1 球杆系统建模分析

《线性系统理论》

课程设计报告书

课题名称球杆系统

姓名孟禹漆铖刘泽文孟凡强杨佐龙

日期2013年2 月 25日老师陈玮

1 球杆系统建模分析

本章将对球杆系统进行简单的介绍，然后采用拉格朗日方程建立其数学模型，并在此基础上分析其特性。

1.1球杆系统介绍

球杆系统（Ball & Beam ）是由球杆执行系统、控制器和直流电源等部分组成。该系统对控制系统设计来说是一种理想的实验模型。正是由于系统的结构相对简单，因此比较容易理解该模型的控制过程。

球杆执行系统（如图1 所示）由一根V 型轨道和一个不锈钢球组成。V 型槽轨道一侧为不锈钢杆，另一侧为直线位移电阻器。当球在轨道上滚动时，通过测量不锈钢杆上输出电压可测得球在轨道上的位置。V 型槽轨道的一端固定，而另一端则由直流电机（DC motor ）的经过两级齿轮减速，再通过固定在大齿轮上的连杆带动进行上下往复运动。V 型槽轨道与水平线的夹角可通过测量大齿轮转动角度和简单的几何计算获得。这样，通过设计一个反馈控制系统调节直流电机的转动，就可以控制小球在轨道上的位置。

图1 球杆系统执行机构原理图

1.2拉格朗日方程介绍

建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标，广义坐标一旦确定，体系在空间的位置状态也就可以唯一确定。广义坐标可以是坐标变量，也可能是是角动量或其他独立变量，凡能用来表述体系的位形、运动和动力学状态的独立参量都可作为广义坐标。广义坐标的条件是：互相独立、满足约束方程、唯一确定体系的位形式动力学状态。

拉格朗日方程方法建模可以表述为：设一个机械系统的自由度为

n ，对于系统可以采用广义坐标12(,,...,)n q q q q =，12(,,...)n q

q q q = 来描述，记该系统的总体动能为(,)T q q

，总体势能为()V q ，系统的运动特性可以用以下的拉格朗日方程描述：

d 1,2,...,d i i i L L

i n t q

q τ????-

== ????? (1.1)

其中，方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，i τ为作用在第

i 个广义坐标i q 方向的外部力或力矩之和。

若函数L 表示系统动能T 与势能V 的差值即L=T —V ，L 称为拉

格朗日函数。即：(,)(,)()L q q

T q q V q =- 。 因势能不是广义速度i q 的函数，所以0i V

q

?=? 这样，系统的拉格朗日方程用L 表示为：

d 1,2,...,d i i i

i T T V i n t q q q τ?????-=-+= ?

????? (1.2)

显然，拉格朗日函数具有能量的量纲。这不但在机械系统中成立，

在电动力学中，有些问题也可求出拉格朗日函数，从而通过拉格朗日方程，来建立电动力学的运动微分方程，因此拉格朗日函数及拉格朗日方程，具有更为普遍的意义。

1.3球杆系统建模过程

为了简化和清晰建模过程，可将球杆系统分解为三个部分——球杆机械部分模型，球杆角度转换部分模型和直流电机部分模型。

1.3.1球杆系统机械部分建模

对于球杆系统中球和横杆的运动方程可以采用拉格朗日方法建模。定义广义坐标(x ,α)，x 、α分别表示小球相对固定轴端的位移

和导轨相对水平位置绕固定轴逆时针方向的转角，x

、α 分别表示相应的位移速度和角速度。

当然，建立拉氏方程一般分以下四个步骤：

1)用广义坐标表示笛卡尔坐标：12(,,...,)k k n x x q q q =

2)用广义速度表示笛卡尔坐标下的速度：d d k k

k x q x x

q

q t q

??=?=??

3)(,)()L T V T q q

V q =-=- 4)求出

i L q ??及i L

q

?? ，按自由度数建立拉格朗日方程组。

①求系统动能

选取球杆系统的广义坐标为(,)q x α，系统的自由度为2，用广义坐标表示笛卡尔坐标为：1cos x x α=?，1sin y x α=?，广义速度之间的关系为：

1cos sin x

x x ααα=?-?? ， (1.3) 1sin cos y

x x ααα=?+?? (1.4) 小球沿广义坐标1x 方向运动的动能：

221111

()2

T m x

y =+ 2221()2

m x x α=+? (1.5) 小球绕径向转动的动能为：

221

2

m T J ω=

(1.6) 式中ω表示小球转动的角速度，由小球在横杆上的滚动速度和横杆的转动速度两部分组成，即：

x

R

ωα=

+ (1.7) 2

2

2

22x x x R R R ωααα????=+=++ ? ?

