二项式定理基础题
二项式定理习题(带答案)
二项式定理的应用(一)通项公式的应用1、6)12(xx +的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______； 常数项为_______；含4x 的项为______。
2、已知在n xx )21(-的展开式中，第五项为常数项 （1）求n ；（2）求展开式中的所有有理项。
3、42)1)(21(x x -+的展开式中2x 的系数为______。
4.(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()5.(x －2)5(2＋y )4的展开式中x 3y 2的系数为________．(二)二项式系数的最值 6.8)221(x +的展开式中二项式系数最大的是第____项；9)221(x +的展开式中二项式系数最大的是第____项（三）展开式中各项系数和问题7.已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ，求1234713570246017a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++++（1）（2）（3）（4）8.已知(＋)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（四）其它系数问题9.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________．10.设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.11.x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( )12.(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 1的值为( )13.(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )14.将⎝⎛⎭⎫1－1x 2n (n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，则1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝________.15.. (x －a )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，且a 5＝56，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝________.。
高中数学二项式定理基础练习题
高中数学二项式定理基础练习题1.在展开式(x-3)^10中，x^6的系数为9C10.2.若(x-1)^n展开式的第4项为含x^3的项，则n等于8.3.在展开式(x^2-2x)^9中，x^9的系数是-252.4.在展开式(1/3x - 1)^12中，常数项为-2205/2.5.若(x^3 + 1/x)^n的展开式中的常数项为84，则n=6.6.已知在展开式(1/x^2 - 1/2x)^n中，第9项为常数项，则n的值为8.展开式中x^5的系数为-1260.7.(1-x)^13的展开式中系数最小的项是第7项。
8.在展开式(1-x^3)(1+x)^10中，x^5的系数为-297.9.若(x+3y)^n展开式的系数和等于(7a+b)^10展开式中的二项式系数之和，则n的值为15.10.在展开式(1/3x - 1)^4中，常数项为1/81.11.在二项式展开式(a-b)^10中，系数最小项是C^10_5.12.设(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n=a+a1x+a2x^2+…+anx^n，当a+a1+a2+…+an=254时，求n的值为6.13.在二项式展开式(1-2x)^6中，所有项的系数之和为0.14.(1-x)^10的展开式中，中间项是第6项，为C^10_5 *x^5.其余各项的系数和为0，因为展开式中x的次数总和为10，而每个二项式都有一个正次幂和一个负次幂，相加后系数和为0.展开式中系数最大的项是第1项，为1.15.已知(1-2x+3x^2)^7=a+a1x+a2x^2+…+a13x^13+a14x^14，则a1+a2+…+a14=0，因为展开式中x的次数总和为14，而每个二项式都有一个正次幂和一个负次幂，相加后系数和为0.a1+a3+a5+…+a13=C^7_1 * (-2)^1 + C^7_3 * (-2)^3 +C^7_5 * (-2)^5 + C^7_7 * (-2)^7 = -1120.a1+a2+…+a14=C^7_0 * 1 + C^7_1 * (-2) + C^7_2 * 3 + …+ C^7_14 * (-2)^7 = -2187.。
二项式定理经典题型及详细答案
二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求： （1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求 （1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ； （2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。
二项式定理专题训练
二项式定理1． 知识精讲：（1）二项式定理：()n n nrrn r nn nnnnb C b aC b aC a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）其通项是=+1r T rr n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T rnr n aba C )(()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=--- （*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n nx C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）其中，rn C ——二项式系数。
而系数是字母前的常数。
例1．n nn n n n C C C C 1321393-++++ 等于 （ ） A ．n4 B 。
n43⋅ C 。
134-n D.314-n 解：设nnn n n n n C C C C S 1321393-++++= ，于是： n n n n n n n C C C C S 3333333221++++= =13333332210-+++++nn n n n n n C C C C C故选D例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：（1）7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数； （2）求（x +x4－4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－ 1=14.（2）（x +x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(x x -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ,,,,22110kn n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---====②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
