线性代数与解析几何.
线性代数与解析几何
a1n a jn ain a nn
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则该 行列式为零，即
a11
a12
ai1 ai1 an1
ai 2 ai 2 an 2
a1n ain 0 ain ann
a11a22 a12a21
为二阶行列式，记作
a11 a12 a11a 22 a12 a 21 a21 a22
aij (i, j 1,2) 称为这个二阶行列式的元素， aij 的 两个下角标 i, j 分别表示所在的行和列的序号， 常称 aij 是行列式的（i, j）元素．
对线性方程组（1），记 a11 a12 D a11a 22 a12 a 21 0 a21 a22 b1 a12 D1 b1a 22 a12b2 b2 a 22
(
n(n 1 )(n 2) 321 ) 1 2 3 (n 1 )
例3 ( 23514) 0 0 0 3 1 4; 例４ ( 23541) 0 0 0 1 4 5.
n(n 1 ) ； 2
定义: 在一个排列中，将某两个数的位置对调 （其他数不动）的变动叫做一个对换． 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换后，排列 改变奇偶性． 定理1.2 在全部n （ n 2) 阶排列中， 奇偶排列各占 一半．
简
介
线性代数与空间解析几何是我校工科各专业 必修的重要基础理论课，是工科数学教学三门主 要课程之一，在一般工科专业的教学中占有极重 要的地位，在工程技术、科学研究和各行各业中 有广泛的应用. 本课程的特点是将线性代数与空间解析几何 融为了一门课程 . 代数中的许多概念非常抽象， 几何为抽象的代数提供了直观想象的空间，代数 为几何提供了便利的研究工具 .代数与几何的融合 能加强学生对数与形内在联系的理解，学会用代 数的方法处理几何问题.
线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第一章书后解答
n
n 0 0
n n 1
n
0
n( n 1) n 1 2 n n 1 . n
1 1 2 3 k k 2. A 1 1, 2,3 ，仿照习题 1-1 的第 7 题，求得 A 5 1 2 3 . 2 2 4 6
10. 成立。由对称阵的定义可知结论成立。
习题 1-1
1. X
1 1 1 1 0 0
2. x 1, y 2
、ABC、ABABC 正确，依次为 5 5 矩阵、 4 1 矩阵、 4 1 矩阵。 3. BA
3 -3 3 2 6 14 3 2 1 0 5 3 4.（1） -5 -7 ； （2） ； （3） 5 9 1 ； （4） 3 2 1 ; 0 1 0 0 1 0 -4 9 15 2 1 1
2 2
( A E )( A E ) A2 E .
4. 不成立。因为矩阵的乘法不满足消去律，由 ( AB) A B ，得不出 AB BA .
2 2 2
5. 不成立。反例， A
1 1 。 1 1 1 0 。 0 0
6. 不成立。反例， A
3. 正确。
(uuT )(uuT ) u(uT u)uT (uT u)(uuT ),正确。注： uT u 是数。
4. 没有要求。 5.
AB 的第 j 列 ( AB)e j A( Be j ) Ab j ，即 AB 的第 j 列等于 A 与 B 的第 j 列 b j 的
线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
7.1.2 线性空间的性质
7.1.3 子空间
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
定义7.1
设是一个非空集合，为实数域. 若在中定义
了两种运算，一种运算称为加法：即对于中任意两个元素
, ，在中都有唯一的元素与它们相对应，称为与的
证明
因为 a, b R , R
有 a b ab R , a a R
即R+对上述定义的加法与数乘运算封闭.
a
,
b
,
c
R
, , R 时，有
又因
(1) a b ab=ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a(b c) a (b c) ;
A R mn
又对矩阵加法和数与矩阵的乘法两种运算满足线性运算规律，
所以R mn对矩阵加法和数与矩阵的乘法，构成实数域R
上的线性空间，称此线性空间为mn矩阵空间.
§ 7.1 线性空间的定义与性质
注7.1
检验一个集合是否构成线性空间，当然不能只象例
7.1、例7.2、例7.3那样检验对运算的封闭性.若所定义的加法
(7) ( + ) a a a a a a a a ;
(8) (a b) (ab) (ab) a b
a b a b ;
所以R+对上述定义的加法与数乘运算构成线性空间.
