江苏高三数学高考一轮复习 函数与方程 教案
高考数学专题复习函数与方程思想教案
高考数学专题复习——函数与方程思想一、教学目标1. 理解函数与方程的关系，掌握函数与方程的基本思想。
2. 熟练运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 函数与方程的概念及关系2. 函数与方程的性质3. 函数与方程的解法4. 函数与方程在实际问题中的应用5. 典型例题分析与练习三、教学重点与难点1. 函数与方程的关系及其性质2. 函数与方程的解法3. 实际问题中函数与方程的运用四、教学方法1. 采用讲解、讨论、练习相结合的方式进行教学。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 注重启发式教学，引导学生主动探索、积极思考。
五、教学过程1. 导入：回顾函数与方程的基本概念，引导学生思考函数与方程之间的关系。
2. 讲解：详细讲解函数与方程的性质，结合实际例子阐述函数与方程的解法。
3. 讨论：分组讨论实际问题中的函数与方程应用，分享解题心得。
4. 练习：布置针对性的练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数与方程在数学中的重要性。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课后作业：布置相关的习题，巩固课堂所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。
七、教学拓展1. 引入高等数学中的函数与方程理论，提高学生的数学素养。
2. 组织数学竞赛或讲座，激发学生对函数与方程的兴趣。
3. 推荐相关书籍或网络资源，引导学生深入研究函数与方程。
八、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解了函数与方程的基本概念、性质和解法。
2. 反思教学方法：是否有效地引导学生思考、探索和解决问题。
3. 反思教学效果：学生对函数与方程的理解程度以及实际应用能力的提升。
九、教学案例1. 案例一：讲解一次函数与一元一次方程的关系，引导学生理解函数与方程的解法。
高考数学一轮复习函数与方程
对于在区间[a，b]如图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不
断地把它的零点所在区间 一分为二 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零
点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
目录
4.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
目录
（多选）有如下说法，其中正确的有
（
）
A.函数f（x）的零点为x0，则函数f（x）的图象经过点（x0，0）时，函数值一定
变号
B.连续不断的函数，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
C.函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0
在区间[a，b]上一定有实根
c）（x－a）的两个零点分别位于区间 （
）
A.（a，b）和（b，c）内
B.（－∞，a）和（a，b）内
C.（b，c）和（c，＋∞）内
D.（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析：A 函数y＝f（x）是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b
＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f
知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB之间时，有三个交点，即kOA＜2m＜
1
1
1
1
kOB，因为kOA＝－ ，kOB＝1，所以－ ＜2m＜1，解得－ ＜m＜ .
3
3
6
2
答案 （2）A
目录
｜解题技法｜
利用函数零点求参数（范围）的方法
目录
考向2 探究函数多个零点（方程根）问题
− 2 −2, ≤ 0,
高三第一轮复习教案函数与方程
高三第一轮复习教案—函数与方程一．考试说明：1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
高三数学第一轮复习函数与方程教案文
函数与方程一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数,我们把使0的实数x叫做函数的零点。
这样，函数的零点就是方程0的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程0有实根。
（2）、函数的零点存在性定理：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。
（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。
（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因此在区间[a，b]上连续函数，是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。
2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且的函数通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
（2）、给定精确度（）用二分法求函数的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证给定精确度（）；②求区间（a，b）的中点c；③计算（I）若=0，则c就是函数的零点；（II）若则令b=c，（此时零点）；（III）若则令a=c，（此时零点）；④判断是否达到精确度，若|a-b|，则得到零点的近似值a（或b），否则重复②--④步骤。
函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的程序，借助计算器或者计算机来完成计算。
二、题型探究[探究一]：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．[探究二]：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？提示：不一定．由图(1)(2)可知．[探究三]：有二分法求方程的近似解例1：已知图象连续不断的函数在区间（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（D）（A）7 （B）8 （C）9 （D）10例2：下列图象不能用二分法示这个函数的零点的是（3、5）(5)Xy o(3)X yo(4)Xy o oyX(2)(1)Xyo二、方法提升1、根据根的存在定量理，判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题，这类问题只需将区间的两个端点的值代入计算即可判断出来。
高三数学第二章函数+导数高考一轮复习教案2.11函数与方程
2.11 函数与方程一、学习目标：了解函数与方程热点提示：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二、知识要点：1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念： 函数零点的意义：(2)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：(3)零点存在性定理：2.二分法及步骤：3.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0(a>0)的实根分布及条件。
①方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔ ；②二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔ ③二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内有两根⇔ ④二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0，或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ，q )内成立。
4．主要方法（1）．函数零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（2）．解决二次函数的零点分布问题要善于结合图像，从判别式、韦达定理、对称轴、区间端点函数值的正负、二次函数图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件。
函数与方程、不等式联系密切，联系的方法就是数形结合。
三、课前检测：1.（09陕西卷文）设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为2.（09天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =（ ） A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。
高考数学专题复习函数与方程思想教案
高考数学专题复习函数与方程思想教案第一章：函数与方程引论【教学目标】1. 理解函数与方程的概念及其相互关系。
2. 掌握函数与方程的基本性质和常用解法。
【教学内容】1. 函数与方程的定义及例子。
2. 函数与方程的性质分析。
3. 函数与方程的解法探讨。
【教学过程】1. 引入新课：通过实例介绍函数与方程的重要性。
2. 讲解概念：讲解函数与方程的基本概念，引导学生理解其相互关系。
3. 分析性质：分析函数与方程的性质，如单调性、奇偶性等。
4. 解法探讨：介绍常用的函数与方程解法，如代入法、消元法等。
【作业布置】1. 复习函数与方程的基本概念和性质。
2. 练习解简单的函数与方程题目。
第二章：一次函数与一元一次方程【教学目标】1. 掌握一次函数的图像和性质。
2. 学会解一元一次方程。
【教学内容】1. 一次函数的图像和性质。
2. 一元一次方程的解法。
【教学过程】1. 引入新课：通过实际问题引入一次函数和一元一次方程。
2. 讲解概念：讲解一次函数的图像和性质，如斜率、截距等。
3. 解法讲解：讲解一元一次方程的解法，如加减法、乘除法等。
4. 练习巩固：学生练习解一次函数和一元一次方程的题目。
【作业布置】1. 复习一次函数的图像和性质。
2. 练习解一元一次方程。
第三章：二次函数与一元二次方程【教学目标】1. 掌握二次函数的图像和性质。
2. 学会解一元二次方程。
【教学内容】1. 二次函数的图像和性质。
2. 一元二次方程的解法。
【教学过程】1. 引入新课：通过实际问题引入二次函数和一元二次方程。
2. 讲解概念：讲解二次函数的图像和性质，如开口方向、顶点等。
3. 解法讲解：讲解一元二次方程的解法，如因式分解法、求根公式法等。
4. 练习巩固：学生练习解二次函数和一元二次方程的题目。
【作业布置】1. 复习二次函数的图像和性质。
2. 练习解一元二次方程。
