极坐标、柱坐标和球坐标
笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系都有啥区别
笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系都有啥区别什么是坐标系坐标系，是理科常用辅助方法。
为了说明质点的位置、运动的快慢、方向等，必须选取其坐标系。
在参照系中，为确定空间一点的位置，按规定方法选取的有次序的一组数据，这就叫做“坐标”。
在某一问题中规定坐标的方法，就是该问题所用的坐标系。
坐标系有几种形式在数学中，坐标系的种类很多，常用的坐标系有以下几种，一是平面直角坐标系（笛卡尔坐标系），二则是平面极坐标系，三是柱坐标系，四是球坐标系坐标系的种类很多。
物理学中常用的坐标系，为直角坐标系，或称为正交坐标系。
为什么会有这么多种坐标系，难度不能统一用1种为什么我们需要多个坐标系统呢？任何一个坐标系统都是无限的，包括了空间中的所有点。
所以，我们用任意一个坐标系统，然后规定它是“世界空间”，然后所有的点位置都可以用这个坐标系统来描述了。
难道就不能更简单点了么？实践证明的答案是不能。
很多人发现在不同的场景下使用不同的坐标系统更方便。
使用多个坐标系统的原因是，在一个特定的场景上下文中，可以拥有一份确定的信息。
也许整个世界上的所有点都可以在一个坐标系里表示，然而，对于一个确定的顶点a，我们可能不知道它在世界坐标中的位置，但是我们可能可以明确它在相对于某些坐标系统中的位置。
比如，有两个相邻的城市A，B。
A城市聪明的居民们在代价公认的一个城市的中心建立了坐标原点，然后用罗盘所指的方向来作为坐标轴，而B城市的居民可能在他们的城市中一个任意的位置建立了坐标原点，然后然坐标轴的方向在一个任意的方向，两座城市的居民都觉得他们各自的坐标系统十分便利。
然而，这时候有一名工程师被分配了一个任务，要求他在两个城市之间建立第一条公路，而且需要一个地图来清楚地看两个城市以及城市间的所有细节。
因此引入了更为便利的第三坐标系，这个坐标系对于两座城市的居民没有任何影响。
两座城市中各自的坐标点都需要从本地坐标转换成新的坐标系的坐标来绘制新地图。
几种坐标系有什么区别笛卡尔坐标系：平面直角坐标系笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。
柱坐标与球坐标系
离组成的，即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为①到原点的距离r；②与z轴
正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中 的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标 系中的竖坐标.
解答
(2)已知点 N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标.
x＝ρcos θ，
解 由变换公式y＝ρsin θ，
得 x＝2cos π2＝0，y＝2sin 2π＝2，
z＝z，
故点N的直角坐标为(0,2,3).
解答
类型二 球坐标与直角坐标的互化
例 2 (1)已知点 P 的球坐标为4，34π，π4，求它的直角坐标；
柱坐标与球坐标系
学习目标
1.了解柱坐标系、球坐标系的特征. 2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间 的互化公式. 3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.
思考
要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.
其到原点距离为 2 3－02＋2－02＋3－02＝ 25＝5.
12345
解析 答案
5 5.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝__3___， tan θ＝__2__.
解析 如图所示，
tan φ＝
x2＋y2 z＝
35，tan
θ＝yx＝2.
12345
解析 答案
1.空间点的坐标的确定
解 由变换公式y＝ρsin θ，
z＝z， 得 x＝4cos π3＝2，y＝4sin π3＝2 3，z＝8. ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3，8).
第1章 3 柱坐标系和球坐标系
§3 柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系.设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面.(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .2.球坐标系(1)定义：设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM→与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影.这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地， r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝r ·sin φ·cos θ，y ＝r ·sin φ·sin θ，z ＝r cos φ.【思维导图】【知能要点】 1.柱坐标系. 2.球坐标系.3.空间点的坐标的确定.题型一 柱坐标系柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间任一点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )表示，(ρ，θ)是点P 在Oxy 平面上的射影Q 的极坐标，z 是P 在空间直角坐标系中的竖坐标. 【例1】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？解 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆.因此，在柱坐标系中，设Oz 轴所在的直线为l ，则方程ρ＝2表示以l 为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱面.【反思感悟】 柱坐标满足ρ＝2的点可以和平面直角坐标系中满足x ＝1的点构成一条直线，空间直角坐标系中满足y ＝2的点构成的图形是一个平面结合考虑.1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标. P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π，－3 解直接代入互化公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z，可得P 的直角坐标为(3，1，1)，Q 点的直角坐标为(－2，23，－3).题型二 球坐标系球坐标系又称空间极坐标系，用空间任意一点P 到O 的距离r 以及两个角θ，φ来刻画点P 的位置.【例2】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384千米的位置，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解 在赤道平面上，我们选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O 为端点且经过北极的射线Oz (垂直于赤道平面)为另一条极轴，如图所示建立一个球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°，由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米.所以点P 的球坐标为(8 755，15°，80°).【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是求该点到点O 的距离和方位角、高低角.两个角可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联系和区别.2.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A ，B 两个城市，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？解 由题意可知面AOO 1，面BOO 1都垂直于两圆平面， ∴∠AO 1B 是两平面AOO 1和BOO 1的夹角， 又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，∴∠AO 1B ＝2π3－π6＝π2， ∠AOO 1＝∠BOO 1＝π4， ∠AO 1O ＝∠BO 1O ，∴小圆O1的半径r＝22R，∴AB＝R，∴∠AOB＝π3，则经过A、B两地的球面距离为π3R.故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为π3R.题型三空间点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).2.