概率论与数理统计习题5答案
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10
X i 10 2 19.9 10 2 20.1 10 2 i 1 P{20 0.1 X i 20 0.1} P{ } 10 0.05 10 0.05 10 0.05 i 1
10
0.1 P{ 10 0.05
X
100 1, 第i根木柱短语3米, 解法二：设 X i , i 1, 2, ,100 ，则 X X i 表示 100 根木柱中,短于 3 米的 i 1 0,第i根木柱长于3米.
数目,且 X ~ B (100, 0.2) , EX 20, DX 16 ,
X 20 10 P X 30 P 1 (2.5) 1 0.99379 0.00621 . 4 4
Xi
P
1
1.2 0.2
1.5 0.5
0.3
E ( X i ) 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29 ， E ( X i2 ) 1 0.3 1.22 0.2 1.52 0.5 1.713 ，
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AJ Lin
2013.12
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AJ Lin
2013.12
5. 一本书共有 100 万个印刷符号， 排版时每个符号被排错的概率为 0.0001， 校对时每个排版错误
被改正的概率为 0.9，求校对后错误不多于 15 个的概率。 1, 第n个印刷符号校对后仍印错 解：设随机变量 X n , 0, 其它. 则 X n , n 1 是独立同分布随机变量序列，有 p P{xn 1} 0.0001 0.1 10 5 。 作 Yn X k ， (n 106 ) ， Yn 为校对后错误总数。 按中心极限定理，有 Y np 15 np 3 5 5 P{Yn 15} P n (5 / [10 10 (1 10 )]) (1.58) 0.9495 . npq npq
又知为使系统正常运行， 至少必需要有 85 个元件工作， 求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；
(2)上述系统假设有 n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有 80%的元件工作才能使系统
正常运行，问 n 至少为多大时才能保证系统的可靠程度为 0.95? 解：(1)设 X 表示正常工作的元件数，则 X ~ b(100, 0.9) ，
1 1 1 10, D (Ti ) 2 100, E (T ) 10 30 300, D (T ) 3000. 0.1
350 300 5 故 P{T 350} 1 1 1 (0.913) 0.1814. 3000 30 3. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在
300 X k 300 1.29 400 300 1.29 1 P k 1 300 0.0489 300 0.0489
300 X k 300 1.29 1 P k 1 3.39 1 3.39 1 0.9997 0.0003 . 300 0.0489 (2)设 Y 表示这天售出价格为 1.2 元的蛋糕个数，则 Y ~ B 300, 0.2 ，又 np 300 0.2 60, np (1 p ) 60 0.8 48 ， Y ~ N 60, 48 ，所求概率为 Y 60 60 60 P Y 60 1 P Y 60 1 P 1 (0) 0.5 . 48 48 8. (1)一个复杂系统由 100 个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为 0.1，
(1)保险公司一年获利不少于 240000 元的概率； (2)保险公司亏本的概率．
解:假设 X 表示一年内死亡的人数,则
X ~ B (3000, 0.001) .
