刚体的角速度矢量与动量矩矢量
理论力学基本概念地总结大全
想学好理论力学局必须总结好好总结，学习静力学基础静力学是研究物体平衡一般规律的科学。
这里所研究的平衡是指物体在某一惯性参考系下处于静止状态。
物体的静止状态是物体运动的特殊形式。
根据牛顿定律可知，物体运动状态的变化取决于作用在物体上的力。
那么在什么条件下物体可以保持平衡，是一个值得研究并有广泛应用背景的课题，这也是静力学的主要研究内容。
本章包括物体的受力分析、力系的简化、刚体平衡的基本概念和基本理论。
这些内容不仅是研究物体平衡条件的重要基础，也是研究动力学问题的基础知识。
一、力学模型在实际问题中，力学的研究对象（物体）往往是十分复杂的，因此在研究问题时，需要抓住那些带有本质性的主要因素，而略去影响不大的次要因素，引入一些理想化的模型来代替实际的物体，这个理想化的模型就是力学模型。
理论力学中的力学模型有质点、质点系、刚体和刚体系。
质点：具有质量而其几何尺寸可忽略不计的物体。
质点系：由若干个质点组成的系统。
刚体：是一种特殊的质点系，该质点系中任意两点间的距离保持不变。
刚体系：由若干个刚体组成的系统。
对于同一个研究对象，由于研究问题的侧重点不同，其力学模型也会有所不同。
例如：在研究太空飞行器的力学问题的过程中，当分析飞行器的运行轨道问题时，可以把飞行器用质点模型来代替；当研分析飞行器在空间轨道上的对接问题时，就必须考虑飞行器的几何尺寸和方位等因素，可以把飞行器用刚体模型来代替。
当研究飞行器的姿态控制时，由于飞行器由多个部件组成，不仅要考虑它们的几何尺寸，还要考虑各部件间的相对运动，因此飞行器的力学模型就是质点系、刚体系或质点系与刚体系的组合体。
二、 基本定义力是物体间相互的机械作用，从物体的运动状态和物体的形状上看，力对物体的作用效应可分为下面两种。
外效应：力使物体的运动状态发生改变。
内效应：力使物体的形状发生变化（变形）。
对于刚体来说，力的作用效应不涉及内效应。
刚体上某个力的作用，可能使刚体的运动状态发生变化，也可能引起刚体上其它力的变化。
第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
10刚体(角动量)
∆θ
v
r r 3、线量与角量关系 υ = ω × r 、
dθ 角速度 ω = dt r
r
r
dω 角加速度 β = dt r r r r r r aτ = β ×r a n = ω × υ
r
r
r r r M = ∑ Fiτ ⋅ ri 5、力矩、转动惯量 M = r × F 、力矩、 i 2 2 J = ∑∆mi ⋅ ri J = ∫ r ⋅ dm
i 6、转动定律 、
1 2 θ = ω 0 t + β t ω = ω 0 + β t ω 2 − ω 02 = 2βθ 4、其他公式 、 2
r r r r dL dω d r = ( Jω) = M = Jβ = J dt dt dt r v dL r r M= M = dL dt dt
5
三、角动量守恒定律
r 条件： 条件： M = 0
说明： 说明： (1)强调守恒条件 强调守恒条件
r 不一定满足守恒条件 ∑ F外 = 0 合外力等于零 , 不一定满足守恒条件 r 满足守恒条件 ∑ F外 ≠ 0 但力平行转轴或通过转轴 , 满足守恒条件 r r (2)若系统 ∑ M 外 << ∑ M 内 角动量也守恒 若系统
4
表述： 表述：合外力矩等于它的角动量对时间的变化率
r r r r r t L r dt ∫t M = ∫L dL= L2 − L1
2 2 1 1
r r M = dL dt
2. 刚体的角动量定理
大学物理刚体力学
大学物理刚体力学标题：大学物理中的刚体力学在物理学的研究中，大学物理是引领我们探索自然界规律的重要途径。
而在大学物理中，刚体力学是一个相对独特的领域，它专注于研究物体在受到外力作用时的质点运动规律。
本文将探讨大学物理中的刚体力学。
一、刚体概念及特性刚体是指物体内部各质点之间没有相对位移，形状和体积不发生变化的理想化物体。
在刚体力学中，我们通常将刚体视为一个整体，研究其宏观运动规律。
刚体具有以下特性：1、内部质点无相对位移。
2、刚体不发生形变，形状和体积保持不变。
3、刚体在运动过程中，内部任意两质点间的距离保持不变。
二、刚体力学的基础知识1、刚体的运动形式刚体的运动形式包括平动、转动和振动。
平动是指刚体沿直线作均匀速度的运动；转动是指刚体绕某轴线作角速度变化的运动；振动是指刚体在平衡位置附近作往复运动的周期性运动。
2、刚体的动力学基础动力学是研究物体运动状态变化的原因和规律的科学。
在刚体力学中，动力学的基本方程包括牛顿第二定律、动量定理和动能定理等。
这些方程为我们提供了分析刚体运动状态变化的基本工具。
三、刚体的转动惯量转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量。
它与刚体的质量、形状和大小有关。
在物理学中，转动惯量是研究刚体转动规律的重要参数。
通过计算转动惯量，我们可以了解刚体在受到外力矩作用时角速度变化的规律。
四、刚体的角动量角动量是描述物体绕某轴线旋转的物理量，与物体的质量、速度和半径有关。
在刚体力学中，角动量是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解刚体在受到外力矩作用时的角速度变化规律。
同时，角动量守恒定律也是刚体力学中的一个重要定律。
在已知刚体的质量、转动惯量和角动量的基础上，我们可以建立刚体的动力学方程。
动力学方程可以帮助我们分析刚体在受到外力作用时的运动状态变化规律。
对于复杂的动力学问题，我们通常需要借助数学软件进行数值模拟和分析。
六、总结在大学物理中，刚体力学是一个相对独立且具有重要应用价值的领域。
刚体力学
描述刚体位置的独立变量；（六个位置独立变量加一个角度，三个独立变量加三个角度）刚体运动的分类；（1，平动。
2，定轴转动。
3，平面平行运动。
4，定点转动。
5，一般运动。
）矢量（有大小，有方向不一定是矢量，必须满足矢量运算性质，A+B=B+A等）有限转动角度不是矢量，无限小转动角位移为矢量。
角速度（角速度等于角位移除以微小时间，得角速度为矢量。
）欧拉角(定轴转动是定点转动的特殊形式，当刚体绕定点转动时，选定点为坐标原点，用三个独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕该轴所转过的角度，这三个独立变化的角度叫欧拉角。