*第7章
线性空间与线性变换
线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和
空间解析几何和线性代数资料
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
azby )i
(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k
a
b
i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
线性代数与解析几何
线性代数与解析几何
线性代数与解析几何是一门重要的数学课程，它给出了对抽象数学对象的抽象描述，以及它们的关系的数学分析。
它的主要内容包括线性空间，矩阵分析，线性变换，内积，线性方程组，范数，秩，特征值，基变换等。
解析几何是一种几何学的分支，它研究几何图形在空间中的形状和运动。
它也给出了对几何对象的抽象描述，以及它们之间的关系。
其主要内容包括几何体，几何图形，向量和矢量，空间变换，曲面，曲线，参数方程，正交变换，正切变换，积分变换等。
线性代数与解析几何的内容之间存在一定的关联，它们都是对抽象数学对象的抽象描述，以及它们之间的关系进行数学分析。
从线性代数的角度来看，解析几何可以用矩阵分析和线性变换来表示；从解析几何的角度来看，线性代数可以用参数方程，正交变换，正切变换，积分变换等来表示。
线性代数与解析几何对于现代科学技术的发展有着重要的作用，它们可以用来解决各种复杂的数学问题，如机器研究，数据挖掘，机器人技术，计算机图形学等。
线性代数与解析几何的研究也可以用于解决物理学和工程学中的实际问题，比如热传导，结构力学，电磁学，电子学等。
《线性代数与解析几何》教学大纲
理论课程教学大纲
课程名称
线性代数与解析几何(B1)
英文名称
Linear AlgebraandAnalytic Geometry(B1)
课程编号
总学时
80
学分
4
预修课程
开课学期
大一下
大纲撰写人
陈发来、郑业龙
一、教学目标和基本要求
教学目标：《线性代数与解析几何》是非数学专业本科生最重要的基础课程之一，其主要内容是讲述矩阵与行列式运算的基本方法、线性空间与线性变换的理论以及空间解析几何的基本知识。该课程不仅是学习其它课程及学科的基础，而且其理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力也具有重要的作用。
第六章线性变换(12学时)线性变换的定义与性质，线性变换的矩阵表示，矩阵的相似，特征值与特征向量，矩阵的相似对角化。
第七章Euclid空间(10学时) Eห้องสมุดไป่ตู้clid空间的定义与性质，内积及其矩阵表示，标准正交基，Schmidt正交化，正交变换与对称变换，正交矩阵与实对称矩阵。
第八章实二次型(6学时)二次型及其矩阵表示，二次型的标准形，相合不变量与分类，二次曲面（线）的分类及标准形，矩阵的正定性。
基本要求：具备中学数学基础知识的学生都可以选修该课程。
二、课程简介
本课程内容由空间解析几何与线性代数两部分构成，具体课程内容与课时分配如下：
第一章向量与复数(6学时)向量的线性运算、数量积与向量积，复数。
第二章空间解析几何(8学时)空间的直线、平面、曲线与曲面方程及几何计算，坐标变换。
第三章线性方程组(4学时)线性方程组的初等变换与Gauss消元解法，线性方程组及其解的初步讨论。
大学线性代数与解析几何习题
→齐次线性方程组Ax=0只有零解
AB=0→B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0
或：A可逆，即A-1存在→根据AB=0→A-1A B= A-10→B= A-1
三、空间解析几何部分
（一）填空题
1．已知 ，则 ．
提示：a0=a/|a|
2．设 则 ＝．
提示：|a×b|=|a||b|sin→cos→a.b=|a||b|cos
2．
（A） （B）
（C） （D）
提示：|AB|=|A||B|=|BA|
3．设 阶矩阵 ,若矩阵 的秩为 ,则 必为
()
提示：参见书本及作业上的例子。
4．
提示：参见前面的内容。
5． ()
提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB
(AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA
4．设 ，则 .
提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。
5．设 ，则当 满足条件时， 可逆.