第四章：函数与方程的应用【教学目标】1. 学会运用函数与方程解决实际问题。
2. 培养学生的数学应用能力。
高三数学一轮复习函数与方程1教案
高三数学一轮复习教案：函数与方程1教材分析：函数零点的概念是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属于中低档题。
主要考察函数零点与相应方程的关系，零点存在的判定条件。
学情分析：函数零点的概念，函数零点与相应方程的关系，零点存在的判定条件。
由于对数是高一上学期学的，现在对于这些概念性的题肯定已经模糊，故在教学上以基本的概念为主，为接下来二分法的学习做铺垫。
教学目标：1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件；2. 培养学生的观察能力，培养学生的抽象概括能力，培养学生分析、解决问题的能力；3. 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．教学难点：理解根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学过程：一、知识梳理：1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．2．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3．函数)(x f y =零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二、例题讲解c 例1．求函数2223+--=x x x y 与x 轴的交点，并画出它的大致图象．b/a 例2．：研究方程|x2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数．解：设y=|x2－2x －3|和y=a ，利用Excel 、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数．如下图，当a=0或a ＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a ＜4时，有四个实根．练习c1.如果抛物线f(x)= c bx x ++2的图象与x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（ C ） A ． (-1,3) B ．[-1,3] C ． D ．c2．已知d cx bx x x f +++=23)(,在下列说法中：(1)若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内有且只有一根；(2) 若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一根；(3) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内一定没有根；(4) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至多有一根；其中正确的命题题号是 (2) ．b/a3. 讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数． 解:原方程转化为,即方程x2-5x+a+3=0在区间（1,3）内是否有根,由得:,设f(x)= x2-5x+a+3,对称轴是,若得有一根在区间（1,3）内,即当时,原方程有一根; 若得时,原方程有两根;时, 原方程无解．三、归纳小结1．函数零点的概念 2．函数零点的意义 3．函数零点的求法四、布置作业c1. 设方程1022=+x x的根为β,则∈β（ C ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ． (2,3)D ．(3,4)c2. 关于x 的一元二次方程0142)3(22=++++m x m mx 有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m 的取值范围是 . 解：设f(x)= mx2+2(m+3)x+2m+14,根据图象知当或时,符合题意得.b/a3.已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(，其中R c b a ∈,,且满足c b a >>，0)1(=f .证明：函数)()(x g x f 与的图象交于不同的两点.解：由，即函数)()(x g x f 与的图象交于不同两点。
苏教版版高考数学一轮复习第二章函数函数与方程教学案
１．函数的零点（１）函数零点的定义对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．（２）三个等价关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．（３）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１,0），（x２,0）（x１,0）无交点零点个数２１0有关函数零点的３个结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0．（）（３）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）（４）二次函数y＝ax２＋bx＋c在b２—４ac＜0时没有零点．（）[答案]（１）×（２）×（３）×（４）√二、教材改编１．已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数yＡ．２个Ｂ．３个Ｃ．４个Ｄ．５个B[∵f（２）·f（３）＜0，f（３）·f（４）＜0，f（４）·f（５）＜0，故函数f（x）在区间[１,6]内至少有３个零点．]２．函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点所在的区间是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）C[由题意得f（１）＝ln １＋２—6＝—４＜0，f（２）＝ln ２＋４—6＝ln ２—２＜0，f（３）＝ln ３＋6—6＝ln ３＞0，f（４）＝ln ４＋8—6＝ln ４＋２＞0，∴f（x）的零点所在的区间为（２,３）．]３．函数f（x）＝e x＋３x的零点个数是________．１[由已知得f′（x）＝e x＋３＞0，所以f（x）在R上单调递增，又f（—１）＝错误!—３＜0，f （0）＝１＞0，因此函数f（x）有且只有一个零点．]４．函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为________．１[作函数y１＝x错误!和y２＝错误!错误!的图象如图所示．由图象知函数f（x）有１个零点．]考点１函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法（１）解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．（２）零点存在性定理．（３）数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．１．函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的区间为（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）B[由题意知函数f（x）是增函数，因为f（１）＜0，f（２）＝ln ２—错误!＝ln ２—ln 错误!＞0，所以函数f（x）的零点所在的区间是（１,２）．故选Ｂ．]２．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x—a）（x—b）＋（x—b）（x—c）＋（x—c）（x—a）的两个零点分别位于区间（）Ａ．（a，b）和（b，c）内Ｂ．（—∞，a）和（a，b）内Ｃ．（b，c）和（c，＋∞）内Ｄ．（—∞，a）和（c，＋∞）内A[∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a—b）（a—c）＞0，f（b）＝（b—c）（b—a）＜0，f（c）＝（c—a）（c—b）＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间（a，b）（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内，故选Ａ．]３．已知函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点在错误!（k∈Z）内，那么k＝________.５[∵f′（x）＝错误!＋２＞0，x∈（0，＋∞），∴f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，且f错误!＝ln 错误!—１＜0，f（３）＝ln ３＞0，∴f（x）的零点在错误!内，则整数k＝５．]（１）f（a）·f（b）＜0是连续函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．（２）若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，且f（x）的图象连续不断，则f（a）·f（b）＜0⇒函数f（x）在区间[a，b]上只有一个零点．考点２函数零点个数的判断函数零点个数的讨论，基本解法有（１）直接法，令f（x）＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点．（２）定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．（３）图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝２sin x—sin ２x在[0,２π]的零点个数为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５（２）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３（３）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e x＋x—３，则f（x）的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（１）B（２）D（３）C[（１）由f（x）＝２sin x—sin ２x＝２sin x—２sin x cos x＝２sin x·（１—cos x）＝0得sin x＝0或cos x＝１，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,２π]，∴x＝0，π，２π，即零点有３个，故选Ｂ．（２）依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x２—２x的图象（如图），可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f（x）＝２x＋１与x轴只有一个交点，综上，函数f（x）有３个零点．故选Ｄ．（３）因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，即x＝0是函数f（x）的１个零点．