欧拉角为三个角（进动角、章动角、自转角），这三个角分别是刚体围绕三个转动轴转动的角度。
)欧拉动力学方程（描述刚体上固定坐标系x，y，z方向上的角速度的方程，把原转动轴方向上的角速度分解在x，y，z方向上。
）刚体力系简化（刚体力学中力是滑移矢量，力可沿作用线方向移动作用效果不变，把力平移到作用线交点进行力的合成。
两力不共线，可以把其中一个力进行平行平移，平移的结果得到一个同向力加一个力矩。
）刚体运动微分方程（1，力，刚体的质量乘质心加速度等于外力之和。
2，力矩，刚体对质心的总动量矩对时间的微分等于外力对质心力矩和。
3，能，刚体动能的微分等于元功。
）刚体平衡方程（F=0，M=0）刚体的动量矩J（对于刚体的动量矩，使用角速度求解比较方便，刚体内所有质点动量矩的和等于刚体动量矩，用角速度叉乘位置代替速度，得刚体动量矩公式，刚体动量矩与角速度方向不一定重合。
把刚体动量矩公式分解在不同方向，轴转动惯量，惯量积取代系数。
）刚体的转动动能T=w·J/2=I w w /2（I为刚体的转动惯量，刚体内所有质点的质量乘上质点到转轴距离的平方。
）回转半径（刚体的转动惯量可以用刚体总质量乘以回转半径的平方。
）平行轴定理（与转轴平行轴的质心的转动惯量加刚体质量乘以转轴到质心平行轴距离的平方等于转轴的转动惯量。
第五章刚体的运动
ω θ
=[3gsinθ/(2l)]dθ
θ
p O N
ωdω= 0 [3gsinθ/(2l)]dθ 0 ω=[3g(1–cosθ)/l]1/2
例题 一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的 定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物 体 ，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的 摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转 动的角加速度和绳的张力。
L
O
·
*质点作匀速率圆周运动时， 对圆心的角动量的大小为 v R L Rmv m 方向圆平面不变。
*同一质点的同一运动，如果选取的固定点不同， 其角动量也会不同。
锥摆
O
L 0 ro m m v
Lo ' r mv
L 0 lm v
方向变化
L o ' lm v sin
②积分形式：
其中：
t2 t1
t2 t1
M d t L 2 L1
M d t 称冲量矩
—力矩对时间的积累作用
例题 锥摆的角动量
r ①对O点： om T 0 rom m g l sin （ mg ）
锥摆
O
T l
m
v mg
解: m1, m2 及定滑轮切向受力如 图, 以运动方向为坐标正向. T1–m1g=m1a1 m2g–T2=m2a2
T1 m1 T1
T2
T2 m2
T2R2–T1R1=Jβ
β=a1/R1=a2/R2 J=M1R1
2/2+M 2R2 2/2
m1g
m2g
2(m2R2–m1R1)g 解得 β= 2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R22
大学物理-刚体绕定轴转动的角动量
M J
p mivi
角动量
L J
角动量定理 M d(J)
dt
质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）
质点的运动
动量守恒 力的功 动能
Fi 0时
mivi 恒量
Aab
b
F
dr
a
Ek
1 2
mv
2
动能定理
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
重力势能
Ep mgh
机械能守恒
A外 A非保内 0时
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心 的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线 （称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大 推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转。由 于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使 它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
pA pB
pA A
Bp B
s
s
O
x
结论：静止流体中任意两等高点的压强相等，即压强差为零。 若整个流体沿水平方向加速运动？ 加速运动为a，压强差为？
2. 高度相差为 h 的两点的压强差（不可压缩的流体）
选取研究对象，受力分析：（侧面？）
沿 y 方向：
p C
Y C s
pB s pC s mg may
已知：p0=1.013×105 Pa ， 0 1.29kg / m3
解 由等温气压公式
p
p e(0g / p0 ) y 0
0g 1.25104 m1
p0
p1 1.0 105 e1.251043.6103 0.64 105 Pa
第六章刚体动力学_大学物理
第七章机械振动刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理掌握刚体的概念和刚体的基本运动理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法了解进动现象和基本描述§6.1 刚体和自由度的概念一. 力矩力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因.将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零.讨论:(1)力对点的力矩.(2) 力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法则确定.(3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图)求摩擦力对y 轴的力矩.