空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).3.(1)空间点的球坐标是点和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).(2)注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.【例3】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标，球坐标，柱坐标.分析如图所示，此题是考查空间直角坐标，球坐标，柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C1点的(x，y，z)，分别对应着CD、BC、CC1，C1点的(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠DCA、CC1，C1点的(r，φ，θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.解C1点的空间直角坐标为(14，6，10)，C1点的柱坐标为(258，arctan 37，10)，C 1点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫283，arccos 58383，arctan37. 【反思感悟】 注意空间任一点的直角坐标、球坐标和柱坐标的联系和区别，它们都能刻画点的位置，可以进行互化.3.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)，图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)所示，建立空间直角坐标系O -xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标，柱坐标.解 把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，0)，(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0； 上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，arctan 2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arctan 22，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，1)，(1，0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，1. 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的球坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 12，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2，它们的柱坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 2，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2，121.一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心O 的距离为500 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，求出点A 的坐标.解 以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地平面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为503 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置.所以点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫503，17π16，2.8. 2.一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为π3的圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v >0，盘旋的角速度为ω>0，求t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.解 取圆锥的顶点O 为坐标原点，建立球坐标系，设t 时刻蚂蚁在点M (r ，φ，θ)处，由题意得θ＝ωt ，z ＝v t ，φ＝π3， 由于z r ＝cos φ＝cos π3＝12， 于是r ＝2z ＝2v t ，所以t 时刻蚂蚁在球坐标系中的位置为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2v t ，π3，ωt ， t ∈[0，＋∞).3.摊开世界地图，问初次降临地球的外星人：台湾在哪里？阿根廷的Formosa(福尔摩沙)省又位于何处(如图所示)？外星人必然一头雾水，如果你再给他一组数据：.想一想，它们的位置有什么关联？解两地经度差180°，纬度相反.故它们位于地球同一直径的两个端点上.1.空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.2.球坐标的应用在球坐标系中，它的三度实际上也是我们所熟悉的，它与前面所学的球的一些基本知识是有着密切联系的.我们得熟悉这部分内容.(1)经线与经度：地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定以经过英国格林尼治天文台原址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经.如东经30°，西经60°等.(2)纬线与纬度：与地轴(通过北极和南极的直线)垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线(纬线圈)，其中的大圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°，南纬23.5°.与球坐标比较，点P (r ，φ，θ)中的r 是到球心的距离，φ与纬度是互余的；θ与经度是相关的，若建立适当的坐标系，θ就是经度. 【规律方法总结】1.根据图形的特征，可以选择不同的坐标系来确定点的位置.2.点的直角坐标、柱坐标、球坐标可以相互转化.3.利用柱坐标系、球坐标系解决空间点的位置时，对于含角度的比较方便.一、选择题1.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5，1，1)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62B.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62 C.P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62，B 点(1，1，5) D.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析 设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝2·cos π4＝2·22＝1，y ＝2·sin π4＝1，z ＝5. 设B 点的直角坐标为(x ，y ，z )， x ＝6·sin π3·cos π6＝6·32·32＝364， y ＝6·sin π3·sin π6＝6·32·12＝324，z ＝6·cos π3＝6·12＝62.所以，点P 的直角坐标为(1，1，5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62. 答案 B2.设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3 解析 ∵ρ＝（－1）2＋（－3）2＝2，θ＝43π，z ＝3.∴M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，3.答案 C3.设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 解析 由变换公式r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝z r ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝54π. ∴M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，54π.答案 B4.点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，56π则它的直角坐标为( )A.(－6，23，4)B.(6，23，4)C.(－6，－23，4)D.(－6，23，－4)解析 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4， 得点M 的直角坐标为(－6，23，4).答案 A5.