线性代数与解析几何__东南大学(22)--08-09-2几何与代数B-A
线性代数与解析几何__东南大学(4)--07-08-3线性代数期末考试试卷A
=
�2 � �0
0 1
� �，若 �
AB
是对称矩阵，则
x
=
2．
矩阵
A
=
�4 � �3
7 5
� �的逆矩阵 �
A-1
=
； ；
纪
3． 若 3ﾴ 3 矩阵 A 的特征值是1, 2, -1 ，则 A 的伴随矩阵 A* 的行列式 A* =
；
律
4． 齐次线性方程组 x + 2 y - 5z = 0 的一个基础解系是
2． 假 设 A, B 都 是 s ﾴ n 矩 阵 。 若 A + B 的 秩 r( A + B) = n ， 证 明 ： 矩 阵 M = AT A + BT B 的特征值均大于零。
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（C）
�-2 � �0
-01� � �；
（D）
�0 � �3
1� 2 � �
效
封
3．
假设
A,
B
分别是
s
ﾴ
s
和
n
ﾴ
n
矩阵，则分块矩阵
�O ��B
A O
��的行列式是（ �
）
（A） A B ； （B） - A B ； （C） (-1)s+n A B ； （D） (-1)sn A B 。
密
共
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页
3． 得分：
）
作
（A） X = A-1B-1C ；
（B） X = CA-1B-1 ；
弊
（C） X = A-1CB-1 ；
（D） X = B-1CA-1 。
学号
线
此 答
2．
线性代数与解析几何教学大纲
《线性代数与解析几何》课程教学大纲一,课程基本信息二,课程简介《工程数学基本(1)(代数与几何)》是大学阶段最重要地数学基本课程之一。
本课程依据教育部数学基本课程教学指导委员会对工科院校相关课程教学地基本要求开展教学。
课程着重介绍线性代数与空间解析几何地基本知识,包含行列式,矩阵与线性方程组地理论,二次型,向量代数,空间坐标系,平面与空间直线地方程,常见二次曲面地标准方程和其图形基本知识,并以矩阵为基本工具,围绕矩阵间地价,相似,合同关系,介绍线性代数地基本理论与基本方法。
作为大学生数学知识结构地重要组成部分,本课程着重培养学生严密地逻辑推理能力与分析问题,解决问题地能力,为今后学习其它学科知识打下基本;同时,该课程地理论与方法在科学研究与工程技术领域都有着广泛地应用;此外,该课程对于培养学生地抽象思维能力,空间想象能力也具有重要地作用。
考虑到线性代数与空间解析几何地内在联系,将线性代数与空间解析几何作为一门课程来教学,但基本要求地具体内容还是相对独立地,并且不要求所有专业都遵循这一模式。
三,课程教学目标线性代数与空间解析几何是高学校非数学类专业理工科类本科生地重要工程数学课程之一,是学生必修地重要基本理论课。
通过该课程地学习,应使学生获得向量代数与空间解析几何,线性代数方面地基本知识,基本概念,基本理论,基本方法,并接受基本运算技能地训练,为今后学习相关后继课程奠定必要地数学基本,培养学生自主学习,综合运用所学知识分析与解决问题地能力。
此外,在该课程中开设与理论教学相配套地数学实验,培养学生利用数学软件解决实际问题地能力。
（一）具体目标目标1：掌握行列式,矩阵与线性方程组地理论,二次型,向量代数,空间坐标系,平面与空间直线地方程,常见二次曲面地标准方程和其图形基本知识,掌握矩阵间地价,相似,合同关系线性代数地基本理论与基本方法,为今后学习相关后继课程奠定必要地数学基本。
目标2：培养学生严密地逻辑推理能力,抽象思维能力与空间想象能力能以向量代数矩阵为基本工具,具有一定地分析与解决问题地能力目标3：了解数学软件Matlab地基本功能与使用方法,具备利用该软件求解线性代数与解析几何地基本计算与绘图地能力。
线性代数与解析几何__东南大学(19)--07-08-2几何与代数B-A
课程名称 适用专业
几何与代数
考试学期 0 7 - 0 8 - 2 得分
工科电类专业 考 试 形 式
闭卷
考 试 时 间 长 度 120 分钟
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
自
觉
得分
遵
1． （21%）填空题
守 考
1.