当x＞0时，令f（x）＝e x＋x—３＝0，则e x＝—x＋３，分别画出函数y＝e x和y＝—x＋３的图象，如图所示，两函数图象有１个交点，所以函数f（x）有１个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f（x）也有１个零点．综上所述，f（x）的零点个数为３．]（１）利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．（２）图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．１．函数f（x）＝２x|log0．５x|—１的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４B[令f（x）＝２x|log0．５x|—１＝0，可得|log0．５x|＝错误!错误!.设g（x）＝|log0．５x|，h（x）＝错误!错误!.在同一坐标系下分别画出函数g（x），h（x）的图象，可以发现两个函数图象一定有２个交点，因此函数f（x）有２个零点．故选Ｂ．]２．已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝—２，f（—１）＝１，则函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为________．３[依题意得错误!由此解得错误!由g（x）＝0得f（x）＋x＝0，该方程等价于错误!１或错误!２解１得x＝２，解２得x＝—１或x＝—２．因此，函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为３．]考点３函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的３种常用方法（１）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（２）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（３）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．根据函数零点个数求参数已知函数f（x）＝|x２＋３x|，x∈R，若方程f（x）—a|x—１|＝0恰有４个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．（0,１）∪（9，＋∞）[设y１＝f（x）＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|，在同一直角坐标系中作出y１＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|的图象如图所示．由图可知f（x）—a|x—１|＝0有４个互异的实数根等价于y１＝|x２＋３x|与y２＝a|x—１|的图象有４个不同的交点且４个交点的横坐标都小于１，所以错误!有两组不同解，消去y得x２＋（３—a）x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝（３—a）２—４a＞0，即a２—１0a＋9＞0，解得a＜１或a＞9．又由图象得a＞0，∴0＜a＜１或a＞9．]由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有无零点求参数已知函数f（x）＝错误!则使函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点的实数m的取值范围是________．（—∞，0]∪（１，＋∞）[函数g（x）＝f（x）＋x—m的零点就是方程f（x）＋x＝m的根，画出h（x）＝f（x）＋x＝错误!的大致图象（图略）．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞１时，有交点，即函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点．]函数有无零点问题⇔函数图象与x轴有无公共点问题．根据零点的范围求参数若函数f（x）＝（m—２）x２＋mx＋（２m＋１）的两个零点分别在区间（—１,0）和区间（１,２）内，则m的取值范围是________．错误![依题意，结合函数f（x）的图象分析可知m需满足错误!即错误!解得错误!＜m＜错误!.]此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１,２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１,３）Ｂ．（１,２）Ｃ．（0,３）Ｄ．（0,２）C[因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则由题意得f（１）·f（２）＝（0—a）（３—a）＜0，解得0＜a＜３，故选Ｃ．]２．方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则a的最小值为________．１[若方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则错误!错误!＝a—２x有解，即错误!错误!错误!＋２x＝a有解，因为错误!错误!错误!＋２x≥１，故a的最小值为１．]３．已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．（—１,0）[关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，等价于函数y１＝f（x）与函数y２＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是（—１,0）．]。
高三数学高考考前复习函数与方程教案
第八节 函数与方程一、复习目标：1、了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2、理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数。
二、重难点：重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数)(x f y =零点的近似值难点：用二分法求函数)(x f y =的零点近似值三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。
新课标要求及考纲要求1、结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2、根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
高考命题考查情况及预测：函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解和函数有零点的判断也一定会是高考的考点。
预计2010年高考对本节的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考查函数与方程的关系为目标来考查学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考查函数方程的思想。
（二）、知识梳理整合，方法定位。
（学生完成复资P23填空题，教师准对问题讲评） （Ⅰ）、函数的零点方程0)(=x f 的实数根又叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点； ②如果函数()y f x =在区间(,)a b 上的图像是连续不断的，且有()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点。
（Ⅱ）、二分法1．如果函数()y f x =在区间],[n m 上的图像是连续不断的一条曲线，且0)()(<⋅n f m f ，通过不断地把函数()y f x =的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
高考数学(苏教版文)一轮配套学案：函数与方程
第8讲函数与方程知识梳理函数的零点(1)函数的零点的概念一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是f(x)＝0的根．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．辨析感悟函数零点概念的理解及应用(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)f(x2)＜0，则函数f(x)有零点．(×)(3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(×)(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．(√)(5)(2012·湖北卷改编)函数f(x)＝x cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为2.(×)(6)(2013·广州模拟改编)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(－2,0)．(√)[感悟·提升]1．一点提醒函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，如(1)．2．三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，如(2)中没有强调连续曲线；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件，如(3)；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.考点一 函数零点的求解与判断【例1】 (1)(2013·青岛一模)函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在区间是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；②⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1；③(1,2)；④(2,3)． (2)(2014·郑州一模)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14log 214＝1＋12＝32＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－12log 212＝1＋12＝32＞0， f (1)＝1－0＝1＞0，f (2)＝1－2 log 22＝－1＜0， 由f (1)f (2)＜0知③正确．(2)当x ＞0时，令g (x )＝ln x ，h (x )＝x 2－2x .画出g (x )与h (x )的图象如图： 故当x ＞0时，f (x )有2个零点． 当x ≤0时，由4x ＋1＝0，得x ＝－14， 综上函数f (x )的零点个数为3. 答案 (1)③ (2)3规律方法 (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【训练1】 (1)(2014·合肥模拟)函数f (x )＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在区间________．