二项式定理训练题（含答案）
⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D． 【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。
二项式定理经典习题(29题)
一．选择题（共19小题）1．（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）A．2B．±2C．D．±2．的展开式中x3的系数为（）A．5B．﹣5C．15D．﹣153．已知二项式（x+）n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是（）A．1B．C．D．34．（x﹣1）5展开式中x4项系数为（）A．5B．﹣5C．10D．﹣105．的展开式中常数项为（）A．﹣240B．﹣160C．240D．1606．（1+x）5展开式中x2的系数为（）A．﹣10B．﹣20C．20D．107．的展开式中含x5项的系数是（）A．﹣112B．112C．﹣28D．288．的展开式中x3的系数为（）A．﹣160B．﹣64C．64D．1609．二项式的展开式中的常数项是（）A．﹣15B．15C．20D．﹣2010．若的展开式中常数项为240，则正整数n的值为（）A．6B．7C．8D．911．（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．B．C．D．12．展开式中的常数项是（）A．﹣160B．﹣140C．160D．14013．（x﹣2y﹣1）5的展开式中含x2y2的项的系数为（）A．﹣120B．60C．﹣60D．3014．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（）A．14B．16C．18D．2015．设n为正整数，（2x2+）n的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A．2B．3C．4D．516．在（2x+1）4的展开式中，x2的系数为（）A．6B．12C．24D．3617．在的展开式中，的系数为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣10D．3018．的展开式中，x2的系数等于（）A．﹣45B．﹣10C．10D．4519．（x+2y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数为（）A．﹣15B．5C．﹣20D．25二．填空题（共10小题）20．已知（a+x）（1+x）6的展开式中x2的系数为21，则a＝．21．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为.（用数字作答）22．（x﹣2y+1）5展开式中含x2y项的系数为．23．的展开式中项的系数为．24．的展开式中，常数项为（用数字作答）．25．（x﹣1）（x+2）8的展开式中x8的系数为（用数字作答）．26．在的展开式中，xy7的系数为．27．（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为．28．在的展开式中，常数项等于．（用数字作答）29．（x2+y+3）6中x4y的系数为（用数字作答）．。
二项式定理练习题-含解析
二项式定理练习题一、单选题
A．252B．426
二、多选题
5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）
A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想
11C C C r r r n n n
-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2
n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大
D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9。
二项式定理题目
二项式定理题目1. 二项式定理的基本内容- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)叫做二项式系数。
- 例如(x+2)^3，根据二项式定理n = 3，则(x +2)^3=C_3^0x^32^0+C_3^1x^22^1+C_3^2x^12^2+C_3^3x^02^3。
- 计算二项式系数C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1，C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=3，C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=3，C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1。
- 所以(x + 2)^3=x^3+6x^2+12x + 8。
2. 求二项展开式中的特定项- 例：求(2x-(1)/(x))^6展开式中的常数项。
- 首先根据二项式定理(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，这里a = 2x，b=-(1)/(x)，n = 6。
- 展开式的通项公式为T_r+1=C_6^r(2x)^6 - r(-(1)/(x))^r=C_6^r2^6 - rx^6 - r(-1)^rx^-r=C_6^r2^6 - r(-1)^rx^6 - 2r。
- 要求常数项，则令x的指数6 - 2r = 0，解得r = 3。
- 把r = 3代入通项公式中的系数部分C_6^32^6 - 3(-1)^3。
- 计算C_6^3=(6!)/(3!(6 - 3)!)=20，2^6 - 3=8，(-1)^3=-1。
- 所以常数项为C_6^32^6 - 3(-1)^3=20×8×(-1)= - 160。
3. 二项式系数的性质- 性质一：对称性，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
- 例如在(a + b)^5中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。
二项式定理(基础+复习+习题+练习)
