河南省洛阳市高二数学3月月考试题 理(平行班)

河南省洛阳市2016-2017学年高二数学3月月考试题 理（平行班）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试时间120分钟．
第I 卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己姓名，考号填写在答题卷上． 2．考试结束，将答题卷交回，
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.
1． 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2. 定积分
10
⎰
(2x ＋e x
)d x 的值为( )．
A ．e ＋2
B ．e ＋1
C ．e
D ．e －1
3． 若大前提：任何实数的平方都大于0；小前提：a ∈R ，结论：a 2
＞0.那么这个演绎推理出错在( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．推理形式 D ．没有出错 4． 已知定义在 (0,)π的函数 1
()sin 2
f x x x =-，则f(x)的单调递减区间为( ). A. (0,)π B ．(0,
)6
π C ． (,)3ππ D. (,)2π
π
5．用数学归纳法证明 1115
1236
n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n=k 到n=k+1，不等式左边需添加的项是
A.111313233k k k +++++
B.11113132331
k k k k ++-++++ C.1
31
k + D.133k +
6． 抛物线y ＝4－x 2
与直线y ＝4x 的两个交点为A 、B ，点P 在抛物线上从A 向B 运动，当 △PAB 的面积为最大时，点P 的坐标为（ ）
A. （-3,-5） B ．（-2,0） C ．（-1,3） D. （0,4） 7． 已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )
A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0
B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形
C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减
D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0
8．已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则（ ） A ．f (x )在x ＝1处取得极小值 B ．f (x )在x ＝1处取得极大值 C ．f (x )是R 上的增函数
D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数
9． 已知f (x )＝x 3
－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是
( )
A ．a ＞3
B ．a ≥3
C ．a ＜3
D ．a ≤3 10.将正奇数按照如下规律排列，则2015所在的列数为
( )
11．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立(其中
f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(lo
g π3)·f (log π3)， )(log )(log 91
391
3f c = ，
则a ，b ，c 的大小关系是( ). A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞a ＞b
C ．c ＞b ＞a
D ．a ＞c ＞b
12．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ). A ．(－∞，0) B ．)2
1,0( C ．(0,1) D ．(0，＋∞)
第Ⅱ卷（非选择题，90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分 )
13. 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为 _____________．
14．已知函数 3
2
()'(2)3f x ax f x =++，若 '(1)5f =-，则a = ．
第8题图
15．已知正三角形内切圆的半径是高的1
3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 ：正四
面体内切球的半径是高的 ．
16．设a ＞0，函数f (x )＝x ＋x
a 2
，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)
成立，则实数a 的取值范围为________．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 17.（本小题满分10分） 已知函数x
x
x f ln 1)(+=
， 证明：.1)(≤x f
18（本小题满分12分） 若函数f (x )＝ax 3
－bx ＋2，当x ＝1时，函数f (x )取极值0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．
19.（本小题满分12分）
∆ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，三角的对应边条边分别为a ，b ，c ．求证：
113
a b b c a b c
+=
++++
20.（本小题满分12分）
某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x 元；③电力与机器保养等费用为 230600x x -+元（其中x 为产品件数）．
(1)把每件产品的成本费P(x)（元）表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；
(2)如果该产品是供不应求的商品，根据市场调查，每件产品的销售价为 2
1()124030
Q x x =-
，试问当产量处于什么范围时，工厂处于生产潜力提升状态（生产潜力提升状态是指如果产量再增加，则获得的总利润也将随之增大）?
21．（本小题满分i2分）
已知数列}{n a 的前n 项和为).(,1,*21N n a n s a s n n n ∈== (1)求 1234,,,S S S S ；
(2)猜想}{n a 的前n 项和 n S 的公式，并用数学归纳法证明．
22．（本小题满分12分）
已知函数.
ln )(,2
)23ln()(x x g x x x f =++=
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）如果关于x 的方程m x x g +=2
1
)(有实数根，求实数m 的取值集合；
（3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程)()(x kg x f =有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由.
高二数学3月月考试卷（理 ）答案
一、选择题DCAAB,BCCDD,BB
二、填空题13. 4 14. 1 15.41
16.a ≥e －2
三、解答题
17．只需要证明 lnx+1≤x 就可以了 令g(x)=lnx - x +1 g'(x)=1/x-1 而x ≥1时，g'(x)≤0 所以g(x)是减函数 0<x <1时, g'(x)> 0, g(x)是增函数
所以g(x)=lnx - x +1≤g(1) =0 ∴lnx+1≤x ∴ x≥1时，f(x)=(lnx+1)/x≤1 18、解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2
－b .
⎩
⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧==31
0)1('0)1(b a f f 故所求的函数解析式为f (x )＝ x 3
－3x ＋2. (2)由(1)可知f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x －1)(x ＋1)． 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：
1调递增当x ＝1时，f (x )有极小值0， 故实数k 的取值范围为(0，4)．
22 解：（1）函数)(x f 的定义域是).,0()0,2
3
(+∞⋃-
对)(x f 求导得)
2
3()3)(1(22
31)(22
+-+=
-
+
=
'x x x x x x x f …………2分 由 312
3
0)(>-<<->'x x x f 或，得，由.30010)(<<<<-<'x x x f 或，得 因此 )3)1,2
3
(∞+--
，和（是函数)(x f 的增区间； （－1，0）和（0，3）是函数)(x f 的减区间 ………………4分 （2）因为.2
1ln 21ln 21)(x x m m x x m x x g -=⇔+=⇔+=
所以实数m 的取值范围就是函数x x x 2
1
ln )(-=φ的值域 …………5分 对.2
11)()(-=
'x x x φφ求导得 令0)(20;0)(220)(>'<<<'>=='x x x x x x φφφ时，当时，，并且当，得 ∴当x =2时)(x φ取得最大值，且.12ln )2()(max -==φφx
又当x 无限趋近于0时，x ln 无限趋近于x 2
1
,-∞-无限趋近于0， 进而有x x x 21ln )(-=φ无限趋近于－∞.因此函数x x x 2
1
ln )(-=φ的值域是 ]12ln ,(--∞,
即实数m 的取值范围是]12ln ,(--∞ ………………8分
（3）结论：这样的正数k 不存在。