①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． (2)(2012·北京卷改编)函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________． 解析 (1)∵f (1)＝－1<0，f (2)＝12>0，故其中一个零点会落在(1,2)内． (2)f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点，即令f (x )＝0.根据此题可得＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在平面直角坐标系中分别画出幂函数y ＝和指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个． 答案 (1)② (2)1考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】 已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵x ＞0时g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)， 因而只需m ≥2e ， 则y ＝g (x )－m 就有零点． ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二 作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图： 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e. ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【训练2】 (2014·鞍山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________． 解析 画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1. 答案 (0,1)考点三 与二次函数有关的零点分布【例3】 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．审题路线 由f (x )在[－1,3]上只有一个零点⇔f (x )＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根⇒计算知Δ＞0恒成立⇒令f (－1)·f (3)≤0⇒求出a 的范围⇒对端点值检验⇒得出结论．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根， 不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．规律方法 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【训练3】 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围． 解(1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎨⎧f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组⎩⎨⎧f (0)＝2m ＋1>0，f (1)＝4m ＋2>0，Δ＝4m 2－4(2m ＋1)≥0，0<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－2.1．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．创新突破2——函数的零点与函数极值点的交汇【典例】 (2013·安徽卷改编)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为________．突破：条件“函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2”等价于“方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不等实数根x 1，x 2”；条件：“若f (x 1)＝x 1＜x 2，关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根”等价于“方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有两个不等实根，f (x )＝x 1，f (x )＝x 2”.解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，原题等价于方程3x2＋2ax＋b＝0有两个不等实数根x1，x2，且x1＜x2，x∈(－∞，x1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴x1为极大值点，x2为极小值点．∴方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等实根，f(x)＝x1，f(x)＝x2. ∵f(x1)＝x1，∴由图知f(x)＝x1有两个不同的解，f(x)＝x2仅有一个解．答案 3[反思感悟] (1)强化函数零点的求法，函数与方程的转化技巧，本题的突破点是方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数转化为f(x)＝x1与f(x)＝x2的根的个数之和．(2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查，体现了新课标高考的指导思想．【自主体验】(2014·广州测试)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为________．解析由题意，知f′(x)＝e x＋1＞0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，所以函数f(x)的零点a∈(0,1)；由题意，知g′(x)＝1＋1＞0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)x＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g(x)的零点b∈(1,2)．综上，可得0＜a＜1＜b＜2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b)．答案 f (a )＜f (1)＜f (b )基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·无锡调研)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________．解析 由已知得f ′(x )＝e x ＋3＞0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝e －1－3＜0，f (1)＝e ＋3＞0，所以f (x )的零点个数是1. 答案 12．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3，∴f ′(x )＝e x ＋4＞0. ∴f (x )在其定义域上是单调递增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－4＜0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，故选③. 答案 ③3．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________． 解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点． 答案 0或－144．(2013·朝阳区期末)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＜0，f (2)＞0，所以0＜a ＜3.答案 (0,3)5．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3. 答案 x 1＜x 2＜x 36．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－12. 答案 0，－127．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1) 二、解答题9．函数f (x )＝x 3－3x ＋2. (1)求f (x )的零点；(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值范围． 解 f (x )＝x 3－3x ＋2＝x (x －1)(x ＋1)－2(x －1)＝ (x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)．(1)令f (x )＝0，函数f (x )的零点为x ＝1或x ＝－2. (2)令f (x )＜0，得x ＜－2；所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(－∞，－2)； 满足f (x )＝0的x 的取值集合是{1，－2}；令f (x )＞0，得－2＜x ＜1或x ＞1，满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．10．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．解 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2，0)，(1,3)内，∴⎩⎨⎧f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，即⎩⎨⎧3×(－2)2－5×(－2)＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，3×9－5×3＋a ＞0，解得－12＜a ＜0.∴所求a 的取值范围是(－12,0)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·烟台模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；②(1,2)③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1； ④(2,3)．解析 由f (x )的图象知0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，g (x )在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a ＜0，g (1)＝2＋a ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·g (1)＜0.答案 ③2．