课题：二项式定理考纲要求：1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习1.二项式定理及其特例：()101()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，()21(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++2.二项展开式的通项公式：rr n r nr b a C T -+=1210(n r ，，， =3.常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.5.二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）6.()1对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴. ()2增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值.()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n rnn n n n n C C C C C =++++++7.在使用通项公式1r n r rr nT C a b -+=时，要注意： ()1通项公式是表示第1r +项，而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数r n C 与第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n . ()4证明组合恒等式常用赋值法.()5要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.()6要注意区分项的系数与项的二项式系数. ()7二项式展开式系数可用通项公式及组合知识.()8用二项式定理进行近似运算，关键是恰当地舍取不影响精度的项，一般地：当α很小时，有()()211112nn n n ααα±≈±+-. 典例分析：考点一 二项展开式定理及通项公式的应用问题1．()1（2013江西）5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为.A 80.B 80-.C 40 .D 40-()2求()102x +展开式中系数最大的项()3求()100323+x 展开所得x 的多项式中，系数为有理数的项数考点二 “生成法”的应用问题2．()1求()62123x x +-展开式中5x 的系数（要求用两种方法解答）.()2（2012安徽）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是.A 3- .B 2- .C 2 .D 3考点三 “赋值法”的应用问题3．()1已知()44332210432x a x a x a x a a x ++++=+，则()()2202413a a a a a ++-+=()2（07安徽文）已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值等于 ．()3（06浙江）若多项式21091001910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则9a =.A 9 .B 10 .C 9- .D 10-()4（05天津）设*n N ∈，则12321666n n n n n n C C C C -+++⋅⋅⋅+=()5（2012浙江）若将函数5()f x x =表示为()()2012()11f x a a x a x =+++++… ()551a x ++， 其中12,,a a ，…，5a 为实数，则3a =考点四 二项式展开式在其它方面的应用问题3．()1求51.997的近似值（精确到0.001）、()2已知*n N ∈，求证：231222++++…512n -+能被31整除.问题4．求证：()1322n n n ->+⋅（n N +∈且2n >）.课后作业：1.()7232x y z --展开式中含432x y z 项的系数是2.()62x y z +-展开式中z y x 23的系数是3.若()200912x -=2012a a x a x +++…20092009a x +()x R ∈，则31223222a a a +++ (2009)20092a + 的值为 .A 2 .B 0 .C 1-.D 2-4.今天是星期日，不算今天，再过902天后的第一天是星期几？5.1465n n +⨯+（*n N ∈）被20除后的余数是6.设5432()5101051f x x x x x x =-+-++ ()x R ∈，则()f x 的反函数1()f x -.A 1+ .B 1+ .C 1- .D 1-7.设()()()()92201212122x x a a x a x ++=+++++()11112a x ⋅⋅⋅++，则012a a a ++11a +⋅⋅⋅+的值为 .A 2-.B 1- .C 1 .D 28.若1122113333(1)3(1)512,n n n n n n nn C C C -----+-⋅⋅⋅+-⋅+-=则n = .A 7 .B 8 .C 9 .D 109.（07届西工大附中模拟文）设n 为满足0122450n nn n n C C C nC +++⋅⋅⋅+<的最大自然数, 则n =_____走向高考：10.(05湖北) 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为11.（05全国Ⅱ）()10x 的展开式中64x y 项的系数是.A 840.B 840- .C 210 .D 210-12.（07江西）已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于 .A 4 .B 5.C 6.D 713.（07陕西文）()512x +的展开式中2x 项的系数．．是 （用数字作答）14.（2012湖北）设a Z ∈，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a = .A 0 .B 1 .C 11 .D 1215.(2013新课标全国) 已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a .A 4-.B 3- .C 2- .D 1-16. (2013陕西)设函数61,0()0x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩ ， 则当0x > 时，()f f x ⎡⎤⎣⎦表达式的展开式中常数项为 .A 20- .B 2 .C 15- .D 1517.（2011安徽）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++，则1011a a +=。
二项式定理（题型及答案）
⼆项式定理（题型及答案）1、(1) 已知92-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________． (2)设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是（）A. 10B. 40C. 50D. 80(3)若展开式中含项的系数与含项的系数之⽐为-5，则n 等于（）A. 4B. 6C. 8D. 102、求值: (1) =-++?-?+-nn n n n C C C 3)1(333133221(2) S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1= (3)=3、试求下列⼆项展开式中指定项的系数：(1)(a+b+c)10的展开式中，含a 5b 3c 2的系数为_________(2)求的常数项(3) 的展开式中项的系数(4) 的展开式中项的系数(5) 的展开式中项的系数(6) 的展开式中x 项的系数(7) 的展开式中项的系数(8)5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为。