若矩阵
A
=
�1 ��l
0 1
���，
n
是正整数，则
An
=
试
中的单叶双曲面，则参数 t 满足条件
；
学号
线
作
7. 设 n > s ，若 A 是 s ﾴ n 矩阵，则 n 阶方阵 AT A 的行列式 AT A =
。
弊
2． （9%）选择题
此 答
1.
假设矩阵
A
=
�a ��c
b 1
���，若对任意
2
阶方阵
B
都有
AB
=
BA
，则
(a,
b, c)
=
；
Ａ． (1,1,1) ； B. (1,0,0) ； Ｃ． (0,1,0) ； Ｄ． (0,0,1)
3. 若 A2 x + Ax - 6x = 0 ，求 A 的特征值，并问： A 是否相似于对角阵？为什么？
8． （4%）证明：对于任意 s ﾴ n 实矩阵 B ， n 阶方阵 A = I + BT B 的特征值全大于零。
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卷 无
2.
假设矩阵
A
=
�1 ��0
线性代数与解析几何
a1n a jn ain a nn
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则该 行列式为零，即
a11
a12
ai1 ai1 an1
ai 2 ai 2 an 2
a1n ain 0 ain ann
a11a22 a12a21
为二阶行列式，记作
a11 a12 a11a 22 a12 a 21 a21 a22
aij (i, j 1,2) 称为这个二阶行列式的元素， aij 的 两个下角标 i, j 分别表示所在的行和列的序号， 常称 aij 是行列式的（i, j）元素．
对线性方程组（1），记 a11 a12 D a11a 22 a12 a 21 0 a21 a22 b1 a12 D1 b1a 22 a12b2 b2 a 22
(
n(n 1 )(n 2) 321 ) 1 2 3 (n 1 )
例3 ( 23514) 0 0 0 3 1 4; 例４ ( 23541) 0 0 0 1 4 5.
n(n 1 ) ； 2
定义: 在一个排列中，将某两个数的位置对调 （其他数不动）的变动叫做一个对换． 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换后，排列 改变奇偶性． 定理1.2 在全部n （ n 2) 阶排列中， 奇偶排列各占 一半．
简
介
线性代数与空间解析几何是我校工科各专业 必修的重要基础理论课，是工科数学教学三门主 要课程之一，在一般工科专业的教学中占有极重 要的地位，在工程技术、科学研究和各行各业中 有广泛的应用. 本课程的特点是将线性代数与空间解析几何 融为了一门课程 . 代数中的许多概念非常抽象， 几何为抽象的代数提供了直观想象的空间，代数 为几何提供了便利的研究工具 .代数与几何的融合 能加强学生对数与形内在联系的理解，学会用代 数的方法处理几何问题.
