柱坐标与球坐标
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系1. 圆柱坐标系圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系，由一个水平的圆柱面和一个垂直的直线轴线组成。
在圆柱坐标系中，一个点的位置由径向距离、角度和高度三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
1.1 径向距离径向距离是指从原点（轴线的起点）到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 +y^2}$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$到坐标原点的距离就是径向距离r。
1.2 角度角度参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$的角度就是参数$\\theta$。
1.3 高度高度参数z表示点在垂直轴线上的位置。
高度可以为正、负或零。
在圆柱坐标系中，一个点的位置可以用三个参数$(r, \\theta, z)$来表示。
2. 球坐标系球坐标系是另一种常用的三维坐标系，由一个球面和一个垂直的直线轴线组成。
在球坐标系中，一个点的位置由极径、极角和方位角三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
2.1 极径极径是指从原点到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$。
在球坐标系中，点$(r, \\theta, \\phi)$到坐标原点的距离就是极径r。
2.2 极角极角参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
柱坐标变换和球坐标变换一样吗为什么
柱坐标变换和球坐标变换一样吗为什么在数学和物理学中，柱坐标变换和球坐标变换是两种常见的坐标系变换方法。
虽然柱坐标和球坐标都是常用的三维坐标系，但它们在定义、表示和应用上有着明显的区别。
首先，让我们简单介绍一下柱坐标变换和球坐标变换的定义。
柱坐标系是由一个径向距离、一个方位角和一个高度组成的坐标系。
在柱坐标系中，一个点的位置由径向距离r、方位角$\\theta$和高度z确定。
而球坐标系是由一个径向距离、一个极角和一个方位角组成的坐标系。
在球坐标系中，一个点的位置由径向距离r、极角$\\phi$和方位角$\\theta$确定。
尽管柱坐标变换和球坐标变换都涉及到三个坐标参数的变换，但它们之间的区别在于坐标系的不同表示方式。
柱坐标系更适合用于描述圆柱体或圆锥体的几何形状，而球坐标系更适合用于描述球体或球面的几何结构。
在数学和物理学中，柱坐标变换和球坐标变换在坐标系变换、积分变换、微分方程变换等方面有着不同的应用。
柱坐标变换常用于处理圆柱形状的问题，如气缸体积计算、柱坐标系下的极限等；而球坐标变换更适合处理球体形状的问题，如球坐标系下的梯度、散度、旋度计算等。
综上所述，柱坐标变换和球坐标变换虽然都是三维坐标系的表示方法，但由于其定义、应用和特点的不同，二者并不完全相同。
柱坐标系更适用于描述圆柱形状的问题，而球坐标系更适用于描述球体形状的问题。
因此，根据具体问题的特点和要求，选择不同的坐标系进行变换和计算，能更有效地解决问题并获得准确的结果。
希望通过这篇文档能够帮助读者更好地理解柱坐标变换和球坐标变换之间的区别和联系，从而在实际问题中更加灵活地运用不同的坐标系进行分析和计算。
柱坐标与球坐标系
离组成的，即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为①到原点的距离r；②与z轴
正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中 的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标 系中的竖坐标.
解答
(2)已知点 N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标.
x＝ρcos θ，
解 由变换公式y＝ρsin θ，
得 x＝2cos π2＝0，y＝2sin 2π＝2，
z＝z，
故点N的直角坐标为(0,2,3).
解答
类型二 球坐标与直角坐标的互化
例 2 (1)已知点 P 的球坐标为4，34π，π4，求它的直角坐标；
柱坐标与球坐标系
学习目标
1.了解柱坐标系、球坐标系的特征. 2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间 的互化公式. 3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.
思考
要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.
其到原点距离为 2 3－02＋2－02＋3－02＝ 25＝5.
12345
解析 答案
5 5.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝__3___， tan θ＝__2__.
解析 如图所示，
tan φ＝
x2＋y2 z＝
35，tan
θ＝yx＝2.
