球杆系统__现代控制

现代控制系统大作业Modern Control System
球杆系统稳定实验
班级：2008211401
学号：08211772
姓名：姚锟
其他组员：丁一阮祥时
2011.1.4
目录
一、系统建模 (2)
二、实验要求 (3)
三、实验1(P控制) (3)
四、实验2(PD控制) (6)
五、实验3(PID控制) (9)
六、实验4(根轨迹控制) (12)
七、实验总结 (14)
一、系统建模
连线（连杆和同步带轮的连接点与齿轮中心的连线）和水平线的夹角为θ（θ的角度存在一定的限制，在最小和最大的范围之间），它作为连杆的输入，横杆的倾斜角α和θ之间的有如下的数学关系：
角度θ和电机轴之间存在一个减速比n=4的同步带，控制器设计的任务是通过调整齿轮的角度θ，使得小球在某一位置平衡。

小球在横杆上滚动的加速度如下式：
其中：
小球在横杆上的位置r为输出
小球的质量m = 0.11公斤;
小球的半径R = 0.015米;
重力加速度g = -9.8米/秒2;
横杆长L = 0.4米;
连杆和齿轮的连接点与齿轮中心的距离为d = 0.04米;
小球的转动惯量J = 2*m*R^2/5牛顿.秒2。

我们假设小球在横杆上的运动为滚动，且摩擦力可以忽略不计。

因为我们期望角度α在0附近，因此我们可以在0附近对其进行线性化，得到近似的线性方程：
Laplace变换得：
二、实验要求
假设控制的指标要求如下：
♦调整时间小于1秒（2％误差）
♦超调量小于10％
下面将介绍几种适合于此类问题的控制器设计方法：
PID控制
根轨迹法
三、实验步骤
主要方法：通过球杆系统仿真，与理想传递函数下的反馈系统的对比，深刻理解系统的调节以及稳定性特征。

实验一：P控制
1. 含有控制器、球杆系统结构和小球位置反馈的系统框图如下所示：
其中，Xd(s)为小球目标位置的拉普拉斯变换，P控制器为：GP (s)=KP
闭环系统的传递函数为：
，其中c=
2.MATLAB仿真
（1）当Kp=3时
m=0.11;
R=0.015;
g=-9.8;
L=0.4;
d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=(m*g*d)/(L*(J/R^2+m)); num=[-K];
den=[1 0 0];
plant=tf(num,den);
kp=3;
sys_cl=feedback(kp*plant,1); step(0.2*sys_cl)
(2)改变参数，当Kp=5时
m=0.11;
R=0.015;
g=-9.8;
L=0.4;
d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=(m*g*d)/(L*(J/R^2+m));
num=[-K];
den=[1 0 0];
plant=tf(num,den);
kp=5;
sys_cl=feedback(kp*plant,1);
step(0.2*sys_cl)
分析：可以看出，添加P控制器后，系统并不能稳定。

改变Kp的值后，Kp1=2，Kp2=10,系统还是不稳定的，可以看出，对于一个惯性系统，在P控制器作用下，系统会保持一个等幅振荡。

3.在MATLAB 仿真环境下运行演示程序
(1)当Kp=2时
(2)当Kp=10时
分析：从仿真图和实验图中可以看出，他们的大致波形是一致的，但由于实验受环境影响，如用手抓取小球，桌面收到碰撞震荡等，使波形出现很多毛刺，但系统是不稳定的，出现等幅振荡。