《线性代数与解析几何》课程教学大纲.doc
《线性代数与解析几何》课程教学大纲课程性质：学科基础课英文名称：Geometry and Algebra课程代码：080210学时：56 （讲课时数：52 课内实践时数：4 ）学分：3.5适用专业：理工类本科各专业一、课程教学基本要求《线性代数与解析几何》课是我校理工类本科各专业必修的、重要的基础理论课，通过本课程的学习，要使学生较系统地理解和掌握有关的基本概念、基本理论、基本方法。
在讲解本课程内容的同时通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、空间想象能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，也为后继课打下良好的数学基础。
二、课程教学大纲说明在分级教学中，本课程是与《高等数学A》相配套的系列课程。
其内容是以往高等数学中空间解析几何的内容与线性代数向量部分有机的结合。
几何向量就是有限维向量空间的实际背景，是抽象的线性代数理论的具体解释。
这种安排使线性代数内容更加丰富、具体，也缩减了课时，这是数学课的一项改革。
大纲对概念与基本技能的要求与《高等数学A》课程的要求一致，这里不在重复。
第七章内容不在基本要求之列，视学生情况，由教师决定讲与不讲。
三、各章教学内容结构与具体要求（一）第一章彳亍列式1、教学目的和要求：目的：使学生掌握行列式的概念与性质、计算方法。
要求：（1）理解行列式的概念，理解行列式的子式、余子式及代数余子式的概念。
（2）掌握行列式的性质，按行、列展开定理，Cramer法则。
2、教学内容与要点：内容：彳亍列式及性质；计算方法；Cramer法则。
要点：行列式的定义与性质。
（二）第二章矩阵1、教学目的与要求：目的：使学生掌握矩阵代数的内容、矩阵的初等变换、秩的概念。
要求：（1）理解矩阵的概念，熟悉单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵的概念及其性质。
（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、以及它们的运算规律。
（3）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的充要条件与计算方法；掌握伴随矩阵的构成与性质。
线性代数与解析几何__东南大学(21)--09-10-2几何与代数B-A
)2
=
A2B2 ，则 a, b
满足条件
；
2. 设 2 阶 方 阵 A = (a , b ) ， B = ( 2a - b ,a + 3b ) ， 若 B = AC ， 则 矩 阵 C =
；
场 纪
3.
直线
￬x
￭ ￮
x
+ -
y 2
- 3z y+z
= =
2 1
的一个方向向量为
；
律
4. 点 P(1,1,1) 到平面 x - 2 y + 2z = 3 的距离是
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2. 求 f 的矩阵 A ，问：当参数 a 取什么值时， A 的特征值都大于零？
3. 如果二次曲面 f (x, y, z) = 1 表示单叶双曲面，问：参数 a 应满足什么条件？
6. （10%）证明题
1. 假设 A 是 n ﾴ n 正定矩阵， B 是 s ﾴ n 实矩阵，证明： BABT 是正定矩阵的充分必要 条件是 B 的秩 r(B) = s 。
；
效
封
10. 若
A = ( a1,a2,L,an ) 是
nﾴn正 交 矩 阵 ， 则
B
= a1a1T
+
a
2a
T 2
+
L
+
a
ra
T r
(1 ﾣ r ﾣ n) 的特征多项式是
。
1.
�2 （10%）设 A = ����11
1 0 1
1� 11����，
B
=
�已知 �
XA
=
B
+
；
学号
线
《几何与代数》 科学出版社 习题解析第二章
第二章 矩阵
习题解析
则 A ( E B)
n
0 0 1 2 0 0 , B3 B4 Bn 0(n 3) B 0
n(n 1) n 2 2 n E n B B B 2！
n 1
第二章 矩阵
习题解析
1 n 6(4) 设 A 1 ,计算 A . 0 1 0 解 设 A E B, B 0 1 0 n n
(r) P,Q可逆,A m n
=PE
(r) m nQ.
7 max r A , r B r A, B r A r B
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
5) If AB 0, then r A r B n.
单位矩阵
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的代数运算
• 矩阵乘法交换率一般不成立 (AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2 矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk 2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n (a En) AA* A* A A E 5. AA1 A1 A E 4. • 矩阵乘法消去率一般不成立. AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立. AB O, A 0 B O
T T
T
第二章 矩阵
习题解析
9.
已知3级方阵A按列分块为A (1 , 2 , 3 )，
且 A 5, 若B (1 2 2 ,31 4 3 ,5 2 )，求 B .
