中考数学复习折叠类问题破解策略
初中数学折叠问题解题思路
初中数学折叠问题解题思路
一、先了解内容，掌握题意
1、折叠问题是指利用解题方法对题目中的数据、公式等信息，进行分析和推理，以解出问题的正确答案的一种问题。
2、此类问题的解答，应首先熟悉和了解题目中的信息，然后正确地把握一些解题方法，根据定理、推论、例题、练习等，应用到解题中，然后根据解题方法，分析归纳出解题步骤，最后得出结论。
二、展开解题步骤
1、分析题目：根据题目中给出的信息，逐项分析，确定问题的解决方法。
2、确定问题类型：结合题目中的信息，确定问题类型，比如初中数学折叠问题中存在的比例、三角形、圆形、椭圆形等等。
3、查找常用公式：比如面积的公式、角度的公式等，以及在此类问题中常用的数学定理，并根据它们来计算和推算。
4、分析步骤：分析题目，综合运用所掌握的知识和相关定理，画出分析图，看清问题的解法。
5、综合结论：根据步骤的分析，得出正确的答案和解答。
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中考数学几何折叠问题
中考数学几何折叠问题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-中考数学几何折叠问题答题技巧折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.1、利用点的对称例1.(2006年南京市)已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于F、G(如图①)，AF=，求DE的长;(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于F、G(如图②)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,已知线段AF的长,可得到线段EF的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG垂直平分AE，取AD的中点M，连结MO，则MO=DE，且MO∥CD，又AE为Rt△AED的外接圆的直径，则O为圆心，延长MO交BC于N，则ON⊥BC，MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出DE=，OE=. 通过Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO=，从而求出EF的长.对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.二、利用线段的对称性质例2.(新课标人教版数学八年级下学期P126)数学活动1：折纸做300、600、150的角对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使A点落在折痕EF上的N点处，并使折痕经过点B得到折痕BM，同时得到线段BN，观察所得到的∠ABM、∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系(教师用书中给出了这样的提示：△ABM≌△NBC，作NG⊥BC，则直角三角形中NG=BN，从而可得∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.)若这样证明则要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于300. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结AN，则AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN为等边三角形，所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.三、利用面对称的性质例3.(2006年临安)如图，△OAB是边长为2的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在OB上，记为A`点，折痕为EF. 此题中第③问是：当A`点在OB上运动，但不与O、B重合时，能否使△A`EF为直角三角形?这一问题需通过分类讨论，先确定直角顶点不可能在A`处. 当△A`EF为直角三角形，且直角顶点在F处时，根据轴对称性质我们可以得到∠AFE=∠A`FE=900，此时A`点与B点重合，与题目中已知相矛盾，所以直角顶点在点F处不成立. 同理可证，直角顶点亦不可能在点E处. 故当A`点在OB上运动，若不与O、B重合，则不存在这样的A`点使△A`EF为直角三角形.在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系;其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.。
中考数学几何折叠问题
中考数学几何折叠问题答题技巧折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.1、利用点的对称例1.(2006年南京市)已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于F、G(如图①)，AF=，求DE的长;(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于F、G(如图②)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,已知线段AF的长,可得到线段EF的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG垂直平分AE，取AD的中点M，连结MO，则MO=DE，且MO∥CD，又AE为Rt△AED的外接圆的直径，则O为圆心，延长MO交BC于N，则ON⊥BC，MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出DE=，OE=. 通过Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO=，从而求出EF的长.对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.二、利用线段的对称性质例2.(新课标人教版数学八年级下学期P126)数学活动1：折纸做300、600、150的角对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使A点落在折痕EF上的N点处，并使折痕经过点B得到折痕BM，同时得到线段BN，观察所得到的∠ABM、∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系?(教师用书中给出了这样的提示：△ABM≌△NBC，作NG⊥BC，则直角三角形中NG=BN，从而可得∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.)若这样证明则要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于300. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结AN，则AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN为等边三角形，所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.三、利用面对称的性质例3.(2006年临安)如图，△OAB是边长为2的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A落在OB上，记为A`点，折痕为EF. 此题中第③问是：当A`点在OB上运动，但不与O、B重合时，能否使△A`EF为直角三角形?这一问题需通过分类讨论，先确定直角顶点不可能在A`处. 当△A`EF为直角三角形，且直角顶点在F处时，根据轴对称性质我们可以得到∠AFE=∠A`FE=900，此时A`点与B点重合，与题目中已知相矛盾，所以直角顶点在点F处不成立. 同理可证，直角顶点亦不可能在点E处. 故当A`点在OB上运动，若不与O、B重合，则不存在这样的A`点使△A`EF为直角三角形.在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系;其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.。
中考数学复习折叠类问题破解策略(模型解读+例题解析+真题反馈)(共20张PPT)
课堂练习
8.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，
点F是边BC上不与点 B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF
折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的
长为
．
2020/11/12
课堂练习
9.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中 点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点F处，连接 FC，则sin∠ECF =（ ）
点B落在点K处，HK过A点，若∠DFE=52°，可求出
哪些角的度数？
DF
C
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E
H
A
GB
K
活动三：聚合信息，选择模型
如图，矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE与 CD交于F点。
（1）图中除直角三角形外，
E
还有其他特殊三角形吗？
D
C
（2）若AB=3，CB=2，你能
F
求出图中哪些线段的长度呢？
（1）如图（1），折痕为AE； （2）如图（2），P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为 AE； （3）如图（3），折痕为EF。
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（1）
（2） 第3题
（3）
课堂练习
4.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折 叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的 长为（ ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9 cm
A
B
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活动四：运用方法，自我建构
如图，矩形ABCD 中，AB=3，CB=2，点E为AB边中点，
将矩形ABCD沿CE折叠，点B落在F点位置。
中考复习讲义：全面破解六种类型折叠问题
中考热点：全面破解六种类型折叠问题一、问题导读折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
这类问题的解法思路，常常会困扰同学们，同样是翻折类题目，条件不一样，问题不一样，用到的知识和方法也不尽相同，今天我们就一起来探究一下，遇到这类题目，如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。
二、典例精析类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．例1变式1．（2018秋平度市期中）如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD ﹣CD ＝AC ,（8﹣x）﹣x ＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．例1变式2．（2018秋瑞安市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE的长为_____．【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE +EH2 ＝AH ，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝EG，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
中考数学折叠问题
A B CE F A’ D (B ) A E D C F C ' B 中考折叠问题1、折叠问题是中考的一个考察重点，经常作为填空题的拉分题出现，有时候也出现在压轴题。
2、折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；3、考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；4、解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。
5、轴对称性质——①折线是对称轴，折线两边图形全等②对应点连线垂直对称轴③对应边平行或交点在对称轴上。
6、技巧：边读题，边将隐藏条件全部挖掘出来（如线段长、角度大小、或者写出两个量之间的等量关系）。
一般折叠问题都是求值问题，解题思想就是设未知数（可直接设、可间接设），然后利用勾股定理、相似或者条件给出的等量关系列出方程求解即可。