点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，2，则点P 到原点的距离为( ) A.17 B.217 C.417D.817解析 x ＝8cos π4＝42，y ＝8sin π4＝42， ∴柱坐标化为直角坐标为(42，42，2)， |OP |＝32＋32＋4＝68＝217.答案 B 二、填空题6.在球坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4的距离为________.解析 把A 、B 两点的球坐标化为直角坐标为A ()1，1，2， B ()－1，1，－2. |AB |＝（1＋1）2＋（1－1）2＋（2＋2）2＝12＝2 3.答案 2 37.在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________. 解析 在极坐标系中，ρ＝2表示圆心在极点半径为2的圆.在柱坐标系中方程ρ＝2表示以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面. 答案 以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面8.已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，34π，点N 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π4，34π，则M 、N 两点间的距离为________.解析 x ＝4sin π4cos 3π4＝4·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2， y ＝4sin π4sin 3π4＝4·22·22＝2，z ＝4cos π4＝4·22＝22，∴点M 的直角坐标为(－2，2，22).同理点N 的直角坐标为(2，－2，22)，∴|MN |＝16＋16＝4 2.答案 4 29.在球坐标系中，方程r ＝1表示______________________，方程φ＝π4表示空间的________________________.解析 r ＝1表示球心在原点半径为1的球面，φ＝π4表示顶点在原点，母线与z 轴夹角为π4的圆锥面.答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面夹角为π2的圆锥面三、解答题10.如图所示，在长方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝5，|OD ′|＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标.解 C 点的ρ、θ分别为|OC |及∠COA .B ′点的ρ为|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋52＝34；θ＝∠BOA ，而tan ∠BOA ＝|AB ||OA |＝53，所以∠BOA ＝arctan 53.P 点的ρ、θ分别为OE 、∠AOE ，|OE |＝12|OB |＝342，∠AOE ＝∠AOB .∴各点的柱坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，0，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫34，arctan 53，3，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫342，arctan 53，3.11.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，θA 、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，34π，θB ，求出这两个截面间的距离. 解 在△OO 1A 中，由球坐标知∠AOO 1＝π4，|OA |＝8，∴|OO 1|＝8cos ∠AOO 1＝8×22＝42，同理在△OO 2B 中，|OB |＝8，∠O 2OB ＝π4，∴OO 2＝42，∴O 1O 2＝82， ∴两个截面间的距离为8 2.12.在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积.解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π(体积单位).习题1－3 (第22页)1.解 点A 的柱坐标为(3，0，3)，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，0； 点B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2； 点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，0，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π2，π4. 图略2.解 点A 的直角坐标为(－22，22，2)；点B 的直角坐标为(3，33，－5). 图略.3.解 点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3；点N 的直角坐标为(6，23，4).。
测量常用的坐标系有哪几种
测量常用的坐标系有哪几种在测量学中，坐标系是用来确定物体或点在空间中位置的重要工具。
根据应用的不同，测量中常用的坐标系可以分为直角坐标系、极坐标系和球坐标系三种。
1. 直角坐标系直角坐标系，也被称为笛卡尔坐标系，是最常见和基本的坐标系。
它利用三个垂直于彼此的坐标轴来定位物体的位置。
通常，这三个坐标轴被标记为x、y和z 轴。
在直角坐标系中，任何一个点可以通过一个有序的三个数字来表示，例如(x, y, z)。
这个三元组表示物体相对于图像的原点在各个轴方向上的位移。
直角坐标系广泛应用于计算机图形学、工程测绘和物理学领域。
2. 极坐标系极坐标系也称为极径坐标系，主要用于描述平面上的点。
极坐标系与直角坐标系不同，它采用两个参数来表示点的位置。
一个参数是极径，表示点到坐标原点的距离；另一个参数是极角，表示点相对于参考方向的角度。
通常，极坐标系中，角度以角度值或弧度值来表示，而极径则表示为非负实数。
极坐标系主要应用于极坐标追踪、极位移测量和天体测量等领域。
3. 球坐标系球坐标系是在三维空间中描述点的位置的一种坐标系。
球坐标系使用三个参数来确定点的位置：距离、极角和方位角。
距离表示点到坐标原点的距离；极角表示点相对于参考方向的角度；方位角表示点相对于参考平面的角度。
球坐标系通常用于天文学、导航系统以及物体在球面上运动的描述。
常见的球坐标系表示方法为(r, θ, φ)，其中r表示距离，θ表示极角，φ表示方位角。
结论直角坐标系、极坐标系和球坐标系是测量学中常用的坐标系。
直角坐标系适用于描述三维空间中的点的位置；极坐标系适用于平面上的点的位置描述；球坐标系则适用于描述三维空间中的点相对于球面的位置。
不同的坐标系在不同领域具有广泛的应用，在解决测量问题中发挥着重要作用。
了解这些坐标系的特点和适用范围，有助于我们更好地理解并运用测量学中的相关知识和技术。
参考文献：1.Berman, H. (2014). Spherical coordinates. In Principles of ComputerGraphics (pp. 1-4). Springer, New York, NY.。
简单曲线的极坐标方程 柱坐标系与球坐标系简介课件
题型四 极坐标系中曲线位置关系
例4 已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρcos θ＝3,ρ＝
2.柱坐标系 一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间_任_意___ 一点,它在Oxy平面上的射__影____为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π) ___________________表极示坐点标Q在平面Oxy上的
__________,
这时点的位置可用有序数组_ρ_,_θ_,_z_(z_∈__R_)__表示.这样,我
【解】 法一:将极坐标方程 ρ＝3 转化为普通方程:x2＋y2 ＝9,ρ(cos θ＋ 3sin θ)＝2 可化为 x＋ 3y＝2, 在 x2＋y2＝9 上任取一点 A(3cos α,3sin α), 则 点 A 到 直 线 的 距 离 d ＝ |3cos α＋3 2 3sin α－2| ＝ |6sinα＋230°－2|,所以它的最大值为 4.
【解】 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角
坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (1)x＝ρcos θ,y＝ρsin θ,由 ρ＝4cos θ 得 ρ2＝4ρcos θ. 所以 x2＋y2＝4x. 即 x2＋y2－4x＝0 为圆 O1 的直角坐标方程. 同理 x2＋y2＋4y＝0 为圆 O2 的直角坐标方程. (2)由xx22＋＋yy22－＋44xy＝＝00.，
标
x＝ρcos θ
y＝ρsin θ
z＝z
(ρ,θ,z)之间的变换公式为______________.