12345
解析 答案
1.空间点的坐标的确定
解 由变换公式y＝ρsin θ，
z＝z， 得 x＝4cos π3＝2，y＝4sin π3＝2 3，z＝8. ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3，8).
柱坐标与球坐标的区别
柱坐标与球坐标的区别在数学和物理学领域中，柱坐标和球坐标是描述空间中点位置的两种常见方法。
它们在表示和计算上有一些重要的区别，下面将介绍柱坐标和球坐标的基本概念以及它们之间的不同之处。
柱坐标柱坐标系统是三维笛卡尔坐标系的一种扩展，通常用来描述平面内的点的位置。
柱坐标系由三个坐标$(r, \\theta, z)$组成，其中r表示点到z轴的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。
具体而言，$(r, \\theta,z)$可以通过以下关系转换为笛卡尔坐标(x,y,z)：$$ \\begin{align*} x &= r\\cos(\\theta),\\\\ y &= r\\sin(\\theta),\\\\ z &= z.\\end{align*} $$球坐标球坐标系统是另一种表示三维空间中点的方法，通常用来描述球面坐标或空间点的位置。
球坐标系也由三个坐标$(r, \\theta, \\phi)$组成，其中r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，$\\phi$表示点到z轴正方向的夹角。
球坐标系转换为笛卡尔坐标系的关系如下：$$ \\begin{align*} x &= r\\sin(\\phi)\\cos(\\theta),\\\\ y &=r\\sin(\\phi)\\sin(\\theta),\\\\ z &= r\\cos(\\phi). \\end{align*} $$ 区别与比较柱坐标和球坐标之间的主要区别在于坐标系的选择和坐标值的表示。
柱坐标主要适用于描述轴对称的物体或问题，如圆柱体或旋转体问题；而球坐标更适合描述球对称的问题，如球体或球壳问题。
柱坐标中的极角$\\theta$通常是一个平面内的角度，而球坐标中的两个角度$\\phi$和$\\theta$则涉及到空间的倾斜和旋转角度。
柱坐标系和球坐标系
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图 1-5-2
如图 1-5-2 所示，设 z 轴的正向与向量O→M的夹角为 φ，x 轴的正向与O→M0的 夹角为 θ，M 点到原点 O 的距离为 r，则由三个数 r，θ，φ 构成的有序数组 (r，θ，φ)称为空间中点 M 的球坐标.若设投影点 M0 在 xOy 平面上的极坐标为(ρ， θ)，则极坐标 θ 就是上述的第二个球坐标 θ.在球坐标中限定 r≥0,0≤θ<2π， 0≤φ≤π.
则有11＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
因此，点 M 的柱坐标为( 2，π4，1).
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由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐标为ρ，θ，
z代入变换公式xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，
∵(r，θ，φ)＝(3，53π，56π)，
x＝rsin φcos θ＝3sin56πcos53π＝34，
y＝rsin φsin θ＝3sin56πsin53π＝－343，
z＝rcos
φ＝3cos56π＝－3
2
3 .
∴点
M
的直角坐标为(34，－3
4
3，－3
2
3 ).