线性代数与空间解析几何
线性代数与空间解析几何现代数学自古以来一直深受赞誉，它有着无与伦比的智慧，深刻地理解了许多自然界的秩序。
在经典的几何学中，线性代数和空间解析几何是一种重要的数学理论。
它们不但有助于我们深入理解数学，还可以应用到许多实际问题中。
线性代数是一种数学理论，有着十分丰富的内容，它着眼于研究向量空间，研究线性变换及其线性组合，并将这些结果应用到其他向量空间中。
它的主要内容有：多维向量的基础概念，线性方程组和矩阵的计算，线性变换的性质，特征值分解，矩阵运算，矩阵行列式，矩阵特征和Eigenvalue decomposition等。
这些内容都有助于研究者们用数学统一分析和处理各种复杂的实际问题。
空间解析几何是一种数学理论，主要涉及几何体的形状、大小、位置、形变，空间向量的表示、数量计算及构造，三维图形的建模等，它更加强调呈现几何对象的形状，揭示几何对象的实质，把抽象几何学转化为实际的几何问题求解。
同时它也是其他几何理论的基础，可以在研究立体几何、分析几何、微分几何、代数几何、拓扑学、曲面几何等领域发挥作用。
线性代数和空间解析几何有着密切的关系，它们之间的协同作用可以帮助研究者更深入地了解数学，并将它们用于解决实际问题。
如空间解析几何的结果可以用来解决线性代数的线性方程，反之亦然，两者的应用实例很多。
比如，空间解析几何可以应用于三维建模和图像处理，线性代数可以用来求解函数和拟合曲线。
在经济管理学中，线性代数和几何解析学可以用来研究金融机构的可操作性和有效性，研究多维数据的分析等。
在工程和物理学方面，线性代数和空间解析几何可以用于求解大量复杂的物理问题和工程设计，它们也可以应用于预测和控制方面，如控制系统设计、航空航天应用，甚至是自然灾害和资源量化分析等。
综上所述，线性代数和空间解析几何在现代社会生活中起着越来越重要的作用，它们不仅可以用于解决科学上的复杂问题，也可以用于经济、工程和物理等不同领域的科学研究，我们可以用它们来解决实际问题，从而实现社会的发展。
线性代数与解析几何__东南大学(28)--2010-2011-2《几何与代数B》试题参考解答
X.
解: 由 AX = B-X 得(A+E)X = B.
�2 0 0
由(A+E, B) = � � �02
2 0
0 2
2 0 4
6 -2 0
� � � �初uuu等uuu行uuu变uu换uur
�1 � � �00
0 1 0
0 0 1
1 3 � �1 3 �
0 1
--31� � �得 X = � � �10
x+2 -3
=
y -1 1
=
z 1
.
注: 也可以由(1, 2, 1)(2, 5, 1) = (-3, 1, 1)求 s.
�1 0 0� �2 6 �
四. (8 分)设 32 矩阵 X 满足 AX = B-X, 其中 A = � � �02
1 0
0 1
� � �, B
=
� � �04
-2 0
� � �, 求
八. (10 分) 1. 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 A* O, 1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 两个不同的解. 证明:
(1) 1-2 为齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
证明: 因为1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同的解, 所以 1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的非零解. 因而|A| = 0. 又因为 A* O, 所以 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零, 可见 r(A) = n-1. 因而 Ax = 的基础解系中只有一个解向量. 所以1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
ﾱ(x -1)2 + ( y -1)2 = 1, ﾱﾱz = 0.