AB 、BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1、EB 1分别交边AC 于点F 、G ．若∠ADF=80°，则∠CGE= ．例2．把一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕为EF ．若BF ＝4，FC ＝2，则∠DEF的度数是_ ．例3．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点处，折痕为EF ，若，那么∠ABE 的度数为 ____________C '︒='∠125C EFABCDE例4. 如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）A．43B.35C．34D．45例5.如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为( )A.15°B.30°C. 45°D.60°例6、如图，M为矩形纸片ABCD的边AD的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处．若∠A1MD1=40°，则∠BMC的度数为．二、折叠问题求线段长度例1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在AB、AC上，将△ABC 沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A、B、2 C、3 D、4例2.如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，6AB ，∠BCA=90°在AC 上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为( )A.6B.3C. 23D. 3例3、如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C 与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．B CFE例4．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.6例5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（）A、B、C、D、例6．将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF 的长等于cm．例7.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）（A）（B）（C ）（D）6例8、如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=5cm，则点D到斜边AB的距离是cm．例9、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为．例10．将一块直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，展开后平铺在桌面上（如图所示）．若∠C＝90°，BC＝8cm，则折痕DE的长度是cm．例11、如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF 的长为（）A、6B、4C、2D、1322323例12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝cm．三、折叠问题求面积，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是．四、折叠问题判断图形例1.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE。
中考数学专题复习——折叠剪切问题
图 （2） 中考数学专题复习——折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.答案：36°二、折叠后求面积 【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8D ．10图（1）第3题图答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF为折痕向右折过去，得图c 。
则△GFC 的面积是（ ）A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2 答案：B三、折叠后求长度 【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A ）15 （B ）10-（C ）5 （D ）20-答案：D四、折叠后得图形 【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）A. B. C. D. 答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )答案：D【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）答案：C【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）答案：C 【13】 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片E A A AB B BC C C GD D D F F F 图a图b 图c 6题图第7题图第第9题图 A B C D图3图1沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D五、折叠后得结论【14】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”答案：180【15】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a –b)2 = a 2–2ab+b 2Ｃ.(a+b)2 = a 2 +2ab+ b 2 Ｄ.a 2 + ab = a (a+b) 答案：A【16】如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）．A ．1:2B ．2:1C ．1:3D ．3:1答案：A六、折叠和剪切的应用【17】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a ，问△CMG 的周长是否与点M的位置有关？第15题图 （1） 第17题图 （2）ABCD EF M G第19题图若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出DE=AD 83，AD DM 21=，AD EM 85=后证之. （2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 的周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上的位置无关.【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少? 答案：2∶1.【19】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图试一试,把拼好的四边形分别画在图(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积. 答案：（1）如图（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE∴BC ＝2AB ， 即a b 2=由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 的两根 ∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a 消去a ，得 071322=--m m 解得 7=m 或21-=m 经检验：由于当21-=m ，0232<-=+a a ，知21-=m 不符合题意，舍去. 7=m 符合题意.∴81=+==m ab S 矩形答：原矩形纸片的面积为8c m 2.【20】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。
