高等数学之柱坐标系和球坐标系下的计算法
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系1. 圆柱坐标系圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系，由一个水平的圆柱面和一个垂直的直线轴线组成。
在圆柱坐标系中，一个点的位置由径向距离、角度和高度三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
1.1 径向距离径向距离是指从原点（轴线的起点）到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 +y^2}$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$到坐标原点的距离就是径向距离r。
1.2 角度角度参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$的角度就是参数$\\theta$。
1.3 高度高度参数z表示点在垂直轴线上的位置。
高度可以为正、负或零。
在圆柱坐标系中，一个点的位置可以用三个参数$(r, \\theta, z)$来表示。
2. 球坐标系球坐标系是另一种常用的三维坐标系，由一个球面和一个垂直的直线轴线组成。
在球坐标系中，一个点的位置由极径、极角和方位角三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
2.1 极径极径是指从原点到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$。
在球坐标系中，点$(r, \\theta, \\phi)$到坐标原点的距离就是极径r。
2.2 极角极角参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
柱坐标和球坐标散度公式的区别
柱坐标和球坐标散度公式的区别在数学和物理学中，我们经常会遇到柱坐标和球坐标这两种坐标系。
这两种坐标系在描述空间中的点和向量时具有独特的优势，但它们也有不同的特点和应用。
本文将重点探讨柱坐标和球坐标下的散度公式，并比较它们之间的区别。
柱坐标系下的散度公式首先，我们来看柱坐标系下的散度公式。
柱坐标系是一个二维极坐标系，它由径向和角度组成。
在柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r, θ, z)，其中 r 是从原点到点的距离，θ 是与正 x 轴的夹角，z 是与 xy 平面的垂直距离。
在柱坐标系下，一个矢量场 F 可以表示为(Fr, Fθ, Fz)，它分别表示在 r、θ 和 z方向上的分量。
该矢量场的散度可以用以下公式表示：∇ · F = (1/r) ∂(rFr)/∂r + (1/r) ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z其中∇ · F 是 F 的散度，∂ 是偏导数运算符。
球坐标系下的散度公式接下来，我们来看球坐标系下的散度公式。
球坐标系是一个三维极坐标系，它由径向、极角和方位角组成。
在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r, θ, φ)，其中 r 是从原点到点的距离，θ 是与正 x 轴的夹角，φ 是与正 z 轴的夹角。
在球坐标系下，一个矢量场 F 可以表示为(Fr, Fθ, Fφ)，它分别表示在 r、θ 和φ 方向上的分量。
该矢量场的散度可以用以下公式表示：∇ · F = (1/r2) ∂(r2Fr)/∂r + (1/(r sinθ)) ∂(sinθFθ)/∂θ + (1/(r sinθ)) ∂Fφ/∂φ其中∇ · F 是 F 的散度，∂ 是偏导数运算符。
区别与应用从上述公式可以看出，柱坐标系和球坐标系下的散度公式有明显的区别。
在柱坐标系下，散度公式中只有前两项与 r 和θ 有关，而与 z 无关。
这意味着在柱坐标系下，矢量场的变化主要由径向和角度的变化引起。
而在球坐标系下，散度公式包含了三项，分别与 r、θ 和φ 相关。
柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导
柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导[摘 要]：本文采用多元微积分，利用球坐标与柱坐标、柱坐标与直角坐标变量转换的相同关系，以拉普拉斯算符为例，简化了在柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的推导。
本文提出了此法在柱坐标和球坐标系下梯度、旋度、散度算符表达式的推导中的适用性，适合广大非数学专业本科生学习与掌握。
[关键词]：拉普拉斯算符；球坐标；柱坐标；多元微积分[中图分类号]：O13 [文献标识码]：A [文章编号]: 1672-1452(2015)**-****-041 引 言在材料科学基础、近代物理、量子力学等课程的内容中，菲克第二定律和薛定谔方程中的拉普拉斯算符在柱坐标系和球坐标系中的表达式十分重要。
在近代物理的课本[1]和材料科学基础的课本[2]上，提到了拉普拉斯算符在柱坐标和球坐标系下的表达式，但没有给出具体的推导过程。
在电动力学课本[3]中,这方面的内容是通过引入“正交曲线坐标系”得出关于拉普拉斯算符的一般结论，再推导出球坐标和柱坐标下的表达式。
但是利用正交曲线坐标系的一般结论进行推导比较抽象，对于非数学专业的同学来说，理解一般性的结论需要较高的数学水平。
现有的文献[4][5]中，有采用多元复合函数微商法则完成推导的，虽然此法在对学生的微积分要求较低，但是所给出的证明计算繁琐，无助于学生直接理解公式的正确性和自主完成推导。
本文给出了用多元微积分导出拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中表达式的简单方法。
此法仅要求学生掌握基本的多元微积分知识，计算过程简洁美观，便于广大的非数学系专业的学生掌握和理解。
建议在近代物理、量子力学、材料科学基础等课程教材和教学中应用。