解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为则该线元的摩擦力对y轴的力矩为积分得摩擦力对y轴的力矩为注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如二. 刚体对定轴的转动定律实验证明: 当力矩M为零时,则刚体保持静止或匀速转动,当存在M时,角加速度β与M成正比,而与转动惯量J 成反比,即.也可写成国际单位中k=1.若设作用在刚体上的外力对z轴的力矩总和为合外力矩,刚体对z 轴的转动惯量为J, 则有上式表明,刚体绕定轴转动时,刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩的代数和.该式称为刚体绕定轴转动微分方程,也称转动定律.讨论:(1) M 正比于β ,力矩越大,刚体的β越大(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同(3) 与牛顿定律比较,转动定律的理论证明:如右图,在刚体上任取一质量元,作用在质量元上的力可以分为两类:表示来自刚体意外一切力的合力(称外力),表示来自刚体内各质点对该质量元作用力的合理(称内力).刚体绕定轴Z 转动过程中,质量元以为半径作圆周运动,按牛顿第二定律,有将此矢量方程两边都投影到质量元的圆轨迹切线方向上,则有再将此式两边乘以,则得对固定轴的力矩对所有质量元求和,则得等式右边第一项为合外力矩;第二项为所有内力对z 轴的力矩总和,由于内力总是成对出现,而且每对内力大小相等、方向相反,且在一条作用线上,因此内力对z 轴的力矩的和恒等于零.又.则有即证.三. 转动惯量刚体对某Z 轴的转动惯量,等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和,即事实上刚体的质量是连续分布的,故上式中的求和可写为定积分,即刚体对轴转动惯量的大小决定于三个因素,即刚体的质量、质量对轴的分布情况和转轴的位置.(1) J 与刚体的总质量有关例 1 两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量解：在如图的棒上取一线元dx,则积分得其转动惯量为显然，本题中，则(2) J 与质量分布有关例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆环上取一线元dl,则积分得其转动惯量为例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆盘上取一宽为dr的圆环带,令,则质量元则积分得圆盘的转动惯量为(3) J 与转轴的位置有关例 4 均匀细棒绕端点轴转动惯量解: 在如图棒上取一线元dx,积分得棒的转动惯量为例 5 均匀细棒对通过中心并与棒垂直得轴的转动惯量解: 如图,以杆的中心O为坐标原点,取Oxz坐标系.积分得棒对z轴的转动惯量为四. 平行轴定理及垂直轴定理1. 平行轴定理设刚体得质量为M,质心为C,刚体对通过质心某轴z(称为质心轴）得转动惯量为.如有另一与z 轴平行的任意轴,且z和两轴间的垂直距离L.刚体对轴的转动惯量设为,则可以证明：.即刚体对任意轴(轴)的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴(z轴)的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离L平方的乘积.这个结论称为平行轴定理.例1 : 求均匀细棒的转动惯量.解: 如图,已知均质杆对质心轴z 的转动惯量为,为通过杆的一端、且与z 轴平行的轴的转动惯量,按平行轴定理有2.垂直轴定理如右图所示, x、y轴在刚体内, z轴垂直于刚体.则刚体对z 轴的转动惯量等于其对x、y轴的转动惯量之和此即为垂直轴定理.例求对圆盘的一条直径的转动惯量解：以圆盘圆心C为坐标圆点,建立xyz 坐标系如右图.易求得圆盘对z 轴的转动惯量为根据垂直轴定理,有又则五. 转动定律的应用举例例1 一轻绳绕在半径r =20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F =98 N 的拉力,飞轮的转动惯量J =0.5 kg·m 2,飞轮与转轴间的摩擦不计,(如图)求: (1) 飞轮的角加速度(2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度解: (1) 根据转动定律,有(2) 分别对物体和飞轮进行受力分析,如图所示,根据牛顿运动定律和转动定律,有，因为，所以有例2一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 在直棒上取如图的质量元dm ,则积分得整个直棒重力对轴O的力矩为又故由上式可以看出,重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩.则角加速度为:又, 则杆下摆至角速度为例3圆盘以在桌面上转动,受摩擦力而静止求到圆盘静止所需时间解:在圆盘内取一半径为r 的,厚度为dr 的环带, 其质量为该环带的摩擦力对质心轴的力矩为积分得圆盘的摩擦力力矩为由转动定律得所以,得则例4如图一个刚体系统,已知转动惯量,现有一水平作用力作用于距轴为处求轴对棒的作用力(也称轴反力)解: 设轴对棒的作用力为N,分解为.由转动定律得由质心运动定理得解得打击中心则思考题1. 刚体可有不止一个转动惯量吗? 除了刚体的形状和质量以外,要求它的转动惯量,还要已知什么信息?2.能否找到这样一个轴,刚体绕该轴的转动惯量比绕平行于该轴并通过质心的轴的转动惯量小?3.刚体在力矩作用下绕定轴转动,当力矩增大或减小时,其角速度和角加速度将如何变化?4.猫有一条长长的尾巴,它习惯于在阳台上睡觉,因而从阳台上掉下来的事情时有发生.长期的观察表明猫从高层的楼房的阳台掉到楼外的人行道上时,受伤的程度将随高度的增加而减少,据报道有只猫从32层楼掉下来,也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤.为什么会这样呢?(点击图片播放动画)§ 6.2 绕定轴转动刚体的动能动能定理一. 