浅谈几种坐标系的坐标转换
浅谈几种坐标系的坐标转换在计算机图形学和计算机视觉领域，不同的坐标系在模拟和仿真方面发挥着重要的作用。
在这篇文章中，我们将浅谈几种坐标系的坐标转换。
这些坐标系包括笛卡尔坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系、欧拉角坐标系和四元数坐标系。
1. 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是所有坐标系中使用最普遍的坐标系。
在笛卡尔坐标系中，一个点在一个平面内由x，y坐标确定，在3D空间中由x，y，z坐标确定。
笛卡尔坐标系是一种直角坐标系，其中的任何一点都可以由其从原点到该点的距离和其与x轴之间的角度确定。
2. 极坐标系极坐标系是一种使用极径和极角来确定环境中一个点的位置的坐标系。
在极坐标系中，距离和角度都是必需的。
它可以表示欧几里德平面上的所有点，但不适合用于仿真。
3. 柱坐标系柱坐标系是一种使用半径、角度和高度来定位三维空间中某个点的坐标系。
柱坐标系通常用于有相关圆柱体或柱状物的仿真问题。
4. 球坐标系球坐标系是一种使用经度、纬度和距离来定位三维空间中某个点的坐标系。
球坐标系适合模拟宇宙和行星的运动。
5. 欧拉角坐标系欧拉角坐标系是一种使用三个地址向量来描述中心在旋转、移动或缩放的三维物体的位置的坐标系。
用户可以选择旋转的角度以及旋转的方向和顺序。
欧拉角坐标系是用于机器人学、模拟和游戏编程中常用的坐标系。
6. 四元数坐标系四元数坐标系是一种四元数作为坐标系统的数学模型，用于描述三维空间中旋转。
四元数坐标系具有良好的数学性质，适合用于计算机图形学和数据处理方面。
关于坐标系的转换，通常包括从笛卡尔坐标系到其他坐标系的转换和从其他坐标系到笛卡尔坐标系的转换。
这可以通过一些基本的公式和规则来实现。
例如，笛卡尔坐标系到极坐标系的转换可以使用以下公式：r = sqrt(x^2 + y^2)theta = atan(y / x)其中r是极径，theta是极角。
综上所述，坐标系在计算机图形学和计算机视觉领域中扮演着非常重要的角色，它们可以用于描述物体的位置、方向和大小。
测量坐标系的种类
测量坐标系的种类1.直角坐标系（笛卡尔坐标系）：直角坐标系是最常见的坐标系类型之一、它使用三个垂直的坐标轴，通常表示为X、Y和Z轴。
这种坐标系适用于描述三维空间中的绝对位置，例如地理位置、建筑物坐标等。
2.极坐标系：极坐标系以一个定点作为原点，以连续的旋转轴表示距离（r）和角度（θ）。
这种坐标系适用于圆、柱体或球形物体的测量，它们用极径和角度来描述位置，例如天文学中的天体测量。
3.球坐标系：球坐标系也是一种用于描述三维空间中物体位置的坐标系。
它使用一个原点作为中心以及距离（r）、极角（θ）和方位角（φ）来定义位置。
这种坐标系常用于天体测量、机器人定位等领域。
4.地理坐标系：地理坐标系使用经度和纬度来确定位置，适用于地理学、地理信息系统（GIS）、全球定位系统（GPS）等应用。
经度表示东西方向，纬度表示南北方向，因此地理坐标系可用于描述任意地球表面上的位置。
5.本地坐标系：本地坐标系是相对于一些基准点或者参考物体而言的坐标系，适用于工程测量、建筑设计等领域。
它可以是平面坐标系或立体坐标系，常用于描述建筑物、工业设施的位置和方向。
6.构造坐标系：构造坐标系同样是相对于参考物体的坐标系。
它使用东、北、高（E、N、U）作为坐标轴，适用于地质测量、土木工程等领域。
构造坐标系能够描述相对位移和形变等变量。
7.图像坐标系：图像坐标系用于计算机视觉和图像处理领域，用于描述图像中像素的位置。
它通常以图像的左上角作为原点，使用水平和垂直坐标轴来表示像素位置。
除了上述常见的坐标系，还有一些特殊的坐标系形式，如椭球坐标系、柱坐标系、二维坐标系等，它们在特定领域具有特定的应用。
总结起来，测量坐标系的种类很多，每种坐标系都适用于特定的应用领域。
正确选择合适的坐标系对于进行准确的测量和定位是至关重要的。
科学家、测量工程师和研究人员需要根据实际需求选择合适的坐标系，并进行相应的计算和转换，以确保测量结果的精度和可靠性。
直线的极坐标方程及柱坐标系和球坐标系课件
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为
4 ( 0)
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0 ) 2、求过极点，倾角为 坐标方程。
点M(ρ 0，θ 0)，且极轴到此直线的角为α ，直 线l的极坐标方程为： ρ sin(α -θ ) =
ρ 0sin(α -θ 0)
.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标.