(2013·连云港检测)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x ，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为________．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 93．(2013·天津卷改编)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则g (a )，0，f (b )的大小关系为________． 解析 由f ′(x )＝e x ＋1＞0知f (x )在R 上单调递增， 且f (0)＝1－2＜0，f (1)＝e －1＞0， 所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－2＜0，所以g (a )＜0，由g (2)＝ln 2＋1＞0，g (b )＝0，得b ∈(1,2)． 又f (1)＝e －1＞0，∴f (b )＞0.故g (a )＜0＜f (b )． 答案 g (a )＜0＜f (b ) 二、解答题4．(2014·深圳调研)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)x－4ln x的零点个数．解(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝x2－2x－3x－4ln x＝x－3x－4ln x－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x (0,1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值当又因为g(x)在(3，＋∞)单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)只有1个零点.。
高三数学一轮复习精品教案2：2.8函数与方程教学设计
第八节函数与方程1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系续表3.二分法对于在区间『a，b』上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．(人教A 版教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2.5，3)『解析』 由零点存在性定理知x 0∈(2，3)，故选C. 『答案』 C2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)『解析』 显然f (x )＝e x ＋4x －3的图象连续不间断，又f (12)＝e －1＞0，f (14)＝4e －2＜0.∴由零点存在定理知，f (x )在(14，12)内存在零点．『答案』 C3．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12『解析』 由题意知2a ＋b ＝0， 即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0得x ＝0或x ＝a b ＝－12，故选C.『答案』 C4．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝(12)x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f (x )＝x 12－(12)x 只有1个零点．『答案』 B5．(2013·德州调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．『解析』 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0，1)上递增． 由已知条件f (0)f (1)＜0，即a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0. 『答案』 (－2，0)(1)(2012·天津高考)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)(2013·湛江模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．『思路点拨』 (1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．『尝试解答』 (1)因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0，1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)设f (x )＝x 3－(12)x －2，则x 0是函数f (x )的零点．在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝(12)x－2的图象，如图所示． ∵f (1)＝1－(12)－1＝－1＜0，f (2)＝8－(12)0＝7＞0∴f (1)f (2)＜0， ∴x 0∈(1，2)．『答案』 (1)B (2)(1，2),确定函数f (x )零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间『a ，b 』上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(1)函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点(2)(2013·汕头模拟)函数f (x )＝ln(x －2)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)『解析』 (1)令f (x )＝x －cos x ＝0，则x ＝cos x ，设函数y ＝x 和y ＝cos x ，在同一坐标系下做出它们在『0，＋∞)的图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内有且仅有一个零点．(2)由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ＞2}，∴排除A. ∵f (3)＝－23＜0，f (4)＝ln 2－12＞0，f (5)＝ln 3－25＞0，∴f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＞0，∴函数f (x )的零点在(3，4)之间，故选C.『答案』(1)B(2)C若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为()A．1.25B．1.375C．1.406 25 D．1.5『思路点拨』(1)二分法求近似零点，需将区间一分为二，逐渐逼近；(2)必须满足精确度要求，即|a－b|＜0.1.『尝试解答』根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，故方程的一个近似根可以是1.406 25.『答案』C,1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x)的图象在『a，b』内连续不间断，②f (a )·f (b )＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．『解析』 在(1，2)内取中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，∵f (32)＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，f (1)＜0，∴f (x )＝0的根在(32，2)内．『答案』 (32，2)(2013·临沂模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)． (1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．『思路点拨』 解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f (x )与g (x )有两个交点，从而数形结合求解．『尝试解答』 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是『2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)． 法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2，故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(2013·淮南模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x －1|，x ≤0，2x －1＋a ， x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．『解析』 由于当x ≤0，f (x )＝|x 2＋2x －1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x －1＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x ＝－2a ，结合图形只需－2a ＞1⇒a ＜－12即可．『答案』 a ＜－12一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范1.函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间『a ，b 』上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．思想方法之五 用函数与方程思想解决图象公共点问题(2012·山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0『解析』 由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)， x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.『答案』 B易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程的根的问题，找不到解决问题的切入点．(2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起来，思维受阻，无法解答． 防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在．(2)方程的根的情况与函数的极值的大小有密切的关系，求解时应注意寻找它们之间的关系．1．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』 根据x 2的范围判断y ＝cos x 2在区间『0，4』上的零点个数．当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈『0，4』，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为6.『答案』 C2．(2013·威海模拟)设方程log 4x －(14)x ＝0，log 14x －(14)x ＝0的根分别为x 1、x 2，则( )A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2『解析』 在同一坐标系内画出函数y ＝(14)x ，y ＝log 4x ，y ＝log 14x 的图象，如图所示，则x 1＞1＞x 2＞0，由log 4x 1＝(14)x 1，log 14x 2＝(14)x 2得log 4x 1x 2＝(14)x 1－(14)x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选A. 『答案』 A。