,其中b 0+b 1+b 2+……+b n =62, 则n=_________（Ⅱ）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A. 7B. –7C. 21D. –21（Ⅲ）已知(1)求a 0, (2)求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5(3)求(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3+a 5)2(4)求a 1+a 3+a 5 (5)|a 0|+|a 1|+……+|a 5|5、已知⼆项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。
~6、已知nx x )3(232 的展开式各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992． (1)展开式中⼆项式系数最⼤的项 (2)求展开式中系数最⼤的项．]*7、已知的展开式中奇数项的⼆项式系数之和等于512，试求：（1）⼆项式系数最⼤的项；（2）系数的绝对值最⼤的项；（3）系数最⼤的项。
二项式定理相关练习题
二项式定理相关练习题一、基础题1. 已知 $(x + y)^5$ 的展开式中，$x^2y^3$ 的系数是多少？2. 求 $(a 2b)^4$ 的展开式中，$a^3b$ 的系数。
3. 已知 $(x \frac{1}{x})^6$ 的展开式，求其中 $x^3$ 的系数。
4. 计算 $(3x 4y + 5z)^2$ 的展开式中，$x^2$ 的系数。
5. 已知 $(2x + 3y 4z)^5$ 的展开式，求其中 $y^3z^2$ 的系数。
二、提高题1. 在 $(x + \frac{1}{x})^8$ 的展开式中，求常数项和$x^4$ 的系数。
2. 已知 $(a + b + c)^3$ 的展开式，求其中 $a^2b^2$ 的系数。
3. 计算 $(x^2 + \frac{1}{x})^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数。
4. 在 $(2x 3y + 4z)^4$ 的展开式中，求 $x^2y^2$ 的系数。
5. 已知 $(3a 4b + 5c)^6$ 的展开式，求其中 $a^3b^3c^3$ 的系数。
三、应用题1. 设 $(x + \frac{1}{x})^n$ 的展开式中，常数项为 40，求$n$ 的值。
2. 已知 $(a + b)^n$ 的展开式中，$a^3b^2$ 的系数为 60，求$n$ 的值。
3. 在 $(2x 5y)^7$ 的展开式中，求 $x^5y^2$ 的系数，并判断该系数是奇数还是偶数。
4. 计算 $(x^2 \frac{1}{x})^6$ 的展开式中，$x^4$ 的系数，并说明该系数的正负性。
5. 已知 $(3a + 4b)^n$ 的展开式中，$a^2b^3$ 的系数为 144，求 $n$ 的值。
四、综合题1. 若 $(x \frac{1}{2x})^8$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为$70$，求 $x^6$ 的系数。
2. 在 $(a + b)^{10}$ 的展开式中，找出系数最大的项。
06二项式定理1(经典题型+答案)
二项式定理（一）1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
题型一：利用通项公式求n x 的系数例2：求29()x -展开式中9x 的系数？例4：求二项式6(2)x -的展开式中的常数项？例5：若2()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. 1.在的展开式中，x 4的系数为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣15D ．152.（2015•陕西）二项式（x+1）n （n ∈N +）的展开式中x 2的系数为15，则n=（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．43.（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x 的项的系数为30，则a=（ ）A ．B ．﹣C ．6D ．﹣64.若的展开式中第四项为常数项，则n=（ ）A ． 4 B ．5 C ．6 D ．75.在nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3122的展开式中含常数项，则自然数n 的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.56.若（9x ﹣）n （n ∈N *）的展开式中第2项的二项式系数为9，则其展开式中的常数项为（ ）A ．﹣84B ．﹣252C ．252D ．847.二项式的展开式中的常数项是（ ）A ．﹣45 B ．﹣10 C ．45D ．658.（1+x ）4+（1+x ）5+…+（1+x ）9展开式中，x 3项的系数为（ ）A ．120 B ．119 C ．210 D ．209 9.在（+）12的展开式中，x 项的系数为（ ）A ．CB ．CC ．CD ．C10.（1﹣）5的展开式中x 2的系数是（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣10D ．10常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈二项式定理的性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二次项定理10大典型例题
( 1 )知识点的梳理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C n1a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n(n N ) ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式②二项式系数:展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式1 项 C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用④通项：展开式中的第 rT r 1 C n r a n r b r表示。
3 ．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a b)n与(b a)n是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。