且 EX 3, DX 2.997 ,并根据中心极限定理, 公司一年内获利不少于 240000 元的概率为:
X 3 近似服从标准正态分布 N (0,1) ,则 2.997
k 1 n
6. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80% 的长度不小于 3 m ，现从这批木柱中随机地取出 100 根，
问其中至少有 30 根短于 3 m 的概率是多少？ （附，标准正态分布 N 0， 1 的分布函数 x 的部分值：
x
x
2.1 0.9821
2.2 0.9861
2.3 0.9893
2.4 0.9918
2.5 0.9938
2.6 0.9953
解法一： 设 X ：取出的 100 根木柱中长度长于 3 m 的根数．则 X ~ B 100, 0.8 ． 所求概率为 P X 70 ．由二项分布的正态逼近定理，得
70 100 0.8 X 100 0.8 P X 70 P 2.5 1 2.5 1 0.9938 0.0062 . 100 0.8 0.2 100 0.8 0.2
P(1000X 10000 12) P(X 120) 1 P(X 120) 1 P(
X 60 120 60 ) 1 (7.769) 0 即 基 59.64 59.64
本不会亏本。 （2）利润不少于 40000 元，即支出要少于 120000 40000=80000 元，因此死亡人数不能多于
P{ X 85} P{100 X 85} P{
X 100 0.9 85 90 100 90 5 X 90 10 P{ } 3 3 3 9 100 0.1 0.9 9
由中心极限定理可知 10 5 10 5 10 5 5 P{ X 85} ( ) ( ) ( ) (1 ( )) ( ) ( ) 1 ( ) 0.9525 3 3 3 3 3 3 3
i 1
10
i
10 2
10 0.05
0.1 } 2(0.63) 1 2 0.7357 1 0.4714 . 10 0.05
…， T30 服从参数 λ=0.1[单位： （小时） -1]的指数分布， 2. 设有 30 个电子器件.它们的使用寿命 T1，
其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令 T 为 30 个器件使用的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率. 解： E (Ti )
D( X i ) E （X i2） [E （X i） ]2 1.713 1.29 2 0.0489 ，
X1,
X 2 , ,
X 300 是独立同分布的随机变量，故由独立同分布中心极限定理知：
300 300 300 X k E X k 400 E X k 300 k 1 k 1 P X k 400 1 P k 1 300 300 k 1 D X D X k k k 1 k 1
7. 一食品店有三种蛋糕出售， 由于售出哪一种蛋糕是随机的， 因而售出一只蛋糕的价格是一个随
机变量，它取 1(元)，1.2 (元)，1.5(元)各值的概率分别为 0.3，0.2，0.5.某天售出 300 只蛋糕. （1）求这天的收入至少达 400 (元)的概率； （2）求售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率. 解：(1)设第 i 只蛋糕的价格为 X i , i 1, 2,,300 ，则 X i 的分布律为
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AJ Lin
Βιβλιοθήκη Baidu
2013.12
n Xi n n 10 10 P X i 10 0.90 P 10 X i 10 P i 1 n /12 n /12 i 1 i 1 n /12
(0.5, 0.5) 上服从均匀分布，
(1)将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？ (2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.9？
解: 假设 X i 表示每次计算时,所得到的误差,则
X i ~ U (0.5, 0.5) , i 1, 2, ,1500 ,
(1)保险
3 P 3 105 104 X 2.4 105 P X 6 0.958 . 2.997 27 (2)保险公司亏本的概率为: P 3 105 104 X 0 P X 30 1 0. 2.997
AJ Lin
2013.12
习题 5 答案
1. 一部件包括 10 部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，其数学 期望为 2mm，均方差为 0.05mm，规定总长度为（ 20 0.1 ）mm 时产品合格，试求产品合格的 概率。 （其中 (0.63) 0.7357 ， (1.63) 0.9484 ） 解：令 X i 表示第 i 部分的长度， i 1, 2, ,10 ，据题意知， X 1 , X 2 , , X 10 相互独立同分布，且 E ( X i ) 2 ， D ( X i ) 0.052 ，故产品合格的概率为
X 60 80 60 80000/1000=80 人， P X 80 P 2.5898 0.9952 59.64 59.64
补： 某保险公司有 3000 个同一年龄段的人参加人寿保险， 在一年中这些人的死亡率为 0.1%． 参 加保险的人在一年的开始交付保险费 100 元，死亡时家属可从保险公司领取 10000 元．求：
X X i 表示 1500 个数相加,所得到误差总和, EX 0, DX
i 1 1500
1500 125 ,根据中心极限定理, 12
X / 125 近似服从标准正态分布, 15 (1) P X 15 1 P 15 X 15 2 2 2(1 0.9099) 0.1802 25 (2)假设最多可有 n 个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90:
10 2 1 0.9 ， 解得 n 443 . n / 12
4. 某保险公司有 10000 人参加保险， 每人每年交 12 元保险费， 在一年内一个人死亡的概率为 0.006，
死亡后其家属可向保险公司领到 1000 元。试用中心极限定理求 （1） 保险公司亏本的概率是多少？ （2） 保险公司一年的利润不少于 40000 元的概率是多少？ （已知 2.5898 0.9952 ，其中 x 是正态分布 N 0， 1 的分布函数) 解：设 X={一年内的死亡的人数}，则 X~B（10000，0.006） （1）由中心极限定理，有保险公司亏本的概率为
X i 10 2 19.9 10 2 20.1 10 2 i 1 P{20 0.1 X i 20 0.1} P{ } 10 0.05 10 0.05 10 0.05 i 1
10
0.1 P{ 10 0.05
X
100 1, 第i根木柱短语3米, 解法二：设 X i , i 1, 2, ,100 ，则 X X i 表示 100 根木柱中,短于 3 米的 i 1 0,第i根木柱长于3米.