2 柱坐标和球坐标下拉普拉斯算符的推导2.1 柱坐标系下的拉普拉斯算符表达式的推导首先，直角坐标系的分量()z y x ,,与柱坐标系的分量()z ,,ϕρ有如下的转换关系：222y x +=ρ（1） x =ϕρcos （2） y =ϕρsin（3） z z =（4）（1）式两端分别对x 和y 求偏导，得ϕρρcos ==∂∂xx（5）ϕρρsin ==∂∂yy（6）（2）两端对x 求偏导，并将（5）式代入，得1sin cos =∂∂-∂∂xx ϕϕρϕρρϕϕsin -=∂∂x（7）同理可知， ρϕϕcos =∂∂y（8）假设所研究的函数为),,(z y x f f =由于z 关于x ，y 是独立的变量，故ρϕϕϕρϕϕρρsin cos ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f x f x f x f （9）同理 ρϕϕϕρϕϕρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f y f y f y f（10）利用公式（5）（7）（9），对f 求x 的二次偏导2222222222222222222cos sin 2sin sin cos sin 2cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos ρϕϕϕρϕρρϕϕρϕϕϕρϕρρϕρϕϕρϕϕϕϕρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂f f f f f f f f f f f f x f x x f x xf （11）类似地，计算f 关于y 的二阶偏导数。
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
三重积分中的柱坐标与球坐标
三重积分中的柱坐标与球坐标在数学中，三重积分是一种用来计算三维空间内物体特定属性（例如体积、质量、质心等）的重要工具。
传统的笛卡尔坐标系在解决一些问题时并不总是方便，于是人们引入了柱坐标和球坐标系，这两种坐标系在三重积分中有着特殊的应用。
本文将介绍三重积分中的柱坐标与球坐标，以及它们的计算方法和在实际问题中的应用。
一、柱坐标中的三重积分柱坐标是一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和高度$z$三个变量构成。
在三重积分中，柱坐标系的转换公式为：$$x = r\cos\theta$$$$y = r\sin\theta$$$$z = z$$$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$z$的范围为$z_1 \leq z \leq z_2$。
对于函数$f(x, y, z)$在柱坐标系下的三重积分，则有：$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) dV = \int\limits_{z_1}^{z_2}\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \int\limits_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z) r\,dr\,d\theta\,dz$$柱坐标系的三重积分常用于具有柱对称性的问题，例如计算柱体的体积、质心等属性。
它将空间问题简化为平面问题，使得计算更加便捷高效。
二、球坐标中的三重积分球坐标是另一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和方位角$\phi$三个变量构成。
在三重积分中，球坐标系的转换公式为：$$x = r\sin\phi\cos\theta$$$$y = r\sin\phi\sin\theta$$$$z = r\cos\phi$$$$dV = r^2\sin\phi\,dr\,d\theta\,d\phi$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$\phi$的范围为$\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2$。
§135 三重积分及柱坐标计算法与球坐标计算法
§13-5 三重积分及柱坐标计算法与球坐标计算法§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法158 158§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法1.柱坐标计算法 当积分区域Ω在直角坐标系中向某个坐标平面的垂直投影是圆或圆的一部分时，时常采用柱坐标计算三重积分。
读者从图13-26中看出，点(,,)P r z θ的柱坐标实际上是它到Oxy 坐标平面上垂足N 的平面极坐标(,)r θ与点P 的竖坐标z 的组合。
根据定理13-5和二重积分的极坐标计算法，可得下面关于三重积分的柱坐标计算法。
定理13-6 在定理13-5的假设条件下，则有21(cos ,sin )(cos ,sin )(,,)d d d d d (cos ,sin ,)d r z r r D z r r f x y z x y z r r f r r z z θθθΩθθθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13-28)其中rD θ是Ω在Oxy 坐标平面上的垂直投影（图13-27）。
例17 求三重积分d d d z x y z Ω=⎰⎰⎰I ，其中Ω是由球面2224x y z ++=的上半球面与抛物面223xy z+=围成的区域cos ,sin )r θθ图图cos ,sin )r θθ§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法 159159（图13-28⑴）。
解 题中球面与抛物面的柱坐标方程依次为2222r z +=与23r z =。
它们围成的区域Ω在Oxy 坐标平面上的垂直投影为圆(3)rD r θ≤。
根据式（13-28），222422π320031d d d d (4)d 29rz r r D z r r r z z r r θθθ=-=⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰I354633209113π4d π2π6π9454424r r r r r r r ⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2.球坐标计算法 当积分区域Ω是球体或球体的一部分时，时常采用球坐标计算三重积分。
柱坐标系和球坐标系下的计算法
za
x y
2
2
a r , cos 2 z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x y )dxdydz d d
2 2
2
5 5 1 a 3 2 sin ( 5 0)d a . 10 5 cos 解二 用柱坐标
2 2
将 投到xoy 面得D
x y 1
1
0 2 ,0 r 1, r z 1
(x
2
y z )dv d dr ( r z )rdz
2 2 2 2 0 0 r
2
1
r 4 4 3 2 ( r r )dr 3 3 10 0
_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分: 2 2 2 2 2 4 z ( x y ) dv 25 ( x y ) 1、 , 其中 是由曲面 及平面z 5 所围成的闭区域.