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类型三 空间点的直角坐标化为球坐标 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
柱坐标系与球坐标系
球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
其中 r 0, 0 , 0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44Biblioteka x2sin3
4
cos
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
s
in
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
3
4
2(－
2）－
2
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
z
P(x,y,z)
z P(ρ,θ,Z)
o
z
y
θ
x
P(r,φ,θ) x
oφ r
θ
y
x
Q
y
Q
小结 数轴
平面直角坐标系
三重积分中的柱坐标与球坐标
三重积分中的柱坐标与球坐标在数学中，三重积分是一种用来计算三维空间内物体特定属性（例如体积、质量、质心等）的重要工具。
传统的笛卡尔坐标系在解决一些问题时并不总是方便，于是人们引入了柱坐标和球坐标系，这两种坐标系在三重积分中有着特殊的应用。
本文将介绍三重积分中的柱坐标与球坐标，以及它们的计算方法和在实际问题中的应用。
一、柱坐标中的三重积分柱坐标是一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和高度$z$三个变量构成。
在三重积分中，柱坐标系的转换公式为：$$x = r\cos\theta$$$$y = r\sin\theta$$$$z = z$$$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$z$的范围为$z_1 \leq z \leq z_2$。
对于函数$f(x, y, z)$在柱坐标系下的三重积分，则有：$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) dV = \int\limits_{z_1}^{z_2}\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \int\limits_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z) r\,dr\,d\theta\,dz$$柱坐标系的三重积分常用于具有柱对称性的问题，例如计算柱体的体积、质心等属性。
它将空间问题简化为平面问题，使得计算更加便捷高效。
二、球坐标中的三重积分球坐标是另一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和方位角$\phi$三个变量构成。
在三重积分中，球坐标系的转换公式为：$$x = r\sin\phi\cos\theta$$$$y = r\sin\phi\sin\theta$$$$z = r\cos\phi$$$$dV = r^2\sin\phi\,dr\,d\theta\,d\phi$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$\phi$的范围为$\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2$。
柱坐标与球坐标系简介
柱坐标与球坐标系简介
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标系是描述三维空间中点的两种常用坐标系。
它们为研究三维问题提供了方便的工具，可以使问题的表达和求解更加简洁。
柱坐标系
柱坐标系是一种用圆柱形式来描述三维空间中的点的坐标系。
在柱坐标系中，
一个点的位置由距离原点的长度、与正向x轴的夹角和z坐标组成。
通常用(r, θ, z)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系在求解具有轴对称性的问题时特别有用，例如旋转体的体积和表面积
的计算等问题。
球坐标系
球坐标系是通过球坐标来描述三维空间中的点的坐标系。
在球坐标系中，一个
点的位置由距离原点的长度、与正向z轴的夹角和在x-y平面上的极角组成。
通常用(r, θ, φ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，φ表示点在z轴上的极角。
球坐标系常常用于处理具有球对称性或球体几何的问题，例如电场和磁场的计
算等。
它也在计算机图形学和三维建模中被广泛应用。
无论是柱坐标系还是球坐标系，它们都是解决特定类型的问题时十分有效的工具。
通过灵活运用这两种坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的问题，为实际问题的求解提供更多的可能性和方法。
柱坐标和球坐标系给了我们描述空间中点位置的不同视角，为解决相关问题提
供了更多的数学工具。
通过学习和掌握这两种坐标系的原理和应用，我们可以在数学和物理领域中更加灵活地处理复杂的三维问题。
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系球坐标系的定义：球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。
假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，θ，φ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，r∈[0，+∞)θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，θ∈[0，π]φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，φ∈[0，2π]这里M为点P在xOy面上的投影。
这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标。
当r，θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。
球坐标系与直角坐标系间的转换1).球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x= r sinθ cosφy= r sinθsinφz = r cosθ球坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(θ)=rdθ，dl(φ)=rsinθdφ球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ圆柱坐标系的定义：它是二维极坐标系往z-轴的延伸。