由已知的对称直线的问题关于sin12一个圆的方程为在极坐标系中已知sinsin直线的方程是相切的一条化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的面积所围成的的面积积就是扇形解
§1.3.2直线的极坐标方程
工业机器人的五个坐标系
工业机器人的五个坐标系在工业机器人领域，坐标系是用来描述机器人末端执行器（或工具）在空间中的位置和姿态的框架。
为了确保机器人的准确性和一致性，通常会使用一系列标准的坐标系。
以下是工业机器人领域中最常用的五个坐标系：1、笛卡尔坐标系：在三维空间中，笛卡尔坐标系使用三个相互垂直的坐标轴（X、Y、Z），以及三个相互垂直的旋转轴（Rx、Ry、Rz）。
这种坐标系常用于描述机器人在空间中的位置和姿态，以及机器人末端执行器的位置和姿态。
2、极坐标系：极坐标系是一种以机器人末端执行器为中心的坐标系，它使用径向距离（r）、方位角（θ）和高度（z）来描述机器人在空间中的位置和姿态。
这种坐标系常用于路径规划、路径插补和机器人运动学分析。
3、圆柱坐标系：圆柱坐标系是一种以机器人末端执行器为中心的坐标系，它使用径向距离（r）、方位角（θ）和垂直距离（z）来描述机器人在空间中的位置和姿态。
这种坐标系常用于描述机器人在圆柱体或球体等形状上的路径和姿态。
4、球坐标系：球坐标系是一种以机器人末端执行器为中心的坐标系，它使用径向距离（r）、方位角（θ）和极角（φ）来描述机器人在空间中的位置和姿态。
这种坐标系常用于描述机器人在球体或类似形状上的路径和姿态。
5、工具坐标系：工具坐标系是一种以机器人末端执行器（或工具）为中心的坐标系，它使用工具的几何中心作为原点，并使用三个旋转轴（Rx、Ry、Rz）来描述工具的空间姿态。
这种坐标系常用于机器人运动学建模、路径规划和机器人控制等方面。
这些坐标系在工业机器人领域中具有广泛的应用，它们为机器人控制、路径规划和运动学建模提供了方便的框架。
根据实际应用场景的不同，选择合适的坐标系可以有效地提高机器人的精度和效率。
ABB工业机器人操作和坐标系一、引言在现代化的制造和自动化流程中，工业机器人扮演着关键的角色。
它们被广泛应用于各种复杂任务，从装配到质量检测，从搬运到喷漆，无所不能。
ABB集团作为全球领先的机器人技术提供商，其产品广泛应用于全球的各个行业。
高中数学同步备课 柱坐标系与球坐标系简介
三、解答题
8．设点M的直角坐标为(1,1, ),求点M的柱坐标与球坐标．
解：由坐标变换公式,可得ρ＝ ＝ ,
∵tan θ＝ ＝1,x>0,y>0,∴θ＝ .
r＝ ＝ ＝2.
由rcos φ＝z＝ (0≤φ≤π),得cos φ＝ ＝ ,φ＝ .
所以点M的柱坐标为 ,球坐标为 .
9．已知点M的柱坐标为 ,点N的球坐标为 ,求线段MN的长度．
∴它的球坐标为 .
(2)由变换公式得,
r＝ ＝ ＝2.
由z＝rcos φ,得cos φ＝ ＝－ ,∴φ＝ .
又tan θ＝ ＝ ＝－1,x＜0,y＞0,∴θ＝ ,
∴它的球坐标为 .
一、选择题
1．在球坐标系中,方程r＝2表示空间的( )
A．球B．球面
C．圆D．直线
解析：选B r＝2,表示空间的点到原点的距离为2,即表示球心在原点,半径为2的球面．
解：设点的直角坐标为(x,y,z)．
(1)∵(r,φ,θ)＝ ,
∴
∴ 为所求．
(2)∵(r,φ,θ)＝ ,
∴
∴ 为所求．
4．求下列各点的球坐标．
(1)M(1, ,2)；(2)N(－1,1,－ )．
解：(1)由变换公式得,
r＝ ＝ ＝2 .
由z＝rcos φ,得cos φ＝ ＝ ＝ ,∴φ＝ ,
又tan θ＝ ＝ ＝ ,x＞0,y＞0,∴θ＝ ,
由坐标变换公式 且
得 且
得 且
结合图形,得θ＝ ,由cos φ＝ 得tan φ＝ .
所以点C1的直角坐标为(1,1,1),柱坐标为 ,球坐标为 ,其中tan φ＝ ,0≤φ≤π.
∴点N的直角坐标为(0, , )．
坐标的计算方法及公式
坐标的计算方法及公式
坐标是指在空间中定位一个点的方法，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。
在数学、物理、工程等领域中，坐标的计算是非常重要的。
下面将介绍几种常见的坐标系及其计算方法和公式。
1. 直角坐标系
直角坐标系也称笛卡尔坐标系，是指通过x、y、z三条坐标轴来确定空间中的点。
其中x轴、y轴、z轴两两垂直，形成一个直角坐标系。
在直角坐标系中，一个点的坐标可以表示为(x,y,z)，其中x 表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影，z表示点在z轴上的投影。
计算两个点之间的距离可以使用勾股定理：d = √((x2-x1) + (y2-y1) + (z2-z1))
2. 极坐标系
极坐标系是指通过极径和极角来定位一个点的坐标系。
在极坐标系中，极径是从原点到点的距离，极角是从x轴正半轴到点的连线与x轴正半轴的夹角。
通常用(r,θ)表示一个点在极坐标系中的坐标。
计算两点之间的距离公式为：d = √(r1 + r2 - 2r1r2cos(θ2-θ1))
3. 球坐标系
球坐标系同样是通过三个坐标轴来确定一个点的位置，其中半径r表示点到原点的距离，θ表示点到x轴的夹角，φ表示点到z轴的
夹角。
可以用(r,θ,φ)表示一个点在球坐标系中的坐标。
计算两个点之间的距离公式为：d = √[r1 + r2 - 2r1r2(cos θ1cosθ2cos(φ1-φ2)+sinθ1sinθ2)]。
需要注意的是，不同的坐标系有不同的计算方法和公式，根据实际情况选择正确的坐标系进行计算是非常重要的。
柱坐标和球坐标简介
设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 2 π 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝ ，φ＝ 2 4 y π 又 tan θ＝ ＝1，∴θ＝4， x π π 从而点 C1 的球坐标为(2，4，4)
【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标，再
用空间两点间的距离公式求距离．
【自主解答】 设 P1 的直角坐标为 P1(x1，y1，z1)， x1＝2 3sin πcos π＝3 2， 3 4 2 π π 3 2 则y1＝2 3sin sin ＝ ， 3 4 2 π z1＝2 3cos 3＝ 3， 3 2 3 2 ∴P1 的直角坐标为( 2 ， 2 ， 3)．
四
柱坐标系与球坐标系简介
课标 解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义，能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式， 并用于解题.