转动动能刚体I 绕定轴z 转动,转动惯量,某时刻t ,角速度ω ,角加速度为β,设想刚体是由大量质点组成,现研究质量为的质点i,如图.显然,质点i 的速度为,由质点动能的定义知,质量i 的动能为由于动能为标量且永为正,故整个刚体的动能E等于组成刚体所有质点动能的算数和,即即绕定轴转动刚体的动能,等于刚体对转动的转动惯量于其角速度平方乘积的一半. 将刚体绕定轴转动的动能与质点的动能加以比较,再一次看出转动惯量对应于质点的质量,即转动惯量是刚体绕轴转动惯性大小的量度.二.力矩的功力的累积过程——力矩的空间累积效应功的定义如图,设绕定轴z 转动刚体上P 点作用有一力,现研究刚体转动时力在其作用点P 的元路程ds 上的功.由图易得即作用在定轴转动刚体上的力的元功,等于该力对转轴的力矩于刚体的元角位移的乘积.这也称为力矩的元功.力矩作功的微分形式对一有限过程刚体从角坐标到的过程中,力矩对刚体所作的功为若力矩M为常数,则上式可以进一步写成既作用在定轴转动刚体上的常力矩在某一转动过程中对刚体所作的功,等于该力矩与刚体角位移的乘积.讨论:(1) 合力矩的功(2) 力矩的功就是力的功(3) 内力矩作功之和为零三. 转动动能定理——力矩功的效果力矩的元功此式表示绕定轴转动刚体动能的微分,等于作用在刚体上所有外力元功的代数和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的微分形式. 若定轴转动的刚体在外力作用下,角速度从变到,则由微分式,可得到式中A 表示刚体角速度从变到这一过程中,作用于刚体上的所有外力所作功的代数和. 上式表明,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的积分形式.刚体的机械能等于刚体的动能、重力势能之和.其中的重力势能为故刚体的机械能又可表示为刚体的机械能守恒,则有对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立.例1一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 易得杆摆至角时对O 轴的力矩为由动能定理,重力矩作的功得又,由此得即例2图示装置可用来测量物体的转动惯量.待测物体A 装在转动架上,转轴Z 上装一半径为r的轻鼓轮,绳的一端缠绕在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m 的重物.重物下落时,由绳带动被测物体A绕Z 轴转动.今测得重物由静止下落一段距离h .所用时间为t .求物体 A 对Z 轴的转动惯量.设绳子不可伸缩,绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计.待测物 A 的机械能:重物m 的机械能:由机械能守恒得:又则可得故,物体 A 对Z 轴的转动惯量为思考题1.两个重量相同的球分别用密度为的金属制成,今分别以角速度绕通过球心的轴转动,试问这两个球的能量之比多大?§ 6.3 动量矩和动量矩守恒定律一. 质点动量矩( 角动量) 定理和动量矩守恒定律1.质点的动量矩设一质点在平面S ,如图所示.在时刻t,质点的动量为,对某固定点O质点的位矢为,则质点对O点的动量矩(或质点对O点的角动量)定义为: 位矢和动量的矢积,即根据矢积定义,质点对O点动量的大小为:指向由右螺旋法则确定.(可以证明,质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩)特例：质点作圆周运动时,说明: (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关(2) 当质点作平面运动时,质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩例一质点m ,速度为v ,如图所示A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为.求此时刻质点对三个参考点的动量矩解: 质点对某点的动量矩, 在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩2. 质点的动量矩定理质点为m 的质点，在力的作用下运动，某一时刻t ,质点相对固定点O 的位矢为,速度为,按上述质点动量矩的定义,有两边对时间求导,得由于,故上式右边第二项为零,而第一项中,因此,上式右边第二项是作用在质点上所有力的合力对O 点的力矩,即此式表明,在惯性系中,质点对任意固定点O的动量矩对时间的导数,等于作用在质点上所有力的合力对同一点O 的力矩.这就是质点动量矩定理.质点动量矩定理的微分形式:质点动量矩定理的积分形式:质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量说明:(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩定理也可直接用来求解质点动力学问题,特别是质点在运动过程中始终和一个点或一根轴相关联的问题,例如单摆运动,行星运动等问题.3. 质点动量矩守恒定律在质点动量矩定理可以看出,当作用在质点上的合力对固定点的力矩恒为零时,质点对该点的动量矩为常矢量,即若时,=常矢量这就是质点动量守恒定律.讨论:(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用于宏观体系,也适用于微观体系, 且在高速低速范围均适用(2) 通常对有心力：过O 点,M= 0, 动量矩守恒.例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积例发射一宇宙飞船去考察一质量为M 、半径为R 的行星, 当飞船静止于空间距行星中心4R 时,以速度发射一质量为m 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面求θ 角及着陆滑行的初速度多大解:由引力场(有心力)系统的机械能守恒得由质点的动量矩守恒得则所以有二. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律1. 刚体定轴转动的动量矩刚体以角速度ω 绕定轴z转动时,刚体上任意一点均在各自所在的垂至于z轴的平面那作圆周运动,如图.