3. 在右边的坐标系中作出曲面 S 和曲线 c1 的图形
《线性代数与解析几何》课程教学大纲
《线性代数与解析几何》课程教学大纲课程编号：20811824总学时数：64（理论64）总学分数：4课程性质：学科基础课程适用专业：工程力学一、课程的任务和基本要求：本课程的主要任务是介绍行列式和矩阵的基础概念、基本性质及其运算，并以行列式和矩阵为工具，介绍齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件及如何求解线性方程；介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求矩阵的特征值与特征向量的方法，并利用矩阵特征值与特征向量研究二次型的性质和如何将二次型化为标准形，简单介绍线性空间与线性变换的基本概念。
为其它课程打下一定的代数基础。
空间解析几何是一门理工科学生必须掌握的基础理论课程，本课程主要以向量为工具，讨论空间的平面、直线、曲面与曲线的特性，介绍并求平面、直线、曲面与曲线的方程。
二、基本内容和要求：（一）行列式基本内容：1、行列式的定义与性质2、行列式的计算3、Cramer法则基本要求：理解n阶行列式的基本概念，熟悉n阶行列式基本性质，掌握行列式的基本计算方法，会计算简单的n阶行列式。
掌握Cramer法则及其应用。
（二）矩阵基本内容：1、矩阵的定义与运算、逆矩阵的概念与计算、分块矩阵2、矩阵的初等变换与初等矩阵、矩阵的秩基本要求：了解矩阵的概念，掌握矩阵的加法、数乘矩阵及矩阵的乘法运算。
并掌握矩阵运算与实数运算的区别。
理解逆矩阵的概念并会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵。
理解分块矩阵的概念，会分块矩阵的运算。
理解矩阵的初等变换的概念，掌握矩阵的初等变换，并会用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。
理解矩阵秩的概念，并会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。
（三）向量空间基本内容：1、n维向量的概念，n维向量的概念的线性相关与线性无关的概念2、向量组的极大线性无关组与向量组的秩3、n维向量的空间及向量空间的基、维数、向量的坐标基本要求：理解n维向量的概念，理解向量组的线性相关与线性无关及向量组的极大线性无关组的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的秩和向量组的极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组表示。
线性代数与解析几何(A)教学大纲
线性代数与解析几何(A)教学大纲（课程编号：07011270；课程类型：必修；总学分：4；总上课学时：64；上机时数：0）东南大学数学系一．课程的性质与目的本课程是(吴健雄学院)工科电类专业学生本科阶段关于几何及离散量数学重要的数学基础课程。
本课程的目的是使学生熟悉空间解析几何与线性代数基本概念，掌握用坐标及向量的方法讨论几何图形的方法，熟悉空间中简单的几何图形的方程及其特点，掌握线性代数的基本理论和基本方法，熟悉矩阵运算的基本规律和基本技巧，熟悉矩阵在等价关系、相似关系、合同关系下的标准形，提高其空间想象能力、抽象思维和逻辑思维的能力，为后继课程的学习做好准备，并为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
二．课程内容的教学要求1．向量代数平面与直线（1）理解几何向量的概念及其加法、数乘运算，熟悉运算规律，了解两个向量共线和三个向量共面的充分必要条件；（2）理解空间直角坐标系的概念，理解仿射坐标系的概念，掌握向量的坐标表示；（3）理解向量的数量积、向量积和混合积的概念，理解它们的几何意义，了解相关的运算性质，掌握利用坐标进行计算的方法；（4）理解平面的法向量的概念，熟练掌握平面的方程的确定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；（5）理解直线的方向向量的概念，熟练掌握直线的对称方程、一般方程及参数方程的确定方法；（6）了解直线、平面间的夹角的定义，了解点与直线、平面间的距离的定义，并掌握相关的计算；（7）了解平面束的概念，并会用平面束处理相关几何问题。
2．矩阵和行列式（1）理解矩阵和n维向量的概念；（2）理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；（3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；（4）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；（5）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；（6）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；（7）掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；（8）掌握利用行列式的性质计算行列式的方法；（9）理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；（10）理解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；（11）理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法；（12）掌握分块矩阵的运算规则，掌握典型的分块方法。
线性代数与解析几何__东南大学(27)--2013-2014-2《几何与代数A》试题参考解答
B)
=
2,
可见
B
的
Jordan
标准形为
� � �00
2 0
00 � � �.
�2 1 0�
所以 A 的 Jordan 标准形为 � � �00
2 0
0 0
� � �,
最小多项式为(
2)2.
七. (14 分)求正交变换 x = Qy 把二次型 f(x) = a(x12 + x22 + x32) + 2(x1x2 + x1x3 x2x3)化
八. 证明题(每小题 5 分, 共 10 分) 1. 设1, 2 为矩阵 A 的两个线性无关的特征向量, 证明: 1 + 2 为 A 的特征向量当且仅
当1, 2 对应于 A 的同一个特征值. 证明: ()设 A1 = 11, A2 = 22, A(1 + 2) = (1 + 2),
于是有t = x = (1 Tx) = (1 tT) = (1 4t),
进而有t = 1 4t, 即(+4)t = 1. 可见 4, 此时 t = (+4)1.