1．柱坐标系
图 1－4－1 如图 1－4－1 所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
3．空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系 空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
柱坐标系与球坐标系简介
极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度. -15-
四 柱坐标系与球坐标系简介
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重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练3】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
2.球坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP, 记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设点P在Oxy平面上的射影 为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样 点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数 组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系 叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. (2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系
的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样,我
们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系.把建立
上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱
坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞.
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式
3
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),则由互化公式可得,
柱坐标系与球坐标系简介课件
z1＝6×cosπ3＝3. ∴点 M 的直角坐标为323，92，3， 设点 N 的直角坐标为(x2，y2，z2)， 则 x2＝6×sin23π×cosπ3＝323， y2＝6sin23π×sinπ3＝92， z2＝6cos23π＝－3. ∴点 N 的直角坐标为323，92，－3， ∴|MN|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝6.
2．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则
空间直角坐标(x，y，z)
转换公式
柱坐标 (ρ，θ，z)
x＝_ρ_c_o_s_θ__， y＝_ρ_s_in__θ__， z＝z
球坐标 (r，φ，θ)
x＝_r_s_i_n_φ_c_o_s__θ__ y＝_r_s_in__φ_s_i_n_θ__ z＝ rcos φ
∴(－ 3，1,3)为所求点的直角坐标．
(2)∵(ρ，θ，z)＝
2，π4，5，
x＝ρcos θ＝
2cosπ4＝1，
∴y＝ρsin θ＝ 2sinπ4＝1，
z＝5，
∴(1,1,5)为所求点的直角坐标．
直角坐标与柱坐标的互化
点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面 xOy 中实际为极坐标， 且 ρ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上 z 为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直
柱坐标系与球坐标系简介
1．空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O，作两两垂直的三条数轴 Ox， Oy，Oz，使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°，这就是空间直角坐标系．有 序实数组 (x，y，z) 叫点 P 的直角坐标．
(2)柱坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面的射影为 Q，用 (ρ，θ) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) 表示．这就是柱坐标系．有序数组 _(_ρ_，__θ_，__z_) _叫点 P 的柱坐标．其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞. (3)球坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.P 在 Oxy 平面的射影 为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ.这样 点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这就是球坐标系．有序数组(r，φ，θ) 叫作点 P 的球坐标．其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
哈密顿算符不同坐标下的表示
哈密顿算符不同形式下的表达式胡连钦(08180218) 范世炜(08180218)摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。
本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。
另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。
关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用1.引言在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：V m p V T H+=+=2/ˆˆˆˆ2 如果我们从波函数)ˆ(rψψ=出发，位置算符是空间矢量自身： r r =ˆ 它的分量是 x x =ˆ ，y y =ˆ ， z z =ˆ 动量算符表示为 ∇-= i pˆ 它的分量是 x i px ∂∂-= ˆ ，yi p y ∂∂-= ˆ ，z i pz ∂∂-= ˆ 对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则∇-→ i p 得到V mH +∇-=222ˆ在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。