2、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 由不等式
4 5 a a 5 3 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10
a
例 4 求曲面 x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z 所围 成的立体体积.
x2 y2
解 由锥面和球面围成，
采用球面坐标，
由x
2
y 2 z 2 2a 2 r 2a,
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
练习题答案
柱坐标系和球坐标系中速度、加速度表达式的一种简易推导
柱坐标系和球坐标系中速度、加速度表达式的一种简易推导
在学习中可能会碰到柱坐标系与球坐标系的概念，这两个坐标系在物理现象的描述上具有
至关重要的作用，以下将简单说明柱坐标系和球坐标系中速度、加速度表达式的推导。
首先我们从柱坐标系开始，柱坐标系是一种直角坐标系，其中有三个坐标轴，分别为X、Y、Z轴。
我们可以定义一点P（x，y，z），那么它的速度表达式可以用v（t）=x'（t）i+y'（t）j+z'（t）k的形式来表示，其中i,j,k分别为柱坐标系的基向量。
显然，加速度也
可以通过a（t）=x''（t）i+y''（t）j+z''（t）k的形式来表示。
接下来，我们来讨论球坐标系中速度和加速度表达式的推导。
球坐标系也是一种直角坐标系，它包含三个角度变量ρ、θ和ψ，并可以通过方位角和点P（ρ，θ，ψ）来描述。
另外，它还有三个单位向量e_ρ,e_θ,e_ψ，那么它的速度表达式可以用v（t）=ρ'（t）e_ρ+θ'（t）eθ+ψ'（t）e_ψ的形式来表示，对应的加速度则可以用a（t）=ρ''（t）e_ρ+θ''（t）eθ+ψ''（t）e_ψ的形式来表示。
总之，柱坐标系和球坐标系中速度和加速度都可以用变量组合的形式来表示，柱坐标系中
可以用x'（t）i+y'（t）j+z'（t）k的形式来表示，而球坐标系中可以用ρ'（t）
e_ρ+θ'（t）eθ+ψ'（t）e_ψ的形式来表示。
《流体力学》(柱坐标系和求坐标系下)连续方程推导的巧方法
《流体力学》连续方程推导的巧方法施春华,高庆九,李忠贤(南京信息工程大学大气科学学院,江苏南京 210044)摘要:针对柱坐标系和球坐标系下《流体力学》中连续方程形式复杂、理解不便的特点,采用欧拉控制体方法,把“质量通量”整体作为一物理量,从而巧妙地推导了这两类连续方程,该过程物理意义明确、数学算法简单,有助于学生理解。
关键词:连续方程;柱坐标系;球坐标系在大学《流体力学》教学中,连续方程是最基本的内容之一,在很多相关专业课程中得到广泛应用。
相对而言,在直角坐标系中的连续方程形式简单,也易于理解,但在柱坐标系和球坐标系中,连续方程的形式却相对复杂,理解相对困难。
目前,很多参考书[123]对于后两类连续方程要么没有给出具体推导,要么推导过程较为复杂,使数理基础较薄弱的学生难以理解,在此,笔者结合教学中的实际经验,演示柱坐标系和球坐标系下一种物理意义明确、数学理解简单的连续方程的推导过程。
1 连续方程的一般算子形式流体运动的连续方程,是表示流体运动和其质量分布的关系式。
在拉格朗日方法中,某流体块在运动时其体积和形状尽管可发生变化,但它始终由这些流点构成,因此它的质量不变。
由此可见,连续方程实质上是质量守恒定律在“连续介质”(流体)中的应用。
一般的拉格朗日方法考虑,某个别流体微团(质量体)在运动过程中,其随体密度的变化,必然与其体积变化趋势相反,如体积膨胀,它的密度减小,体积收缩,则密度增大。
其算子形式的通用表达式[1](1)一般的欧拉方法考虑,对于某固定位置的空间单位体积元(控制体)来说,该体积元内单位时间的质量变化,与该体积元边界上的质量通量变化相联系,如质量往外流,它的密度减小,反之则增大。
其算子形式的通用表达式[1](2)两种方法的区别:拉格朗日方法多从物理量的定义出发,模型简单容易理解,但数学解析在实际应用中有些困难;欧拉方法则通过适当的数学建模后,能在数学上给出方便的解析,有利于从数学角度更好地理解概念。