当 4 且 0 时, 存在唯一的 x = (+4)1满足(1 Tx) = x.
2 1
� � �得
A1
=
� � �31
2 1
� � �;
� � �AA
E O
E O
O E
� � �经初等行变换化为
� � �OE
O E
O E
A1 E
� � �,
第3页共7页
�0 0 3 2 �
可见 B1 = � � �OE
A1 E
几何与代数课件：习题解析第四章2
0
因|C| 0, 所以C可逆 .
0 1 1
(1,2, 3) = (1+2,2+3,3+1) C1
C
所以1+2,2+3,3+1与1,2, 3等价.
因为1,2, 3是Ax =的基础解系 所以1+2,2+3,3+1是与1,2, 3等价的
线性无关的解，即为基础解系。
36. 设A是n阶矩阵, b是n维非零列向量，1,2是Ax =b (b)的解, 是Ax =的解. (1)若1 2, 证明1,2线性 无关； (2) r(A)=n1, 证明,1,2线性相关.
证明：(1)若1 2, 1,2线性相关；因1 2, 2 则存在k1, 使得1 = k2, 于是A1 = kA2, 即b = kb, 矛盾. (2) 若=, 显然,1,2线性相关. 若 , r(A) = n1,
则是Ax =的基础解系, 所以12 = k. 从而,1,2线性相关.
42. 设A是sn矩阵, 维证明: (1) r(ATA) = r(A). (2) 对任意s维列向量b, ATAx=ATb总有解. 证明: (1) x , x Rn, s.t.Ax , 有AT Ax ;
则(k0 + k1 +…+ kt ) + k11+…+ ktt = . 下证 ,1, …,t 线性无关. 否则能由1, …,t 线性表示, 从而是线性方程组Ax =的解, 矛盾!
于是 k0 + k1 +…+ kt = k1 = …=kt = 0, 即 k0 = k1 = k2 =…= kt = 0.
若Ax =b(b) 最多有nr+1线性无关的解， 则Ax = 的基础解系有nr个解向量，
线性代数与空间解析几何
线性代数与空间解析几何线性代数和空间解析几何是数学中重要的两个分支学科，它们的研究领域可以追溯到古希腊时代。
它们的知识不仅重要，而且非常有用，可以帮助我们解决复杂的问题。
它们经常被应用到其他数学领域，尤其是计算机科学。
线性代数的研究重点是研究和处理线性方程组等线性方程。
它涉及向量空间、矩阵、行列式、向量空间线性变换、特征值、特征向量和其他主题。
在机器学习、深度学习和其他领域，线性代数是重要的理论基础。
空间解析几何是一种几何学，它研究和描述特定空间中点，线段，平面和曲面的关系和结构。
它主要研究直线、圆、椭圆、抛物线、曲线等，以及它们的交点、切线、曲率等。
在计算机图形学中，空间解析几何是一种基础，可以用来计算和绘制场景中几何图形。
线性代数和空间解析几何具有高度的应用价值，它们经常被用来解决实际生活中出现的复杂问题，及计算机科学和数学中的技术问题。
研究它们的历史也是重要的，古希腊人就开始研究这两个学科，曾有像欧几里得和费马这样的著名数学家。
从古至今，线性代数和空间解析几何在数学中的地位没有任何改变，这是数学家们发现其中的魅力所在。
在未来，它们都将在各个数学领域中发挥重要作用，并取得更大的发展。
在线性代数和空间解析几何方面，学习和掌握基本概念，定义，定理，证明，概率，建模等是很重要的。
要想从中受益，就必须了解基本概念，了解它们的应用。
另外，一定要花费足够的时间去研究它们，这样才能让自己更好地掌握这两个学科。
总之，线性代数和空间解析几何是十分重要的学科，它们在数学领域有着深远的影响。
在未来，它们将持续发挥重要作用，并取得新的进展。