数目,且 X ~ B (100, 0.2) , EX 20, DX 16 ,
X 20 10 P X 30 P 1 (2.5) 1 0.99379 0.00621 . 4 4
Xi
P
1
1.2 0.2
1.5 0.5
0.3
E ( X i ) 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29 ， E ( X i2 ) 1 0.3 1.22 0.2 1.52 0.5 1.713 ，
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5. 一本书共有 100 万个印刷符号， 排版时每个符号被排错的概率为 0.0001， 校对时每个排版错误
被改正的概率为 0.9，求校对后错误不多于 15 个的概率。 1, 第n个印刷符号校对后仍印错 解：设随机变量 X n , 0, 其它. 则 X n , n 1 是独立同分布随机变量序列，有 p P{xn 1} 0.0001 0.1 10 5 。 作 Yn X k ， (n 106 ) ， Yn 为校对后错误总数。 按中心极限定理，有 Y np 15 np 3 5 5 P{Yn 15} P n (5 / [10 10 (1 10 )]) (1.58) 0.9495 . npq npq
又知为使系统正常运行， 至少必需要有 85 个元件工作， 求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；
(2)上述系统假设有 n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有 80%的元件工作才能使系统
正常运行，问 n 至少为多大时才能保证系统的可靠程度为 0.95? 解：(1)设 X 表示正常工作的元件数，则 X ~ b(100, 0.9) ，
1 1 1 10, D (Ti ) 2 100, E (T ) 10 30 300, D (T ) 3000. 0.1
350 300 5 故 P{T 350} 1 1 1 (0.913) 0.1814. 3000 30 3. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在
300 X k 300 1.29 400 300 1.29 1 P k 1 300 0.0489 300 0.0489
300 X k 300 1.29 1 P k 1 3.39 1 3.39 1 0.9997 0.0003 . 300 0.0489 (2)设 Y 表示这天售出价格为 1.2 元的蛋糕个数，则 Y ~ B 300, 0.2 ，又 np 300 0.2 60, np (1 p ) 60 0.8 48 ， Y ~ N 60, 48 ，所求概率为 Y 60 60 60 P Y 60 1 P Y 60 1 P 1 (0) 0.5 . 48 48 8. (1)一个复杂系统由 100 个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为 0.1，
(1)保险公司一年获利不少于 240000 元的概率； (2)保险公司亏本的概率．
解:假设 X 表示一年内死亡的人数,则
X ~ B (3000, 0.001) .