提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设 阶矩阵 ，则必有（）
（A） （B） （C） （D）
提示：A的逆矩阵为BC
2． （）
提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0
2．设向量 ( )
提示：Prjba=|a|cos，|a|＝3→cos→cosa.b)/(|a||b|)
3． ( )
提示：向量平行，对应坐标分量成比例。
4．设向量 且 ( )
提示：向量混合积的计算方法。
5． ( )
提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。
线性代数与解析几何
lim f ( x) ， lim f ( x) .
x
可知必有 ( , ) ，使得 f ( ) 0 . 当 an 0 时，类似可证. 定理 5(Vieta 公式) □
设 n 次多项式方程
f ( x) x n an 1 x n 1 a1 x a0 0
O
a x
r —— z 的模 —— z 的幅角
z a bi
复数的四则运算如下：
(a b i) (c d i) (a c) (b d ) i, i 2 1, (a b i)(c d i) (ac bd ) ( ad bc) i, zz (a b i)(a b i) a 2 b 2 | z |2 , r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1r2 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )], [r (cos i sin )]n r n (cos n i sin n ), a b i (a b i)(c d i) ac bd ad bc i. c d i (c d i)(c d i) c 2 d 2 c 2 d 2
Q 矛盾；要么 a 0 且 pq bp Q ，与 pq Q ①矛盾.) 显然 q Q( q ) ，从而Q( p ) Q Nhomakorabea q ) .
(3) 因为有无穷多个正素数， 而不同正素数如上对应着不同的数域， 所以有无穷多个数 域. □ 补证①：反设
pq Q ，则 pq
n m
2
n 必为偶数. 设 n 2k ，则
n2 m2
2m 2 n 2 ，
南京邮电大学《线性代数与解析几何》参考答案
《线性代数与解析几何》练习册参考答案第1章1.1 1.7;2 i =4,j =5;3,+,-3(1)1;(2) -1；4，（1）1；（2）3333a b c abc ++-;(3) 288;(4) abcd .1.2 1.(1)27a ;(2)5a ;2 (1)-3;(2) 3()a b c ++;(3)0;(4) 16；（5） 123b b b ；(6) 12341a a a a ++++ 1.3 .1.12;2(1)12;(2) 12(1)(2)(2)x x x --+;3. 1, -1;4.0,86.5.14142323()()a a b b a a b b --; 6.0,-1,2,3;7. 4142439A A A ++=-,444518A A +=.8.-2. 1.4 1(1) (1,2,3)T ;(2) (,,)T a b c - 2. 1或-2；3；313λλ≠≠且. 第2章2.1 121002211X ⎛⎫= ⎪-⎝⎭2.61010AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131262129BA ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，111152017T B C A -⎛⎫+= ⎪⎝⎭;,3 (1)112233AB a b a b a b =++,111213212223313233a b a b a b BA a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;（2）111213*********3233nn a b a b a b BA a a b a b a b a b a b a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（） 4.（1）cos sin sin cos n n n n θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭;（2）121(1)200nn n nn n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；5. 000000008⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;7. 1200b B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12,b b 是任意常数。
线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第4章习题答案
x 1 y 1 z ( 1) 2 1 2 1 2 ( 1) 0 ， 11
即
1 1 2 ( 1)
x 3 y 2 z 0.
4．解：所求平面方程为 3( x 3) 7( y 0) 5( z 1) 0 ， 即 . 3x 7 y 5 z 4
2 .
c c a 11 解： a b b c c a a b a c b
(a b) c ( b c) c 4
Hale Waihona Puke a 2 a, b,
1 1 2 12．解： a, b, c 1 1 0 4
1 4 5 因为 ( AB, AC , AD ) 2 1 1 0 ，所以这四点共面. 5 2 7
15.证：设 AB 和 AD 的夹角为 .
S 2 AB AD a b a b sin 2 a b (1 cos2 )
a b a b cos2 a b (a b)2 .
17．证：由 a (a b c) a 0 0, 得 a b a c c a. 由 b (a b c) b 0 0, 得 b a b c, a b b c. 所以 a b b c c a. 18．证：由于 b c 和 c a 都与 c 垂直，所以 (b c) c 0,(c a ) c 0. 由 a b b c c a 0, 得 (a b b c c a ) c 0. 整理，得 a, b, c 0 .