折叠问题涉及6种解题方法梳理
折叠问题涉及6种解题方法梳理本文将概述折叠问题并介绍六种不涉及法律复杂性的解题方法。
折叠问题是指在纸张的折叠过程中，出现曲线和线段的交叉情况。
以下是六种常见的解题方法：1. 几何解法该方法通过几何定理和推导，分析折叠过程中的几何关系。
可以运用平行线的性质、相似三角形和直角三角形等知识，将折叠问题转换为几何问题进行求解。
2. 数学解法数学解法通过数学模型和方程求解折叠问题。
可以利用代数方程、函数关系和不等式等数学工具，建立数学模型，然后通过求解方程或优化函数得到折叠问题的答案。
3. 图论解法图论解法通过将折叠问题转化为图的问题进行求解。
可以将折叠过程中的曲线和线段抽象为图的节点和边，利用图论中的算法和定理，求解出最优的折叠方式。
4. 逻辑解法逻辑解法通过推理和演绎，分析折叠问题的逻辑关系。
可以从条件和前提出发，运用逻辑规则和推理方法，得出折叠问题的解答。
5. 模拟解法模拟解法通过计算机程序模拟折叠过程，通过迭代和模拟的方式求解折叠问题。
可以使用计算机编程语言编写程序，模拟纸张的折叠过程，并通过不断迭代求解最优的折叠方式。
6. 统计解法统计解法通过统计和分析大量的样本数据，得出折叠问题的概率和分布。
可以使用统计学方法，收集大量的折叠数据，并通过统计分析得出折叠问题的解答。
以上是六种不涉及法律复杂性的折叠问题解题方法。
每种方法都有其适用的场景和优势，可以根据具体问题的性质选择合适的方法进行求解。
希望这份文档对您有所帮助！。
2019中考数学复习必考知识点总结突破策略：折叠问题中必考的七大题型无答案
2019中考数学复习必考知识点突破策略:折叠问题中必考的七大题型图形的“折叠问题”是近年中考数学中每年必考的热点问题。
折叠的对象也往往有三角形、矩形、正方形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。
轴对称性质——折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
一.利用折叠问题求折线长例1.将三角形纸片（a ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B',折痕为EF,已知AB=AC=3, BC=4,若以点B', F, C为顶点的三角形与4ABC相似，那么BF的长度是 .练习：1.在Rt A ABC中，/BAC = 90°, AB = 3, M为边BC上的点，联结AM（如图 3所示）.如果将^ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是.二.利用折叠问题求折纸边长周长例1.在4ABC中，AB=12, AC=10, BC=9, AD是BC边上的高.将^ABC按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ,则4DEF 的周长为（ ）B. 10.5C. 11D. 15.5 练习: 矩形纸片ABCD 中，AB =4, AD =3,折叠纸片使AD 边与对角线4 3A . 1B . 4C . -D . 22三.利用折叠问题求重叠面积例1.如图，已知一个三角形纸片ABC , BC 边的长为8, BC 边上的高为6 , Z B 和Z C 都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A 、B 不重合），过点M 作 MN 〃 BC ,交AC 于点N ，在△ AMN 中，设MN 的长为1 , MN 上的高为h .（1）请你用含1的代数式表示h .（2）将4AMN 沿MN 折叠，使4AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落 在平面的点为A , △ AMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为 ＞，当i 为何值时,1 1J 最大，最大值为多少？1.如图BD 重合, 折痕为DG ,贝。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的几何问题，涉及到对图形的折叠、展开或转化等操作。
以下是一些常见的折叠问题解题技巧:
1. 观察特殊图形法：直接观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置，然后对比选项，与之不符的直接排除。
2. 相对面不相邻法：空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。
即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案，违背这些特征的，便是错误选项。
3. 初中数学坐标系里折叠的问题：对于在平面直角坐标系中的折叠问题，可以通过建立直角坐标系来解决。
一般来说，需要根据折叠前后的形状及坐标变化关系，画出折叠后的图形，然后根据题意找到对应的坐标值。
4. 长方形折叠问题：对于长方形的折叠问题，可以通过对折将长方形变成长方体，然后根据长方体的面积公式及长方形的面积公式来求解。
另外，也可以利用折叠的性质：折叠后的图形与图形全等，来解决问题。
总结起来，对于折叠问题的解题技巧，需要结合具体的题目来进行理解和应用。
同时，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，才能更好地解决折叠问题。
中考数学中的折叠问题
中考数学中的折叠问题在中考数学中，折叠问题是一种常出现的问题，它主要考察学生的空间想象能力和对几何图形的理解。
这种问题通常以一个二维图形经过折叠变为三维图形的方式出现，需要学生运用逻辑推理和空间想象能力来解答。
折叠问题主要分为两类：一类是折叠前后的形状变化问题，另一类是折叠后立体图形的三视图问题。
前者主要考察的是学生对于空间图形的变换和对称的理解，而后者则更注重学生的空间想象能力和对立体图形的认知。
解决折叠问题，首先需要理解折痕的含义。
折痕是二维图形折叠成三维图形时的痕迹，也是三维图形展开为二维图形时的路径。
在解决折叠问题时，需要找出图形中的对称点、线段和角度，并理解它们在折叠后的变化。
对于三视图问题，则需要通过观察和分析立体图形的各个面，尝试从不同的角度去看待问题。
例如，一个长方形纸片折叠后可以得到一个正方形纸片，这个过程可以通过平移和旋转来实现。