各项的次数和等于 n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是c0,c；,c2, C, ,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
4．常用的结论：令 a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L C n n x n (n N )令 a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L ( 1)n C n n x n(n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C n k③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令 a 1,b 1，则 C c n Cn C 3 L ( 1)n c ：(1 1)n 0， 从而得到：C 0 C ； Cn Cn rC n C 3L c ；r 1- 2n 2n 1 2④ 奇数项的系数和与偶数项的系数和:(a x)n c ；a n 0 x C ；a n 1 x C ；a n ；； x L n 0 n C n a x a ° 1 a 〔x ；1 n a x L a x (x a)n 昨 0 n x C ；ax n 1 C ；a ； n ； x L C ：n 0 n a x a n xL ； 1 a ；x a 〔x 令x 1,则 a o a 1 a ； a s L a n (a 1)n①令x 1,则 a o a 1 a ； a s L a n (a 1)n②① ②得,a o a ； a 4L a n (a 1)n (a ；1)r1-(奇数项的系数和) ① ②得,a 1 a s a 5 L a n (a 1)n (a ；1)n (偶数项的系数和 ) ⑤ 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式②二项式系数和 b 1 ,则二项式 系数的和为变形式C ： C ； Lc n2n,c nC n ： 2n1n 系数C2取得最大值。
(完整版)二项式定理练习题
二项式定理练习题一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在()103x -的展开式中,6x 的系数为（ )A ．610C 27-B ．410C 27 C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于（ ）A ．4B ．9C ．10D ．113．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2,则n 是 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 4．5310被8除的余数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．7 5． (1。
05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ) A ．1.23 B ．1。
24C ．1。
33D ．1.346．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （n ∈N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是（ ) A ．1B ．2C ．3D ．47．设(3x 31+x 21）n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是( )A ．21B ．1C ．2D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．nx x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是（ ） A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为（ ）A ．－40B ．10C ．40D ．4511．二项式（1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在［0，2π]内的值为（ )A ．6π或3πB ．6π或65πC ．3π或32πD ．3π或65π12．在（1+x )5+(1+x ）6+（1+x ）7的展开式中，含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的 ( ）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 。
二项式定理 习题 简单
二项式定理 习题一、选择题（共14小题；共70分）1. 在二项式 (3x 2−1x)n的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为( ) A. −32 B. 0 C. 32 D. 1 2. (1+2x )6 的展开式中含 x 2 项的系数为 ( ) A. 15 B. 30 C. 60 D. 120 3. 二项式 (x −2)9 的展开式中各项的系数之和是 ( ) A. 512 B. −1 C. 1 D. −10 4. (x +2)7 的二项展开式中含 x 5 项的系数是 ( ) A. 21B. 35C. 84D. 2805. (x −y )n 的二项展开式中，第 m 项的系数是 ( )A. C n mB. C n m+1C. C n m−1D. (−1)m−1C n m−16. 在二项式 (x 2−1x)n的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为 ( )A. 32B. −32C. 0D. 1 7. 已知 (1−3x )9=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9，则 ∣a 0∣+∣a 1∣+⋯+∣a 9∣ 等于 ( ) A. 29B. 49C. 39D. 18. (2−√x)8展开式中不含 x 4 项的系数的和为 ( )A. −1B. 0C. 1D. 29. 设 (√2+x)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则 (a 0+a 2+a 4+⋯+a 10)2−(a 1+a 3+⋯+a 9)2 的值是 ( ) A. 1B. −1C. 0D. (√2−1)1010. x (2−1x )4的展开式中的常数项为 ( )A. −64B. −32C. 32D. 64 11. C 61+C 62+C 63+C 64+C 65 的值为 ( )A. 61B. 62C. 63D. 6412. 在 (2x 2√x)6的展开式中，含 x 7 的项的系数是 ( )A. 60B. 160C. 180D. 240 13. (x −2y )6 的展开式中，x 4y 2 的系数为 ( ) A. 15B. −15C. 60D. −6014. (x −1)11 展开式中 x 的奇次项系数之和是 ( )A. −2048B. −1023C. −1024D. 1024二、填空题（共4小题；共20分） 15. 