且 EX 3, DX 2.997 ,并根据中心极限定理, 公司一年内获利不少于 240000 元的概率为:
X 3 近似服从标准正态分布 N (0,1) ,则 2.997
k 1 n
6. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80% 的长度不小于 3 m ，现从这批木柱中随机地取出 100 根，
问其中至少有 30 根短于 3 m 的概率是多少？ （附，标准正态分布 N 0， 1 的分布函数 x 的部分值：
x
x
2.1 0.9821
2.2 0.9861
2.3 0.9893
2.4 0.9918
2.5 0.9938
2.6 0.9953
解法一： 设 X ：取出的 100 根木柱中长度长于 3 m 的根数．则 X ~ B 100, 0.8 ． 所求概率为 P X 70 ．由二项分布的正态逼近定理，得
70 100 0.8 X 100 0.8 P X 70 P 2.5 1 2.5 1 0.9938 0.0062 . 100 0.8 0.2 100 0.8 0.2
P(1000X 10000 12) P(X 120) 1 P(X 120) 1 P(
X 60 120 60 ) 1 (7.769) 0 即 基 59.64 59.64
本不会亏本。 （2）利润不少于 40000 元，即支出要少于 120000 40000=80000 元，因此死亡人数不能多于
P{ X 85} P{100 X 85} P{
X 100 0.9 85 90 100 90 5 X 90 10 P{ } 3 3 3 9 100 0.1 0.9 9
由中心极限定理可知 10 5 10 5 10 5 5 P{ X 85} ( ) ( ) ( ) (1 ( )) ( ) ( ) 1 ( ) 0.9525 3 3 3 3 3 3 3
i 1
10
i
10 2
10 0.05
0.1 } 2(0.63) 1 2 0.7357 1 0.4714 . 10 0.05
…， T30 服从参数 λ=0.1[单位： （小时） -1]的指数分布， 2. 设有 30 个电子器件.它们的使用寿命 T1，
其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令 T 为 30 个器件使用的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率. 解： E (Ti )
D( X i ) E （X i2） [E （X i） ]2 1.713 1.29 2 0.0489 ，
X1,
X 2 , ,
X 300 是独立同分布的随机变量，故由独立同分布中心极限定理知：
300 300 300 X k E X k 400 E X k 300 k 1 k 1 P X k 400 1 P k 1 300 300 k 1 D X D X k k k 1 k 1
7. 一食品店有三种蛋糕出售， 由于售出哪一种蛋糕是随机的， 因而售出一只蛋糕的价格是一个随
机变量，它取 1(元)，1.2 (元)，1.5(元)各值的概率分别为 0.3，0.2，0.5.某天售出 300 只蛋糕. （1）求这天的收入至少达 400 (元)的概率； （2）求售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率. 解：(1)设第 i 只蛋糕的价格为 X i , i 1, 2,,300 ，则 X i 的分布律为
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n Xi n n 10 10 P X i 10 0.90 P 10 X i 10 P i 1 n /12 n /12 i 1 i 1 n /12
(0.5, 0.5) 上服从均匀分布，
(1)将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？ (2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.9？
解: 假设 X i 表示每次计算时,所得到的误差,则
X i ~ U (0.5, 0.5) , i 1, 2, ,1500 ,
(1)保险
3 P 3 105 104 X 2.4 105 P X 6 0.958 . 2.997 27 (2)保险公司亏本的概率为: P 3 105 104 X 0 P X 30 1 0. 2.997
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习题 5 答案
1. 一部件包括 10 部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，其数学 期望为 2mm，均方差为 0.05mm，规定总长度为（ 20 0.1 ）mm 时产品合格，试求产品合格的 概率。 （其中 (0.63) 0.7357 ， (1.63) 0.9484 ） 解：令 X i 表示第 i 部分的长度， i 1, 2, ,10 ，据题意知， X 1 , X 2 , , X 10 相互独立同分布，且 E ( X i ) 2 ， D ( X i ) 0.052 ，故产品合格的概率为
X 60 80 60 80000/1000=80 人， P X 80 P 2.5898 0.9952 59.64 59.64
补： 某保险公司有 3000 个同一年龄段的人参加人寿保险， 在一年中这些人的死亡率为 0.1%． 参 加保险的人在一年的开始交付保险费 100 元，死亡时家属可从保险公司领取 10000 元．求：
X X i 表示 1500 个数相加,所得到误差总和, EX 0, DX
i 1 1500
1500 125 ,根据中心极限定理, 12
X / 125 近似服从标准正态分布, 15 (1) P X 15 1 P 15 X 15 2 2 2(1 0.9099) 0.1802 25 (2)假设最多可有 n 个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90:
10 2 1 0.9 ， 解得 n 443 . n / 12
4. 某保险公司有 10000 人参加保险， 每人每年交 12 元保险费， 在一年内一个人死亡的概率为 0.006，
死亡后其家属可向保险公司领到 1000 元。试用中心极限定理求 （1） 保险公司亏本的概率是多少？ （2） 保险公司一年的利润不少于 40000 元的概率是多少？ （已知 2.5898 0.9952 ，其中 x 是正态分布 N 0， 1 的分布函数) 解：设 X={一年内的死亡的人数}，则 X~B（10000，0.006） （1）由中心极限定理，有保险公司亏本的概率为