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析柱坐标和球坐标是常见的坐标系，导热微分方程（heat conduction equation）描述了物体内部的温度分布随时间的演化规律。
本文将介绍柱坐标和球坐标下导热微分方程的推导及分析。
1.柱坐标下的导热微分方程推导：在柱坐标系下，空间点由径向坐标$r$、轴向坐标$z$和角度坐标$\theta$表示。
设物体的温度分布为$u(r,z,t)$，其中$t$为时间。
首先考虑物体内部的导热传导，可以利用热传导定律得到：$$\mathbf{q} = -k\nabla u$$其中，$\mathbf{q}$为热流密度矢量，$k$为导热系数。
将柱坐标系下的梯度算子运算展开，并考虑到$u$仅与$r$和$z$有关，导热传导方程可以表示为：$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partialr}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{k}\frac{\partial u}{\partial t}$$2.球坐标下的导热微分方程推导：在球坐标系下，空间点由径向坐标$r$、极角坐标$\theta$和方位角坐标$\phi$表示。
设物体的温度分布为$v(r,\theta,\phi,t)$。
同样考虑物体内部的导热传导，应用热传导定律可得：$$\mathbf{q} = -k\nabla u$$展开梯度算子运算后可得：$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partialr}\left(r^2\frac{\partial v}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial v}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 v}{\partial \phi^2}= \frac{1}{k}\frac{\partial v}{\partial t}$$3.导热微分方程的分析：导热微分方程是一个二阶偏微分方程，描述了物体内部温度分布随时间的演化规律。
拉普拉斯在柱坐标和球坐标的推导
拉普拉斯在柱坐标和球坐标的推导一、柱坐标系下的拉普拉斯算子推导在物理学和数学领域中，拉普拉斯算子是一个重要的偏微分算子，通常用于描述无源场中的波动，热传导等现象。
在柱坐标系下，拉普拉斯算子的表达式可以通过坐标变换和偏微分算子一起推导出来。
假设柱坐标系下某个标量场的函数表示为φ(ρ,φ,z)，其中ρ表示极径，φ表示方位角，z表示高度。
柱坐标系下的拉普拉斯算子abla2φ的表达式可以通过以下推导获得：首先，拉普拉斯算子的定义为以下形式：$$\ abla^2φ=\\frac{∂^2}{∂x^2}φ+ \\frac{∂^2}{∂y^2}φ+\\frac{∂^2}{∂z^2}φ$$其中x,y,z为笛卡尔坐标系下的坐标。
接下来我们通过坐标变换将x,y,z转换为柱坐标系下的ρ,φ,z。
柱坐标系下的坐标变换关系如下：x=ρsinφ,y=ρcosφ,z=z根据链式法则，我们可以得到柱坐标系下的偏导数表达式：$$\\frac{∂}{∂x}=sinφ\\frac{∂}{∂ρ}+cosφ\\frac{1}{ρ}\\frac{∂}{∂φ}$$$$\\frac{∂}{∂y}=cosφ\\frac{∂}{∂ρ}-sinφ\\frac{1}{ρ}\\frac{∂}{∂φ}$$$$\\frac{∂}{∂z}=\\frac{∂}{∂z}$$将以上偏导数表达式代入拉普拉斯算子的定义中并化简，可以得到柱坐标系下的拉普拉斯算子表达式为：$$\ abla^2φ=\\frac{1}{ρ} \\frac{∂}{∂ρ} (ρ \\frac{∂φ}{∂ρ})+ \\frac{1}{ρ^2}\\frac{∂^2φ}{∂φ^2}+ \\frac{∂^2φ}{∂z^2}$$这就是柱坐标系下拉普拉斯算子的表达式。
通过该表达式，我们可以在柱坐标系下描述标量场的拉普拉斯算子的计算。
二、球坐标系下的拉普拉斯算子推导类似地，拉普拉斯算子在球坐标系下的表示也是重要的。
圆柱坐标系和球坐标系的拉普拉斯方程