实验二：PD控制
1. 给控制器添加一个微分控制，闭环系统的结构图如下：
PD控制器的传递函数为：
为简单起见，我们假设固定比例增益K P，调整K D.的大小。

闭环系统的传递函数为：
2.MATLAB仿真
（1）当Kp=6，Kd=6时
m=0.11;
R=0.015;
g=-9.8;
L=0.4;
d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=(m*g*d)/(L*(J/R^2+m));
num=[-K];
den=[1 0 0];
plant=tf(num,den);
kp=6;
kd=6;
contr=tf([kd kp],1);
sys_cl=feedback(contr*plant,1); t=0:0.01:5;
step(0.2*sys_cl)
（2）当Kp=4,Kd=4时
m=0.11;
R=0.015;
g=-9.8;
L=0.4;
d=0.04;
J=2*m*R^2/5;
K=(m*g*d)/(L*(J/R^2+m));
num=[-K];
den=[1 0 0];
plant=tf(num,den);
kp=6;
kd=6;
contr=tf([kd kp],1);
sys_cl=feedback(contr*plant,1);
t=0:0.01:5;
step(0.2*sys_cl)
分析：
（1）可以看出，当控制器中加入一个微分控制时，闭环系统是一个稳定的系统；（2）当Kp=6，Kd=6时，超调量P.O.=20%，调节时间Ts=2.5s
（3）当Kp=4，Kd=4时，超调量P.O.=13%，调节时间Ts=4.8s
（4）从（2）、（3）的对比可知，虽然闭环系统是一个稳定的系统，但是超调和稳定时间都过大
3.在MATLAB 仿真环境下运行演示程序
（1）当Kp=6，Kd=6时
（2）当Kp=6，Kd=12时
分析：
从图中可以看出，在PD控制器的作用下，系统可以很快平衡，(图中第二次震荡是人为产生的，系统仍可以很快平衡)但是稳态误差较大，与MATLAB仿真图对比可知，实验图仍有许多毛刺，并且易受环境的影响，易波动，但能很快平衡，系统稳态误差较大
实验三：PID控制
1.添加PID控制器后，闭环系统的结构图如下：
PID控制器的传递函数为：
K D和K I对应于积分和微分控制，K P为比例增益
闭环系统的传递函数如下所示：
2.MATLAB仿真：
M程序代码：
t=[0:0.01:30];
num=[7 7 0.7];
den=[1 7 7 0.7];
[y,x,t]=step(0.2*num,0.2*den,t);
plot(t,y),grid
（1）当Kp=10,Kd=10,Ki=1时
（2）当Kp=10,Kd=40,Ki=1时
（3）当Kp=15,Kd=40,Ki=0.5时
分析：
(1) 当Kp=10,Kd=10,Ki=1时, 超调量P.O.=10%,调节时间Ts=4.7s左右
(2) 当Kp=10,Kd=40,Ki=1时，超调量P.O.=1.25%,调节时间Ts=4.8s左右
(3) 当Kp=15,Kd=40,Ki=0.5时, 超调量P.O.=1.25%,调节时间Ts=0.4s左右
(4) 从图中可以看出,增大KD可以减少超调量，而减小调节时间可以增大Kp,可以增大微分控制KD以减少因增大KP引起的超调
3.在MATLAB 仿真环境下运行演示程序
(1)当Kp=10,Kd=10,Ki=1时
(2) 当Kp=10,Kd=40,Ki=1时
(3) 当Kp=15,Kd=40,Ki=0.5时
分析：
可以看出，增大KD可以减少超调量，而减小调节时间可以增大Kp,第三个图明显的减少了系统的稳态误差，基本上满足了设计要求，但与MATLAB仿真相比，实际中系统会受到很多影响，因此总是有很多毛刺
实验四：根轨迹控制
根轨迹的主要思想就是通过分析系统的开环零极点位置，来分析闭环系统的特性，通过增加极点或零点的方法（校正器），根轨迹以及闭环系统的响应都将发生改变。

1. 添加控制器后，一个典型的闭环系统如下：
2.开环MATLAB仿真
OP =5%
3.在MATLAB 仿真环境下运行演示程序（1）校正后系统的开环传递函数为：
，其中
（2）设置参数：
zo = 0.5;
po = 4;
selected_point = -3.7270 + 2.1250i
k =14.5801
poles =-1.6842 + 2.2895i, -1.6842 - 2.2895i, -0.6317
分析：从图中可以看出，减小控制器的零、极点，会使系统稳定性降低。

四、实验总结
这次大作业是本学期各门课程中最有趣的一个实验了，虽然说过程比较繁琐，但是当发现理论与实际结合的如此完美的时候，兴趣和成就感就再一次被培养。

通过这次球杆实验使我对控制系统有了更深刻更直观的认识，了解到控制系统在实际生活特别是自动化生产中有着重要的作用。

日常生活中的水温控制，驾驶系统，以至于点点滴滴都会应用到反馈系统的理论。

一个控制系统往往会有很多的控制器设计方法，根轨迹、PID、Bode图等。

在实验中，不管用什么方法都需要反复尝试不同的控制参数，直到得到满意的控制效果。

本实验也让我对PID控制的认识有了深化，但PID的调节过程比较繁琐，需要不断的尝试各种参数，发现其中规律，并最终寻找到最合适的系统参数。

在实验中，发现图像中存在很多瑕疵，可见系统总要受到外界环境的影响，在实际系统的设计中，有时候需要考虑各种外界干扰的存在，尽可能减少它们的作用。