在这个问题中，学生需要理解长方形和正方形的关系，以及折叠过程中哪些元素发生了变化，哪些元素保持不变。
又比如，一个三角形纸片折叠后可以得到一个立体图形，这个过程中需要对三角形的一些基本性质进行深入的理解。
解决折叠问题时，首先需要明确问题的类型，然后针对不同类型的问题采取不同的解题策略。
对于形状变化问题，可以通过画图的方式帮助理解；对于三视图问题，可以通过将立体图形转化为平面图形的方式来寻找答案。
同时，建议学生在平时的学习中多进行一些类似题目的练习，以增强自己的空间想象能力和逻辑推理能力。
中考数学中的折叠问题是一种考察学生空间想象能力和逻辑推理能力的问题。
解决这类问题需要学生对几何图形的性质有深入的理解，并能够灵活运用这些性质去解决问题。
也需要学生有一定的空间感知能力和逻辑推理能力。
因此，建议学生在平时的学习中多进行练习，提高自己的解题能力。
折叠最值模型是指将一个平面图形沿着一条直线折叠，使得折叠后的图形在直线的一侧，并且使得折叠后的图形在直线两侧的部分对称。
折叠问题解题技巧
折叠问题解题技巧折叠问题是一种常见的数学问题，经常出现于各种考试中，如中考、高考、数学竞赛等。
因为折叠问题具有一定的难度，所以总是困扰着很多考生，也被誉为是数学界的“恶梦”。
其实，在理解和把握了折叠问题的解题技巧之后，我们可以更好地解决这类问题，从而更有效地答题。
首先，我们要明确折叠问题有哪些特点？一般来说，折叠问题都有一定的复杂性和细节性，要求考生用逻辑的思路、准确的数学计算，来解决问题。
因此，在解题之前，必须对问题有一定的理解。
其次，解题时，要把握好步骤。
折叠问题解题时，可以按照以下步骤进行：首先读清题意，明确问题的要求；其次，正确地分析问题，理清思路；再次，按步骤逐行做细节，具体解决问题；最后，总结结果，算出最终答案。
此外，解题时，还要注意把握数学规律。
折叠问题涉及到大量的数学计算，所以解题时，要特别注意把握细节，以免出错。
同时，也要把握数学规律，及时抓住有利机会，避开不利因素，有效地解决问题。
此外，在折叠问题解答中，还可以使用组合法、分类法、排除法等，以便更好地解决问题。
例如，在解决“有一个四边形，它的每条边都可以折叠，且折叠后还能组成一个矩形，求它的边长”这类问题时，可以先求出折叠前四边形的边长，然后使用组合法枚举所有可能的边长组合，从而找到正确的答案。
最后，练习是最重要的环节。
只有不断的练习，才能更早地掌握折叠问题的解题技巧，并应用到实际的答题中。
在练习中，除了要注重做题的准确性外，还要做到速度的快慢适度。
适当的增加练习，能有助于加强记忆、培养思维，从而更好地解决折叠问题。
总之，折叠问题解题技巧包括明确题意、把握步骤、注意把握数学规律、使用组合法、分类法、排除法、多练习等。
只有把握了这些技巧，才能更有效地解决折叠问题，提高解题效率，取得好的考试成绩。
中考数学几何折叠问题的答题技巧
中考数学几何折叠问题的答题技巧折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与
另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中折是过程，叠是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.
根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等; 对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.
1、利用点的对称
例1.(2006 年南京市)已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸
片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合.
(1)如果折痕FG 分别与AD、AB 交于F、G(如图①)，AF=
，求DE 的长;
(2)如果折痕FG 分别与CD、AB 交于F、G(如图②)，△AED 的
外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长.。
中考折叠问题解题方法
中考折叠问题解题方法
在中考数学中，折叠问题通常涉及到图形的对称性、重合等概念。
解决折叠问题的方法主要包括以下几个步骤：
理解问题：仔细阅读题目，理解图形的折叠方式，明确题目中的要求和条件。
观察图形：给定图形可能是一个平面图形，通过折叠后形成一个三维立体图形。
观察图形的对称性，找出可以重合的部分。
标记关键点：在图形的关键部位标记点，这有助于分析和计算折叠后的位置。
利用对称性：如果题目中提到折叠是对称的，可以利用对称性质，找到对应部分的重合点。
应用数学知识：有时需要应用一些几何知识，如角度、直线段长度等，计算折叠后的位置。
确定关系：找到折叠后各部分的关系，可以是平行、重合、相交等。
画图解题：在草稿纸上画出图形，通过手动折叠或模拟折叠的方式，帮助理清思路。
检查答案：完成计算后，要检查答案是否符合题目的要求，尤其是对称性和重合性。
以下是一个简单的折叠问题的解题示例：
题目：若正方形纸张上有一只小猫，如图所示。
问折叠后两只小猫是否重合？
（图示一只小猫）
解题步骤：
观察图形，确定折叠轴。
在小猫的关键点标记，如眼睛、鼻子等。
利用对称性，确定折叠后的位置。
画出折叠后的图形。
检查关键点，判断是否重合。
通过以上步骤，可以较为清晰地解决折叠问题。
在实际考试中，应保持冷静，有条理地分析，避免粗心错误。
中考数学---图形的折叠问题
中考数学---图形的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD=______度．∵BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD，则∠CBD = 90°【原理】折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是__________ ．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = AA’，又D E∥BC，得到△ABC ∽ △ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积 = 24。
【原理】对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A’DG，由A’D = AD = 3，AG’ = AG，则A’B = 5 – 3 = 2，在Rt△A’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG的值【原理】根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于________根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE，∠EBF=∠CBF，据此即可求出∠FBC的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°【原理】注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1 = ∠2∵AD∥BC，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3∴FB = FD设FD = x，则FB = x，FA = 8 – x在Rt△BAF中，BA + AF = BF∴6 + (8 - x) = x解得x = 25/4所以，阴影部分的面积S△FBD =1/2 FD×AB = 1/2 ×25/4×6 = cm2【原理】重合部分是以折痕为底边的等腰三角形。