由于刚体上任一质点对z轴的动量矩都具有相同的方向(或者说都具有相同的正负号),因此整个刚体对z轴的动量矩应为各质点对z轴的动量矩之和,即上式表明,绕定轴转动刚体对z 轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积.2. 刚体定轴转动的动量矩定理将动量矩表达式对时间求导,得由于刚体对给定轴的转动惯量是一常量,因此利用前面讲过的转动定律,可以将上式进一步写成上式表明,绕定轴转动刚体对z轴的动量矩对时间的导数,等于作用在刚体上所有外力对z轴的力矩的代数和.这就是刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理.动量矩定理微分形式:将上式两边乘以dt并积分,得动量矩定理积分形式:,分别表示在时刻转动刚体对z轴得动量矩,成为在时间内对z 轴得冲量矩.冲量矩表示了力矩在一段时间间隔内的积累效应.上式表明,定轴转动刚体的动量矩在某一时间间隔内的增量,等于同一时间间隔内作用在刚体上的冲量矩.3. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律当作用在定轴转动刚体上的所有外力对转轴的力矩代数和为零时,根据动量矩定理式,刚体在运动过程中动量矩保持不变(守恒),即=0时,=常量.以上的讨论是对绕定轴转动的刚体进行的.对绕定轴转动的可变形物体来说,如果物体上各点绕定轴转动的角速度相同,即可用同一角速度来描述整个物体的转动状态,则某一时刻t , 物体对转动轴的动量矩也可表示为该物体在时刻t 对同一轴的转动惯量与角速度的乘积.只是由于物体上各点相对于轴的位置是可变的,所以对轴的转动惯量不再是一个常量,可表示为可以证明,这是可变形物体对转轴的动量矩对时间的导数仍然等于作用于该可变形物体的所有外力对同一轴的力矩的代数和,即仍成立. 这时如果作用在可变形物体上所有外力对该轴的力矩的代数和恒为零,则在运动过程中,可变形物体对转轴的动量矩保持不变(守恒).更一般地说,如果作用在质点系上所有外力对某一固定轴的力矩之和为零,则质点系对该轴的动量矩保持不变,这是动量矩守恒定律的更为一般的表述形式.动量矩守恒定律在实际生活中及工程中有着广泛的应用.例如花样滑冰的表演者可以容过伸展或收回手脚(改变对轴的转动惯量)的动作来调节旋转的角速度.例一长为l 的匀质细杆,可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动,开始时杆静止于水平位置.一质量与杆相同的昆虫以速度垂直落到距O点l /4 处的杆上,昆虫落下后立即向杆的端点爬行,如图所示.若要使杆以匀角速度转动.求昆虫沿杆爬行的速度解:设杆和昆虫的质量均为m ,昆虫与杆碰后以共同的角速度转动.昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统,和外力矩为零,动量矩守恒,故有化简此式可得杆的转动角速度,即由题可知,此后杆以此角速度作匀速转动.设碰后t 时刻,杆转过角,昆虫爬到距O 点为r的位置处, 此时,昆虫和杆系统所受合外力矩为根据动量定理,有由题设不变,所以其中的值为带入上式有因此,为了使保持不变,昆虫的爬行速率应为说明:此题使一个系统绕定轴转动问题.在解此题的过程中应用了动量矩定理,该定理与刚体绕定轴转动定律的区别.三. 进动如图为一玩具陀螺,我们发现如果陀螺不绕自身对称轴旋转,则它将在起重力对质点O的力矩作用下翻到.但是当陀螺以很高的转速绕自身对称轴(称作自转或自旋)时,尽管陀螺仍然受重力矩作用,陀螺却不会翻到.陀螺的重力对O点的力矩作用结果将使陀螺的自转轴沿虚线所示的路径画出一个圆锥面来.我们称陀螺高速旋转时,其轴绕铅直轴的转动为进动.陀螺绕其对称轴以角速度高速旋转,如下图.对固定点O,它的动量矩L 可近似(未计进动部分的动量矩)表示为作用在陀螺上的力对O 点的力矩只有重力的力矩.显然, 垂至于动量矩矢量,按动量矩定理→可见在极短的时间内,动量矩的增量与d与平行, 也垂直于.这表明,在dt 时间内,陀螺在重力矩作用下,其动量矩的大小未变,但方向却改变了(方向绕铅直轴z 转过了dθ角)事实上,由于,带入动量矩定理式中.得所以,若陀螺自转角速度保持不变,则进动角速度也应保持不变.实际上由于各种摩擦阻力矩的作用,将使不断减小,与此同时,进动角速度Ω 将逐渐增大,进动将变得不稳定.以上的分析是近似的,只适用于自转角速度比进动角速度Ω 大得多得情况.因为有进动的存在,陀螺的总动量矩除了上面考虑到的因自转运动产生的一部分外,尚有进动产生的部分.只有在时,才能不计及因进动而产生的动量矩.思考题1. 如果一个质点在作直线运动,那么质点相对于那些点动量矩守恒?2. 如果作用在质点上的总力矩垂直于质点的动量矩,那么质点动量矩的大小和方向会发生变化吗?3. 当刚体转动的角速度很大时,作用在上面的力及力矩是否一定很大?4. 一个人随着转台转动,两手各拿一只重量相等的哑铃,当他将两臂伸平,他和转台的转动角速度是否改变?5. 试说明: 两极冰山的融化是地球自转速度变化的原因之一.。
第12章——动量矩定理
12.1 质点和质点系的动量矩
一、简单形状刚体的转动惯量 z
1. 均质细杆
设均质细杆长 l，质量为m，O
取微段 dx, 则
x
x
dx
l
dm mdx l
Jz
l m d x x2 1 ml2
0l
3
Jz1
l
2 l
2
m l
d
x
x2
1 12
ml 2
z1
x l C x dx
2
12.1 质点和质点系的动量矩
对点的：
LO MO(mv) ( miri )vC MO(mvC )
对轴的：
Lz M z (mvC )
12.1 质点和质点系的动量矩
4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩
Lz M z (mivi ) miviri miri2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
i 1
12.2 动量矩定理
上式左端为
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
LO
于是得
d
dt
LO
n i 1
MO (Fi(e) )
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