[精品]新高三高考数学一轮复习2.7函数与方程优质课教案
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2．7 函数与方程【知识网络】1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 【典型例题】 例1．（1）若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( A ) A ．21B ．－21C ．2D ．－2（2）设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ D ） A ．0 B ．9 C ．12 D ．18 提示：由(3)(3)f x f x +=-知()f x 的图象有对称轴3x =，方程()0f x =的6个根在x轴上对应的点关于直线3x =对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的和为18，答案为D ．（3）已知155=-ac b ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 提示一：依题设有50a b c ⋅-=∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根； ∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥，答案为B ．提示二：去分母，移项，两边平方得：22252510b a ac c =++≥10ac ＋25a c ⋅⋅＝20ac ．∴ac b 42≥，答案为B ．（4）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足1232x x <<，则实数m 的取值范围17(,)22- 提示：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<， 即：241270m m --<，解得：1722m -<<． （5）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞提示：设2()(2)44g a x a x x =-+-+，显然，2x ≠则22(1)2440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩，即3221x x x x ><⎧⎨><⎩或或，解得：x>3或x<1． 例2．设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=，2log (2)x +=22x x +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小 ．解：在同一坐标内作出函数2y x =-，12log y x=，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x << 又20x <，故231x x x <<例3．若关于x 的方程22210x x a a +++=有实根，求实数a 的取值范围． 解：设2(0)xt t =>，则原方程可变为210t at a +++=①原方程有实根，即方程①有正根． 令2()1f t t at a =+++(1)方程①有两个正实根12,t t ，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆0100)1(421212a t t a t t a a 解得12a -<≤-（2）方程①有一个正实根和一个负实根，则(0)10f a =+<，解得：1a <-．综上：2a ≤-例4．已知二次函数2()(,f x ax bx a b=+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由6 解∵方程22ax bx x +=有等根，∴2(2)0b ∆=-=，得b=2 由(1)(3)f x f x -=-知此函数图象的对称轴方程为12bx a=-=，得1a =-， 故2()2f x x x =-+（2）2()(1)11f x x =--+≤，∴4n ≤1，即14n ≤ 而抛物线22y x x =-+的对称轴为1x = ∴14n ≤时，()f x 在［m ，n ］上为增函数若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m n n n m m m 或或即又14m n <≤， ∴2,0m n =-=，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］由以上知满足条件的m 、n 存在， 2,0m n =-=【课内练习】1．当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（D ）A ．12a < B ．1a > C ．112a a <>或 D ．112a <<2．已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为的等差数列,则||m n -=( C)A ．1B ．34C ．12D ．38提示：由题意，等差数列的首项为14，四项的和为4，设公差为d ，则1434442d ⨯⨯+⋅= 解得：12d =，故该数列的四项为：1357,,,4444． 3．已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则 ()y f x =与5log y x=的图象交点的个数是( B )A ． 3B ． 4C ．5D ．6提示：由(3)(1)f x f x +=+知(2)()f x f x +=故()f x 是周期为2的函数，在同一坐标系中作出()y f x =与5log y x =的图象，可以看出，交点个数为4．4．已知函数 32()f x ax bx cx d =+++的图象如下，则（A ） A ．(,0)b ∈-∞ B ．(0,1)b ∈ C ．(1,2)b ∈ D ．(2,)b ∈+∞提示：32()(1)(2)32f x ax x x ax ax ax =--=-+，2b a =-．当2x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，∴ 0a >，故0b <，答案为A ．5．0x 是方程log x a a x =(01)a <<的解，则0,1,x a 这三个数的大小关系是01a x <<提示：在同一坐标系中作出函数x y a =和log a y x =的图象， 可以看出：01x <，0log 1a x <，∴0x a >，∴01a x <<6．关于x 的不等式2223330x x a a ⋅-+-->，当01x ≤≤时恒成立，则实数a 的取值范围为(,1)(2,)-∞-+∞提示 设3x t =，则t ∈［1，3］，原不等式可化为：2232,[1,3]a a t t t -->-+∈，等价于23a a --大于2()2,[1,3]f t t t t =-+∈的最大值∵()f t 在[1，3]上为减函数，∴max [()](1)1f t f ==- ∴ 231a a -->-，解得：21a a ><-或． 7.已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则1()f x 与2()f x 的大小关系为 12()()f x f x <提示：2()(1)4f x a x a =++-其图象是开口向上的抛物线，对称轴为1x =-， ∵ 12(1)(2,1)x x a +=-∈-，1x 与2x 的中点在(－1，21)之间，12x x < ∴ 2x 到对称轴的距离大于1x 到对称轴的距离，∴12()()f x f x <，答案为A ．8．已知函数112+-=x y 的图象与直线mx y =只有一个公共点，求这个公共点的坐标． 解：由211mx x +=-，得2(1)10,mx m x -+-= 因为两个图象只有一个公共点，所以2(1)40m m ∆=++=，解得：.223±-=m当223+-=m 时，112m x m+==，112m y mx +===； 当223--=m 时，1, 1.x y =当223+-=m时，公共点的坐标是(11)； 当223--=m时，公共点的坐标是1,1)．9．已知2()log f t t =，t ∈[2，8]，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式x m mx x 4242+>++恒成立，求x 的取值范围．解：∵t ∈[2，8]，∴ ()f t ∈[21，3]， ∴m ∈[21，3] ． 原题转化为：2)2()2(-+-x x m >0恒成立， 当2x =时，不等式不成立．∴2x ≠，令2()(2)(2)g m m x x =-+-，m ∈[21，3]，则：2212()(2)022(3)3(2)(2)0x g x g x x -⎧=+->⎪⎨⎪=-+->⎩，解得：21x x ><-或． ∴x 的取值范围为(,1)(2,)-∞-+∞．10．已知函数11()f x a x=- ((0,0)a x >> （1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数；（2）若()2f x x ≤在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求a 的取值范围 解：（1）证明 任取120x x >>1212122112111111()()()()x xf x f x a x a x x x x x --=---=-=∵120x x >>，∴120x x ⋅>，120x x ->，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故()f x 在(0,+∞)上是增函数（2）解 ∵112x a x-≤在(0,+∞)上恒成立，且a ＞0,∴112a x x≥+在（0，+∞）上恒成立，令421221121)(=⋅≤+=xx xx x g ，当且仅当12(0)x x x =>即x=22时取等号要使112a x x≥+在(0,+∞)上恒成立，则a ≥故a 的取值范围是［42,+∞)． （3）解 由（1）()f x 在定义域上是增函数∴(),()m f m n f n ==，即2110m m a -+=，2110n n a-+=故方程2110x x a-+=有两个不相等的正根m ，n ，注意到1m n ⋅=，10m n a+=> 故只需要(21()40a∆=->,由于0a >，则102a << ．作业本 A 组1．函数22(2)9y xx =--的图象与x 轴交点的个数是（B ）A ．1B ．2C ．3D ．4 提示：令0y =，22(23)(23)0x x x x -+--=∵2230x x -+> ∴2230x x --=，解得1x =-或3x = 即方程()0f x =只有两个实数根2．