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活动二：赋值求角，体会关联
如图，将矩形ABCD沿GF折叠，点C落在AD边上
的点E处，点B落在点H处，若∠DFE=32°，可求出哪
些角的度数？
D
F
C
E
AK
GB
H
2020/2/19
活动二：赋值求角，体会关联
变式：如图，矩形ABCD沿GF折叠，点C落在点H处，
点B落在点K处，HK过A点，若∠DFE=52°，可求出
将矩形ABCD沿CE折叠，点B落在F点位置。
（1）求证AF∥CE。 D （2）求AF的长度。
C
F
A
E
B
2020/2/19
活动五：背景转换，操作关照
如图，在平面直角坐标系中， 把矩形OABC沿对角线AC所在的直 线折叠，点B落在点D处，DC与y轴 相交于点E，OC=4，OA=8。若F是 直线AC上一个动点，在坐标平面 内是否存在点P，使以点E，C，P， F为顶点的四边形是菱形？若存在， 请求出P点的坐标；若不存在，请 说明理由。
连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于
点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于
点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是
．
2020/2/19
课堂练习
7.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上， 将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那 么cos∠EFC的值是 ．
2020/2/19
课堂练习
10.如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1： 2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F 分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）
2020/2/19
谢 谢！
中考数学复习 折叠类问题破解策略
复习目标
（1）操作中思考，体会折叠中图形的不同变化， 梳理折叠操作的特征和性质。
（2）寻求折叠操作中的模型构建，通过模型建 立起数学关系。
（3）对某些数学关系，学会进行恰当的直观的 操作表达。
2020/2/19
每人面前都有一张矩形纸片，将纸片折一次，可 以形成哪些图形？向同学们展示你的操作成果，并说一 说你的发现。
（1）如图（1），折痕为AE； （2）如图（2），P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为 AE； （3）如图（3），折痕为EF。
2020/2/19
（3）
（1）
（2） 第3题
课堂练习
4.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC 折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB
2020/2/19
课堂练习
8.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，
点F是边BC上不与点 B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF
折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的
长为
．
2020/2/19
课堂练习
9.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中 点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC， 则sin∠ECF =（ ）
哪些角的度数？
DF
C
E
H
A
GB
K
2020/2/19
如图，矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE与
CD交于F点。
（1）图中除直角三角形外，
E
还有其他特殊三角形吗？
D
C
（2）若AB=3，CB=2，你能
F
求出图中哪些线段的长度呢？
A
B
2020/2/19
活动四：运用方法，自我建构
如图，矩形ABCD 中，AB=3，CB=2，点E为AB边中点，
y A
D E O
B
C
x
2020/2/19
课堂练习
Байду номын сангаас
1. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中
点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使点C恰好落在BA延 长线上的点F处，连接AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
F
A. AE=EF
B. AB=2DE
A
C. △ADF和△ADE面积相等
的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9 cm
2020/2/19
课堂练习
5.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4， 点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE， 则线段CE的长等于（ ）
2020/2/19
课堂练习
6.如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，
E
D. △ADE和△FDE面积相等
B
D
C
2020/2/19
课堂练习
2. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD 沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且 AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于_________。
A
D
B
O
C
E
2020/2/19
课堂练习
3.课堂上，周老师出示了以下问题，小明、小聪分别在 黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张矩形 ABCD纸片中，AD=25cm，AB=20cm。现将这张纸片按如图 3所示方式折叠，分别求折痕的长。