思考题 4-3
1. 平面的截距式方程的形式是唯一的，平面的点法式方程、一般式方程、三点式方程 的形式不是唯一的。 2. 有。找出交线上的两点通过三点式方程来求也很简便。 3. 都是线性方程，变量的个数与其所在空间的维数有关。空间解析几何中的平面方程 是三元一次方程，平面解析几何中的直线方程是二元一次方程。 4. 过 x 轴的平面的方程的特点是 x 的系数和常数项都为 0； 垂直于 z 轴的平面就是平行 于 oxy 面的平面，其方程的特点是 x 和 y 的系数都为 0.
线性代数与解析几何
• 平面的一般方程（点法式）
(x a) n 0
• 直线的一般方程（交线）
(x (x
a1) n1 a2 ) n2
0 0
点、线、面间的位置关系 • 点到直线的距离 • 点到平面的距离 • 异面直线的距离 • 直线间的夹角 • 平面间的夹角 • 线面间的夹角 • 公垂线的计算
曲线与曲面的方程 • 参数方程 p(t)、 p(s,t)
• 锥面 • 椭圆柱面 • 双曲柱面 • 抛物柱面
线性方程组的消元解法
• 减少方程中未知数的个数
x1 2x2 3x3 4x4 3
3x1x1x3x22xx34
1 1
x1 2x2 5x4 1
2x2 2x3 2x4 2 7x2 10x3 12x4 10
3x3 9x4 4
3x3 3x3
5x4 9x4
3 4
4x4 1
①
②
③
④
⑤ ①②
⑥ 3① ③
⑦ ①④
⑧
7 2
⑤
⑥
⑨⑦
⑩⑧⑨
x4
1 4
xx32
7 12
1 6
x1
1 12
求解⑩ 代入⑨ 代入⑤ 代入②
问题 • 以上所求是否一定是原方程的解？ • 其它消元过程是否会产生新的解？ 方程Байду номын сангаас的同解变形（三种初等变换） • 交换两个方程的位置； • 一方程乘上非零常数； • 一方程加上另一方程。
线性代数与解析几何
王新茂 中国科学技术大学数学系
预备知识 数域 — 定义了 +,-,*,/ 运算的集合 • 实数域R、有理数域Q • 复数域C， x y i | x, y ，i2 1
• x y 2 | x, y 是数域
《线性代数与解析几何》课程教学大纲
《线性代数与解析几何》课程教学大纲课程编号：20811824总学时数：64（理论64）总学分数：4课程性质：学科基础课程适用专业：工程力学一、课程的任务和基本要求：本课程的主要任务是介绍行列式和矩阵的基础概念、基本性质及其运算，并以行列式和矩阵为工具，介绍齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件及如何求解线性方程；介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求矩阵的特征值与特征向量的方法，并利用矩阵特征值与特征向量研究二次型的性质和如何将二次型化为标准形，简单介绍线性空间与线性变换的基本概念。
为其它课程打下一定的代数基础。
空间解析几何是一门理工科学生必须掌握的基础理论课程，本课程主要以向量为工具，讨论空间的平面、直线、曲面与曲线的特性，介绍并求平面、直线、曲面与曲线的方程。
二、基本内容和要求：（一）行列式基本内容：1、行列式的定义与性质2、行列式的计算3、Cramer法则基本要求：理解n阶行列式的基本概念，熟悉n阶行列式基本性质，掌握行列式的基本计算方法，会计算简单的n阶行列式。
掌握Cramer法则及其应用。
（二）矩阵基本内容：1、矩阵的定义与运算、逆矩阵的概念与计算、分块矩阵2、矩阵的初等变换与初等矩阵、矩阵的秩基本要求：了解矩阵的概念，掌握矩阵的加法、数乘矩阵及矩阵的乘法运算。
并掌握矩阵运算与实数运算的区别。
理解逆矩阵的概念并会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵。
理解分块矩阵的概念，会分块矩阵的运算。
理解矩阵的初等变换的概念，掌握矩阵的初等变换，并会用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。
理解矩阵秩的概念，并会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。
（三）向量空间基本内容：1、n维向量的概念，n维向量的概念的线性相关与线性无关的概念2、向量组的极大线性无关组与向量组的秩3、n维向量的空间及向量空间的基、维数、向量的坐标基本要求：理解n维向量的概念，理解向量组的线性相关与线性无关及向量组的极大线性无关组的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的秩和向量组的极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组表示。