圆柱坐标系和球坐标系的拉普拉斯方程引言在数学和物理学领域中，我们经常遇到需要求解特定方程的问题。
其中，拉普拉斯方程是一类重要的线性二阶偏微分方程，它在各个坐标系中都有不同的形式。
本文将重点讨论在圆柱坐标系和球坐标系下的拉普拉斯方程。
圆柱坐标系下的拉普拉斯方程在圆柱坐标系下，拉普拉斯方程的形式如下：圆柱坐标系的拉普拉斯方程圆柱坐标系的拉普拉斯方程其中，u是关于圆柱坐标r、θ和z的函数。
圆柱坐标系下的拉普拉斯方程描述了空间中的某一点的函数值与其邻域各点的函数值之差的二阶导数之和为零。
它在涉及到圆柱对称性的问题中具有重要的应用，例如液体的流动、电场的分布等。
球坐标系下的拉普拉斯方程在球坐标系下，拉普拉斯方程的形式如下：球坐标系的拉普拉斯方程球坐标系的拉普拉斯方程其中，u是关于球坐标r、θ和φ的函数。
球坐标系下的拉普拉斯方程类似于圆柱坐标系下的方程，但是由于球坐标中存在角度变量θ和φ，所以其形式稍微复杂一些。
球坐标系下的拉普拉斯方程在球对称性问题的求解中非常有用，例如电子云的分布、地球的引力场等。
拉普拉斯方程的求解方法对于圆柱坐标系和球坐标系下的拉普拉斯方程，可以采用不同的数学方法进行求解。
常见的方法包括分离变量、特解法、变分法等。
分离变量法分离变量法是一种常用的求解拉普拉斯方程的方法。
其基本思想是假设待求解的函数可以表示为坐标变量的乘积形式，然后将方程化简为各个变量的常微分方程。
通过求解这些常微分方程，可以得到原方程的解。
特解法特解法是一种通过对已知条件进行适当的选择和变换，从而得到方程的特解的方法。
通过已知条件的特殊性，可以得到方程的特解，进而求得原方程的一般解。
变分法变分法是一种利用变分原理求解变分问题的方法。
通过对待求解的函数进行变分，然后利用变分原理建立泛函，通过极值条件求解泛函，可以得到方程的解。
结论本文讨论了圆柱坐标系和球坐标系下的拉普拉斯方程及其求解方法。
这些方程在数学和物理学领域中有着广泛的应用，对于研究液体流动、电场分布、电子云分布等问题具有重要意义。
圆柱坐标和球坐标的散度计算公式怎么推出来的
圆柱坐标和球坐标的散度计算公式的推导
散度（divergence）是矢量场的一个重要概念，在物理学和数学中具有广泛的应用。
对于圆柱坐标和球坐标系，推导散度计算公式可以通过坐标变换和矢量微积分的原理来实现。
圆柱坐标系的散度计算公式推导
圆柱坐标系由径向（r）、方位角（θ）和高度（z）组成。
我们考虑一个矢量场F，其在圆柱坐标系下的表示为（Fr, Fθ, Fz）。
根据矢量微积分中的散度定义，圆柱坐标系下的散度计算公式为：
推导步骤如下：
1.对公式中的每一项进行求导，首先对径向项进行求导：
由于是对径向坐标r偏导，保持了F_r的形式不变。
2.接下来对方位角项和高度项进行求导：
3.最后将上述三个求导结果相加，得到圆柱坐标系下的散度计算公式。
球坐标系的散度计算公式推导
球坐标系由径向（r）、极角（θ）和方位角（φ）组成。
我们同样考虑一个矢量场F，其在球坐标系下的表示为（Fr, Fθ, Fφ）。
根据矢量微积分中的散度定义，球坐标系下的散度计算公式为：
推导步骤如下：
1.对公式中的每一项进行求导，首先对径向项进行求导：
同样，由于是对径向坐标r偏导，保持了F_r的形式不变。
2.接下来对极角项进行求导：
由于是对极角θ偏导，保持了F_θ的形式不变，并减去了一项与θ有关的项。
3.最后对方位角项进行求导：
4.将上述三个求导结果相加，得到球坐标系下的散度计算公式。
通过上述推导，我们得到了圆柱坐标和球坐标系下的散度计算公式，这些公式在物理学和数学中具有重要的应用价值，能够帮助我们分析和理解矢量场的性质和行为规律。
柱坐标和球坐标散度公式的区别和联系
柱坐标和球坐标散度公式的区别和联系柱坐标和球坐标是常见的坐标系，它们在物理学、工程学等领域的向量分析中扮演着重要的角色。
在这两种坐标系下，散度是一个重要的运算符，用来描述向量场的性质。
本文将对柱坐标和球坐标下的散度公式进行比较，探讨它们之间的区别和联系。
首先，我们来介绍一下柱坐标和球坐标的表示方式。
柱坐标系由一个径向距离r、一个极角$\\theta$和一个高度z组成。
对于一个点P，它在柱坐标系中的坐标为$(r,\\theta,z)$。
而球坐标系则由一个径向距离r、一个极角$\\theta$和一个方位角$\\phi$组成。