????

(1.8) 因α 数值很小，故可做一下近似2

2x

R ω??= ???

，故有：

2

212m x

T J R ??= ???

(1.9)

其中m J 为小球的转动惯量，225

m J mR = 横杆绕固定端转动时的动能为：

231

2

M T J α=

(1.10) 其中M J 为横杆的转动惯量，21

3

M J ML =

故系统总动能：

2

2222123111()222

m M x

T T T T m x x J J R αα??=++=+?++ ??? (1.11)

②求系统势能 小球的势能：

1sin V mgx α= (1.12)

横杆本身引起的势能为：

21

sin 2

V MgL α=

(1.13) 故系统总势能：

12V V V =+1

sin sin 2

mgx MgL αα=+

(1.14) 对式1.11做以下处理，得到：

2

2222

2111()222m M T x m x

x J J mx x x R ααα??????=+?++=?? ????????? (1.15) 2

222

22111()222m m M T x J m x x J J m x x x R R αα????????=+?++=+?? ? ??????

????? (1.16) 1sin sin sin 2V mgx MgL mg x x ααα????

=+= ?????

(1.17) 对式1.15做以下处理，得到：

22d d d d m m T J J m x m x t x t R R ?????????

=+=+ ? ? ??????????

?? (1.18) 根据式1.2，得到广义坐标下x 的拉格朗日方程，即有：

d d T T V

t x x x

?????-=- ?

????? (1.19) 综合以上式1.14、1.15、1.16、1.17，得出关于广义坐标下x 的方程为：

22sin m J m x mx mg R αα??

+

-=- ??

?

(1.20) 当系统处于平衡状态时，α等于零，在零点附近对系统进行线性

化处理，可取sin αα≈，cos 1α≈，2x α

表示离心加速度，实际中其数值很小，可忽略，于是可得到近似方程：

2m J m x mg R α?

?+=- ???

(1.21) 对上式进行拉氏变换即可得球杆系统机械部分模型为：

图2球杆系统的近似模型

22

()1

()m X s mg J s s m R α=-*+ (1.22)

1.3.2球杆系统角度转换部分模型

在球杆的执行机构中，横杆一端固定，大齿轮、连杆与横杆一起组成了一个四连杆结构，齿轮的转动就通过连杆作用到横杆上，从而使横杆绕固定轴转动。

齿轮转角θ和横杆的转角α之间的关系可以用下式表示：

()()2

22

1cos 1cos (sin sin )L r L l r l αθαθ---++-=???? (1.23)

在横杆水平位置附近，齿轮转角在50± 之间，故可以将其近似为一个比例关系：

r

L

αθ=

(1.24) 1.3.3球杆系统直流电机部分模型

球杆系统中的电机由智能驱动器控制，其响应速度相当快且电机转角()t θ对电压()u t 的响应时间常数也很小。因此可将直流伺服电机数学模型近似为一个纯增益K 。

1.4球杆系统状态空间描述

根据以上模型的推导过程，整个球杆系统的模型可以近似为如图2所示。

故整个系统的传递函数近似为：

22()1

()m X s mgrK J U s s m L R =-*??+ ?

?

?

线性化的系统方程还可以用状态空间方程来表示。我们将小球的位置(r)和 速度(r 的一阶导数 )作为变量， 将齿轮角度θ作为输入，状态方程如下所示：

θm)R J L(mgd 0r r 0010r r 2

????

?

?????++????????????=?????? 不过，在本实验中， 我们不用角度θ，而是用α的二阶导数来控制小球位置，这本质上就是控制横梁的转矩。状态方程变为：

u 1000α

αr r 0000

10000m R J mg

0000

1

αα

r r

2?

???

??

??????+???????????????????

?

?????????

?? ??+=????????????

[]????