高考数学中的线性代数与解析几何
高考数学中的线性代数与解析几何高中数学是一个复杂而又深奥的学科，而线性代数与解析几何则是其中的一部分。
这两门学科是现代数学中的重要组成部分。
在高考中，这两门学科也占有非常重要的比例，因此它们的掌握程度将会直接影响到高中数学的学习成果和考试成绩。
接下来，我们将对线性代数和解析几何的内容和考试中的应用做一些简单的介绍和分析。
一、线性代数线性代数是一门研究线性方程组、矩阵、向量和线性变换等的基础性学科。
在高中数学中，线性代数主要包括矩阵、行列式、向量的内积与外积等知识点。
在高考中，矩阵与行列式是必考内容之一，它们在高考中所占比例也十分重要。
1、矩阵矩阵是一个矩形的数字或符号的集合，它是线性代数最基本的概念之一。
矩阵在高考中有很多应用，比如解线性方程组、表示向量的坐标、表示线性变换。
高考中对矩阵的考查主要包括矩阵的运算、矩阵的初等变换，矩阵求逆和矩阵的秩等方面。
2、行列式行列式也是线性代数中的一种重要的数学工具。
行列式不仅仅是一种数学工具，更是一种抽象的数学概念。
行列式在高考中的应用也十分广泛。
高考中对行列式的考查主要包括行列式的概念、性质和计算方法等方面。
二、解析几何解析几何是一门研究空间中几何对象及其性质的学科，它是高中数学中的一种重要的分支。
解析几何以解析方法研究空间中的几何问题，并使用代数语言将几何问题转化为代数问题进行研究。
在高考中，解析几何也占据着非常重要的地位，它是高考数学中的难点之一。
1、空间直角坐标系空间直角坐标系是解析几何中的一个重要概念。
空间直角坐标系是三维空间中的一个直角坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴组成。
在高考中，空间直角坐标系是解析几何的基础，许多解析几何的概念和解题方法都是建立在空间直角坐标系的基础之上的。
2、直线与平面解析几何研究的是空间中的几何对象，其中直线和平面是重要的研究对象。
在高考中，解析几何也主要考查直线和平面的方程以及它们的性质和应用。
同时，在解析几何中，直线与平面的交点也是重要的考察点之一。
线性代数与解析几何习题讲解
解：反对称矩阵的元素满足：aij aji i, j 1, 2,L , n
则 aii aii i 1, 2,L , n 得 aii 0 i 1, 2,L , n 即主对角线元素a11, a22 ,L , ann全为0。
13 设有n阶行列式D |aij|, 若其元素满足aij =-a ji ,则 称为反对称行列式。试证明：
r2r1 x 2 y
r 3r1
0
0
y x y
0
y
0 (x 2 y)(x y)2
x y
2.证明下列等式：
a bx a b a x
(1)
c dy c d c y
解：根据二阶行列式的定义： a bx
a(d y) c(b x) c dy
ad bc ay cx
ab ax
cd cy
2.证明下列等式： 0b a ab
11 利用行列式的性质计算下列行列式：
x xKx a
0 0Ka x
（6）M M
MM
0 aK0 x
a 0K0 x
解：当a 0时，若n 1,原式 x;
若n 2,原式 x a x2 ax
若n 3，原式=0
当a 0时，
cn
x a
c1
x cn
x a
c
2
M
xK
原式 0 cn
x a
cn1
0
K
(1735246) 1 2 3 4 5 6 +7
031 2110 8
1735246是偶排列，此时，i 3, j 4 i 4, j 3时，1745236是奇排列，不符合要求。
5. 如果排列i1i2 L in的逆序数为m,求排列inin1L i2i1 的逆序数。
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4.平面三点Mi(xi , yi) (i=1,2,3) 共线
向量 M1M2 , M1M3 共线
x2 x1 y2 y1 x3 x1 y3 y1
x1 y1 1 x2 y2 1 0 x3 y3 1
例
P148 17题
8
例1 已知
1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 , 4 , 1 , 2 , 3 2 3 a 2 4 b 3 3 5 1 a 8 5
11
R(1 ,2 ,3 ,4 ) 2 R(1 ,2 ,3 ,4 ) 3
1 1 1 1 1 2 0 a 1 0 0 0 a 1 (1) 当 a 1, b 0 时,