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（A ）A ．01m <≤B ．01m ≤≤C ．10m m ≥<或D ．10m m ><或提示：令()0f x =，得：|1|1()2x m -=，∵ |1|0x -≥，∴ |1|10()12x -<≤，即01m <≤． 3．直线2y k =与曲线2222918||k x y k x +=(,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（Ｄ）A ．1B ．2C ．3D ．4 提示：将2y k =代入2222918||k x y k x +=得：22229418||k x k k x +=29||18||40x x ⇒-+=，显然该关于||x 的方程有两正解，故关于x 的方程有四解，所以交点有4个，答案D ．4.若关于x 的方程123()35x a a+=-有负根，则实数a 的取值范围是2(,5)3由2315a a+>-得：3205a a -<-，解得：253a <<．5．若a 为方程20x x +=的解，b 为不等式2log 1x >的解，c 为方程12log x x =的解，则a 、b 、c 从小到大依次为a c b <<；提示：0a <，2b >，在同一坐标系内作出函数12log y x=和函数 y x =的图象，可以看出01c <<，答案为a c b <<6．已知关于x 的方程2113(1)(31)(3)30x x x m m +++----⋅=有两个不同的实根，求m 的取值范围.解：设3(0)x t t =>，原方程化为：23(1)(31)(3)0t m t m t +----=，即 23210t mt m +-+=…………………………①原问题等价于方程①有两个不同的正根，2203103412(1)0mmm m ⎧->⎪⎪-⎪>⎨⎪⎪∆=-->⎪⎩解得：32m -<. 7.方程2210(0ax x a --=>，且1)a ≠在区间[]1,1-上有且仅有一个实根，求函数23xxy a -+=的单调区间.解：令2()21f x ax x =--， （1）由(1)20f a -==，得0a =，舍去； （2）由(1)220f a =-=，得1a =，舍去； （3）(1)(1)0f f -⋅<⇔20a a -<⇔01a << 综上：01a <<对于函数23x x y a -+=，令t y a =，221133()612t x x x =-+=--+则t y a =在R 上为减函数，t 在1(,]6-∞上为增函数，在1[,)6+∞上为减函数.∴当1(,]6x ∈-∞时，23x x y a -+=是减函数；当1[,)6x ∈+∞时，23x x y a -+=是增函数.8．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，其图像关于直线1x =对称，对任意121,[0,]2x x ∈都有1212()()()()f x f x f x f x +=⋅ （1）设(1)0f a =>，求1()2f ，1()4f ； （2）证明()f x 是周期函数。
江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习 函数 第9
第9课时 函数与方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可 例1.（1）若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( )A ．21B ．－21C ．2D ．－2解：A ．（2）设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）A ．0B ．9C ．12D ．18解：由(3)(3)f x f x +=-知()f x 的图象有对称轴3x =，方程()0f x =的6个根在x 轴上对应的点关于直线3x =对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的和为18，答案为D ． （3）已知155=-acb ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 解法一：：依题设有 50a b c ⋅-=∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根；∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥，答案为B ．解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510b a ac c =++≥10ac ＋25a c ⋅⋅＝20ac ． ∴ac b 42≥，答案为B ．（4）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围解：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<，即：241270m m --<，解得：1722m -<<．（5）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是解：设2()(2)44g a x a x x =-+-+，显然，2x ≠则22(1)2440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩，即3221x x x x ><⎧⎨><⎩或或，解得：x>3或x<1． 变式训练1： 当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a < B ．1a > C ．112a a <>或 D ．112a << 解：D例2.设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=,2log (2)x x +=-22xx +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小 ．解：在同一坐标内作出函数2y x =-，12log y x =，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x << 又20x <，故231x x x <<变式训练2：已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解：由(3)(1)f x f x +=+知(2)()f x f x +=故()f x 是周期为2的函数，在同一坐标系中作出()y f x =与5log y x =的图象，可以看出，交点个数为4．例3. 已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵方程22ax bx x +=有等根，∴2(2)0b ∆=-=，得b=2 ．由(1)(3)f x f x -=-知此函数图象的对称轴方程为12bx a=-=，得1a =-， 故2()2f x x x =-+ ．（2）2()(1)11f x x =--+≤，∴4n ≤1，即14n ≤而抛物线22y x x =-+的对称轴为1x = ∴14n ≤时，()f x 在［m ，n ］上为增函数. 若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m n n n m m m 或或即又14m n <≤， ∴2,0m n =-=，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的m 、n 存在， 2,0m n =-=．变式训练3：已知函数11()f x a x=- ((0,0)a x >>. （1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数；（2）若()2f x x ≤在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求a 的取值范围. 解：（1）证明 任取120x x >>1212122112111111()()()()x xf x f x a x a x x x x x --=---=-=∵120x x >>，∴120x x ⋅>，120x x ->，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故()f x 在(0,+∞)上是增函数.（2）解： ∵112x a x-≤在(0,+∞)上恒成立，且a ＞0, ∴112a x x ≥+在（0，+∞）上恒成立， 令421221121)(=⋅≤+=xx x x x g ，当且仅当12(0)x x x =>即x=22时取等号 要使112a x x≥+在(0,+∞)上恒成立，则a ≥故a 的取值范围是［42,+∞)． （3）解： 由（1）()f x 在定义域上是增函数.∴(),()m f m n f n ==，即2110m m a -+=，2110n n a-+=故方程2110x x a -+=有两个不相等的正根m ，n ，注意到1m n ⋅=，10m n a+=>故只需要(21()40a ∆=->,由于0a >，则102a << ．例4．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．01m <≤B ．01m ≤≤C ．10m m ≥<或D ．10m m ><或解：令()0f x =，得：|1|1()2x m -=，∵ |1|0x -≥，∴ |1|10()12x -<≤，即01m <≤．变式训练4：对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点. 已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；解：（1）当1,2a b ==-时，2()3f x x x =--由题意可知23x x x =--，得121,3x x =-= 故当当1,2a b ==-时，()f x 的不动点 1,3-．（2）∵2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点，∴2(1)1x ax b x b =+++-，即210ax bx b ++-=恒有两相异实根∴2440()b ab a b R ∆=-+>∈恒成立.于是2(4)160a a '∆=-<解得故当b ∈R ，()f x 恒有两个相异的不动点时，01a <<.本节主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数； 2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题。
高三数学一轮复习教案第十节函数与方程