下面采用反证法来证明：假设存在正数k ，使得关于x 的方程
)()(x kg x f =有两个不相等的实数根21x x 和，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=++=++⇔⎩⎨⎧==②
①
.
ln 2)23ln(,ln 2)23ln()()()()(2
221112211x k x x x k x x x kg x f x kg x f …………10分
根据对数函数定义域知21x x 和都是正数。

又由（1）可知，当0x >时，03
2
)233ln()3(f )x (f min >++==
∴)(1x f =0x 3)23x ln(1
1>++，)x (f 2=0x 3)23x ln(22>++，
再由k>0，可得.1,10ln )(,0ln )(212211>>⇒>=>=x x x x g x x g 由于 所以,21x x ≠不妨设 211x x <<，
由①和②可得 2
2
2111ln 2
)23ln(ln 2)23ln(x x x x x x +
+=
++ 利用比例性质得 2
2
2
21111ln ln 2)23ln(ln ln 2)23ln(x x x x x x x x -++=
-++
即
.(*)ln 2)231ln(ln 2)231ln(2
2
2111x x x x x x ++=++
…………11分
由于),1(ln +∞是区间x 上的恒正增函数，且 .1ln ln ,12
1
21<∴
<<x x x x 又),1(2
)231ln(+∞++是区间x
x 上的恒正减函数，且.121x x <<∴
.12)231ln(2)231ln(2
2
1
1>+
+++
x x x x ∴22
21112
2
112
1ln 2
)231ln(ln 2)231ln(2)231ln(2)231ln(ln ln x x x x x x x x x x x x ++>
++⇔+
++
+
<
，这与（*）式矛盾。

因此满足条件的正数k 不存在 ……………………12分。