添加的第三个坐标专门用来表示P点离xy-平面的高低。
按照国际标准化组织建立的约定(ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为。
如图右，P 点的圆柱坐标是。
是P 点与z-轴的垂直距离。
是线OP 在xy-面的投影线与正x-轴之间的夹角。
与直角坐标的等值。
圆柱坐标系与直角坐标系间的转换1).圆柱坐标系(r，φ，z)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x=r co sφy=r sinφz=z圆柱坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(φ)=rdφ，dl(z)= dz球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(z)=r dφ dz体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(φ)*dl(z)=r dr dφ dz。
柱面坐标和球面坐标转换
柱面坐标和球面坐标转换一、介绍在数学和物理学中，坐标系是描述空间中点位置的重要工具。
柱面坐标和球面坐标是常见的描述点位置的坐标系。
本文将介绍柱面坐标和球面坐标之间的转换关系及其应用。
二、柱面坐标系柱面坐标系是三维笛卡尔坐标系的一种替代表示方法。
柱面坐标系由径向距离r、极角$\\theta$和z坐标组成。
点$(r, \\theta, z)$在柱面坐标系中表示。
柱面坐标系的转换公式如下：$$ x = r \\cos(\\theta) \\\\ y = r \\sin(\\theta) \\\\ z = z $$三、球面坐标系球面坐标系是另一种描述三维空间中点位置的坐标系。
球面坐标系由径向距离r、极角$\\theta$和方位角$\\phi$组成。
点$(r, \\theta, \\phi)$在球面坐标系中表示。
球面坐标系的转换公式如下：$$ x = r \\sin(\\theta) \\cos(\\phi) \\\\ y = r \\sin(\\theta) \\sin(\\phi) \\\\ z = r \\cos(\\theta) $$四、柱面坐标到球面坐标的转换从柱面坐标$(r, \\theta, z)$到球面坐标$(r, \\theta, \\phi)$的转换可以通过以下公式完成：$$ r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\\\ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{\\sqrt{x^2 + y^2}}{z}\\right) \\\\ \\phi = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) $$五、球面坐标到柱面坐标的转换如果要将球面坐标$(r, \\theta, \\phi)$转换为柱面坐标$(r, \\theta, z)$，则可以使用以下公式进行计算：$$ r = r \\sin(\\theta) \\\\ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{r \\cos(\\theta)}{r \\sin(\\theta)}\\right) \\\\ z = r \\cos(\\theta) $$六、应用实例柱面坐标和球面坐标的转换在物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
圆柱坐标系和球坐标系的区别
圆柱坐标系和球坐标系的区别圆柱坐标系（Cylindrical Coordinate System）和球坐标系（Spherical Coordinate System）是一种常用的数学坐标系统，用于描述三维空间中的点。
它们各自有其独特的特点和应用领域，下面将介绍这两种坐标系的区别。
圆柱坐标系（Cylindrical Coordinate System）圆柱坐标系是一种三维坐标系，其中一个坐标轴用于表示点到原点的直线距离，另外两个坐标轴用于表示点所在平面上的位置。
圆柱坐标系由以下三个坐标组成：•径向坐标（r）：表示点到原点的距离。
•极角（θ）：表示点到原点的连线与某一固定方向之间的夹角。
•高度（z）：表示点在垂直于该平面并与原点相交的直线上的位置。
圆柱坐标系常用于柱状或圆柱体的描述，例如，圆柱坐标系可以用于描述喷管的形状、涡轮机的叶片等。
在工程和物理学领域中，圆柱坐标系的优势在于它们能够简化问题的分析和求解，特别是在涉及到旋转对称性的情况下。
球坐标系（Spherical Coordinate System）球坐标系也是一种三维坐标系，其中一个坐标轴用于表示点到原点的距离，另外两个坐标轴用于表示点所在球面上的位置。
球坐标系由以下三个坐标组成：•径向坐标（r）：表示点到原点的距离。
•极角（θ）：表示点到原点的连线与某一固定方向之间的夹角。
•方位角（φ）：表示点所在的经度。
球坐标系常用于球体或球形物体的描述，例如，天文学中常使用球坐标系来描述星体的位置和运动。
球坐标系在物理学和数学中也被广泛应用，因为它们能够简化球对称问题的表示和解决。
圆柱坐标系和球坐标系的区别圆柱坐标系和球坐标系在表示三维空间中的点时有一些主要的区别：1.表示范围不同：圆柱坐标系中，径向坐标（r）和高度（z）可以取任意实数值，极角（θ）可以取0到360度或0到2π弧度的值。
而球坐标系中，径向坐标（r）通常为非负实数，极角（θ）通常取0到180度或0到π弧度的值，方位角（φ）通常取0到360度或0到2π弧度的值。
柱坐标和球坐标简介
设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 2 π 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝ ，φ＝ 2 4 y π 又 tan θ＝ ＝1，∴θ＝4， x π π 从而点 C1 的球坐标为(2，4，4)
【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标，再
用空间两点间的距离公式求距离．
【自主解答】 设 P1 的直角坐标为 P1(x1，y1，z1)， x1＝2 3sin πcos π＝3 2， 3 4 2 π π 3 2 则y1＝2 3sin sin ＝ ， 3 4 2 π z1＝2 3cos 3＝ 3， 3 2 3 2 ∴P1 的直角坐标为( 2 ， 2 ， 3)．
四
柱坐标系与球坐标系简介
课标 解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义，能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式， 并用于解题.