12.2 动量矩定理
设作用在刚体上的外力可向质
心所在平面简化为一平面力系，由
y y'
质心运动定理和相对质心的动量矩 定理得
D
C
x'
maC F (e)
刚体的角动量和角动量守恒定律
如图所示，刚体绕转轴 Oz 以角速度 ω 转动。 由于刚体上的每个质元都绕转轴 Oz 做圆周运动，因此都具有一定的角动量。 设第 i 个质元的质量为 mi ，它到转轴的垂直位矢为 ri ，线速度为 vi ，则该质元对转轴的角动量 Li 大 小为 Li miviri miri2
刚体的角动量和角动量守恒定律
计转轴处的摩擦力和空气阻力）。
【解】 把人和转台看作一个系统，系统不受外力矩作用，
其角动量守恒，即 mR2 1 MR2 0
2
解得 2 m
M 负号表示转台转动的方向与人跑动的方向相反。
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刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
如图所示，质量为 m 的质点相对于某一参考点 O 运动，在某一时刻，质点相对于参考点 O 的位矢为 r， 质点的速度为 v，质点的动量为 p mv ，则位矢 r 与动量 p 的矢积称为质点相对于 O 点的角动量（动量矩）， 用 L 表示，即 L r p r mv
m2 Lv0
Байду номын сангаас
m2 Lv
1 3
m1L2
根据线量与角量的关系 v L ，
可解得子弹和杆一起运动时的角速度 ω 为 3m2v0
(3m2 m1)L
刚体的角动量和角动量守恒定律
， ，
，
，
例题讲解 5
如图所示，质量为 M、半径为 R 的转台，可绕过中心的竖直轴转动。质量为 m 的人站在台的边缘。最
初人和台都静止，后来人在台的边缘开始跑动。设人相对地面的角速度为 ω，求转台转动的角速度 （不
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
§3.2 角速度矢量
dJ dt
Fe Me
刚体： mdJrC dt
i i
Fie
F
ri
Fi e
M
Note：
6个方程正好确定
①明确方程中各个量的意义。 刚体的6个独立变量
F
:主矢
J ,
M：以质心为中心得到的动量矩和主矩。
②当研究刚体对固定点的转动时，可以将第二方程换为
dJ dt
i
ri
Fi e
M
非刚体
A 刚体 B
作用在刚体上的力所产生的力学效果仅与力的量值和作用线的 地位和方向有关，而与力的作用点在作用线上的地位无关。
Note：（1）在刚体力学中，力被称为滑移矢量。
（2）可沿作用线前后滑移， 但作用线本身不能随便迁移。
2、力偶：
（1）定义：大小相等、方向相反， 作用线相互平行的一对力 （2）作用效果：
二矩式： Fx 0, M A 0, M B 0
（A、B为平面上任意两点，且AB连线与x轴不垂直）
三矩式： M A 0, M B 0, M C 0
（A、B、C为平面上不共线三点）
例 p128. φ最小，平衡。求A处的摩擦系数。 E
解 是共面力系的平衡问题，受力分析
Fx 0 :
N1
cos
M
A
0
2NC
sin
2
2G
l 2
cos
2
0
fC
y
A NA x
x
Gθ B
取BC杆为研究对象，以B点为矩心可得：
l
M B 0 NCl sin 2 fCl cos 2 G 2 cos 2 0
联立可解：
NC
G 2
ctg
刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒
即： L0 L
mlv0 mlv Jω （1）
o
v0 m
弹性碰撞EM守恒
1 2
mv02
1 2
mv2
1 2
Jω2
（2）
其中 J 1 m' (2l)2 1 m'l 2
12
3
联立(1)、(2)式求解
v
(3m-m ')v0 m' 3m
6mv0 (m' 3m)l
o v0 m
例3 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
讨论
➢ 守 恒条件
M 0
➢ 内力矩不改变系统的动量矩.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律.
有许多现象都可以 用动量矩守恒来说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
注意 1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受 的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量 矩始终保持不变. 2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界 的一条普遍规律.
dt 2
24 v0
7l
一、动量矩
1
质点的动量矩
质量为 m 的质点以速度
v
z
v
在O 的空位间矢运为动，r，某质时点刻相相对对于原原点
L
r
m
点的动量矩为
L
r
p
r
mv
L 的方向符合右手法则.
xo
y
L
v
r
大小 L rmvsin
一、动量矩
如质点以角速度 作半
r 径为 的圆运动，相对圆心
的动量矩:
L mr2 J
L
《理论力学》第十一章 动量矩定理
LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
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Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
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LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
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例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
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第十一章