接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。
2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式2.1、极坐标下的哈密顿算符极坐标中独立变量ρ、ϕ与直角坐标中独立变量x 、y 之间的关系：⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x a r c t a n22ϕρ图1 极坐标与直角坐标的关系 根据上述关系有：ϕρϕρϕϕϕρρ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂s i n c o s x x x ϕρϕρϕϕϕρρ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂cos sin y y y xyρ ϕ哈密顿算子在∇直角坐标中的表达式为：y x e ye x ∂∂+∂∂=∇据上述坐标之间的微分关系为：222222)1()()cos (sin )sin (cos )()(ϕρρϕρϕρϕϕρϕρϕ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂y x 所以哈密顿算子在极坐标中∇的表达式为：ϕρϕρρe e∂∂+∂∂=∇1 据哈密顿算子2∇的计算过程有：)s i n )(c o s s i n (c o s )(22ϕρϕρϕϕρϕρϕ∂∂-∂∂∂∂-∂∂=∂∂∂∂=∂∂x x x222222222s i n c o s s i n 2c o s s i n 2s i n c o s ϕρϕϕρρϕϕϕρϕϕρρϕρθ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂= 222222222222cos cos sin 2cos sin 2cos sin ϕρϕϕρρϕϕθρϕϕρρϕρϕ∂∂+∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂y 所以拉普拉斯算子在极坐标2∇中的表达式[5]为：22222211ϕρρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 或 22221)(1ϕρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=∇所以极坐标下的哈密顿算符Hˆ可以表示成： V m H +∂∂+∂∂∂∂-=)1)(1(2ˆ2222ϕρρρρρ （1.1） 在极坐标下的动能表达式为：)(21222ϕρρ +=mT 正则动量为： ρρρ m Tp =∂∂=和 22ϕρϕϕ m T p =∂∂= 得到哈密顿量为： V m p mp H++=22222ˆρϕρ（1.2）在极坐标中将（1.2）式直接进行量子化，通过满足的要ij j i i p q δ =]ˆ,ˆ[求，如果仍将相应的算符表示为： ρρ∂∂-= i pˆ ， ϕϕ∂∂-= i p ˆ得到 V m H +∂∂+∂∂-=)1(2ˆ222222ϕρρ （1.3） 通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是ρρ∂∂-= i pˆ并非厄密算符，一个算符F 满足F F =+，才是厄密算符。
拉普拉斯算子的极坐标、柱坐标和球坐标表示
拉普拉斯算⼦的极坐标、柱坐标和球坐标表⽰\documentclass{article}\usepackage{amsmath}\usepackage{amsthm}\usepackage{amsfonts}\usepackage{ctex}\usepackage{mathrsfs}\begin{document}\section{极坐标变换下的Laplace算⼦}对于函数u=u(x,y),其中(x,y)∈D xy⊆R2∖{(0,0)},构造极坐标变换\begin{equation}x=r \cos \theta ,\end{equation}\begin{equation}y=r\sin\theta,\end{equation}其中(r,θ)∈D rθ⊆(0,+∞)×[0,2π),计算得雅可⽐⾏列式∂(x,y)∂(r,θ)=r>0,因此（1）式和（2）式表⽰⼀个双射T:(r,θ)↦(x,y)，从⽽映射（函数）(r,θ)↦u存在。
为了⽅便，我们还假设u是⼆阶连续可微的,使得u对x,y的混合偏导数与求导顺序⽆关。
由（1）（2）易得r2=x2+y2，两边对变量x求导得r ∂r∂x=x，所以∂r∂x=xr，同理可得∂r∂y=yr。
由（1）（2）也易得x sinθ=y cosθ，两边对变量x求导得sinθ+x ∂θ∂x cosθ=−y∂θ∂x sinθ，即∂θ∂x=−sinθx cosθ+y sinθ，为了使得表达式简洁，我们在分⼦分母都乘以⾮零的r并将（1）（2）分别代⼊式中的x,y得∂θ∂x=−yr2，同理可得∂θ∂y=xr2.为了计算∇2u，⽤链式法则先求对变量x的⼀阶偏导数并代⼊上⾯的结论和化简得∂u ∂x=∂u∂r∂r∂x+∂u∂θ∂θ∂x=∂u∂rxr−∂u∂θyr2,∂u ∂y=∂u∂r∂r∂y+∂u∂θ∂θ∂y=∂u∂ryr+∂u∂θxr2,运⽤求导的乘积法则和链式法则得\begin{equation}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)=\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partialr^2}\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial r\partial \theta}\dfrac{\partial \theta}{\partial x}\right)\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial r}\dfrac{\partial^2 r}{\partial x^2}+\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial r\partial \theta}\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}\dfrac{\partial \theta}{\partial x}\right)\dfrac{\partial \theta}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial \theta}\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial x^2},\end{equation}将x换成y得\begin{equation}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)=\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partialr^2}\dfrac{\partial r}{\partial