1 0 行 0 0
1 1 b 0
例2 已知线性方程组A4×4 X=0有基础解 ξ1 系 1,2, 3,0 , ξ2 2, 1,0,1 , ξ3 1,0, 2,1
A1 B1 C1 D1 ( A b) A2 B2 C2 D2 • R(A)≠R(A b)时,两平面平行但不重合 • R(A)= R(A b)=1时,两平面重合 • R(A)=R(A b)=2时,两平面相交于一条直线
2
此时方程组有无穷多解,有一个自由未知量, 可求出通解为：
12
1 2 1 1 0 1 2 2 1 0 5 4 2 1 ξ1 ξ2 ξ3 1 2 3 4 3 0 2 3 9 3 2 0 1 1 7 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2 行 0 1 1 7 5 0 1 0 0 2 0 6 1 1 0 0 0 84 0 7 13 故 2可由 ξ1 , ξ2 , ξ3 线性表示, 所以 2 是该 方程组的一个解, 1 , 3 , 4不能由基础 解系线性表示,所以不是解. 应选(B).
3
2. 三个平面的位置关系
(1) R( A) R( A b) 1 三平面重合,方程组 有无穷多解. (2) R( A) R( A b) 2 三平面交于一条直线, 方程组有无穷多解.
1 : A1 x B1 y C1 z D1 2 : A2 x B2 y C2 z D2 3 : A3 x B3 y C3 z D3
Ai , Bi , Ci
不全为0
4
(3) R( A) R( A b) 3
三平面交于一点, 方程组有唯一解.
(4) R( A) 1, R( A b) 2
三平面平行, 方程组无解.
5
(5) R( A) 2, R( A b) 3 三个法向量共面, 方程组无解.
1
n1 , n2 , n3 0
(1) a,b为何值时, 不能表为1 , 2 , 3 , 4 的线性组合. (2) a,b为何值时, 可唯一表为1 , 2 , 3 , 4 的线性组合.
9
解 (1) 不能表为1 , 2 , 3 , 4 的线性组合
x11 x22 x33 x44 无解. (2) 可唯一表为1 , 2 , 3 , 4的线性组合 一解.
则该方程的一个特解是
( A)(1, 5, 3, 7); (C )(1, 2, 3, 1);
( B)(0, 4, 9, 1); ( D)(2, 1, 2, 0).
解 设 1 (1, 5, 3, 7); 2 (0, 4, 9, 1); 3 (1, 2, 3, 1); 4 (2, 1, 2, 0).
《线性代数与解析几何》 第五章 线性方程组
第二十讲
5.3
线性方程组的 几何应用及习题课
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室
1
矩阵的秩及方程组的理论可以用来讨 论几何空间中的平面、直线的位置关系. 1. 两个平面的位置关系 1 : A1 x B1 y C1 z D1 Ai , Bi , Ci 2 : A2 x B2 y C2 z D2 不全为0
1 0 (1 , 2 , 3 , 4 ) 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 3 a 2 4 b 3 5 1 a 8 5
10
这时 不能表为1 , 2 , 3 , 4 的线性组合. (2) 当 a 1, b 任意时, R(1 ,2 ,3 ,4 ) R(1,2 ,3 ,4 ) 4 这时 可唯一表为1 , 2 , 3 , 4的线性组合
注 特解代表交线上的一个点,导出组的 基础解系代表交线的方向向量.
x0 m x * t 为任 y X tξ y0 t n , 意常数 . p z z 0 x x0 mt 即 l : y y0 nt , 为直线的参数方程. z z0 pt
2
3
三个法向量中有两 个无关,两个成比例. 三个法向量中任意 交成2或3条平行直线 两个不成比例.
6
3.空间四点Mi (xi, yi , zi ) (i=1,2,3,4)共面
向量 M1M2 , M1M3 , M1M4 共面
M1M2 , M1M3 , M1M4 = 0 x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 0 x4 x1 y4 y1 z4 z1 x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 0 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4 1