第10课函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．【基础练习】1.函数在区间有_____1 ___个零点．2.已知函数的图像是连续的，且与有如下的对应值表：则在区间上的零点至少有___3__个．3.方程在区间内的近似解为___0.3___（精确到0.1）．4. 已知函数的零点所在区间为，则m=____2____．5. 已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围______________．【范例解析】例1.是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的结论：①若a<0，则函数的图象关于原点对称；②若a=－1，－2<b<0，则方程=0有大于2的实根；③若a≠0，，则方程=0有两个实根；④若，，则方程=0有三个实根．其中，正确的结论有___________．分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当且时，是非奇非偶函数，①不正确；当，时，是奇函数，关于原点对称，③不正确；当，时，，由图知，当时，才有三个实数根，故④不正确；故选②．点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设，若，，．求证：（1）且；（2）方程在内有两个实根．分析：利用，，进行消元代换．证明：（1），，由，得，代入得：，即，且，即，即证．（2），又，．则两根分别在区间，内，得证．点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取的中点来考察的正负是首选目标，如不能实现，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根的分布来做．例3.设函数(,不同时为零)，方程与的实根相同，求实数c的取值范围．分析：写出方程，的根即可．解：由，即①由，即②（1）当，时，方程①②的根都是；（2）当，时，方程①②的根都是；（3）当，时，方程①的根为，；它们都是方程②的根都，但不是的根，则方程无实数根，故此方程，解得；综上所述，实数c的取值范围．点评：关键点在于方程无实根，可根据得到；另要注意分类讨论的使用．例4.已知函数．求证：当时，关于x的方程有三个实数解．分析一：从“形”的角度求解．证法一：由，得即在同一坐标系内作出和的大致图象，其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，与的图象是以为顶点，开口向下的抛物线．因此，与的图象在第三象限有一个交点，即有一个负数解.又∵，当a>3时，，∴当a>3时，在第一象限的图象上存在一点在图象的上方.∴与的图象在第一象限有两个交点，即有两个正数解.因此，当a>3时，方程有三个实数解．分析二：从“数”的角度求解．证法二：由，得，即，得方程的一个解.方程化为，由a>3，，得，∵，，∴且．若，即，即，解得或，这与a>3矛盾，因此，当a>3时，方程有三个实数解．点评：证法一是数形结合的思想方法，借助两个函数图像的交点个数来说明方程根的个数，这是常用的一种思路，但要结合图像说清理由；证法二是代数方法．【反馈演练】1．方程的实数解的个数是_____ 2_____．2．设，为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是．3．设函数若，，则关于x的方程解的个数为（ C ）A．1 B．2 C．3 D．44．方程在区间上的根必定属于区间（ B ）A．B．C．D．5．设定义域为R的函数，则方程有7个不同实数根的充要条件是．6．已知，且方程无实数根，下列命题：①方程也一定没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；③若，则必存在实数，使④若，则不等式对一切实数都成立．其中正确命题的序号是①②④．7．关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为_①__②_③_④_．注①k=-2 ②k= ③k= 0 ④k= 8．设二次函数，方程的两根和满足．求实数的取值范围．解：令，则由题意可得．故所求实数的取值范围是．8．已知函数是偶函数．（1）求k的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.解：（1）是偶函数，由于此式对于一切恒成立，（2）函数与的图象有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的实数解等价于方程有唯一实数解，且.令，则此问题等价于方程只有一个正实根且.从而有：①即，则，不合题意舍去.②即(Ⅰ)若，即或.当时，代入方程得不合题意，当时，得符合题意.(Ⅱ)方程有一个正根和一个负根，即，即符合题意，综上所述，实数a的取值范围是.9．已知二次函数．（1）若a>b>c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）若对，求证：关于的方程有2个不等实根且必有一个根属于．解：（1）的图象与x轴有两个交点.（2），即，，或=4{[(b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2}又且，则，故至少有一个不是0，，故方程有两个不等的实数根．令，，又，，，故方程的根必有一个属于．。
高考数学一轮复习 4.1 函数与方程教案 新课标
高考数学一轮复习 4.1 函数与方程教案 新课标【知识归纳】一、二次函数的图象和性质1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。
2．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b -- （1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a b --∞上单调递减，在),2[+∞-ab上单调递增，abx 2-=时，a b ac x f 44)(2min -= （2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(a b --∞上单调递增，在),2[+∞-ab上单调递减，abx 2-=时，a b ac x f 44)(2max -= 3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)，ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)( 二、三个二次（二次函数、一元二次方程及一元二次不等式）的关系设122△情况类型△>0 △=0 △<0图象ax 2+bx+c=0的解即函数零点 x=x 1或x=x 2(x 1<x 2)x 1=x 2=ab 2-（二重） 无实数解ax 2+bx+c>0解 x<x 1或x>x 2 x≠x 1 R ax 2+bx+c<0解x 1<x<x 2ΦΦ注意：含参数的不等式ax ＋bx ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax ＋bx ＋c>0的解集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况三、实系数一元二次方程 的实根符号与系数的关系： 韦达定理：方程02=++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则240b ac ∆=-≥且⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121 ①两个正根，则需满足⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ，②两个负根，则需满足1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩，③一正根和一负根，则需满足⎩⎨⎧<>∆021x x四、一元二次方程根的分布条件 说明：已知零点范围确定相关字母的范围：控制二次函数图象的四个手段：a 的正负；对称轴范围；判别式大于小于等于0；某些函数值（乘积）正负。
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江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案
江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案
江苏高三数学高考一轮复习函数与方程教案
一.知识梳理
1.一元二次方程与相应二次函数的图象关系
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
定理推论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)
二.课堂练习
1.已知函数满足，且当时，，则当时，方程的实数解的个数为
A.0B.1C.2D.3
2.已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围是
A.B.C.D.
3.对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是
A.B.C.D.
4.已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足：，则的取值范围是
A.B.C.D.
5.函数的零点个数为．
6.若方程有两个不同的实数解，则b的取值范围是_____．
7.设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是______．
8.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是．
9.已知函数，且曲线在处的切线经过点．
求实数的值；
若函数，试判断函数的零点个数并证明．
10.已知函数．
求函数在上的零点之和；
证明：在上只有1个极值点．
三.例题选讲
[例1]已知函数是自然对数的底数
求的单调递减区间；
若函数，证明在上只有两个零点．参考数据：
[参考]解：，定义域为R．
由得，
解得Z
的单调递减区间为Z
证明：，
令
，
当时，当时，．
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
，，
使得，，
且当或时，
当时，，
在和上单调递减，在上单调递增．
，
．
，
，
又，由零点存在性定理得，在和内各有一个零点，
函数在上有两个零点．
[解析]本题主要考查学生运用导数研究函数的单调性及函数的零点问题
[例2]已知函数．
当时，判断函数的单调性；
讨论零点的个数．
[参考]解：因为，所以，
又，设，
又，
所以在为单调递增，在为单调递减，
所以的最大值为，所以，
所以在单调递减；
因为，所以是一个零点，
设，所以的零点个数等价于中不等于1的零点个数再加上1，当时，由可知，单调递减，
又是零点，所以此时有且只有一个零点；
当时，单调递增，又，
，
又，
所以，
综上可知，在有一个零点且，
所以此时有两个零点；
又，所以当，
在单调递增，在单调递减，
的最大值为，
又，
，又，
所以在有一个零点，在也有一个零点且，
所以此时，共有3个零点；
又，所以当时，
在单调递增，在单调递减，
的最大值为，所以没有零点，
此时，共有1个零点．
综上所述，当时，共有1个零点；当0时，共有3个零点；
当时，有两个零点．
[解析]本题考查学生利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力和逻辑推理能力
[例3]已知，
解不等式；
若方程有三个不同的解，求实数a的取值范围．
[答案]解：，
当时，解不等式得：，
当时，解不等式得：，
综合得：
不等式的解集为：．
，
即．
作出函数的图象如图所示：
当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以．所以实数a的取值范围是．
[解析]本题考查了分段函数及数形结合的思想方法
四.反思与总结
在复习过程中，我掌握了，还存在等问题.
自我知识梳理：。