同样地，对于一个点P，它在球坐标系中的坐标为$(r,\\theta,\\phi)$。
接下来我们来讨论柱坐标下的散度公式。
在柱坐标系中，一个矢量场V可以表示为$V = V_r \\mathbf{e}_r + V_\\theta \\mathbf{e}_\\theta + V_z \\mathbf{e}_z$，其中$\\mathbf{e}_r$、$\\mathbf{e}_\\theta$和$\\mathbf{e}_z$是柱坐标系下的单位基矢量。
柱坐标系下的散度公式为：$$\ abla \\cdot V = \\frac{1}{r} \\frac{\\partial}{\\partial r}(r V_r) +\\frac{1}{r} \\frac{\\partial V_\\theta}{\\partial \\theta} + \\frac{\\partialV_z}{\\partial z}$$上述公式中，第一项$\\frac{1}{r} \\frac{\\partial}{\\partial r}(r V_r)$代表了径向分量的贡献，第二项$\\frac{1}{r} \\frac{\\partial V_\\theta}{\\partial\\theta}$代表了极角分量的贡献，第三项$\\frac{\\partial V_z}{\\partial z}$代表了高度分量的贡献。
将直角坐标系中的矢量用圆柱和圆球坐标系
将直角坐标系中的矢量用圆柱和圆球坐标系引言在物理和数学领域中，我们经常使用直角坐标系（笛卡尔坐标系）来描述矢量的位置和方向。
然而，在某些情况下，直角坐标系并不是最方便的选择。
为了更好地描述某些问题，我们可以使用其他坐标系，例如圆柱坐标系和球坐标系。
本文将介绍如何将直角坐标系中的矢量用圆柱和圆球坐标系表示。
圆柱坐标系圆柱坐标系是一种二维坐标系，其中一个坐标表示从原点到点的距离，另一个坐标表示与正 x 轴的夹角。
我们可以通过以下公式将直角坐标系中的矢量转换为圆柱坐标系：x = r * cos(theta)y = r * sin(theta)z = z其中，r 是点到原点的距离，theta 是点与正 x 轴的夹角，z 是点在 z 轴上的坐标。
这里的 r 和 theta 均为极坐标，可以通过勾股定理和反三角函数计算出来。
圆球坐标系圆球坐标系是一种三维坐标系，其中一个坐标表示点到原点的距离，另两个坐标表示与正 x 轴和正 z 轴的夹角。
我们可以通过以下公式将直角坐标系中的矢量转换为圆球坐标系：x = r * sin(theta) * cos(phi)y = r * sin(theta) * sin(phi)z = r * cos(theta)其中，r 是点到原点的距离，theta 是点与正 z 轴的夹角，phi 是点在 x-y 平面上与正 x 轴的夹角。
这里的 r、theta 和 phi 均为极坐标，可以通过勾股定理和反三角函数计算出来。
从圆柱坐标系到直角坐标系如果我们已知一个矢量在圆柱坐标系中的表示，我们可以使用以下公式将其转换为直角坐标系：x = r * cos(theta)y = r * sin(theta)z = z其中，r 是点到原点的距离，theta 是点与正 x 轴的夹角，z 是点在 z 轴上的坐标。
通过使用这些公式，我们可以将圆柱坐标系中的矢量转换为直角坐标系。
从圆球坐标系到直角坐标系类似地，如果我们已知一个矢量在圆球坐标系中的表示，我们可以使用以下公式将其转换为直角坐标系：x = r * sin(theta) * cos(phi)y = r * sin(theta) * sin(phi)z = r * cos(theta)其中，r 是点到原点的距离，theta 是点与正 z 轴的夹角，phi 是点在 x-y 平面上与正 x 轴的夹角。
圆柱、球坐标系下▽Φ、▽·A、▽×A和▽2的运算公式
圆柱、球坐标系下▽Φ、▽A、▽×A和▽2的运算公式
路彦峰;刘建军;路洪艳
【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(032)001
【摘要】分析得出▽算符在柱、球坐标下的表示式,并由坐标转换关系找出柱、球坐标系中各单位矢量的微分公式.最后严格推导出▽Φ、▽·A、▽×A及▽2算子的运算公式.