1．柱坐标系
图 1－4－1 如图 1－4－1 所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
3．空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系 空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
柱坐标和球坐标转换关系
柱坐标和球坐标转换关系柱坐标和球坐标是在数学和物理学中常用的两种坐标系，它们之间的转换关系是非常重要且有用的。
在三维空间中，我们常常需要在这两种坐标系之间进行转换，以便更方便地描述和计算各种物理量。
本文将介绍柱坐标和球坐标之间的转换关系。
柱坐标和球坐标的定义首先，我们来简单地回顾一下柱坐标和球坐标的定义。
•在二维平面上，柱坐标由极径 r 和极角θ 组成，通常用(r, θ) 来表示一个点的坐标。
•在三维空间中，柱坐标由极径 r、极角θ 和高度 z 组成，通常用(r, θ, z) 来表示一个点的坐标。
而球坐标则由径向距离 r、极角θ 和方位角φ 组成，通常用(r, θ, φ) 来表示一个点的坐标。
柱坐标和球坐标之间的转换关系接下来，我们将介绍柱坐标和球坐标之间的转换关系。
从柱坐标到球坐标的转换对于给定的柱坐标(r, θ, z)，我们可以将其转换为球坐标 (rho, theta, phi)。
其中，rho 表示球坐标中的径向距离，theta 表示球坐标中的极角，phi 表示球坐标中的方位角。
转换公式如下：rho = sqrt(r^2 + z^2)theta = arctan(r / z)phi = θ从球坐标到柱坐标的转换同样地，对于给定的球坐标 (rho, theta, phi)，我们可以将其转换为柱坐标(r, θ, z)。
转换公式如下：r = rho * sin(theta)z = rho * cos(theta)θ = phi结语在物理学和工程学中，柱坐标和球坐标之间的转换关系有着广泛的应用。
通过熟练掌握这些转换关系，我们可以更加方便地描述和计算三维空间中的各种问题。
希望本文能够对你有所帮助，让你对柱坐标和球坐标之间的转换关系有更深入的理解。
球坐标和柱坐标的转换
球坐标和柱坐标的转换球坐标和柱坐标是三维空间中常用的坐标系，它们和直角坐标系是相互转换的。
本文将介绍球坐标和柱坐标的定义以及它们之间的转换方法。
球坐标球坐标系是一种描述空间中点的坐标系，它用半径（r）、极角（θ）和方位角（φ）来描述点的位置。
半径（r）表示点到坐标系原点的距离，极角（θ）表示点与z轴的夹角，方位角（φ）表示点在xy平面的投影与x轴的夹角。
球坐标的坐标表示为：(x, y, z) = (r * sinθ * cosφ, r * sinθ * sinφ, r * cosθ)柱坐标柱坐标系是一种描述空间中点的坐标系，它用半径（ρ）、极角（θ）和高度（z）来描述点的位置。
半径（ρ）表示点到柱坐标系极轴的距离，极角（θ）表示点与柱坐标极轴的夹角，高度（z）表示点在z轴上的坐标。
柱坐标的坐标表示为：(x, y, z) = (ρ * cosθ, ρ * sinθ, z)球坐标转换为柱坐标球坐标系和柱坐标系之间的转换是通过数学公式进行的。
球坐标转换为柱坐标的公式如下：ρ = r * sinθz = r * cosθ柱坐标转换为球坐标柱坐标转换为球坐标的公式如下：r = √(ρ^2 + z^2)θ = arctan(ρ / z)总结球坐标和柱坐标是三维空间中常用的坐标系，它们的转换可以通过数学公式进行。
球坐标由三个参数（半径、极角和方位角）表示，柱坐标由三个参数（半径、极角和高度）表示。
通过球坐标转换为柱坐标，可以得到柱坐标系中的坐标值，同样地，通过柱坐标转换为球坐标，可以得到球坐标系中的坐标值。
以上是球坐标和柱坐标的定义以及它们之间的转换方法的介绍。
了解球坐标和柱坐标的概念及其转换方法，有助于我们更好地理解和应用三维空间中的坐标系统。
柱坐标和球坐标公式
柱坐标和球坐标公式
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标是表示空间中点的两种常用坐标系。
这两种坐标系是笛卡尔坐标系的重要扩展，能够更好地描述三维空间中的点的位置。