要想学好它们，就必须具备基本知识，且要不断练习。
线性代数与空间解析几何
线性代数与空间解析几何
从解析几何和线性代数的观点来看，《线性代数与空间解析几何》是一门重要的学科，它可以帮助学生们更深入地了解几何学和线性代数学的概念。
本文将对线性代数和空间解析几何的基本概念进行简要介绍，并讨论这两个学科之间的联系。
线性代数是一门数学学科，主要研究线性方程组和其解的性质，以及线性变换之间的关系。
它研究向量空间中变换矩阵的性质，以及矩阵之间的乘法性质、特征值和特征向量等。
线性代数可以用来解决各种数学问题，包括统计分析、优化问题、概率论、数值分析、信号处理等。
空间解析几何是一门涉及几何形状和空间构造的学科。
它主要研究点、线段、平面和曲线的性质，以及空间中的特殊物体的构造。
它也研究几何形状的相关属性，比如各种角度、距离、面积和体积等。
线性代数和空间解析几何之间有着密切联系。
比如，当涉及到几何中的投影和变化时，就可以使用矩阵乘法，实现几何上的变换。
同样，空间解析几何中的投影也可以被表达为一个矩阵，通过矩阵乘法可以表达出投影的效果。
此外，解析几何中的空间变换也可以被表达为一个矩阵，并通过线性代数的思想来求解。
线性代数和空间解析几何的应用也很广泛。
比如，在工程设计中，人们需要进行精确的几何变换，而线性代数和空间解析几何就可以提供帮助。
此外，空间解析几何在视觉里程计中也得到了广泛的应用，它可以用来分析和处理机器在空间中的位置和行为。
《线性代数与空间解析几何》是一门重要的学科，它为学生们提供了深入了解几何学和线性代数学概念的机会。
它可以帮助学生们更好地掌握线性代数和空间解析几何的基本概念，并能在实际运用中体现出价值。
线性代数与解析几何教程
《线性代数与解析几何教程：上册》是由王永斌教授编写的一本经典教材，其内容涵盖了线性代数与解析几何的基本概念和应用。
该教材着重于解释和深入的理解，其中的例题和练习题可以帮助读者更好地理解知识点，并且，本书还提供了一些解决问题的方法和技巧，从而帮助读者更全面的掌握线性代数与解析几何的基础知识。
本书内容丰富，共分为三大部分，其中第一部分主要介绍了线性代数的基本概念，包括向量、矩阵、线性方程组、行列式、特征值和特征向量等；第二部分主要介绍解析几何的基本概念，包括空间向量、曲面、椭圆曲线和抛物曲线等；第三部分介绍了线性代数与解析几何在实际应用中的具体方法，如非线性方程组的数值解法、回归分析、概率分布、投影、椭球曲线等。
总之，《线性代数与解析几何教程：上册》是一本全面而又系统的教材，既适合作为教学参考用书，也适合作为自学参考书，对读者来说，都是很好的选择。
《线性代数与解析几何》学习指南
学习指南
本课程内容分为八章及一个附录。
第一章是补充中学的向量与复数的基本知识，该部分内容是整个课程的基础预备知识。
第二章介绍空间解析几何内容，包括直线、平面及一些特殊曲面的方程，主要工具是向量。
第三章是线性代数内容的一个“引子”，由此将引出行列式、矩阵、线性空间等线性代数的核心内容。
第四章讲述矩阵与行列式，它们是线性代数的基本工具，除了其本身的重要性外，它们为后面的章节提供代数学基础。
第五章与第六章讲述线性空间与线性变换，这是线性代数的几何部分。
第七章研究度量化的线性空间-欧氏空间。
第八章二次型讲述线性代数知识的具体应用。
最后附录给出了一系列学科前沿的应用案例，供教师与学生参考使用。
整个课程结构及具体关联如下图所示。
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；
6. R3 的子空间V = {(x, y, z) | x - y + z = 0} 的一组基为
；
学号
线
如 考
7.
