高等数学之柱坐标系和球坐标系下的计算法

1
I 2 f ( x , y , z )dv
2 ( x , y, z ) | ( x , y, z , y 0)
③ 若 关于 yoz 面对称
2
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
f ( r cos , r sin , z )dz ,
2
0
2
d d f (r sin cos ,
0
6 0
4
r sin sin , r cos )r 2 sin dr

_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分: 1、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 是由曲面4z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面z 5 所围成的闭区域.

2、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 由不等式
x y
2 2
z
, 4
: 0 r 2a ,
0 , 4

0 2 ,
由三重积分的性质知 V
dxdydz ,
V d d
0 0
2
4
2a
0
r 2 sin dr
3
2
4 0
4 ( 2a ) sin d ( 2 1)a 3 . 3 3
dx
2
4 x 2
4 x 2
dy
3( x 2 y 2 )
16 x 2 y 2
0 d0 rdr 3r 2 2 3r d rdr 0 0 16 r
2
2
16 r 2
f ( r cos , r sin , z )dz
注
若 积分区域为球体、球壳或其一部分
被积函数呈 通常采用球坐标。
x y z
2 2
2
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单
补充：利用对称性简化三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
就叫做点 M 的球面坐标．
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
z

x
r

M ( x, y, z )
z
o
0 , 0 2.
r 为常数
为常数
为常数
, r 0
球 面 圆锥面 半平面
在柱坐标系和球坐标系下的计算
一、在柱坐标系下的计算法
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
x r cos , y r sin , z z.
2 (e e ) 2 (e e )dr 2e
2 2 r 1
2
2
二、在球坐标系下的计算法
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点M 可用 三个有次序的数 r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 OP 的角，这里 P 为 段 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 r，，
a4 a5 5 3 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10

a
例 4 求曲面 x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z 所围 成的立体体积.
x2 y2
解 由锥面和球面围成，
采用球面坐标，
由x
2
y 2 z 2 2a 2 r 2a,
r , , z
, r 的范围容易定出 0 2 ,0 r 2
z 呢？
注意到
当 0 r 1时 1 z 2
当1 r 2时
2 1 2 z 2
rz2
2 z
e e I d [ dr rdz dr rdz] r r 0 0 1 1 r
“你对称，我奇偶”
对 I f ( x , y , z )dv

① 若 关于 xoy 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z , ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时 I 2 f ( x , y , z )dv

x
然后把它化成对 r , , 的三次积分
具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是
先r次后
例 3 计算 I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中 是锥面
x 2 y 2 z 2 ， 与平面 z a
解一 用球坐标

(a 0) 所围的立体.
dz

x
r
f ( x , y, z )dxdydz
o
d
f (r cos , r sin , z )rdrddz.
y

x
然后再把它化为三次积分来计算
积分次序一般是先 z 次 r 后 积分限是根据 r , , z 在积分区域中的变化范围来确定 例1 解
( x 2 y 2 z 2 )dv , : z
思考题
若为R 3中关于xy面对称的有界闭区域， ( x , y , z )为 f 上的连续函数, 则
当f ( x , y, z )关于 ____为奇函数时, f ( x, y, z )dv 0;
z
当f ( x , y , z )关于 ____为偶函数时,
z



2 f ( x , y , z )dv ___ f ( x , y , z )dv
规定
A

y

y
x
P
z
如图，球面坐标系中的体积元素为d
r sin
dr
r sin d rd d
dv r sindrdd ,
2
r

f ( x , y, z )dxdydz

o

d
y
f ( r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sindrdd .

x2 y2 , z 1
2 2
将 投到xoy 面得D
x y 1
1
0 2 ,0 r 1, r z 1
( x
2
y z )dv d dr ( r z )rdz
2 2 2 2 0 0 r
2
1
r 4 4 3 2 ( r r )dr 3 3 10 0
1 ( x , y , z ) | ( x , y, z ) , z 0 ② 若 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
za
x y
2
2
a r , cos 2 z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x y )dxdydz d d
2 2
2
5 1 a5 3 2 sin ( 5 0)d a . 10 5 cos 解二 用柱坐标
1 3
注
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。
例2

ez 2 2 dxdydz, : z x y , z 1, z 2 2 2 x y
解
x r cos y r sin , zz
关键在于定出 的变化范围

0
4 0
a cos 0
r sin dr
4 3
4 0
x y z z r,
2 2 2
D: x y a ,
2 2 2
: r z a,
2 2
0 r a,
0
0 2 ,
2 a a 0 r
I ( x y )dxdydz d rdr r 2dz
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
2
（2） 球面坐标的体积元素 dxdydz r sindrdd （3） 对称性简化运算
规定：
z
M ( x, y, z )
0 r ,
0 2,
x
o

r
P(r , )

y
z .
z
圆柱面 半平面 平 面
z

为常数
z 为常数
z
rd
如图，柱面坐标系中的体积元
数常为 r
dr
M ( x, y, z )
o

r
P(r , )
y
dv rdrddz,

0 a x 2 y 2 z 2 A, z 0 所确定. x2 y2 z2 3、 ( 2 2 2 )dxdydz , a b c x2 y2 z2 ( x , y , z ) 2 2 1 . 其中 2 a b c z 5 x 2 y 2 及 x 2 y 2 4 z 所围成的立 三、求曲面 体的体积. 2 2 2 2 2 2 四、曲面 x y az 4a 将球体 x y z 4az 分 成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面 z x 2 y 2 , x y a , x 0, y 0, z 0 所围成立体的重心(设密度 1 ).

其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围,则其体积可表为三重积分 _______________; 或 二 重 积 分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 、 若 由 不 等 式 x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2 所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
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练习题答案
一、1、 dx
2 2 4 x 2 4 x 2 2
dy
16 x 2 y 2 3( x 2 y 2 )
f ( x , y , z )dz f ( x , y , z )dz ,
1
其中1为在xy面上方的部分.
练习题
一、填空题: 1、若 由曲面 z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所 围,则三重积分 f ( x , y , z )dv 表示成直角坐标下

的三次积分是_________________;在柱面坐标下 的三次积分是_________________;在球面坐标下 的三次积分是__________________. 由 曲 面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 所 围, 2、若 将 zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,