柱坐标
柱坐标是三维空间中的一种坐标系，通常用来描述点相对于原点的位置。
在柱坐标系中，一个点的位置由径向(r)、极角(θ)和高度(z)三个坐标值来确定。
柱坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ) - z = z
其中，r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面内的极角，z表示点在z轴上的高度。
球坐标
球坐标是另一种常用的三维空间坐标系，用来描述点相对于原点的位置。
球坐标系由径向(r)、极角(θ)和方位角(φ)三个坐标值来确定一个点的位置。
球坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * sin(θ) * cos(φ) - y = r * sin(θ) * sin(φ) - z = r * cos(θ)
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正z轴的倾角，φ表示点在xy平面上的旋转角度。
柱坐标和球坐标的应用
柱坐标和球坐标在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，利用柱坐标和球坐标可以更方便地描述和计算力、电场等的分布情况；在工程学中，柱坐标和球坐标可以简化对结构的分析和设计；在计算机图形学中，通过柱坐标和球坐标可以更加自然地进行三维建模和渲染。
总的来说，柱坐标和球坐标是解决三维空间中点位置描述问题的有力工具，它们为研究人员和工程师提供了更多的选择和便利。
通过深入理解柱坐标和球坐标的原理和转换关系，可以更好地应用它们解决实际问题。
球坐标系和柱坐标系
球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系是空间解析几何中常用的坐标系，它们可以用来描述三维空间中的点的位置和方向。
本文将介绍球坐标系和柱坐标系的定义、坐标变换以及其在不同领域的应用。
一、球坐标系球坐标系是一种三维坐标系，用来描述三维空间中的点的位置。
它由径向距离r、极角θ和方位角φ来确定一个点的坐标。
径向距离r表示点到坐标原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，方位角φ表示点在x-y平面上投影与正x轴的夹角。
在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,φ)。
坐标变换公式如下：```x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ```球坐标系常见于物理学、天文学和计算机图形学等领域的问题求解。
物理学中常用球坐标系描述粒子在空间中的位置和动量，能够简化很多问题的求解过程。
在天文学中，球坐标系可以用来描述星体的位置和运动轨迹。
二、柱坐标系柱坐标系是另一种常见的三维坐标系，适用于平面内与柱面有关的问题。
柱坐标系由极径ρ、极角θ和高度z来确定一个点的坐标。
极径ρ表示点到z轴的距离，极角θ表示点在x-y平面上的投影与正x轴的夹角，高度z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(ρ,θ,z)。
坐标变换公式如下：```x = ρ * cosθy = ρ * sinθz = z```柱坐标系常见于物理学、工程学和流体力学等领域的问题求解。
在工程学中，柱坐标系常用于描述圆柱形结构的变形和应力分布，能够更直观地理解和解决与柱面相关的工程问题。
在流体力学中，柱坐标系可以用来描述圆柱形容器中的流体流动规律。
综上所述，球坐标系和柱坐标系是在三维空间中描述点的位置和方向的常用坐标系。
它们各自具有独特的特点和应用场景，在不同领域的问题求解中发挥着重要作用。
熟练掌握球坐标系和柱坐标系的定义和坐标变换公式，对于解决相关问题具有重要意义。
柱坐标系与球坐标变换的区别
柱坐标系与球坐标变换的区别
柱坐标系和球坐标系是空间中两种常见的坐标系，它们在描述三维空间中的点和表示向量方向时有着不同的应用。