在 (1+1x 2)6 的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）16. 观察下列各式： C 10=40； C 30+C 31=41； C 50+C 51+C 52=42； C 70+C 71+C 72+C 73=43；⋯⋯依此规律，当 n ∈N + 时，则 C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+⋯+C 2n−1n−1= ．17. 设 A ，B 分别是 (1+ax )n （a 为常数）的展开式中的奇数项系数之和、偶数项系数之和，化简A 2−B 2= ．18. 若 x 4(x +3)8=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+⋅+a 12(x +2)12，则 log 2(a 1+a 3+⋯+a 11)= ．三、解答题（共2小题；共26分）19. 在二项式 (ax m +bx n )12（a >0，b >0，m ≠0，n ≠0）中有 2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项； （1）求它是第几项； （2）求 ab 的范围．20. 在 (2x −3y )10 的展开式中，求：（1）二项式系数的和； （2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和．第一部分 1. C【解析】二项式 (3x 2−1x)n的展开式中，所有二项式系数的和是 32，即 2n =32，解得 n =5．令 x =1，可得展开式中各项系数的和为 (3×12−11)5=32． 2. C 【解析】二项展开式通项为 T r+1=C 6r (2x )r ，故含 x 2 的系数为 4×C 62=60．3. B4. C 【解析】因为 (x +2)7 的二项展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r 2r ，由 7−r =5⇒r =2，所以含 x 5 项的系数为 C 7222=21×4=84．5. D【解析】(x −y )n 展开式中第 m 项的系数为 C n m−1(−1)m−1．6. C 【解析】在二项式 (x 2−1x )n中，令 x =1，得 (12−11)n=0，故展开式中各项系数的和为 0．7. B8. B【解析】令 x =1，得所有项的系数和为 1，再减去 x 4 项系数 C 8820(−1)8=1，即为所求．9. A 10. B11. B 【解析】原式 =26−2=62． 12. D 【解析】在 (2x 2√x)6的展开式中，通项公式为 T r+1=C 6r ⋅(2x 2)6−r ⋅√x)r=C 6r⋅26−r ⋅(−1)r ⋅x 12−5r2，令 12−5r2=7，解得 r =2， 所以含 x 7 项的系数是 C 62⋅24⋅(−1)2=240．13. C 【解析】(x −2y )6 展开式的通项公式为 T r+1=C 6r ⋅x 6−r ⋅(−2y )r ， 令 r =2，得 T 3=C 62⋅x 4⋅(−2y )2=60x 4y 2，所以 x 4y 2 的系数为 60．14. D 【解析】(x −1)11=a 0x 11+a 1x 10+a 2x 9+⋯+a 11， 令 x =−1，则 −a 0+a 1−a 2+⋯+a 11=−211， 令 x =1，则 a 0+a 1+a 2+⋯+a 11=0， 所以 a 0+a 2+a 4+⋯+a 10=210=1024． 第二部分 15. 15 16. 4n−117. (1−a 2)n【解析】取 x =1 得各项系数之和 A +B =(1+a )n ；取 x =−1 得各奇数项系数和与偶数项系数和的差 A −B =(1−a )n ． 所以 A 2−B 2=(1−a 2)n ． 18. 7【解析】令 x =−1，所以 28=a 0+a 1+a 2+⋯+a 11+a 12． 令 x =−3，所以 0=a 0−a 1+a 2−⋯−a 11+a 12， 所以 28=2(a 1+a 3+⋯+a 11)， 所以 a 1+a 3+⋯+a 11=27，所以 log 2(a 1+a 3+⋯+a 11)=log 227=7． 第三部分19. （1） 设 T r+1=C 12r (ax m )12−r (bx n )r =C 12r a 12−r b r x m (12−r )+nr为常数项，则有 m (12−r )+nr =0，即 m (12−r )−2mr =0， 所以 r =4，是第 5 项．（2） 因为第 5 项又是系数最大的项，所以有 {C 124a 8b 4≥C 123a 9b 3, ⋯⋯①C 124a 8b 4≥C 125a 7b 5, ⋯⋯②由 ① 得12×11×10×94×3×2a 8b 4≥12×11×103×2a 9b 3，又因为 a >0，b >0， 所以 ab ≤94． 同理由 ② 得 ab≥85． 综上 85≤ab ≤94．20. （1） 设 (2x −3y )10=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+⋯+a 10y 10，（∗）各项系数的和为 a 0+a 1+⋯+a 10，奇数项系数和为 a 0+a 2+⋯+a 10，偶数项系数和为 a 1+a 3+a 5+⋯+a 9，x 的奇次项系数和为 a 1+a 3+a 5+⋯+a 9，x 的偶次项系数和为 a 0+a 2+a 4+⋯+a 10．由于（∗）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．二项式系数的和为 C 100+C 101+⋯+C 1010=210．（2） 令 x =y =1，各项系数和为 (2−3)10=(−1)10=1．（3） 奇数项的二项式系数和为 C 100+C 102+⋯+C 1010=29． 偶数项的二项式系数和为 C 101+C 103+⋯+C 109=29．（4） 令 x =y =1，得到 a 0+a 1+a 2+⋯+a 10=1, ⋯⋯① 令 x =1，y =−1（或 x =−1，y =1）， 得 a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 10=510, ⋯⋯② ①+② 得 2(a 0+a 2+⋯+a 10)=1+510， 所以奇数项系数和为1+5102；①−② 得 2(a 1+a 3+⋯+a 9)=1−510， 所以偶数项系数和为1−5102．（5） x 的奇次项系数和为 a 1+a 3+a 5+⋯+a 9=1−5102；x的偶次项系数和为a0+a2+a4+⋯+a10=1+510．2。
二项式定理基础题精选全文
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二项式定理典型习题
【例4】已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：
(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；
(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；
(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.