【总页数】4页(P37-40)
【作者】路彦峰;刘建军;路洪艳
【作者单位】淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽,淮北,235000;淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽,淮北,235000;淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽,淮北,235000
【正文语种】中文
【中图分类】O442
【相关文献】
1.圆柱坐标系和球坐标系的Christoffel符号计算 [J], 盛冬发;张宁;银光球
2.静水压力作用下环肋圆柱壳自由振动基频的数值拟合公式 [J], 甘霖;李学斌
3.谈球坐标系中质点运动速度、加速度公式的直接推导 [J], 于志明
4.基于核心素养观下的运算教学案例r——以点到直线距离公式的推导和应用为例[J], 孙鋆
5.mod 2^n加运算与F2上异或运算差值的概率分布和递推公式 [J], 张龙;吴文玲;温巧燕
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析
柱坐标及球坐标下导热微分方程的推导及分析哈尔滨工业大学市政学院摘要:运用热力学第一定律，建立温度场,利用微分方程在不同坐标系的不同形式进行分析问题关键词:柱坐标球坐标导热微分方程1.柱坐标系下导热微分方程假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c和密度ρ均为已知，并假设物体内具有内热源.用单位体积单位时间内所发出的热量 qv(w/m *3）表示内热源的强度。
基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体中分割出一个微元体,如图。
根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分析，那么在dτ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应等于微元体热力学能的增加，即导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中热力学能的增加(Ⅲ）下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三项：在 dτ时间内，沿 r 轴方向：τϕdzd rd q r r =Φτϕλτϕλdzd rd rt d dzd rd q r r t r ∂∂-=Φ∴-=∂∂ τϕλdzd drd rt r r d d r dr d d dr r r r r dr r )(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++ 错误! 在 dτ时间内，沿 ϕ轴方向：τϕλϕλτϕϕϕϕdrdzd t r t r q drdzd q ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ11 τϕϕλϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕdzd drd t r d d d )1(∂∂∂∂=Φ-Φ∴∂Φ∂=Φ-Φ++ 错误! 在 dτ时间内，沿 z 轴方向:τϕλλτϕdrd rd z t ztq drd rd q z z z z ∂∂-=Φ∴∂∂-==Φ τϕλdzd drd zt r z z dz dz z z z z dz z )(∂∂∂∂=ΦΦ∴∂Φ∂=Φ-Φ+-+ 错误!将 r 、Φ、z 三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到 :I=错误!+错误!+错误!在 dτ时间内，微元体中内热源的发热量为Ⅱ=dzdr rdrd q v ϕ在 dτ时间内,微元体中热力学能的增量为Ⅲ=τϕτρdzd rdrd t c ∂∂ 联立I ，III ，II 可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：)()(1)(12z t z t r r t r r r r q t cv ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+=∂∂λϕλϕλτρ2.球坐标系下导热微分方程在球坐标系中,从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。
在柱坐标系和球坐标系下哈密顿算子的形式
r x 2 y 2 z 2 （2‐5）
er sin cos ex sin sin e y cos ez （2‐6）
空间任意一点在球坐标系下和笛卡尔坐标系下的关系为：
图 1 柱面坐标系
x cos y sin z z
我们可以得到：
x 2 y 2 （1‐5）
e cos ex sin ey （1‐6）
联立（1‐1） 、 （1‐10）和（1‐13）可以得到：
F ( x, y , z ) F F F ex ey ez x y z
F F F F F 1 1 sin cos ez cos cos e sin e sin sin e cos e z F 1 F F e e e z z
接下来我们将求在球坐标系下，空间某点 F ( x, y, z ) 分别对 r , , 求偏导数：
F F x F y F z x y z F F x F y F z （1‐11） x y z F F x F y F z x z y z z
联立（1‐5）和（1‐11）可以得到：
F F F cos x sin y F F F （1‐12） sin cos x y F F z z
接下来我们将求在球坐标系下，空间某点 F ( x, y, z ) 分别对 r , , 求偏导数：
F F x F y F z r x r y r z r F F x F y F z （2‐13） x y z F F x F y F z x y z
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
2
（2） 球面坐标的体积元素 dxdydz r sindrdd （3） 对称性简化运算
思考题
若为R 3中关于xy面对称的有界闭区域， ( x , y , z )为 f 上的连续函数, 则
当f ( x , y, z )关于 ____为奇函数时, f ( x, y, z )dv 0;
z
当f ( x , y , z )关于 ____为偶函数时,
z
2 f ( x , y , z )dv ___ f ( x , y , z )dv
1
其中1为在xy面上方的部分.