本文将讨论柱坐标系和球坐标系之间的区别。
柱坐标系
柱坐标系是一种通过极径、极角和高度来定位三维空间中的点的坐标系统。
通常用（r, θ, z）表示，其中： - r 代表点到 z 轴的距离； - θ 代表点在 xy 平面上的极角； - z 代表点在 z 轴上的高度。
柱坐标系常用于描述旋转对称结构的问题，计算方便，适合于涉及圆柱对称性的问题。
球坐标系
球坐标系是一种通过径向距离、极角和方位角来定位三维空间中的点的坐标系统。
通常用（ρ, φ, θ）表示，其中： - ρ 代表点到原点的距离； - φ 代表点在 xy 平面上的极角； - θ 代表点在 xy 平面上的方位角。
球坐标系常用于描述球面和球对称结构的问题，适合于球对称的物理问题和数学问题。
区别
柱坐标系和球坐标系之间的主要区别在于坐标系的基本参数和应用领域有所不同： 1. 参数区别： - 柱坐标系使用极径、极角和高度作为坐标参数； - 球坐标系使用径向距离、极角和方位角作为坐标参数。
2. 应用领域区别： - 柱坐标系适合于描述旋转对称结构的问题，如圆柱体、圆锥体等； - 球坐标系适合于描述球面和球对称结构的问题，如球体、球壳等。
综上所述，柱坐标系和球坐标系在参数表示和应用领域上有着明显的区别。
选择合适的坐标系，能够更有效地描述和解决不同类型的三维空间中的几何问题。
圆柱坐标系和球坐标系一样吗
圆柱坐标系和球坐标系的异同在数学和物理学中，圆柱坐标系和球坐标系是两种常用的坐标系。
虽然它们都是用来描述物体在空间中的位置和方向的工具，但圆柱坐标系和球坐标系在表示方式和使用方法上有着一些显著的不同。
本文将从数学定义、坐标表示、转换公式和物理应用四个方面对圆柱坐标系和球坐标系进行比较。
1. 数学定义圆柱坐标系是由一个固定的直角坐标系（又称笛卡尔坐标系）和一个极坐标系共同确定的。
其中，直角坐标系的x轴与极坐标系的极轴方向相同，y轴与极轴形成钝角（小于90°），z轴与极轴垂直。
球坐标系是由一个固定的直角坐标系和一个球面极坐标系共同确定的。
其中，球面极坐标系的原点位于直角坐标系的原点，与直角坐标系的z轴重合，球面极坐标系的极轴方向与直角坐标系的z轴重合。
2. 坐标表示在圆柱坐标系中，一个点的位置由三个坐标表示：r、$\\theta$和z，分别表示点到z轴的距离、该点的极角和该点在z轴上的高度。
在球坐标系中，一个点的位置也由三个坐标表示：r、$\\theta$和$\\phi$，分别表示该点到坐标系原点的距离、该点的极角和该点与正z轴之间的夹角。
3. 坐标转换圆柱坐标系和球坐标系之间存在一定的关系，可以通过坐标转换公式相互转换。
从圆柱坐标系到球坐标系的转换公式为：$$ r = \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\theta = \\arctan \\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\phi = \\arcsin \\left(\\frac{z}{\\sqrt{r^2 + z^2}}\\right) $$从球坐标系到圆柱坐标系的转换公式为：$$ r = r \\sin \\phi \\\\ \\theta = \\theta \\\\ z = r \\cos \\phi $$4. 物理应用圆柱坐标系和球坐标系在物理学中有着广泛的应用。
圆柱坐标系常用于描述具有旋转对称性的问题，如旋转体的模型、流体动力学等。
柱坐标变换和球坐标变换一样吗
柱坐标变换和球坐标变换一样吗在数学和物理领域，柱坐标和球坐标是常用的坐标系统，它们用来描述空间中的点的位置。
柱坐标由径向距离、极角和轴向距离三个参数组成，而球坐标由径向距离、极角和方位角三个参数组成。
尽管柱坐标和球坐标都是常用的笛卡尔坐标系之外的坐标系，但它们在数学形式和坐标变换方面有所不同。
首先，让我们分别回顾一下柱坐标和球坐标的定义以及坐标变换公式：•柱坐标：在柱坐标系中，点的位置由$(r, \\theta, z)$三个参数确定，其中r表示点到z轴的投影长度，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在z轴上的距离。
