 a>0 时,由 f(1-a)=f(1+a)得,2(1-a)+a=-(1+a)-2a,得 a=-
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究二分段函数的求值 |������-1|-2,|������| ≤ 1, 1 【例 2】 已知 f(x)= 1 则 f ������ 等于( 2 2 ,|������| > 1,
)
A.
4 9 C.13 5 1 1 分析:先求出 f 的值,再求 f ������ 2 2 1 3 1 4 解析:f ������ =f - = 9 = . 2 2 13 1+
学高中数学第二章函数函数函数的表示法教案北师大版必修第一册
第二章函数第２．２节函数的表示法教学设计函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．一．教学目标：（１）明确函数的三种表示方法；（２）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；a（３）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．二. 核心素养1.数学抽象：函数的表示方法的理解2.逻辑推理：通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通过画图像，培养学生的动手操作能力；3.数学运算：会函数图像，根据图像分析函数的定义域，值域4.直观想象：通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体会数学源于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合思想方法。
5.数学建模:通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．教学重点函数的三种表示方法，分段函数的概念 教学难点根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像PPT1. 函数的表示方法（１）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
如初中： 学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数的关系式,都是解析法.（２）列表法：列表法直接通过表格读数,不必通过计算，就表示出了两个变量之间的对应值,非常直 观.但任何一个表格内标出的数都是有限个，也就只能表示有限个数值之间的函数关系.若 自变量有无限多个数，则只能给出局部的对应关系.（３）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。
例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。
（见课本P ５３页图２—２ 我国人口出生变化曲线）比如心电图：但不是所有函数都可以用图像表示：如狄利克雷函数：{1,0()x x f x =为有理数，为无理数２． 函数表示的三种方法对比： 函数表示方法优点缺点 解析法１、简明、全面地概括了变量间的关系； ２、通过解析式求出任意一个自变量的值对应的函数值。
2.2.2 函数的表示法课件-高一数学北师大版(2019)必修第一册
=
+ = +
则
，解得
+=
=
所以 =
+
.
这道题的方法
叫待定系数法
巩固练习
(2)若函数 = − + 的定义域为[, ]，值域为[, ]，
当今世界上最大水利
枢纽工程。
探究新知
如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的
统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是
函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？
探究新知
提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。
函数的三种表示法：
解析法、列表法、图象法
将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；
典例剖析
例4.设是任一实数，[]表示不超过的最大整数，如 −. = −、
− = −、 . = 、 . = 等等，我们把函数 = []叫作
取整函数（高斯函数）。试画出取整函数 = []的局部图象.
解：根据题意，函数 = [] 的定义域为 ，
值域为.
所以 = + + ≥ − ；
这两道题的方
法叫换元法
（注意定义域）
巩固练习
③ +
=
+
；
解：由均值不等式，| +
+
= +