高考数学 高校信息化课堂 高考中档题训练(一)理

高考中档题训练(一)
1.(2014嘉兴二模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且=.
(1)若C=π,求角B的大小;
(2)若b=2,≤C<,求△ABC面积的最小值.
解:(1)由正弦定理,得==,
则sin B=sin 2C=sin π=.
故B=(B=舍去).
(2)由(1)中sin B=sin 2C,可得B=2C或B+2C=π.
又B=2C时,≤C<,B≥π,即B+C≥π,不符合题意.
所以B+2C=π,π-A-C+2C=π,即A=C.
设△ABC的边AC上的高为h,
则S△ABC=hb=tan C≥,
即当C=时,S△ABC的最小值是.
2.(2014浙江省“六市六校”联考)已知等差数列{a n}的公差不为零,其前n项和为S n,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列,
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为T n,求证:≤T n<.
解:(1)设等差数列公差为d(d≠0),
由题知
即
解得a1=6,d=4或a1=14,d=0(舍去),
所以数列的通项公式为a n=4n+2.
(2)由(1)得S n=2n2+4n,
则==(-),
则T n=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=-(+),
由(+)>0可知-(+)<,即T n<,
由T n+1-T n=(-)>0可知{T n}是递增数列,则T n≥T1=,
可证得:≤T n<.
3.(2014浙江建人高复模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M BQ C为30°,设=t,试确定t的值.
(1)证明:法一∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,
∴CD∥BQ.
∵∠ADC=90°,
∴∠AQB=90°,
即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BQ⊥平面PAD.
∵BQ⊂平面PQB,
∴平面PQB⊥平面PAD.
法二∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,
∴CD∥BQ.
∵∠ADC=90°,
∴∠AQB=90°.
∵ PA=PD,
∴PQ⊥AD.
∵PQ∩BQ=Q,
∴AD⊥平面PBQ.
∵ AD⊂平面PAD,
∴平面PQB⊥平面PAD.
(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点,
∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD.
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.
则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1);
Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0). 设M(x,y,z),
则=(x,y,z-),
=(-1-x,-y,-z),
∵=t,
∴
∴
在平面MBQ中,
=(0,,0),
=(-,,),
∴平面MBQ的一个法向量为m=(,0,t). ∵二面角M BQ C为30°,
∴cos 30°===,
∴t=3.。