直线
￬ ￭ ￮
y
+ x
z =
= 0
3
绕
z
轴旋转所得旋转面的方程为
；
试
8. 如果方程 x2 - 2 y2 + z2 + 2kxz = 1 表示双叶双曲面，则参数 k 满足条件
；
作 弊
9.
若矩阵
1 0
2 1
��， �
求
矩
阵
X， 使
得
XA = 2X + B 。
3. （10%）假设向量组 a1,a2 ,a3 线性无关，问：参数 a, b, c 满足什么条件时，向量组 b1 = aa1 - a2 , b2 = ba2 - a3, b3 = ca3 -a1 线性相关？
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�1+ a 1
1
1 � �1 � �x1 �
2. 当参数 a 满足什么条件时，线性方程组 Ax = b 没有解？
3. 当参数 a 满足什么条件时，线性方程组 Ax = b 有无穷多解？有无穷多解时，求
方程组的通解。
共
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页
�1 0 1 �
�1�
2.
（14%）假设矩阵 A = ����10
a 0
b 1
����，
h
= ����11����。
1. 问：参数 a,b 满足什么条件时，h 是 A 的特征向量？若h 是 A 的特征向量，求
A,
B
满足
BAT
-
AT
B
=
�0 ��3
-2 0
���，则
BT
A
-
ABT
=
；
此
10.
如果矩阵
A
=
�1 ��a
2 2
��与 �
B
=
�2 ��1
1 b
��合同，则参数 �
a,
b
满足条件
。
答
卷
无
封
效
密
共
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2.
�3 （ 10% ） 设 矩 阵 A = ����13
0 1 0
0� -01����, B
=
�1 ��-1
相应的特征值。
2. 若h 是 A 的特征向量，且 A 有一个二重特征值，求 a,b 的值，并讨论 A 是否相 似于对角阵。如果 A 相似于对角阵，求对角阵及相应的相似变换矩阵。
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3. （8%）设有球面 S : x2 + y2 + z2 - 2x + 4 y - 6z = 0 ，平面 p 过球面 S 的球心且垂直
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷）
课程名称 适用专业
几何与代数 B
考试学期 0 8 - 0 9 - 2 得分
电类专业
考试形式
闭卷
考试时间长度 120 分钟
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
自
得分
觉
1. （30%）填空题
遵 守 考 场
1.
设
n
是正整数，矩阵
A
=
�1 ��0
l 1
���，则
An
=
；
2.
若分块矩阵
于直线
L
:
x 0
=
y 1
=
z 1
。求 S
与p
的交线在
xOy
平面上的投影曲线的方程。
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4. （12%）设 n ﾳ 2 ，a , b 都是实 n 维列向量，且 a , b 是一标准正交向量组， p, q 都 是非零实数， A = paa T + qbb T 。 1. 证明a , b 都是 A 的特征向量，并求相应的特征值；
2. A 相似于对角阵。试说明理由，并求相应的对角阵；
3. 问：当参数 k 满足什么条件时， kI + A 是正定矩阵？
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�A ��O
O B
��与 �
�A ��O
B I
��可交换，且 �
B
是可逆矩阵，则
A
-
B
=
；
3. 如果向量组 (1,1,1), (1, 2, 2), (0,1, k) 的秩为 2，则参数 k =
；
纪
4. 若 3 阶方阵 A 的行列式 A = 3 ，则 A 的伴随矩阵的行列式 A* =
；
律
5. 已知 A 是 2 阶方阵，若 trA = 2 ， A = -3 ，则 A 的特征值为
1.
（16%）假设矩阵
A
=
� � �
2 3
� �
4
2+a 3 4
2 3+ a
4
4
2 3 +
a
� �, b � � �
=
��2 �3 ��4
� �, x � � �
=
��x2 ���xx34
� ��。 � �
1. 当参数 a 满足什么条件时，线性方程组 Ax = b 有唯一解？有唯一解时，用
Cramer 法则求 x1 。