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动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
刚体的动量矩及转动动能汇总
§6、刚体的动量矩及转动动能上次课我们将质点组的两个基本动力学定理，即质心运动定理和动量矩定理:M dtd dt J d M F r v m r Fre ii i i i e ic=⨯∑=⨯∑=∑=)(,)( 应用于刚体，于是就给出了描述刚体动力学规律的基本运动微分方程。
虽然上次课已经给出刚体动力学基本方程，但是对基本方程中的动量矩的具体形式并没有给出，这次课我们仍然以质点组的动量矩和动能定义为出发点推出刚体的动量矩以及刚体的转动动能。
下面我们先讨论：一、 刚体定点转动的动量矩：假设刚体在某一时刻以角速度ω转动。
取刚体上任一质点p i 的质量为m i 。
它相对固定点O 点的位矢量为i r。
那么根据质点组的动量矩定义式可得整个刚体对固定点0的动量矩是：)(v m r i i i iJ⨯=∑因为，r w v ii⨯= 所以，它就等于)(r w m r i i i i⨯⨯∑ 根据矢量多重叉积的基本公 式：c b a b c a c b a)()()(⋅-⋅=⨯⨯ 可得[]][r r m w r m r w r w r r m rw r m iiiiiiiiiiiiiiiiIiw i J)()()(2)(⋅=-⋅=⨯=∑-∑⋅∑⨯∑由此可以看出，动量矩J 一般不与角速度ω 共线，只有0≡⋅w r时， j 与w 才是共线的。
由于角动量是个矢量，如果我们确定了坐标系，那么就可以将它写成分量形式。
如图所示，建立直角坐标系O —X 、Y 、Z(并与绕定轴转动的刚体固连在一起，坐标这样取在目前的情况下比较方便。
因为刚体上任一点的坐标（x,y,z ）不管刚体怎样运动，它们相对刚体都是不随时间改变的常数，所以取与刚体固定的动坐标系比较方便。
)则i r 和w在三正交坐标轴的分量……则：kw jw i w wk z jy ix rz yxiiii++=++=,于是可得动量矩在x 轴上的分量：wz x m wy x m wzy m xw z wy wx m wz yx m Jxiiyiixii i iziyixii xi ii i zi i )()()()()(22222∑∑∑∑∑--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++-++=同理可得：wx ym w z y m wz x m J wz y m wz ym w y x m Jziiiyii xiiz ziiyi iixii yi i i i )()()()()()(2222++--=-++-=∑∑∑∑∑∑ 在这儿我们就令：)))222222(((x y m I z x m I z ym I iiizziiiyyiii xx +∑+∑+∑===∑∑∑======x z m II y z m I Iy x m IIii i xzzxi i i zyyzi i i yxxy则动量矩在直角坐标系中的分量式就可简写为：wI w I w I J w I w I w I J w I w I w I Jzzzyzyxzxzzyzyyyxyxy zxzyxyxxxx +---=-+=--=：由这些分量式也可以看出刚体绕固定点转动的动量矩的分量与角速度的三个分量 w w w z y x ,,都有关。
刚体定点转动的动量矩与角速度方向之间的关系
过 张量 的表示 方法 ， 讨论 了刚 体定点 转 动时 ， 动量 矩 ． ，的方 向 与角 速度 ∞的方 向之 间 的关 系 ， 出 了两 得
者 之间夹 角 的解析 表 达式 ， 并通 过实 例进行 了讨 论 ．
１ 惯量 张量 和 惯 量椭 球
设 刚 体在 某一 时 刻 以角速 度 ∞作定 点转 动 ， 取 固连 在 刚体 上 ， 选 以定 点为 坐标 原 点 的直 角 坐标 系 ，
ＺＨＡＮＧ Ｙｏ ｇ ｈ ｎ — ｅ，ＹＩ ｉ ｎ ＷＵ，ＲＥＮ Ｔｉ— ｉ Ｎ Ｊａ — ｅ ｗｅ
（ ｌｅ ｅ ｏ ｈ ｓ ｃ ｌＳ ｉｎ ｅ ａ ｄ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｙ，Ｈｕ ｎ ｇ ｎ ｒ ｌ ｎ ｖ ｒ ｉｙ，Ｈｕ ｎ ｚ ｏ ３ ０ ０，Ｈｕ ｅ ，Ｃｈ ｎ ） Ｃｏ ｌ ｇ ｆＰ ｙ ｉａ ｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌ ｇ ａ ｇ ａ ｇ Ｎｏ ｍａ ｉ ｅ ｓｔ Ｕ ａ ｇｈ ｕ４ ８０ ｂｉ ｉａ
作者 简 介 ： 勇 和 ， ， 南 常 德 人 ， 授 ， 要从 事 理 论 物 理 教 学 与 研 究 张 男 湖 教 主
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第 ３期
张 勇和 ， ： 等 刚体 定点 转 动 的 动 量 矩 与 角 速 度 方 向 之 间 的 关 系
Ｊ 一 』・６． ０ （ ２）
等称 为惯 性 积 ． 式 给 出 了 由 ∞ 上
到． ，的确定 的线性 变换 ， 据 张量 识 别定 理 ， 根 变换 系 数 构 成 一个 二 阶 张量 Ｊ 用 １ ２ ３表 示上 式 下 脚标 ． 、、
－ ｙ ２则 （） ， 、 ， １ 式写 为 张量 方程 为 、
收 稿 日期 ： ０ ７ ０ — ８ ２ ０ — ２２ ．
则 刚 体对定 点 的动 量矩可 表 示为 ［ ３
刚体力学(11。3)
L= Jω
转动动能
1 2
J
2
解：(1)棒由水平位置下落到 竖直位置时机械能守恒。
mg
2
1 2
J 2
1 6
m2 2
O l mθ
M
s
(2)棒与物块碰撞时,角动量守恒、 机械能守恒
J J M v
1 2
J 2
1 2
J 2
1 2
M
v2
(3) 物块滑行中满足动能定理
i
i
因为 i ri
所以 L ( miri2 )
i
进一步 化简
L (
miri2 )
i
定义刚体对定 轴的转动惯量
则刚体对定 轴的角动量
J miri 2
i
L
J
或写为
L J
z
L
mi
ri
P mv
六 、转动惯量的计算 单个质点： J mr2
平转面动or
r
P
F