()()()n n x 216123【例】已知在的展开式中，第项为常数项．求；求含的项的系数；
求展开式中所有的有理项．
n 若展开式中前三项系数成等
差数列．求：182【例】求
展开式中的常数项．)
21().()()()n n x
x n x x 22331992212【例】已知的展开式的二项式系数和比－的展开式的二项式系数和大求－的展开式中：二项式系数最大的项；
系数的绝对值最大的项．
1227272727()(*)()n n S ⋯∈⋯251511222N 312C C C 9－【例】求证：＋＋＋＋能被整除；求＝＋＋＋除以的余数．
在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。
金无足赤，人无完人，在教学工作中难免有缺陷，例如，课堂语言平缓，语言不够生动，理论知识不够，教学经验不足，组织教学能力还有待提高。
在今后的工
作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点。
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（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和。
A.1 B.16
C.-15
D.15
9、 Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 +L 2n Cnn 729 ，则 Cn1 Cn2 Cn3 L Cnn （
）
A． 63 B. 64 C. 31 D. 32
三、解答：
10、求值： 2C90 C91 2C92 C93 2C94 C95 2C96 C97 2C98 C99 ．
7
的展开式的第 4 项的二项式系数_______，第 4 项的系数________
4、多项式 x 1 2n 展开式的中间项_________的展开式中，x 的系数________________
6、多项式 f (x) Cn1 (x 1) Cn2 (x 1)2 Cn3 (x 1)3 L Cnn (x 1)n （ n 6 ）的展开式
一、填空：
二项式定理及通项应用
1、 多项式 2a 3b6 的展开式的第 3 项_________；
多项式
3b 2a
6
的展开式的第 3 项__________.
2、多项式 x 1 4 x 15 展开式中 x4 的系数为
，各项系数之和为
．
3、多项式
x3 2x
11、已知 ( x 1 )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列， 24 x
（1） 证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项奎奎 奎奎奎 奎奎
一、填空：
二项式系数性质
1、 C0n 3C1n 32 C2n L 3n Cnn
.
2、(2x-1)5 展开式中各项系数绝对值之和是
11、设 1 x5 3 2x9 a0 x 1 14 a1 x 1 13 L a13 x 1 a14
求：① a0 a1 L a14 ② a1 a3 L a13 ．
12、求
的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项
13、设 f (x) (x2 x 1)9 (2x 1)6 ，试求 f (x) 的展开式中：
．
3、 ( x 1 )n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 x
4、（1+x）6·(1-ax)2 的展开式中 x3 的系数为 20,则非零实数 a=_____________
5、求 2 x10 的展开式中系数最大的项为
．
6、若 (1 2x)7 a0 a1x a2 x 2 L a7 x 7 ,则 a0 a1 L a7
中， x6 的系数为
二、选择：
7、若二项式
(3x2
1 2x3
)n
（
n
N
）的展开式中含有常数项，则
n
的最小值为（
）
( A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8
8、某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率
最低应
（
）
( A) 低于 5％
(B) 在 5％～6％之间
,
a0 a2 a4 a6
, a1 a3 a5 a7
, a0 a1 L a7
.
二、选择：
7、 (1 2)7 展开式中有理项的项数是（ ）
A.4
B.5 C.6 D.7
8、设(2x-3)4= a 0 a1x a 2 x 2 a 3x 3 a 4 x 4 ，则 a0+a1+a2+a3 的值为（ ）
(C) 在 6％～8％之间
(D) 在 8％以上
三、解答：
9、 x xlg x 5 展开式中的第 3 项为106 ，求 x
10、已知
(a2
1)n
展开式中的各项系数的和等于
16 5
x2
1 5 x 的展开式的常数项，而
(a2 1)n 展开式的系数的最大的项等于 54 ，求 a 的值 (a R) 。