????????=α

αr r 0001y

注意: 对于本系统是采用电机在横杆上施加转矩来控制小球的位置的。

2.球杆系统性能分析

根据第一部分球杆系统的状态空间描述在这章中对球杆系统的能控性，能观性进行等方面进行分析。

2.1球杆系统的能控能观性

利用matlab工具箱对球杆系统进行的能控能观性分析如下：

A = [0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 0 0];

B = [0 ;0; 0; 1];

C = [1 0 0 0];

D = [0];

N = size(A);

n = N(1);

CAM=ctrb(A,B);

rcam=rank(CAM);

if rcam == n

disp('System is controlled');

elseif rcam < n

disp('System is not controlled');

end

ob = obsv(A,C);

roam=rank(ob);

if roam == n

disp('System is observable');

elseif rcam

disp('System is not observable');

end

结果为：

所以系统是能控能观的。

2.2球杆系统的稳定性分析

根据系统的状态空间方程容易得知系统有四个特征根且四个特征跟均为零，对于高阶非线性系统的平衡状态X e的稳定性要由高阶导数项G（y）来决定的；通过查取资料分析该球杆系统是非稳定的。（查取资料前用分别用李亚普诺夫第一方法和第二法进行了分析，在采取第二法分析中由于求取的矩阵P不唯一，得不到相关的结果，最后查取资料进行了分析，并将资料付在论文最后）。

2.3球杆系统极点配置与控制器设计

极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈增益矩阵的状态反馈方法 ,将闭环系统的极点配置到任意期望的位置。

()()()X t Ax t Bu t =+ ，其中x 是状态变量（n 维），u 是控制信号，

这里选取控制信号为u Kx =-，

)()()(t x BK A t x

*-= ，该方程的解为()()(0)A BK t x t e x -= ，

系统的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵 A - B K 的特征决定。

()1

2

3

4K K K K K x =- ， 闭环系统的方程为

()x

Ax Bf A BK x =+=- ，选取所希望的极点值为，1

2

3

4p p p p

设计状态反馈阵时，要使系统的极点设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定。

最大超调量小于等于10%，调节时间为<5S ， 运用超调量的计算公式，

%100%e

d -=，其中z 为阻尼系数，有该公式可求得，阻尼

系数z =0.59，小于1，是欠阻尼。

33

()s n t s zw s

=

=-为极点实部，可以求得n w =1.27

则极点公式为

Wn

z j zWn p 2^12,1-±

-=，得到两个共轭极点为

P 1=-0.75+j*0.125,P 2=-0.75-j*0.125。 配置非主导极点P 3=P 4=-10。

在MATLAB 的控制系统工具箱中提供了单变量系统极点配置acker(),其格式为：K=acker(A,B,p) 程序如下及其运行结果如下：

仿真如下

仿真结果如下X4

X3

X2

X1=Y

从仿真效果来看，稳定时间约为4到5秒，超调也小于10%,基本上达到了系统的要求。

3分析小结

状态反馈增益矩阵按上述的方法确定，即可使误差（由扰动所引起的）以足够快的速度降到零。对于一个给定的系统，矩阵

p

K 并不是唯一的，而是取决于

所期望的闭环极点位置（它决定响应速度）的选择。选择期望的闭环极点或期望的特征方程是在误差矢量响应的快速性与对扰动和测量噪声敏感型之间的一个折衷方案。也就是说，如果我们使误差响应的速度提高，那么扰动和测量噪声的有害影响往往也会增强。在确定给定系统的状态反馈增益矩阵p

K 时，通常是通

过比较按不同的期望闭环极点或期望特征方程得到的矩阵p

K ，并从中选出使整

个系统达到的特性最好的那个矩阵

p

K 。其实在设计过程中,结合智能控制这门课

我们还用模糊控制，也差不多达到了预期的效果，但是鉴于在线性系统理论中没

有详细讲述，所以这里也没具体阐明，所以重在过程，重在体会。（模糊控制的仿真图在附录）

附录

判定稳定性查阅的资料如下

[1]汪海燕．球杆倒立摆先进控制仿真系统设计与实现[J]．科技通报，2010，26(5)：749-752．

[2]彭秀艳，宫彬．球杆系统的控制方法研究[J]．应用科技，2009，36(12)：37-40．

[3]张为堂，王庆龙，王敬生，周泽华．球杆系统两种控制算法比较[J]．自动化与仪器仪表，2009，3：91-92．