柱坐标到笛卡尔坐标(x,y,z)的转换公式为：\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta), \quad z = z \] •球坐标：在球坐标系中，点的位置由$(\\rho, \\phi, \\theta)$三个参数确定，其中$\\rho$表示点到原点的距离，$\\phi$表示点在x−y平面上的高度角，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角。
球坐标到笛卡尔坐标(x,y,z)的转换公式为：\[ x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta), \quad y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta), \quad z = \rho \cos(\phi) \]虽然柱坐标和球坐标都由三个参数组成，并且可以描述空间中的点，但它们在具体表达和坐标变换上有着明显的不同。
对于柱坐标而言，坐标变换较为简单，只需要通过三角函数来进行对应分量的计算，而球坐标的坐标变换则需要更多的三角函数和涉及到高度角的计算。
虽然球坐标可以更直观地描述点在球面上的位置，但其坐标变换公式相对来说更为复杂。
另外，在物理学中，球坐标往往更适合描述具有球对称性的系统，而柱坐标则更适合描述具有圆柱对称性的系统。
这也表明了柱坐标和球坐标在物理意义上的差异和应用领域的不同。
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P (r ， q， z)
o
z
r
q
y Q
x
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系， 有 序数组( ， ， z )叫做P的柱坐标， 记作P ( ， ， z) ， 其中 0 ， 0 2 ， － z .
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐 标系与空间直角坐标系中的部分建立起来的.
空间的P的直角坐标( x ， y， z )与柱坐标( ， ， z) 之间的关系公式为： x cos y sin zz
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz ， 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP ＝r，OP 与 Oz 轴正向 所夹的角为 ， 设P在Oxy平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角 为 ， 这样P点的位置就可以用有序数组 ( r ， ， ) 表示，这样，空间点与有序数组( r ， ， )之间建立 z 了一种对应关系.
柱坐标与球坐标
1. 柱坐标系
思考： 如图，在圆形体育馆内，如何确定看台上某个座 位的位置？
一般地，建立空间直角坐标系O xyz ， 点P是空间 任意一点， 它在Oxy平面上的射影为Q ， 用( ， ) ( 0 ， 0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标， 那么点P的位置可用有序数组( ， ， z )( z R ) 表示. 于是， 我们建立了空间的点与有序数组 ( ， ， z )之间的一种对应关系.
0
空间点P的直角坐标( x ， y， z )与柱坐标( r ， ， ) 之间的变换公式为： x r n cos y r sin sin z r cos
Z P
O Q
y
X
P(r ， ， )
r
x
O
y
Q
把上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间 极坐标系)，有序数组( r ， ， )叫做点P的球坐标， 记作P ( r ， ， )， 其中r 0 ， 0 ， 0 2 .
球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应 用，在测量实践中， 球坐标中的角 称为被测 点P ( r ， ， )的方位角，90 － 称为高低角.