注意： F 0
或
sin 0 （有心力的作用）
则： M 0
讨论
若力
F
不在转动平面内，把力分解为平行和
垂直于转轴方向的两个分量
F F// F
其中 F// 对转 轴的 力矩为零，故 F 对转
轴的力矩
M
r
F
z
p
0
dL dt
r
F
M
（共线）
质点所受的合外力矩，等于质点角动量对时 间的变化率
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是 极 易 混 淆 的 ． 如 刚 体 的 角 速 度 矢 量 和 动 例 量 矩 矢 量 。 普 通 物 理 力 学 中 研 究 刚 体 的 定 在 轴 转 动 时 ， 经 提 及 角 速 度 矢 ２０
Ｖ ｏ】 ｏ．１ ．１９ Ｎ
—
刚 体 的 角 速 度 矢 量 与 动 量 矩 矢 量
孙 风 林
（ 西 师 范 大 学 特 理 学 与 信 息 技 术 学 院 副 教 授 西 安 ７ ０ ６ ） 陡 １０２ 摘 要 ； 体 的 角 速 度 矢 量 与 动 量 矩 矢 量 的 方 向 一 般 情 况 下 是 不 一 致 的 ， 有 当 转 轴 （ 时 剐 只 瞬 轴 ） 惯 量 主 轴 时 ， 者 的 方 向 才 一 致 这 一 结 论 不 仅 根 婶 定 点 转 动 剐 体 适 用 ， 于 定 轴 转 动 刚 体 为 二 对 仍 鼎适 用 。 关键词 ： 刚体 的 角 速 度 矢 量 ｝ 量 矩 矢 量 ； 转 动 惯 量 ； 量 枳 ； 量 主 轴 ｝ 轴 动 惯 量 动 轴 惯 惯 主 中 围分 类 号 ： １． ０３ ８ ３ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ９ ３ ２ （ ０ ２ Ｏ 一 （ ０ — ０ １ ０ — ８６ ２０ ）ｌ ｝ ４ １ ３
刚 体 力 学 是 理 论 力 学 中的 重 点 及 难 点 内 容 。 所 以 是 这 样 ， 先 因 为 在 日 常 生 活 和 工 只 首
农 业 生 产 当 中 许 多 实 际 物 体 ， 进 行 粗 略 研 在 究 时 通 常 可 以 近 似 地 看 成 是 刚 体 ， 体 力 学 剐 在 实 际 中有 着 广 泛 的 应 用 外 ， 另 剐体 力学 着 重 于 研 究 转 动 以及 平 动 与 转 动 的 复 台 运 动 ，
体 力 学 部 分 的 一 个 难 点 。 文 将 就 此 问 题 展 本 开讨论 ， 以期 对理 论 力 学 的 学 习 有所 帮 助 。 设 一 刚 体 在 某 一 时 刻 的＇ 速 度 绕 过 。 角 点 的 一 个 瞬 时 轴 转 动 。 刚 体 里 任 取 一 点 在
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２Ｏ年３ ０２ 月 第 １ ＠ 第１ ９ 期
陕 西 师 范大学 继续 教 育学 报 （ 安 ） 西 ｔ ａｔｏｎ ａ ｍａ Ｊｕ ｎｌ ｏ ｒ ａ ｏｆＦｕｒ ｈｅｒ Ｅｄｕｃ ｉ ｏｆＳｈａ ｎｘｉＮｏｒ ｌＵ ｎｉ
ｔ５
【 ＝ 一 Ｉｒ Ｊ ＊
与 普 通 物 理 力 学 中 所 给 出 的 刚 体 动 量 矩
的表达式 相同 。 下 面我 们来 推 导 刚体 动量 矩 的分 量式 ， 并 利 用 分 量 式 来 讨 论 ｌ与 之 间 的 关 系 。 ， 将 （ ） 分 别 向 原 点 在 固 定 点 ０， 标 轴 １式 坐
ｚ Ｏ — Ｏ 一 ｌ Ｏｌ ９ ５
■— ■■ 一
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ｌ与 的 方 向 才 一 致 。 显 然 是 一 种 特 殊 情 ， 这 况 ， 如 普 通 物 理 力 学 中 常 见 的 薄 板 状 刚 体 例 绕 垂 直 于 板 面 的 轴 转 动 的 情 况 。 这 种 情 况 在 由 于 垂 直 于 ｙ 所 以 ・ ． ０ （ ） 变 成 为 ． ｙ一 ，１ 式
动 的 一 般 情 况 ： 体 不 具 有 对 称 性 ， 者转 轴 剐 或 不 是 质 量 分 布 的 对 称 轴 。 这 种 情 况 下 ， 体 在 剐 的 角 速 度 矢 量 与 动 量 矩 矢 量 的 方 向 并 不 一
．
围１
． Ｖ × ｙ． ． ． ＝
一
∑
ｒ ｌ Ｊ ｌ
ｌ ０４
（ ） 即 为 刚 体 动 量 矩 表 达 式 的 矢 量 形 １式 式 。 （ ） 可 以 看 出 ． 般 情 况 下 刚 体 的 动 由 １式 一
量 矩 Ｌ的 方 向 ． 角 速 度 矢 量 的 方 向 是 不 一 ， 与 致 的 ， 有 当 ｙ （ ｙ） ０ ， 只 ・ ，＝ 时 即 ・ ０ ． ｙ＝ 时
量 ， 于 在 普 通 物 理 力 学 中研 究 的 是 特 殊 情 由 况 ： 体 为 具 有 轴 对 称 性 的 剐 体 （ 如 匀 质 园 刚 例 柱体 ）而转轴 为对称轴 。 这 种特殊 情况下 ． ， 在 刚 体 的 角 速 度 矢 量 和 动 量 矩 矢 量 的 方 向 是 一 致 的 。 在 理 论 力 学 中 ， 们 研 究 的 是 剐 体 运 但 我
× ） （× ］ （） １
致 。 于 普 物 力 学 先 人 为 主且 积 重 难 返 ， 管 由 尽
在 理 论 力 学 中 反 复 强 调 这 一 差 别 ， 并 不 为 但 学 生 们 理 解 ， 使 这 一 问 题 成 为 理 论 力 学 剐 致
一
∑ ， 一 ， ； ］ ［ ： ）
（ ） 或 （ ） 称 为 刚 体 动 量 矩 的 分 量 ３式 ４ 式
式 。 此 二 式 可 以请 楚 看 出 ： 角 速 度 矢 量 由 若
沿 轴 ， 则 ≠ ｏ ＝ ＝ ０ 此 时 （ ） 变 ， 。 ４ 式
为 ：
（ 一 Ｉ ｍ Ｊ
ｊ： ： ∑
（ ２）
Ｊ ＝ 一 Ｉ Ⅲ
由 于
， 均 不 为 零 ， 见 刚 体 动 量 矩 ， 可
矢 量 ｌ 不 沿 轴 ， 明 一 般 情 况 下 ， 体 的 ， 并 说 刚 角 速 度 矢 量 与 动 量 矩 矢 量 的 方 向不 相 同 。 但 是 如 果 转 轴 为 轴 ， 且 轴 为 Ｏ 的 一 根 并 点 惯 量 主 轴 ， 这 种 特 殊 情 况 下 ， 于 与 有 在 由 关 的惯 量 积 全 都 为零 ， Ｉ ＝Ｉ 即 一 ０ 所 以 ，