y}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial r\partial \theta}\dfrac{\partial \theta}{\partial y}\right)\dfrac{\partial r}{\partial y}+\dfrac{\partial u}{\partial r}\dfrac{\partial^2 r}{\partial y^2}+\left(\dfrac{\partial^2 u}{\partial r\partial \theta}\dfrac{\partial r}{\partial y}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}\dfrac{\partial \theta}{\partial y}\right)\dfrac{\partial \theta}{\partial y}+\dfrac{\partial u}{\partial \theta}\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial y^2}.\end{equation}注意由于假设⼆阶连续可微，所以两个混合偏导数⽤同⼀个记号表⽰。
偏微分方程坐标变换
偏微分方程坐标变换
偏微分方程中的坐标变换是一种重要的方法，它可以将复杂的方程转化为更简单的形式。
常见的坐标变换包括极坐标变换、柱坐标变换和球坐标变换等。
在偏微分方程的求解中，坐标变换可以大大简化问题的复杂度，使得求解变得更加容易。
例如，在求解二维泊松方程时，使用极坐标变换可以将其转化为一维的问题，从而大大简化了计算的难度。
坐标变换的基本思想是将原坐标系中的方程转化为新的坐标系
中的方程，并通过适当的变换将求解问题转化为新坐标系中的简单问题。
这种方法可以大大减少计算量，提高求解效率。
需要注意的是，在进行坐标变换时，必须保证变换是单射的和可逆的，否则会导致问题的严重失真。
总之，坐标变换是偏微分方程求解中不可或缺的方法之一，它可以将复杂的问题转化为简单的形式，为问题的求解提供了有力的工具。
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COMSOL极坐标柱坐标球坐标
COMSOL Multiphysics有极坐标、球坐标和柱坐标吗？如何定义它们？
可以在COMSOL Multiphysics中自定义坐标转换变量。
3D球坐标
举例来说，如果希望使用r、phi和theta来定义材料参数或者偶极子场，可以在笛卡尔坐标系下绘制图形，然后在选项>表达式>标量表达式对话框中按下表定义三个表达式。
数学函数sqrt、atan2和acos已经内建于COMSOL Multiphysics中，一旦定义了这些表达式，就可以在模型中随意调用r、phi和theta这几个变量。
2D极坐标
2D极坐标也可以这样处理
3D柱坐标
2D和3D轴对称
对于轴对称模型，如果结果沿着phi方向不变，可以使用COMSOL Multiphysics内建的r-z
空间（3d ）或者r空间（2D）的轴对称应用模式。
使用结构力学模块和微系统模块
在结构力学模块和微系统模块中，还可以自定义坐标系统，这样就可以在新定义的坐标系统中直接设定求解域和边界条件。
操作步骤如下：
·选择选项>坐标系统
·点击新增，新建坐标系统
·选择圆柱坐标系统
需要注意的是，对于3D模型，需要2D工作平面来定义坐标系的原点和方向。
测量坐标系有哪几种
测量坐标系有哪几种在实际生活和工程领域中，我们经常需要使用坐标系进行测量和定位。
坐标系是一个数学概念，用于描述和确定一个点在空间中的位置。
在测量领域，有几种常用的坐标系形式，包括笛卡尔坐标系、极坐标系、球坐标系和柱坐标系。
1. 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是最为常见和广泛使用的坐标系之一。
它由三个互相垂直的坐标轴组成，分别为X轴、Y轴和Z轴。
这三个轴可以形成一个立体直角坐标系，用来描述和定位三维空间中的点。
其中，X轴水平朝右，Y轴垂直向上，Z轴垂直向外。
在笛卡尔坐标系中，每个点都可以用其在X、Y和Z轴上的坐标值来表示，常用的表示形式为(x, y, z)。
通过测量和记录一个点在三个坐标轴上的坐标值，我们可以准确地确定这个点在三维空间中的位置。
2. 极坐标系极坐标系采用极径和极角来表示一个点的位置。
它由一个极点（原点）和一个固定方向（通常为X轴正方向）构成。
极径表示从极点到点的距离，而极角表示从固定方向到从极点连线的方向所需旋转的角度。
在极坐标系中，一个点的位置可以用(r, θ)表示，其中r为极径，θ为极角。
极径可以是正数也可以是零，而极角通常取自[-π，π]或[0，2π]的范围内。
极坐标系对于描述天文学、雷达测量和极地导航等领域非常有用。
需要注意的是，极坐标系和笛卡尔坐标系之间可以进行相互转换，通过对应关系可以在两个坐标系之间进行转换和计算。
3. 球坐标系球坐标系是一种用球面半径、极角和方位角来表示点位置的坐标系。
球坐标系由一个固定点（通常为原点）、一个球面和两个角度构成。
固定点表示球心，球面表示距离球心固定距离的点的集合。
在球坐标系中，一个点的位置可以用(r, θ, φ)表示，其中r为球面半径，即球心到点的距离；θ为极角，表示从正Z轴到点的方向与正Z轴之间的夹角；φ为方位角，表示从正X轴到点的投影与正X轴之间的夹角。
球坐标系在天文学、物理学、机器人学等领域得到了广泛应用。
类似于极坐标系，球坐标系也可以与笛卡尔坐标系相互转换。
圆柱坐标系和球坐标系的转换方法有哪些
圆柱坐标系和球坐标系的转换方法有哪些圆柱坐标系和球坐标系是在三维空间中描述点的常用坐标系。
它们与直角坐标系有着不同的表示方法，通过坐标系之间的转换可以方便地在不同坐标系中进行计算和分析。
下面将介绍圆柱坐标系和球坐标系之间的转换方法。
圆柱坐标系的表示方法在圆柱坐标系中，一个点的位置用径向距离（r）、极角（θ）和高度（z）来表示。
其中，径向距离表示点沿着极坐标轴的距离，极角表示点在平面上相对于极坐标轴的旋转角度，高度表示点在垂直方向上的位置。
圆柱坐标系的表示方法如下：P(r, θ, z)其中，r为径向距离，θ为极角，z为高度。
球坐标系的表示方法在球坐标系中，一个点的位置用球半径（ρ）、极角（θ）和方位角（φ）来表示。
其中，球半径表示点到原点的距离，极角表示点在球面上相对于极轴的旋转角度，方位角表示点在球面上与参考方向之间的夹角。
球坐标系的表示方法如下：P(ρ, θ, φ)其中，ρ为球半径，θ为极角，φ为方位角。
圆柱坐标系到球坐标系的转换圆柱坐标系到球坐标系的转换公式如下：ρ = √(r^2 + z^2)θ = atan(r/z)φ = θ其中，√表示平方根，atan表示反正切函数。
球坐标系到圆柱坐标系的转换球坐标系到圆柱坐标系的转换公式如下：r = ρ * sin(θ)z = ρ * cos(θ)θ = φ其中，sin表示正弦函数，cos表示余弦函数。
总结圆柱坐标系和球坐标系之间的转换可以通过一组简单的公式来实现。
通过转换，我们可以在不同坐标系中进行计算和分析，在某些问题中能够更加方便地描述点的位置和进行几何运算。
圆柱坐标系和球坐标系在工程学、物理学和数学等领域中都有广泛的应用，在不同领域的问题中我们可以选择最适合的坐标系进行分析。
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