练习题
一、填空题: 1、若 由曲面 z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所 围,则三重积分 f ( x , y , z )dv 表示成直角坐标下
的三次积分是_________________;在柱面坐标下 的三次积分是_________________;在球面坐标下 的三次积分是__________________. 由 曲 面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 所 围, 2、若 将 zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,
dz
x
r
f ( x , y, z )dxdydz
o
d
f (r cos , r sin , z )rdrddz.
y
x
然后再把它化为三次积分来计算
积分次序一般是先 z 次 r 后 积分限是根据 r , , z 在积分区域中的变化范围来确定 例1 解
( x 2 y 2 z 2 )dv , : z
1 ( x , y , z ) | ( x , y, z ) , z 0 ② 若 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
x y
2 2
z
, 4
: 0 r 2a ,
0 , 4
0 2 ,
由三重积分的性质知 V
dxdydz ,
V d d
0 0
2
4
2a
0
r 2 sin dr
3
2
4 0
4 ( 2a ) sin d ( 2 1)a 3 . 3 3
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
练习题答案
一、1、 dx
2 2 4 x 2 4 x 2 2
dy
16 x 2 y 2 3( x 2 y 2 )
f ( x , y , z )dz f ( x , y , z )dz ,
r , , z
, r 的范围容易定出 0 2 ,0 r 2
z 呢？
注意到
当 0 r 1时 1 z 2
当1 r 2时
2 1 2 z 2
rz2
2 z
e e I d [ dr rdz dr rdz] r r 0 0 1 1 r
x
然后把它化成对 r , , 的三次积分
具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是
先r次后
例 3 计算 I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中 是锥面
x 2 y 2 z 2 ， 与平面 z a
解一 用球坐标
(a 0) 所围的立体.
就叫做点 M 的球面坐标．
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
z
x
r
M ( x, y, z )
z
o
0 , 0 2.
r 为常数
为常数
为常数
, r 0
球 面 圆锥面 半平面
规定：
z
M ( x, y, z )
0 r ,
0 2,
x
o
r
P(r , )
y
z .
z
圆柱面 半平面 平 面
z
为常数
z 为常数
z
rd
如图，柱面坐标系中的体积元
数常为 r
dr
M ( x, y, z )
o
r
P(r , )
y
dv rdrddz,
其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围,则其体积可表为三重积分 _______________; 或 二 重 积 分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 、 若 由 不 等 式 x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2 所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分: 1、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 是由曲面4z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面z 5 所围成的闭区域.
2、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 由不等式
a4 a5 5 3 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10
a
例 4 求曲面 x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z 所围 成的立体体积.
x2 y2
解 由锥面和球面围成，
采用球面坐标，
由x
2
y 2 z 2 2a 2 r 2a,
1 3
注
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。
例2
ez 2 2 dxdydz, : z x y , z 1, z 2 2 2 x y
解
x r cos y r sin , zz
关键在于定出 的变化范围
注
若 积分区域为球体、球壳或其一部分
被积函数呈 通常采用球坐标。
x y z
2 2
2
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单
补充：利用对称性简化三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
规定
A
y
y
x
P
Байду номын сангаас z
如图，球面坐标系中的体积元素为d
r sin
dr
r sin d rd d
dv r sindrdd ,
2
r
f ( x , y, z )dxdydz
o
d
y
f ( r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sindrdd .
f ( r cos , r sin , z )dz ,
2
0
2
d d f (r sin cos ,
0
6 0
4
r sin sin , r cos )r 2 sin dr
“你对称，我奇偶”
对 I f ( x , y , z )dv
① 若 关于 xoy 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z , ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时 I 2 f ( x , y , z )dv
0 a x 2 y 2 z 2 A, z 0 所确定. x2 y2 z2 3、 ( 2 2 2 )dxdydz , a b c x2 y2 z2 ( x , y , z ) 2 2 1 . 其中 2 a b c z 5 x 2 y 2 及 x 2 y 2 4 z 所围成的立 三、求曲面 体的体积. 2 2 2 2 2 2 四、曲面 x y az 4a 将球体 x y z 4az 分 成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面 z x 2 y 2 , x y a , x 0, y 0, z 0 所围成立体的重心(设密度 1 ).
za
x y
2
2
a r , cos 2 z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x y )dxdydz d d
2 2
2
5 1 a5 3 2 sin ( 5 0)d a . 10 5 cos 解二 用柱坐标
2 (e e ) 2 (e e )dr 2e